第二輪 中考題型突破 專(zhuān)題六 代數(shù)與幾何綜合 【 題型 1】 以二次函數(shù)為母圖，結(jié)合三角形、四邊形等圖形知識(shí) 【 例 1】 （ 2015重慶市 ）如圖，拋物線 y=x+3 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) C 關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線 y 軸相交于點(diǎn) E. （ 1）求直線 解析式； （ 2）如圖，直線 方的拋物線上有 一點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) F 作 點(diǎn) G，作 行于 x 軸交直線 點(diǎn) H，求 周長(zhǎng)的最大值； （ 3）點(diǎn) M 是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn) P 是 y 軸上一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以 A， M， P， Q 為頂點(diǎn)的四邊形是 邊的矩形，若點(diǎn) T 和點(diǎn) Q 關(guān)于 在直線對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn) T 的坐標(biāo) . 思路點(diǎn)撥 ：（ 1）根據(jù)題意得出點(diǎn) A 和點(diǎn) D 的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式； （ 2）過(guò)點(diǎn) F作 直線 點(diǎn) N，得出 5 ，從而證得 H= 后設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)，求出 長(zhǎng)度，從而根據(jù)周長(zhǎng) = 得出與 m 的函數(shù)關(guān)系式，將 函數(shù)化成頂點(diǎn)式，求出最大值； （ 3）本問(wèn)分 對(duì)角線和 對(duì)角線 兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，若 對(duì)角線， 畫(huà)出圖形，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，根據(jù)圖形的 平移得出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn) Q 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) T 的坐標(biāo)，若 對(duì)角線，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，得到點(diǎn) P 的坐標(biāo)，根據(jù)平移得到點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn) Q 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) T 的坐標(biāo) . 22222(1) 當(dāng) y=0時(shí)， x+3=0，解得 1， . 點(diǎn) A(0)， B(3， 0). 當(dāng) x=0 時(shí)， y=3， C(0， 3). 當(dāng) y=3 時(shí)， x+3=3. 解得 ， D(2， 3). 設(shè)直線 解析式為 y=kx+b, 得 解得 直線 解析式為 y=x+1. ，032 ，(2) 過(guò)點(diǎn) F 作 x 軸的垂線，交直線 點(diǎn) N， 由直線 y=x+1與 y 軸交于點(diǎn) E，易得 E(0， 1). 在 ， E， 5 . 5 . 在 ， H= 又 在 ， H. 設(shè) F(m， m+3)，則 N(m,m+1)， m+3-(m+1)=m+2，則 周長(zhǎng)為 故 最大周長(zhǎng)為 2221 9 9 22 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( ) F N m 9 9 3）若 對(duì)角線，如圖 1. 易證 解得 . ， P(0， ). 看成是由 移得到的，由點(diǎn) 的平移可知 Q( ). 點(diǎn) Q 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) T 的坐標(biāo) 為（ 0， - ） . 若 對(duì)角線， 如圖 2. 同理可知 P(0， - )， Q(2， )，故點(diǎn) Q 關(guān)于直線 T(0， ). ，M S P M R1292921212127292【 題型 2】 以三角形、四邊形為母圖，結(jié)合二次函數(shù)等函數(shù) 【 例 2】 （ 2015衡陽(yáng)市 ）如圖，四邊形 邊長(zhǎng)為4 的正方形，點(diǎn) P 為 上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) O， A 重合），連接 點(diǎn) P 作 點(diǎn) D，且 P，過(guò)點(diǎn) M 作 點(diǎn) N，連接 OP=t （ 1）求點(diǎn) M 的坐標(biāo)（用含 t 的代數(shù)式表示） （ 2）試判斷線段 長(zhǎng)度 是否隨點(diǎn) P 的位置的變化而改 變？并說(shuō)明理由 （ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 面積最小 解： (1) 作 x 軸于 E，如圖所示， 則 0 ， 0 四邊形 正方形， 0 ， C=C=4， 5 . 0 0 在 ， O=t， C=4 OE=t+4 點(diǎn) t+4， t） ，90 P O E （ 2）線段 長(zhǎng)度不發(fā)生改變 理由如下：連接 圖所示 0 ， 四邊形 矩形 又 C= O=t= 四邊形 正方形 5 = 四邊形 平行四邊形 A=4 線段 長(zhǎng)度不發(fā)生改變 . （ 3） 四邊形 面積 S 是 t 的二次函數(shù) 0， S 有最小值，即當(dāng) t=2 時(shí)， S 的值最小 . 當(dāng) t=2 時(shí)，四邊形 面積最小 ， 即 4 A P A D E P t21 t t 22114 ( ) 4 A B A D t t t t 221 1 1 14 ( 4) ( 2) 6 4 2S M N B D t t t 12【 題型 3】 函數(shù)與圓的綜合題 【 例 3】 （ 2015濟(jì)寧市 ）如圖， E 的圓心 E(3， 0)，半徑為 5， E 與 y 軸相交于 A， B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的上方），與 x 軸的正半軸交于點(diǎn) C，直線 l 的解析式為 y= x+4，與 x 軸相交于點(diǎn) D，以點(diǎn) C 為頂點(diǎn)的拋物線過(guò) 點(diǎn) B （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）判斷直線 l 與 E 的位置 關(guān)系，并說(shuō)明理由； （ 3）動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線上，當(dāng)點(diǎn) P 到直線 l 的距離最小時(shí)，求出 點(diǎn) P 的坐標(biāo)及最小距離 34 思路點(diǎn)撥 ： （ 1）連接 已知得： E=5， ，利用勾股定理求出 長(zhǎng)，結(jié)合垂徑定理求出 長(zhǎng)，從而得到 C 點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的解析式； （ 2）求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ ， 0），根據(jù) 求出 0 ，判斷出直線 l 與 E 相切于 A （ 3）過(guò)點(diǎn) P 作直線 l 的垂線段 足為 Q，過(guò)點(diǎn) P 作直 線 直于 x 軸，交直線 l 于點(diǎn) M設(shè) M(m， m+4)， P(m， m2+得到 根據(jù) 三個(gè)內(nèi)角 固定不變，得到 從而得到最小距離 16334116 231 4 ( 4)4 1 6P M m m m ，221 1 1 3 18 ( 2)1 6 4 1 6 4m m m ，3 1 4 3 14 5 5解： (1) 如圖，連接 已知得 E=5， . 在 ，由勾股定理得， 由垂徑定理得， A=4， E+5=8 A(0， B(0， C(8， 0) 拋物線的頂點(diǎn)為 C， 設(shè)拋物線的解析式為 y=a( 將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入解析式，得 64a= a= y= ( 拋物線的解析式為 y= x2+116116 1162 2 2 25 3 4 A E O E （ 2）在直線 l 的解析式 y= x+4 中，令 y=0，得 x+4=0，解得 x= 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ ， 0） 當(dāng) x=0 時(shí)， y=4， 點(diǎn) A 在直線 l 上 在 ， 0 ， 0 ， 0 ，即 0 因此，直線 l 與 E 相切于 A. 343416 63， ，3344O E O O D O O D（ 3）如圖，過(guò)點(diǎn) P 作直線 l 的垂線段 足為 Q， 過(guò)點(diǎn) P 作直線 直于 x 軸，交直線 l 于點(diǎn) M. 設(shè) M(m， m+4)， P(m， m2+則 當(dāng) m=2時(shí)， 得最小值 ， 此時(shí)， P(2， ) 34116，222314 ( 4 )4 1611816 41 31( 2