1、第48課雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1. 了解雙曲線的定義和幾何圖形.2. 了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；會(huì)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程處理簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3. 了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).1. 閱讀：選修11第3741頁(yè)(理科閱讀選修21相應(yīng)內(nèi)容).2. 解悟：雙曲線的幾何性質(zhì)(對(duì)稱性、取值范圍、頂點(diǎn)、漸近線、離心率)；雙曲線的離心率是反映了雙曲線形狀的一個(gè)重要量，它與之間滿足一個(gè)什么關(guān)系？求離心率關(guān)鍵要尋找何種等式？3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成選修11第39頁(yè)練習(xí)第3題，第45頁(yè)習(xí)題第1，6題(理科完成選修21相應(yīng)任務(wù)).基礎(chǔ)診斷1. 已知雙曲線1(a0，b0)和橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙

2、曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為1.解析：由題意得雙曲線的半焦距為c，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為，可得a2，b，所以雙曲線方程為1.2. 若雙曲線x2my21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的漸近線方程為y2x.解析：雙曲線x2my21中a1，b.因?yàn)殡p曲線x2my21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，所以24，所以m，所以雙曲線方程為x21，所以雙曲線的漸近線方程為y2x.3. 若雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為.解析：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于2a，即點(diǎn)F(c，0)到直線bxay0的距離等于2a，即2a，即b2a，所以e21

3、5，即雙曲線的離心率為e.4. 經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為1.解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0)，將點(diǎn)A(3，1)代入方程得1，得a28，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b0)，將點(diǎn)A(3，1)代入方程得1，得b28(舍).綜上，該雙曲線的方程為1.范例導(dǎo)航考向 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1) 雙曲線過P，Q兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 與雙曲線1有共同漸近線，且過點(diǎn)A(3，4)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析：(1) 設(shè)雙曲線方程為1(mn0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交

4、于點(diǎn)B，若2，求雙曲線的離心率.解析：如圖.因?yàn)?，所以A為線段BF的中點(diǎn)， 所以23.因?yàn)?2，所以260， 所以tan60，所以e214，所以e2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：1(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為.解析：雙曲線C1：1(a0，b0)的漸近線方程為yx，與拋物線C2：x22py聯(lián)立，可得x0或x，取A.設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為P，則kAP.因?yàn)镺AB的垂心為C2的焦點(diǎn)，所以1，化簡(jiǎn)得5a24b2，所以5a24(c2a2)，所以e.考向 雙曲線性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)

5、F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，).(1) 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上；(3) 在(2)的條件下，求F1MF2的面積.解析：(1) 因?yàn)閑，所以，所以c22a2.又c2a2b2，所以a2b22a2，所以ab，所以設(shè)雙曲線方程為x2y2k(k0).因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(4，)，所以k16106，故所求雙曲線方程為1.(2) 由(1)知，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0).因?yàn)辄c(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，所以m23.又(23，m)(23，m)m230， 所以，所以點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上.(3) 由(2)知，F(xiàn)

6、1F24，m23，所以|m|，SF1MF2F1F2|m|46.自測(cè)反饋1. 已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為1.解析：由題意得，c5，所以a4，b3，所以雙曲線C的方程為1.2. 已知雙曲線1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF1PF232，則F1PF290.解析：由1得c225.因?yàn)镻F1PF22a6，PF1PF232，所以PFPF(PF1PF2)22PF1PF23664100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20.又因?yàn)?F1PF20，b0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B(0，b)滿足0，則雙曲線的離心率為.解析：由題意得F(c，0)，A(a，0)，則(c，b)(a，b)0，即b2ac，c2a2ac0，所以e2e10，解得e(負(fù)值舍去).4. 若橢圓1(ab0)的離心率為，則雙曲線1的離心率為.解析：由題意，對(duì)于橢圓有a2b2c，e，則c1a，把c1a代入a2b2c，得b2a2.在雙曲線1中，a2b