中國科學院中國科技大學2010 年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試卷試卷名稱：高等數學（A）考生須知：1.本試卷滿分 150 分，全部考試時間總計 180 分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_1、選擇題（每題只有一個答案是正確的，每小題 5 分，共 25 分）（1）當 時， 是（ ）0xx1sinA. 無窮小量 B. 無窮大量C. 有界且非無窮小量 D. 無窮且非無窮大量（2）設 可微且滿足 ，則曲線 在)(xf 12)0(lim0xffx )(xfy處的切線斜率為（ ）)0(,fA . B. C . D. 21（3）二元函數 在 處的兩個偏導數存在是 在),(yxf),0 ),(yxf處可微的（ ）),(0yxA. 充分條件 B. 必要條件C. 充分必要條件 D. 既非充分也非必要條件（4）正項級數 收斂的充分條件是（ ）1naA . B. n)(N1na)(NC. 收斂 D. 收斂11)(nna12n（5）下列廣義積分中發(fā)散的是（ ）A. B. dx02)(l dx102C. D. dx12)(ln dx02)1ln(二、填空題（每小題 5 分，共 25 分）（1） _。xex20sin1lim2（2）曲線 和 軸圍成的圖形繞 軸旋轉一周的旋轉y)0(xx體的體積是_。（3）二重積分 _。dyxyx12sin3（4）平面 與橢圓柱面 相交所成的橢圓的面積為z132_。（5）向量場 的旋度為_。22zyxkjiv三、 （8 分）設二元函數 具有一階連續(xù)偏導數，關系式 可確定f yzexf),(函數 及 求 及 。 )(xy)(zdxyz四、 （8 分）設 滿足條件 ， 。f 1)(xff 2)0(f（1）求 ；)(x（2）求不定積分 。dxfxf)(ln1)(五、 （8 分）求冪級數 的收斂半徑和函數。0n六、 （8 分）求微分方程 的通解。xey2七、 （12 分）設 在 中有連續(xù)二階導函數。)(xf1,（1）證明： ； 10 10)(2)()( dxffdxf（2）當 ， 且 時，試證： 。 )(f Mf 12)(10Mf八、 （12 分）計算曲線積分 ，其中 是以 為Lxx ydeyecos)sin( L)0,(起點 ，以 為終點的上半圓周 。)0,2( 12九、 （12 分）計算曲面積分 ，其中 是有向曲面Szxydx)(3 S，其法向量與 軸正方向夾角為銳角。 2yxz)1(zz十、 （12 分）設 是以 為周期的偶函數，當 時， 。(xf2x021)(xf（1）將 在 上展開成傅里葉級數；),（2）根據（1）求 和 。12)(n14n十一、 （10 分）設函數 在 上連續(xù)，在 上可微， 。當)(xf,0),0(0)(f時， ，證明 恒等于 。0x)(xff十二、 （10 分）設 在 上一致連續(xù)，證明 在 上有界.舉例說)1,( )(xf1,明逆命題不成立。中國科學院中國科技大學2009 年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試卷試卷名稱：高等數學（A）考生須知：1.本試卷滿分 150 分，全部考試時間總計 180 分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_1、單項選擇題（每題 5 分，共 25 分）1.如果函數 ， 在點 附近有定義，下列四個論斷正確的是（ )(xfgax）A. 若 ，則存在 ，使得 在 上嚴格單調；1)(af 0)(xf),aB. 若 在 點取到極大值，則 在 點左側單調增、右側單x 調減；C. 若 ， 在 點處可導，則 在 點處可導的充0)(af)(xfa)(xfa要條件是 ；D. 若 和 都在 點取到極大值，則函數 在 點)(xfgx )(xgfa必取到極大值。2.當 時，下列四個無窮小量階數最高的是（ ）0A. B. 21)ln(xdtex201C. D. xsinco344x3.設 ，則 在 處（ ）)(f0,1ix)(xf0A. 不連續(xù)； B. 連續(xù)，但不可導；C. 可導，但導函數不連續(xù)； D. 可導，且導函數連續(xù)。4.設 ，當 時 為如下四式之一，則 在點0),(f )0,(,yx),(yxf ),(yxf處兩個偏導數都存在的是（ ）A. B. C. D. 2yx2yx221sinyx24yx5.下列四個論斷正確的是（ ）A. 若對所有自然數 ， 滿足 ，則正項級數 收斂；n0a1n1naB. 若對所有自然數 ， 滿足 ，則正項級數 收斂；nna1nC. 若正項級數 收斂，則 ；1na0limnD. 若 單調減，且級數 發(fā)散，則級數 收斂。0n1)(nna1)(nna2、填空題（每題 5 分，共 25 分）6.方程 的通解為_。xey27.級數 的和為 _。1)(nn8.設 是連續(xù)函數， 是由直線 與 軸、 軸所圍成的平面,yxfD1yxy域。已知關系式 成立，則積分0),(),(2)1(Defdxyf_。Ddxyf),(9.積分 _。02dxex10.積分 _。102)(nn3、解答題（每題 8 分，共 40 分）11.設 是由 確定的隱函數，求 和 。)(xyxyyxarctnln2dxy212.計算 ，其中 是球面 和 所圍VzdVaz22az2成的空間區(qū)域， 為常數。0a13. （1）將 展開成帶皮亞諾余項的三階麥克勞林公式；xyrcsin（2）對 ，證明：存在 ，使得 ；1b),0(bbarcsin12（3）求極限 ，其中 由（2）確定。b0lim14.利用歐拉積分及 函數的余元公式 )sin()1(s計算積分 ，其中常數 滿足 。)10(sbapdx)(p1015.設第二型曲線積分 與路徑L xyxy dedefyf )()0(22無關。（1）求 ；)(xf（2）求 。 3,2)0( 22 )()0( dyxeydxyefy4、解答與證明題（每題 12 分，共 60 分）16.求點 到曲面 的最短距離，并作幾何解釋。)1,7(2yxz17.設 是二次連續(xù)可微函數，并設向量場xf是無旋場。kyjzfxiyfxfzv )1()0)()0 （1）求未知函數 所滿足的微分方程初值問題；（2）求解（1）中的初值問題。18.設 ， ， ，232)(czbyaxP232)(czbyaxQ232)(czbyaxR。求第二型曲面積分 ，其中 由球面kRjQivSdPdS與拋物面 所圍成的有界區(qū)域，外側。122zyx 12yxz19.設 。xf)()0（1）將 展開成以 為周期的傅里葉余弦級數；)(xf2（2）利用（1）中結果求積分 ；20ln1dx（3）利用（1）中結果求級數和 。14n20.設 在區(qū)間 上有連續(xù)的導函數，試證明：)(xfba,（1） ； badxff 22)()（2） 。badxfx)(1(ma中國科學院中國科技大學2007 年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試卷試卷名稱：高等數學（A）考生須知：1.本試卷滿分 150 分，全部考試時間總計 180 分鐘。2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。_一、填空題（本題 5 小題，每小題 5 分，滿分 25 分）1.設 ，則 _。0adxa22.設 是曲面 上的一點，曲面在 點處的切平面平行于平面Pyz P，則 點的坐標為_。793yx3.設 ： ， ，則二重積分 的值等于D2x1yDdxyysin_。4.方程 的通解為_。0y5. _。13)(n2、單項選擇題（本題共 5 小題，每小題 5 分，滿分 25 分）1. （ ）nndx20)(limA. B. C. D. 122. （ ）xttf02)6(5)(A. 有極值點 和拐點 ； B. 有極值點 和拐點 ；65C. 和 都是 的極值點； D. 沒有拐點。)(f )(xf3. 積分 （ ）02sindxA. B. C. D. 010sindx20)sin(x4.設二元函數 可微， ， ，則 等于（ ),(yxf 2),(xffx2),( ,2fy）A. B. C. D. 無法確定 105.設曲線 ： ，則（ ）L3722zyxA. B. 62Ldl 52LdlyC. D. 4z 3x3、 （本題 5 小題，每小題 8 分，滿分 40 分）1.求積分 。102)(lndx2.設曲面塊 是上半球面 被柱面 所截下的部分，S)0(122zyxy2上有一物質分布其密度為 ，求曲面上該物質的重量。S3.設 ，向量 ，其中 ， 是 ， 軸上指xytt deeyz00)()( 22),( jilijxy向正方向的單位向量，求 。)1,(lz4.將 展開成 的冪級數，并求它的收斂域。232xx5.設 ，試將積分 用歐拉積分表示，并根據 函數的babandx1)( 余元公式 ， 算出以上積分的值。)sin()1(xx04、 （本題 5 小題，每小題 12 分，滿分 60 分）1.設函數 ，求 在平面閉區(qū)域 上的最大值與xyu6),(),(u13)(2yx最小值。2.計算積分 ，其中 是球面L dzyzd)()()(222 L與平面 的交線， 的方向與 軸正向成右手系。22azyx0zyxLz3.（1）試構造一個齊次的二階線性微分方程 ，使它以 ，0)(yxqpyx為基本