中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 過(guò)二次曲線與直線交點(diǎn)的圓系方程 利用圓系方程妙 解 四點(diǎn)共圓 問(wèn)題 二次曲線 G 上的 四點(diǎn)共圓 問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn) 題 ,利用曲 線 系思想可妙解 四點(diǎn)共圓 問(wèn)題 ,為此 ,構(gòu)造 圓系方程 如下 . 母題結(jié)構(gòu) :設(shè)二次曲線 G:dx+ey+f=0與直線 mx+ny+p=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ,則過(guò)這兩點(diǎn)的圓系方程為 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(t)=0,這里 =22 nm , 母題 解 析 :一般情況下 ,圓與 二次曲線 有四個(gè)交點(diǎn) ,不妨設(shè)過(guò)另外 兩個(gè)交點(diǎn)的直線 方程為 :mx+qy+t=0,則過(guò)這四個(gè)交點(diǎn)的曲線系 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(mx+qy+t)=0,即 (a+ m2) (mq+nm)c+ nq)d+mt)x+(e+nt)y+(f+ 0,該 曲線系為 圓系 (mq+0,且 a+ m2=c+ q= =22 nm 圓系方程為 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(t)=0,這里 =22 nm , 由此還可得到 二次曲線 、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓 四邊形 兩條對(duì)角線和 兩組對(duì)邊 的傾斜角 分別 互補(bǔ) ,特別的 ,考慮 四點(diǎn)共圓 的 極限情形 (如圖 )有 :設(shè)點(diǎn) A 是 圓 錐曲線 G 上 的定點(diǎn)但不是頂點(diǎn) ,B、 C 是 G 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,直線 斜率互為相反數(shù) ,則直線 斜率為曲線 G 過(guò)點(diǎn) 定值 ); 子題類型 :(2011 年全國(guó) 高考試題 )已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,F 為橢圓 C:2y=1 在 y 軸正 半軸上的焦點(diǎn) ,過(guò) F 且斜率為 - 2 的直線 l 與 C 交于 A、 B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) P 滿足 0. ( )證明 :點(diǎn) 上 ; ( )設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q,證明 :A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓上 . 解析 :( )設(shè) A(x1,B(x2,由 F(0,1) 直線 l:y=- 2 x+1,與 2y=1聯(lián)立得 :4 x1+2 2 (x1+2=1;又由 =0 P(1)在 C 上 ; ( )由 2 直線 OQ:y= 2 x A、 P、 B、 Q 四點(diǎn) 均 在曲線 G:2x2+ ( 2 x+ 2 0 上 ;由 2x2+ ( 2 x+ 2 (2+2 )1 x+ 2+2 =1 =曲線 G:42 為圓 A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓上 . 點(diǎn)評(píng) :對(duì)于給定的圓錐曲線 G,巧妙選取兩條斜率互為相反 數(shù)的直線 ,即可構(gòu)造這 兩條 直線與 圓錐曲線 G 的四個(gè)交點(diǎn)共圓問(wèn)題 :證明四點(diǎn)共圓 ,或判斷四點(diǎn)是否共圓？對(duì)于該類問(wèn)題 :圓錐曲線 G:dx+ey+f=0,直線 l1:y=kx+m,直線 l2:y= n,則直線 錐曲線 G 的四個(gè)交點(diǎn)均在曲線 :dx+ey+f+ (m)(kx+0 上 ,當(dāng) =12k 曲線 為圓 ,由此即可 證明判斷四點(diǎn)四點(diǎn)共圓 . 子題類型 :(1993 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )設(shè) 0b0),由題知 c=1,3 a=4, 橢圓 C:42x+32y=1; ( )由 橢圓 處的切線 :x+2,設(shè)直線 EF:x+ty+m=0,則 過(guò) A、 E、 3 (x+2x+ty+m) =0 (3+ ) (2+t)4+2 (x+ (2m=0,該 曲線系為 外接 圓 (2+t)=0,且 3 + =4+2 t= =51 直線 EF:m=0 直線 斜率 k=21為 定值 . 點(diǎn)評(píng) :如果 圓錐曲線 G 上一定點(diǎn) M(x0, 兩動(dòng)點(diǎn) A、 B,則直線 斜率互為相反數(shù)等價(jià)于直線 斜率與曲線 G 在點(diǎn) M 的切線斜率互為相反數(shù) ,由此可構(gòu)造 四點(diǎn)共圓 的 第三類問(wèn)題 :或由 直線 斜率互為相反數(shù) ,求證 :直線定值 ;或由 直線 斜率與曲線 的切線斜率互為相反數(shù) ,求證 :直線 斜率互為相反數(shù) ;這互為逆命題的兩 類問(wèn)題 均可利用圓系方程巧妙解決 . 1.(2002 年河南、江蘇高考試題 )設(shè) A、 B 是雙曲線 上的兩點(diǎn) ,點(diǎn) N(1,2)是線段 中點(diǎn) .( )求直線 方程 ; ( )如果線段 垂直平分線與雙曲線相交于 C、 D 兩點(diǎn) ,那么 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)是否共圓？為什么？ 2.(2005 年湖北高考試題 )設(shè) A、 B 是橢圓 3x2+上的兩點(diǎn) ,點(diǎn) N(1,3)是線段 中點(diǎn) ,線段 垂直平分線與橢圓交于 C、 D 兩點(diǎn) . ( )確定的取值范圍 ,并求直線 方程 ; ( )試判斷是否存在這樣的 ,使得 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由 . 3.(2014 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽 (高二 )試題 )設(shè) A、 B 是雙曲線 線 上的兩點(diǎn) ,點(diǎn) N(1,2)是線段 中點(diǎn) ,線段 垂直平分線交雙曲線于 C、 D 兩點(diǎn) . ( )確定 的取值范圍 ; ( )試判斷 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)是否共圓？并說(shuō)明理由 . 4.(2014 年全國(guó) (大綱 )高考試題 )已知拋物線 C:px(p0)的焦點(diǎn)為 F,直線 y=4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P,與 C 的交點(diǎn)為 Q,且 |45|( )求 C 的方程 ; ( )過(guò) F 的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn) ,若 垂直平分線 l 與 C 相較于 M、 N 兩點(diǎn) ,且 A、 M、 B、 N 四點(diǎn)在同一圓上 ,求 l 的方程 . 5.(2004 年 北 京 高考 理 科 試題 )如圖 ,過(guò)拋物線 px(p0)上一定點(diǎn) P(x0,)作兩條直線分別交拋物線于 A(x1, B(x2, ( )求該拋物線上縱坐標(biāo)為2 的距離 ; ( )當(dāng) B 的斜 率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí) ,求0 21 的值 ,并證明直線 斜率是非零常數(shù) . 6.(2011 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )作斜率為31的直線 l 與橢圓 C:362x+42y=1 交于 A,B 兩 點(diǎn) (如圖所示 ),且 P(3 2 , 2 )在直線 l 的左上方 . ( )證明 : 內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上 ; ( )若 00,求 面積 . ( )設(shè) A(x0,則 B(2由 2,2(2-(4=2 =0 點(diǎn) =0上 ,同理可得 :點(diǎn) B 也在直線 =0 上 直線 AB:=0; ( )由 直線 CD:(即 x+ A、 B、 C、 D 四點(diǎn) 均 在曲線 G:(2 ()(x+0,即 (2+ )+ )x+4 2=0 上 ,當(dāng) =曲線 G 為圓 :(x+3)2+(=40 A、 B、 C、 ( )由 點(diǎn) N(1,3)是線段 點(diǎn) N(1,3)在橢圓內(nèi) 3+32= 的取值范圍是 (12,+ );設(shè) A(x0,則 B(2由 3 ,3(2+(6= x0+ 點(diǎn) A 在直線 x+ 上 ,同理可得 :點(diǎn) B 也在直線 x+=0 上 直線 AB:x+; ( )由 直線 CD: =0 A、 B、 C、 D 四點(diǎn) 均 在曲線 G:(3x2+t(x+)=0,即 (3+t)(1-t)0 上 ,當(dāng) = ,曲線 G 為圓 :x2+y2+0 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓 . ( )設(shè) A(x0,則 B(2由 2 ,2(2-(4= =0 點(diǎn) A 在直線 =0 上 ,同理可得 :點(diǎn) B 也在直線 =0 上 直線 AB:=0 直線 CD:x+;將 =0 代入 得 :+1)=0 4+4(2 +1)0 理 將 x+ 代入 得 : 0 的取值范圍 是 () (0,+ ); ( )由 A、 B、 C、 D 四點(diǎn) 均 在曲線 G:(2+t()(x+0,即 (2+t)+t)0 上 ,當(dāng) t=曲線 G 為圓 :(x+3)2+(=4( +9) A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓 . ( )設(shè) Q(),代入 x0=|p;由 |45|p=45p=2 C:x; ( )由 F(1,0),設(shè)直線 AB:,直線 MN:x+ky+t=0,則過(guò) A、 M、 B、 N 四點(diǎn)的曲線系 : (x+ky+t)=0,即 (1- k) t+k2),該 曲線系 為圓 (0,且 k=1- k k= 1, =21 直線 l:y= (還可求 直線 圓 :x2+t+1) 圓心 T(29t, (t+1);由 圓心 N:x+ky+t=0 上 t=直線 MN:x ). ( )當(dāng) y=2x=8p,又拋物線 準(zhǔn)線方程為 x=拋物線定義得 所求距離 =8p+2p=85p; ( )由 01 01 +02 02 =0012 yy p +022 yy p =00 21 = 拋物線 點(diǎn) P(x0,切線 :,設(shè)直線 AB:t=0,則 過(guò) A、 B、 P 三點(diǎn)的曲線系 : (t)=0 p+1+ y0)y2+p (t+2y+ ,該 曲線系為 外接 圓 (p+0,且 + k= ( )設(shè) 直線 PA:y=B:y=中 ,3 2 k1+2 ,3 2 k2+2 ,則過(guò) A、 B、 P 三點(diǎn)的曲線系 :46 (0 (4+ k1+k2)36+ ) (m1+m2) ,該 曲線系為 外接 圓 (k1