中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 空間向量的基本問題 空間向量的基本運算 空間向量的定義、表示、運算意義、運算法則和運算律等均與平面向量類似 ,學(xué)習(xí)、理解、認識空間向量最有效的途徑是與平面向量進行類比 . 母題結(jié)構(gòu) : 平面向量 空間向量 向量的坐標 a=(x,y); 若 A(x1,B(x2,則 ( 向 量的坐標 a=(x,y,z); 若 A(x1,y1,B(x2,y2,則 ( 向量的運算 :若 a=(x1,b=(x2,a b=(x2, a=( R) a.b=向量的運算 :若 a=(x1,y1,b=(x2,y2, 運算 :a b=(x2,y2, a=( R) a.b=基本結(jié)論 :a=(x1,b=(x2,b x1:x2=y1:b ; 3.|a|= 2121 ;22221212121 基本結(jié)論 :a=(x1,y1,b=(x2,y2, b x1:x2=y1:y2=z1:b 3.|a|= 212121 ;22222212121212121 解 題 程序 :空間向量與平面向量類似有三種表示向量的方法 :解析向量 (用坐標方式表示的向量 );幾何向量 (用始點和終點表示的向量 );自由向量 (用小寫字母表示的向量 );在高考中 ,存在對應(yīng)的三類基 本 問題 , 子題類型 :(2014 年 廣東 高考試題 )已知向量 a=(1,0,則下列向量中與 a 成 600夾角的是 ( ) (A)(,0) (B)(1,) (C)(0,) (D)(,1) 解析 :設(shè)所求向量 b=(x,y,z),由 a|b|xz,且 2(=x2+y2+B). 點評 :空間向量 與平面向量 的區(qū)別是 解析形式 ,即坐標表示 ,平面向量 是 二維 坐標 ,空間向量 則是三 維 坐標 ,但其運算法則 及 基本結(jié)論 等 都是 類 似 的 . 子題類型 :(2001 年 上海 高考試題 )如圖 ,在平行六面體 M 為 交點 ,若 11a, 11b, 等的向量是 ( ) (A)1b+c (B)21a+21b+c (C)21c (D)c 解析 :由 M 為 中點 21( =21(a+c)+(b+c) 111b+A). 點評 :空間向量 的 幾何 向量 與平面向量 的表示和運算 完全 相同 ,僅表現(xiàn)在 幾何圖形的拓展上 ;平行四邊形可直觀表 現(xiàn)兩個向 量 加、減運算的幾何意義 ,而直觀表 現(xiàn) 三個向 量 加、減運算幾何意義的基本模型是 平行六面體 . 子題類型 :(2015 年 浙江 高考試題 )已 知 e1,空間向量 b 滿足 ,對于任意 x,y R,|b-( |b-(=1(x0,R),則 ,|b|= . 解析 :如圖 ,令 B =M =N =C =P =b,則 b-(由 |b-( |b-(=1 當(dāng) |=1 時 ,面 時 ,由 b=( CP e1,CP 2=15=21x0+, |=1,|=2 |= 7 |b|=|=2 2 . 點評 :對 空間自由向量 ,通過 賦予 自由向量 的幾何意義 ,然后在立體圖形中解決相關(guān)問題 ,這是一個有效的方法 ;在本題中 ,構(gòu)造 向量 b-(并由此給出模不等式 的幾何意義 是上述解法中最為精彩之處 . 1.(2008 年 課標 高考試題 )已知向量 a=(0,),b=(4,1,0),| a+b|= 29 ,且 0,則 = . 2.(2010 年 廣東 高考試題 )若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件 (2b)= x= . 3.(2010 年復(fù)旦 大學(xué) 保送生考試 試題 )設(shè) 非零向量 a=(a1,a2,b=(b1,b2,c=(c1,c2,共面向量 ,x=(x1,x2,未知向量 ,則滿足 ,的向量 x 的個數(shù)是 ( ) (A)1個 (B)無窮多個 (C)0個 (D)不能確定 4.(2007年安徽高考試題 )在四面體 a,b,c,則 (用 a,b,. 5.(2012 年 陜 西 高考試題 )如圖 ,在空間直角坐標系中有直三棱柱 A=直線 直線 ) (A)55(B)35(C)552(D)536.(2012 年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建 初賽試題 )已知四面體 個頂點的坐標分別為 A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1), D(0,0,0),則直線 平面 成角的正弦值為 ( ) (A)31(B)33(C)32(D)367.(2008年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東 初賽試題 )在四棱錐 P (4,),(,0),(,則這 個四棱錐的高 h=( ) (A)1 (B)2 (C)13 (D)26 8.(2001年 課程 高考試題 )如圖 ,以正四棱錐 為坐標原點建立空間直角坐標系 其中 y 為 中點 ,正四棱錐底面邊長為 2a,高為 h. ( )求 )記面 ,面 ,若 平面角 ,求 9.(2003 年 上海 春招 試題 )已知三棱柱 某個空間直角坐標系中 ,(2m,), (m,0,0), 1(0,0,n)(其中 m、 n0) ( )證明 :三棱柱 ( )若 m= 2 n,求直線 1 10.(1995 年 上海 高考試題 )如圖 ,在空間 直角坐標系中 ,原點 O 是 中 點 ,點 A 的坐標是 (23,21,0),點 D 在平面 ,且 00, 00. ( )求向量 坐標 ; ( )設(shè)向量 夾角為 ,求 值 . 10.(2000年 上海 春招 試題 )四棱錐 底面 (2,4),(4,2,0),(, ( )求證 :面 ( )求四棱錐 體積 ; ( )對于向量 a=(x1,y1,b=(x2,y2,c=(x3,y3,定義一種運算 :(a b)c=計算 ( 絕對值的值 ;說明其與四棱錐積的關(guān)系 ,并由此猜想向量這一運算 ( 絕對值的幾何意義 . 由 | a+b|= 29 42+(1)2+ 2=29 =3. 由 (2b)=(0,0,12,4,2)=x=2. 3,解 :由 向量 x 是 a,b,c 所在