中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 高考“等差乘等比型”數(shù)列求和試題的命制方向 把 握 命題方向 求數(shù)列 n 項(xiàng)和 中 ,等差數(shù)列 ,等比數(shù)列 )是高考熱度最高的問(wèn) 題 ,把握該類試題的命題方向 ,建構(gòu)解決問(wèn)題的適當(dāng)模式是十分必要的 . 母題結(jié)構(gòu) :求數(shù)列 n 項(xiàng)和 中 ,等差數(shù)列 ,等比數(shù)列 )的命題方向 . 解 題 程序 :基本 的命題方向有 :隱含 等差數(shù)列 等比數(shù)列 除常見的直接限定 等差數(shù)列 等比數(shù)列 方法外 ,還有設(shè)定某程序生成 等差數(shù)列 等比數(shù)列 生成 隱含 和以遞推關(guān)系 限定 數(shù)列 的 遞推 隱含 ;拓展用場(chǎng) :用 數(shù)列 的求和性質(zhì)拓展 :求數(shù) 列 其中 ,等差數(shù)列 ,等比數(shù)列 )和 其中 ,等差數(shù)列 ,等比數(shù)列 ,可求和的 數(shù)列 )等 的 前 n 項(xiàng)和 . 子題類型 :(2010 年安徽 高考試題 )設(shè) 2, ,是坐標(biāo)平 面上的一列圓 ,它們的圓心都在 x 軸的正半軸上 ,且都與直線 y=33x 相切 ,對(duì)每一個(gè)正整數(shù) n,圓 n+1相互外切 ,以 已知 遞增數(shù)列 . ( )證明 :等比數(shù)列 ; ( )設(shè) ,求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 . 解析 :( )設(shè)圓 n,直線 n,過(guò)點(diǎn) 于 則 :|=rn+,|H|=l = =6,由 =| | 11C11 nn nn 21 =3以 公比 q=3的等比數(shù)列 ; ( ),由 ( )得 :n(31 ) an+b)(31)得 n(31) 31)n=11r +22r +( +(9 -(23 n+49 )(31 )n. 點(diǎn)評(píng) :設(shè)定某程序生成等差數(shù)列 等比數(shù)列 有廣泛的命題空間 ,它不僅可以代數(shù) 的、幾何的等生成 ,而且它還可以實(shí) 際 問(wèn) 題 為背景構(gòu)造具有應(yīng)用性質(zhì)的符合高考的試題 . 子題類型 :(2008 年安徽高考試題 )設(shè)數(shù)列 足 :a1=a,=-c,nN*, 其中 a,c 為實(shí)數(shù) ,且 c0. ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) a=21,c=21,bn=n(1nN*, 求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 解析 :( )由 =-1=c( +( )由 ( )知 bn=n(1-a)n(21)n;由 x+ +1x 邊求導(dǎo)得 :1+2x+ +11( 1x)1( 1x 21+2(21)2+3(21)3+ + n(21)n=211+2(21)+3(21)2+ + n(21)-(n+2)(21)n+2. 點(diǎn)評(píng) :用 遞推關(guān)系 (通項(xiàng)之間的關(guān)系 ,通項(xiàng)與前 隱含 數(shù)列 是數(shù)列研究的主題 ,也是命制此類試題的常用方法 ;命制時(shí)逆向而行 ,如 an+b)=an+an+b)=(an+a+b) 子題類型 :(2008 年廣東高考試題 )設(shè)數(shù) 列 足 :,1(n=3,4,5, ) 足 :, bn(n=2,3,4, )是非零整 數(shù) ,且 對(duì) 任意的正整 數(shù) m 和自然 數(shù) k,都有 :bm+ +bm+k 1. ( )求 數(shù) 列 通 項(xiàng) 公式 ; ( )記 cn=n=1,2,3, ),求 數(shù) 列 前 n 項(xiàng) 和 解析 :( )由 1( 2(且 ,所以 ,數(shù) 列 以 1 為 首 項(xiàng) ,公比 為32的等比數(shù) 列 32)an=( +(1+1+(32)+(32)2+ +(32)+532)8- 53(32) 11 111220 1,由 11 11133b b 0 1 ,同理可得 -1)( )cn=n582)-1)8n(-1)2) x+ +1x 邊求導(dǎo)得 :1+2x+ +11)1( 1x)1( 1x 數(shù) 列 n(-1)前 =41-(21n+41)(-1)n,數(shù) 列 n(32)前 =9-(3n+9)(32)n 8 41-(21n+41)(-1)n-(3n+9)(32)n=53(3n+9)(32)n+1)(-1)點(diǎn)評(píng) :若 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和分別為 n,則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 =用該求和性質(zhì)可有效拓展其應(yīng)用范圍 ,如可與等差、等比 數(shù)列 的求和公式、與裂項(xiàng)求和方法結(jié)合等 . 1.(2009年湖北高考試題 )已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 1)(n 為正整數(shù) ). ( )令 證數(shù)列 等差數(shù)列 ,并求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )令 cn=n=c1+ +比較 并予以證明 . 2.(2009年 江西 高考試題 )數(shù)列 通項(xiàng) an=n2(n),其前 n 項(xiàng)和為 ( )求 ( )令 bn=求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 3.(2011 年四川 高考試題 )設(shè) an= +(n N*). ( )寫出 a1,a2,判斷 否為等比數(shù)列 ?若是 ,給出證明 ;若不是 ,說(shuō)明理由 ; ( )設(shè) bn=n N*),求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 4.(2010年 四 川 高考試題 )已知數(shù)列 足 ,且對(duì)任意 m,n N*都有 am+(. ( )求 a3, ( )設(shè) bn=n N*),證明 :等差數(shù)列 ; ( )設(shè) q 0,n N*),求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 ( )an=n(21)n;( )-(n+3)(21)n. ( )當(dāng)