阿基米德，公元前 287 年出生在意大利西西里島的敘拉古， 11歲時(shí)在被稱為“智慧之都”的希臘中心亞歷山大城學(xué)習(xí)，他博閱群書，鉆研幾何原本 阿基米德通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演繹方法推出許多杠桿命題，并給出嚴(yán)格的證明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者，享有“力學(xué)之父”的美稱。 23 相交線與平行線 解讀課標(biāo) 在我們生活中存在大量的圖形，它們?yōu)槿祟悗頍o窮無盡的直覺源泉，相交線與平行線隨處可見，它們構(gòu)成同一平面內(nèi)兩條直線的基本位置關(guān)系，它們的性質(zhì)和位置關(guān)系是認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)其他圖形性質(zhì)的基礎(chǔ) 相交線與平行線都與角相關(guān)：兩直線相交，對(duì)頂角相等；兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ) 我們還可以用 角之間的關(guān)系來判斷兩直線是否平行 與平行線相關(guān)的問題一般都是平行線判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有以下兩方面應(yīng)用： 1 角的計(jì)算與證明； 2 兩直線位置關(guān)系的確定 問題解決 例 1 如圖，已知 E ， 90 ， 140 ， 則 _ 試一試 、 、 表面上看很難聯(lián)系起來，過 C 點(diǎn)作 E ，問題就迎刃而解了 例 2 如圖， A B C D E F G H ， G ，點(diǎn) C 在 ，點(diǎn) F 在 ，設(shè)與 相等的角的個(gè)數(shù)為 m （不包括 本身），與 互補(bǔ) 的角的個(gè)數(shù)為 n ，若 ，則 的值是 （ ） A 8 B 9 C 10 D 11 試一試 略 例 3 如圖，已知 12 ， ，求證： 試一試 從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的位置關(guān)系是解這類問題的基本思路 例 4 如圖， 兩根釘在木板上的平行木條，將一根橡皮筋固定在 A 、 C 兩點(diǎn)，點(diǎn) E 是橡皮筋上一點(diǎn)，拽動(dòng) E 點(diǎn)將橡皮筋拉緊后，請(qǐng)你探索 A 、 C 、 之間具有怎樣的關(guān)系？并說明理由 一試 這是一道結(jié)論開放的探究性問題，由于 E 點(diǎn)位置的不確定性，可引起對(duì) E 點(diǎn)不同位置的分類討論（如夾在 間或之外、內(nèi)折或外折等），這是解本例的關(guān)鍵 例 5 平面上有 7 條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點(diǎn) （ 1） 你能畫出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n 的圖形嗎？其中 n 分別為 6 ， 12， 15 （ 2） 請(qǐng)盡可能多地畫出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 分析與解 設(shè) 7 條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 n ，則 0 21n （為什么？） （ 1） 如圖， 得 到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 6 個(gè)；如圖，得到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 21 個(gè)；如圖、，得到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為 12、 15 （ 2） n 的大小直接取決于 7 條直線中互相平行的直線的數(shù)量，因?yàn)?7 條直線中可能有： 一組平行線（ 2 條； 3 條； 4 條； 5 條； 6 條； 7 條）； 二組平行線（ 2 條， 2 條； 2 條， 3 條； 2 條， 4 條； 2 條， 5 條； 3 條， 3 條； 3 條， 4 條）； 三組平行線（ 2 條， 2 條， 2 條； 2 條， 2 條， 3 條）； 沒有平行線， 所以當(dāng)我們探求本題的完整的答案時(shí)，可以分為上述四種情況，分別加以研究 實(shí)際上本題的答案共有 15個(gè)，即 0n ， 6 ， 8 ， 10， 12， 14， 15， 15， 16， 17， 18， 18， 19， 20 ， 21 ，其中重復(fù)數(shù)字表示交點(diǎn) 個(gè)數(shù)相等但圖形不同的答案 平移變換 例 6 平面上有六條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中，至少有一個(gè)角小于 31 分析 把平面上的直線平行移動(dòng)，則移動(dòng)后的直線所成的角與移動(dòng)前的直線所成的角是相等的，這樣，我們就可將所有的直線移動(dòng)后，使它們相交于同一點(diǎn)，此時(shí)，情況就相對(duì)簡單得多 證明 在平面上任取一點(diǎn) O ，過 O 點(diǎn)分別作這 6 條直線的平行線 1l ， 2l ， 3l ， 4l ， 5l ， 6l ，則由平行線的特性，知 1l ， 2l ， 3l ， 4l ， 5l ， 6l 之間互成的角與原來的 6 條直線 1l ， 2l ， 3l ， 4l ， 5l ， 6l 之間互成的角相等 現(xiàn)在我們考慮 1l ， 2l ， 6l 的情況，我們只考察 1l 與 2l ， 2l 與 3l ， 5l 與 6l ， 6l 與 1l 所成的角，由圖不難發(fā)現(xiàn)這 6 個(gè)角成一個(gè)平角，即這 6 個(gè)角的和為 180 假設(shè)這 6 個(gè)角沒有一個(gè)小于 31 ，則這 6 個(gè)角都大于或等于 31 ，從而這 6 個(gè)角的和至少為 31 6 186 ，這是不可能的，所以，這 6 個(gè)角中至少有一個(gè)小于 31 ， 不妨設(shè) 1l 與 2l 所成的角小于 31 ，則原來的直 圖 圖 圖 線 1l 與 2l 所成的角也必小于 31 數(shù)學(xué)沖浪 知識(shí)技能廣場(chǎng) 1 如圖，用一吸管吸吮易拉罐內(nèi)的飲料時(shí)，吸管與易拉罐上部夾角 1 74 ， 那么 吸管與易拉罐下部夾角 2_度 2 如圖，已知 D ， 1 130 ， 2 30 ，則 C_ 3 將直尺與三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，在圖中標(biāo)記的角中，與 1 互余的角是 _ 4 如圖， G ， F ，則圖中與 1 相等的角（不含 1 ）有 _個(gè)；若 1 50 ，則_ 5 在 A 、 B 兩座工廠之間要修建一條筆直的公路，從 A 地測(cè)得 B 地的走向是南偏東 52 ，現(xiàn) A 、 B 兩地要同時(shí)開工，若干天后，公路準(zhǔn)確對(duì)接，則 B 地所修公路的走向應(yīng)該是 （ ） A 北偏西 52 B 南偏東 52 C 西偏北 52 D 北偏西 38 6 如圖，直線 ，將含有 45 角的三角板 直角頂點(diǎn) C 放在直線 m 上，若 1 25 ，則 2 的度數(shù)為 （ ） A 20 B 25 C 30 D 35 7 如圖，已知 D ，那么 A C （ ） 212134561 360 B 270 C 200 D 180 8 如 圖， D 、 G 是 中 上的任意兩點(diǎn)， C ， C ，則圖中相等的角共有 （ ） A 4 對(duì) B 5 對(duì) C 6 對(duì) D 7 對(duì) 9 如圖，已知 B ， : : 2 : 3 : 4 ，求 、 D 、 B 的度數(shù) 10 如圖，已知 12 ，求證： D 思維方法天地 11 如圖， ，長方形 頂點(diǎn) B 在直線 m 上，則 _ 12 如圖，已知 D ， 120 ， 35 ，則 _ 3 某人在練車場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則這兩次拐彎的角度可能是 _ 第一次向左拐 40 ，第二次向右拐 40 ；第一次向右拐 50 ，第二次向左拐 130 ；第一次向右拐 70 ，第二次向左拐 110 ；第一次向左拐 70 ，第二次向左拐 110 14 已知兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角為 40 ，則另一個(gè)角的度數(shù)為 _ 15 如圖， E ，則 2 3 1 的度數(shù)等于 （ ） A 90 B 120 C 150 D 180 16 如 圖，已知 D ， 分 ， 且 E ，則 與 D 的關(guān)系是 （ ） A 3 B 180 C 90 D 2 17 探照燈、鍋形天線、汽車燈以及其他很多燈具都與拋物線形狀有關(guān)，如圖所示是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于 O 點(diǎn)的燈泡發(fā)出的兩束光線 燈碗反射后平行射出，如果圖中 ，則 的度數(shù)為 （ ） A 180 B C 12 D 90 18 如圖，兩直線 行，則 1 2 3 4 5 6 （ ） A 630 B 720 C 800 D 900 19 已知 D ， 90 （ 1） 如圖，當(dāng) 分 時(shí)，求證： 分 ； 2） 如圖，移動(dòng)直角頂點(diǎn) E ，使 ，求證： 2 20 如圖，已知 F ， 12 ，求證： F 應(yīng)用探究樂園 21 （ 1） 如圖， 12A ，則 12 _ 如圖， 13A ，則 1 2 3A A A _ 如圖， 14A ，則 1 2 3 4A A A A _ 如圖， 15A ，則 1 2 3 4 5A A A A A _ 從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)?jiān)趫D，圖，圖中選一個(gè) 證 明你的結(jié)論 （ 2） 如圖， 1 A ，則 1 2 3 A A _ （ 3） 利用上述結(jié)論解決問題：如圖已知 D ， 和 的平分線相交于 F ， 140E ，求 的 度數(shù) 22 實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等 D 21A 3A 2A 1A 4A 3A 2A 1A 5A 4A 3A 2A 1 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1） 如圖，一束光線 m 射到平面鏡 a 上，被 a 反射到平面鏡 b 上，又被 b 反射，若被 b 反射出的光線 m 平行，且 1 50 ，則 2_， 3_ （ 2） 在 （ 1） 中，若 1 55 ，則 3_；若 1 40 ，則 3_； （ 3） 由 （ 1） 、（ 2） ，請(qǐng)你猜想：當(dāng)兩平面鏡 a 、 b 的夾角 3_時(shí)，可以使任何射到平面鏡 a 上的光線 m ，經(jīng)過平面鏡 a 、 b 的兩次反射后，入射光線 m 與反射光線 n 平行 請(qǐng)說明理由 321問題解決 例 1 80B C F A B C ， 1 8 0 4 0D C F C D E ， 40B C D B C F D C F ， 例 2 D 例 3 先證 E ，再證 C . 例 4 如圖，可分別得到下列關(guān)系（證法同） C ； 360A E C A C ； A ； C C ； A . 數(shù)學(xué)沖浪 1. 106 3. 2 、 3 、 4 130 . 72， 108D ， 144B 13. 或 140 9.（ 1）略；（ 2）證法較多，如過 E 點(diǎn)作 B 或作 平分線 . K ，延長 于 H 點(diǎn)，則 1 2 1 8 0B C K ，因 12 ，故