2017 年廣西南寧市高考數學一模試卷（理科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=x|x 0， B=x| 3 x 4，則 A B 等于（ ） A（ 5， 0） B（ 3， 0） C（ 0， 4） D（ 5， 4） 2已知復數 z 滿足 = （ a R），若 z 的虛部為 3，則 z 的實部為（ ） A 1 B 1 C 3 D 5 3某儀器廠從新生產的一批零件中隨機抽取 40 個檢測，如圖是根據抽樣檢測后零件的質量（單位：克）繪制的頻率分布直方圖，樣本數據分 8 組，分別為 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94）， 94，96，則樣本的中位數在（ ） A第 3 組 B第 4 組 C第 5 組 D第 6 組 4已知數列 足： = ，且 ，則 于（ ） A B 23 C 12 D 11 5已知角 的終邊過點（ 2 1， a），若 則實數a 等于（ ） A B C D 6執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入 k 的值為 3，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 7已知非零向量 、 滿足 | |=| +2 |，且 與 的夾角的余弦值為 ，則等于（ ） A B C D 2 8如果實數 x， y 滿足約束條件 ，則 z=3x+2y+ 的最大值為（ ） A 7 B 8 C 9 D 11 9如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 10已知函數 f（ x） = 設 m n 1，且 f（ m） =f（ n），則mf（ m）的最小值為（ ） A 4 B 2 C D 2 11已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左焦點為 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐標原點，若四邊形 平行四邊形，且四邊形 雙曲線 C 的離心率為（ ） A B 2 C 2 D 2 12已知函數 f（ x） = 6x 3， g（ x） =212x+9， m 2，若 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，則 m 的最小值為（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13（ +3）（ ） 5 的展開式中的常數項為 14已知拋物線 C： p 0）的焦點為 F，點 M（ 2 ）是拋物線 C 上一點，圓 M 與 y 軸相切且與線段 交于點 A，若 =2，則 p= 15我國古代數學著作九章算術有如下問題： “今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？ ”意思是： “現有一根金杖，長 5 尺，一頭粗，一頭細在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在細的一端截下 1尺，重 2 斤；問依次每一尺各重多少斤？ ”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重 量為 M，現將該金杖截成長度相等的 10 段，記第 i 段的重量為 i=1， 2， ，10），且 48M，則 i= 16在長方體 ，底面 邊長為 3 的正方形， ， 1一點，若二面角 A E 的正切值為 3，則三棱錐 A 接球的表面積為 三、解答題 17在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 為銳角， c= ， ， 求 面積 18某中學是走讀中學，為了讓學生更有效率利用下午放學后的時間，學校在本學期第一次月考后設立了多間自習室，以便讓學生在自習室自主學習、完成作業(yè)，同時每天派老師輪流值班在本學期第二次月考后，高一某班數學老師統(tǒng)計了兩次考試該班數學成績優(yōu)良人數和非優(yōu)良人數，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設立自習室 25 15 40 設立自習室 10 30 40 總計 35 45 80 （ 1）能否在在犯錯誤的概率不超過 前提下認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2）設從該 班第一次月考的所有學生的數學成績中任取 2 個，取到優(yōu)良成績的個數為 X，從該班第二次月考的所有學生的數學成績中任取 2 個，取到優(yōu)良成績的個數為 Y，求 X 與 Y 的期望并比較大小，請解釋所得結論的實際意義 下面的臨界值表供參考： P（ 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19如圖，在四棱錐 A ， 底面 60， （ 1）若 F 是 中點，求證： 平面 （ 2）若 E，求 平面 成角的正弦值 20已知 c， 0）、 c、 0）分別是橢圓 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦點，點 P（ 2， ）是橢圓 G 上一點，且 | |a （ 1）求橢圓 G 的方程； （ 2）設直線 l 與橢圓 G 相交于 A、 B 兩點，若 ，其中 O 為坐標原點，判斷 O 到直線 l 的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由 21已知函數 f（ x） =x a R） （ 1）討論函數 f（ x）在定義域內的極值點的個數； （ 2）設 g（ x） = ，若不等式 f（ x） g（ x）對任意 x 1， e恒成立，求a 的取值范圍 請考生在第 22、 23 題中任選一題作答，如果多做，按所做的第一題計分 .選修4標系與參數方程 22已知曲線 C 的極坐標方程為 =4極點為原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系，設直線 l 的參數方程為 （ t 為參數） （ 1）求曲線 C 的直角坐標方程與直線 l 的普通方程； （ 2）設曲線 C 與直線 l 相交于 P， Q 兩點， 以 一條邊作曲線 C 的內接矩形，求該矩形的面積 選修 4等式選講 23設實數 x， y 滿足 x+ =1 （ 1）若 |7 y| 2x+3，求 x 的取值范圍； （ 2）若 x 0， y 0，求證： 2017 年廣西南寧市高考數學一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=x|x 0， B=x| 3 x 4，則 A B 等于（ ） A（ 5， 0） B（ 3， 0） C（ 0， 4） D（ 5， 4） 【考點】 交集及其 運算 【分析】 求出關于 A 的解集，從而求出 A 與 B 的交集 【解答】 解： A=x|x 0=x|x 5 或 x 0， B=x| 3 x 4， A B=x|0 x 4， 故選： C 2已知復數 z 滿足 = （ a R），若 z 的虛部為 3，則 z 的實部為（ ） A 1 B 1 C 3 D 5 【考點】 復數代數形式的乘除運算 【分析】 把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由 z 的虛部為 3 求得 a 值，則答案可求 【解答】 解： = ， =（ 2+ 1 i） =2+a+（ a 2） i， a 2= 3，即 a= 1 實部為 2+a=2 1=1 故選： B 3某儀器廠從新生產的一批零件中隨機抽取 40 個檢測，如圖是根據抽樣檢測后零件的質量（單位：克）繪制的頻率分布直方圖，樣本數據分 8 組，分別為 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94）， 94，96，則樣本的中位數在（ ） A第 3 組 B第 4 組 C第 5 組 D第 6 組 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 根據頻率分布直方圖求出前 4 組的頻數為 22，且第 四組的頻數 8，即可得到答案 【解答】 解：由圖可得，前第四組的頻率為（ 2= 則其頻數為 40 2，且第四組的頻數為 40 2=8， 故中位數落在第 4 組， 故選： B 4已知數列 足： = ，且 ，則 于（ ） A B 23 C 12 D 11 【考點】 等比數列的通項公式 【分析】 數列 足： = ，可得 +1=2（ ），利用等比數列的通項公式即可得出 【解答】 解： 數列 足： = ， +1=2（ ），即數列 是等比數列，公比為 2 則 =22（ ） =12，解得 1 故選： D 5已知角 的終邊過點（ 2 1， a），若 則實數a 等于（ ） A B C D 【考點】 任意角的三角函數的定義 【分析】 利用二倍角公式化簡，再利用正弦函數的定義，建立方程，即可得出結論 【解答】 解： 2 1= ， 2 ， 角 的終邊過點（ 2 1， a）， = ， a= ， 故選 B 6執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入 k 的值為 3，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 n， S 的值，當 n=5， S=15時，不滿足條件 S 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 15，即可得解 【解答】 解：模擬程序的運行，可得 k=3， n=1， S=1 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=2， S=3 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=3， S=6 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=4， S=10 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=5， S=15 此時，不滿足條件 S 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 15 故選： B 7已知非零向量 、 滿足 | |=| +2 |，且 與 的夾角的余弦值為 ，則等于（ ） A B C D 2 【考點】 平面向量數量積的運算 【分析】 由向量的平方即為模的平方可得 = 2，再由向量的夾角公式：， = ，化簡即可得到所求值 【解答】 解：非零向量 、 滿足 | |=| +2 |， 即有（ ） 2=（ +2 ） 2， 即為 2+ 2 2 = 2+4 +4 2， 化為 = 2， 由 與 的夾角的余弦值為 ， 可得 ， = = = ， 化簡可得 =2 故選： D 8如果實數 x， y 滿足約束條件 ，則 z=3x+2y+ 的最大值為（ ） A 7 B 8 C 9 D 11 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移直線，得到最優(yōu)解，求出斜率的最值，即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式對應的平 面區(qū)域（陰影部分）， 由 u=3x+2y，平移直線 u=3x+2y，由圖象可知當直線 u=3x+2y 經過點 A 時，直線u=3x+2y 的截距最大，此時 u 最大 而且 也恰好是 連線時，取得最大值， 由 ，解得 A（ 1， 2） 此時 z 的最大值為 z=3 1+2 2+ =9， 故選： C 9如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長寬高分別為 4， 3， 3 的長方體，切去一半得到的，進 而得到答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長寬高分別為 4， 3， 3的長方體， 切去一半得到的，其直觀圖如下所示： 其體積為： 4 3 3=18， 故選： C 10已知函數 f（ x） = 設 m n 1，且 f（ m） =f（ n），則mf（ m）的最小值為（ ） A 4 B 2 C D 2 【考點】 函數的最值及其幾何意義；分段函數的應用 【分析】 做出 f（ x）的圖象，根據圖象判斷 m 的范圍，利用基本不等式得出最小值 【解答】 解：做出 f（ x）的函數圖象如圖所示： f（ m） =f（ n）， m n 1， 1 m 4， m） =m（ 1+ ） =m+ 2 當且僅當 m= 時取等號 故選： D 11已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左焦點為 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐標原點，若四邊形 平行四邊形，且四邊形 雙曲線 C 的離心率為（ ） A B 2 C 2 D 2 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 設 M（ 0，由四邊形 平行四邊形，四邊形 ，丨 = b，代入雙曲線方程，由離心率公式，即可求得雙曲線 C 的離心率 【解答】 解：雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）焦點在 x 軸上， 設 M（ 0，由四邊形 平行四邊形， ， 四邊形 面積為 丨 c= 丨 = b， M（ ， b）， 代入雙曲線可得： =1，整理得： ， 由 e= ， 2，由 e 1，解得： e=2 ， 故選 D 12已知函數 f（ x） = 6x 3， g（ x） =212x+9， m 2，若 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，則 m 的最小值為（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 【考點】 函數的最值及其幾何意義 【分析】 利用導數先求出函數 g（ x）的最小值，再根據函數 f（ x）的圖象和性質，即可求出 m 的最小值 【解答】 解： g（ x） =212x+9， g（ x） =6x 12=6（ x+2）（ x 1）， 則當 0 x 1 時， g（ x） 0，函數 g（ x）遞減， 當 x 1 時， g（ x） 0，函數 g（ x）遞增， g（ x） g（ 1） =2， f（ x） = 6x 3=（ x+3） 2+6 6， 作函數 y=f（ x）的圖象，如圖所示， 當 f（ x） =2 時，方程兩根分別為 5 和 1， 則 m 的最小值為 5， 故選： A 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13（ +3）（ ） 5 的展開式中的常數項為 40 【考點】 二項式定理的應用 【分析】 把（ ） 5 按照二項式定理展開，可得（ +3）（ ） 5 的展開式中的常數項 【解答】 解：（ +3）（ ） 5 =（ +3）（ 2x+ 4 8x 2+ 16 32x 5）， 故展開式中的常數項為 4=40， 故答案為： 40 14已知拋物線 C： p 0）的焦點為 F，點 M（ 2 ）是拋物線 C 上一點，圓 M 與 y 軸相切且與線段 交于點 A，若 =2，則 p= 2 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 設 M 到準線的距離為 |則 |利用 =2，得 x0=p，即可得出結論 【解答】 解：設 M 到準線的距離為 |則 | =2， x0=p， 2， p 0， p=2 故答案為 2 15我國古代數學著作九章算術有如下問題： “今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？ ”意思是： “現有一根金杖，長 5 尺，一頭粗，一頭細在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在細的一端截下 1尺，重 2 斤；問依次每一尺各重多少斤？ ”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為 M，現將該金杖截成長度相等的 10 段，記第 i 段的重量為 i=1， 2， ，10），且 48M，則 i= 6 【考點】 等差數列的通項公式 【分析】 由題意知由細到粗每段的重量成等差數 列，記為 設公差為 d，由條件和等差數列的通項公式列出方程組，求出 d 值，由等差數列的前 n 項和公式求出該金杖的總重量 M，代入已知的式子化簡求出 i 的值 【解答】 解：由題意知由細到粗每段的重量成等差數列， 記為 設公差為 d， 則 ，解得 ， d= ， 所以該金杖的總重量 M= =15， 因為 48M，所以 48 +（ i 1） =25， 即 39+6i=75，解得 i=6， 故答案為： 6 16在長方體 ，底面 邊長為 3 的正方形， ， 1一點，若二面角 A E 的正切值為 3，則三棱錐 A 接球的表面積為 35 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 如圖所示，求出三棱錐 A 接球的直徑為 ，問題得以解決 【解答】 解：過點 E 作 F，過 F 作 G，連接 則 二面角 A E 的平面角， ， =3， ， ， 則 = ， 則三棱錐 A 接球的直徑為 = ， 則其表面積為 35， 故答案為： 35 三、解答題 17在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 為銳角， c= ， ，求 面積 【考點】 正弦定理 【分析】 （ 1）根據余弦公式求出 據正弦定理求出 的值即可； （ 2）求出 值，得到 = 以及 = =2，求出 a， b 的值，求出三角形的面積即可 【解答】 解：（ 1） =3 =4， =2； （ 2）若角 C 為銳角， ， 0， = ， = ， = ， 由（ 1）得， = =2 ， 聯(lián)立 得： b= ， a=2 ， S= 2 =2 18某中學是走讀中學，為了讓學生更有效率利用下午放學后的時間，學校在本學期第一次月考后設立了多間自習室，以便讓學生在自習室自主學習、完成作業(yè)，同時每天派老師輪流值班在本學期第二次月考后，高一某班數學老師統(tǒng)計了兩次考試該班數學成績優(yōu)良人數和非優(yōu)良人數，得到如下 2 2 列 聯(lián)表： 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設立自習室 25 15 40 設立自習室 10 30 40 總計 35 45 80 （ 1）能否在在犯錯誤的概率不超過 前提下認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2）設從該班第一次月考的所有學生的數學成績中任取 2 個，取到優(yōu)良成績的個數為 X，從該班第二次月考的所有學生的數學成績中任取 2 個，取到優(yōu)良成績的個數為 Y，求 X 與 Y 的期望并比較大小，請解釋所得結論的實際意義 下面的臨界值表供參考： P（ 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗的應用；離散型隨機變量的期望與方差 【分析】 （ 1）求出 臨界值比較，即可得出能在犯錯誤的概率不超過 （ 2）求出期望，即可得出結論 【解答】 解：（ 1）由題意， = 能在犯錯誤的概率不超過 前提下認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2） X 的取值為 0， 1， 2，則 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， E（ X） =0 = Y 的取值為 0， 1， 2，則： P（ Y=0） = = ， P（ Y=1） = = ， P（ Y=2） = = ， E（ Y） = = 也即 實際含義即表明設立自習室有效 19如圖，在四棱錐 A ， 底面 60， （ 1）若 F 是 中點，求證： 平面 （ 2）若 E，求 平面 成角的正弦值 【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 點 G，連結 面 平面 可得 平面 （ 2）以點 D 為原點，建立如圖所示的直角坐標系 D A（ 0， 0， ）， E（ 0， ， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ ， ， 0）求出平面 法向量即可 【解答】 證明：（ 1）取 點 G，連結 F 是 中點， E E、 G 到直線 距離相等，則 面 平面 平面 解：（ 2）以點 D 為原點，建立如圖所示的直角坐標系 D ，則 ，取 點 C，則 ， E，則 A（ 0， 0， ）， E（ 0， ， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ ， ， 0） ， 設平面 法向量 ， ， 令 y=1，則 ， |= 平面 成角的正弦值為： 20已知 c， 0）、 c、 0）分別是橢圓 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦點，點 P（ 2， ）是橢圓 G 上一點，且 | |a （ 1）求橢圓 G 的方程； （ 2）設直線 l 與橢圓 G 相交于 A、 B 兩點，若 ，其中 O 為坐標原點，判斷 O 到直線 l 的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）根據橢圓的定義，求得丨 = a=3|根據點到直線的距離公式，即可求得 c 的值，則求得 a 的值， b2=，即可求得橢圓方程； （ 2）當直線 l x 軸，將直線 x=m 代入橢圓方程，求得 A 和 B 點坐標，由向量數量積的坐標運算，即可求得 m 的值，求得 O 到直線 l 的距離；當直線 斜率存在時，設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算，點到直線的距離公式，即可求得 O 到直線 l 的距離為定值 【解答】 解：（ 1）由橢圓的定義可知： |2a由 | |a 丨 = a=3| 則 =3 ，化簡得： 5c+6=0， 由 c a 3， c=2， 則丨 =3 = a，則 a=2 ， b2=， 橢圓的標準方程為： ； （ 2）由題意可知，直線 l 不過原點，設 A（ B（ ， 當直線 l x 軸，直線 l 的方程 x=m，（ m 0），且 2 m 2 ， 則 x1=m， ， x2=m， ， 由 ， ，即 4 ） =0， 解得： m= ， 故直線 l 的方程為 x= ， 原點 O 到直線 l 的距離 d= ， 當直線 斜率存在時，設直線 方程為 y=kx+n， 則 ，消去 y 整理得：（ 1+28=0， x1+ ， ， 則 n）（ n） =x1+， 由 ， ，故 + =0， 整理得： 388=0，即 3， 則原點 O 到直線 l 的距離 d= ， ） 2= = ， 將 代入 ，則 = ， d= ， 綜上可知：點 O 到直線 l 的距離為定值 21已知函數 f（ x） =x a R） （ 1）討論函數 f（ x）在定義域內的極值點的個數； （ 2）設 g（ x） = ，若不等式 f（ x） g（ x）對任意 x 1， e恒成立，求a 的取值范圍 【考點】 利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函 數的極值 【分析】 （ 1）先求導，再分類討論，得到函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值點的個數； （ 2）由題意，只要求出函數 f（ x） 0 即可，利用導數和函數的最值的關系，進行分類討論，即可得到 a 的范圍 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x x 0）， f（ x） =1 = ， a 0 時， f（ x） 0， f（ x）遞增， f（ x）無極值； a 0 時，令 f（ x） 0，解得： x a，令 f（ x） 0，解得： 0 x a， f（ x）在（ 0， a）遞減，在（ a， + ）遞增， f（ x）有 1 個極小值點； （ 2）若不等式 f（ x） g（ x）對任意 x 1， e恒成立， 令 h（ x） =f（ x） g（ x），即 h（ x） 最小值 0 在 1， e恒成立， 則 h（ x） =x （ a R）， h（ x） =1 = ， 當 1+a 0，即 a 1 時，在 1， e上為增函數， f（ x） f（ 1） =1+1+a 0， 解得： a 2，即 2 a 1， 當 a 1 時 當 1+a e 時，即 a e 1 時， f（ x）在 1， e上單調遞減， f（ x） f（ e） =e+ a 0，解得 a ， e 1， e 1 a ； 當 0 1+a 1，即 1 a 0， f（ x）在 1， e上