學(xué)科教育論文-方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計摘要：準(zhǔn)確把握方程思想是進(jìn)行方程課程設(shè)計、教科書編寫和教學(xué)實施的必要前提和重要基礎(chǔ)。方程是從現(xiàn)實生活到數(shù)學(xué)的一個提煉過程，一個用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中的特定關(guān)系的過程。方程思想的核心在于建模、化歸。方程的學(xué)習(xí)，從一開始就應(yīng)該讓學(xué)生接觸現(xiàn)實的問題，學(xué)習(xí)建模，學(xué)習(xí)把日常生活中的自然語言等價地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，得到方程，進(jìn)而解決有關(guān)問題；而解方程的設(shè)計要點在于再現(xiàn)化歸的思想方法。關(guān)鍵詞：方程；數(shù)學(xué)思想；課程設(shè)計；教學(xué)設(shè)計隨著教育改革的不斷深入，與中小學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分內(nèi)容一樣，人們對方程思想的認(rèn)識也在悄悄地發(fā)生著變化。一些參與數(shù)學(xué)新課程設(shè)計、課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書編寫的專業(yè)人員，教學(xué)一線上從事數(shù)學(xué)課程實施的廣大教師、教研員，甚至專門從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的高校教學(xué)研究人員，對方程思想的模糊認(rèn)識、困惑甚至迷茫，或多或少地阻礙了數(shù)學(xué)課程改革的進(jìn)程。為此，東北師范大學(xué)從事數(shù)學(xué)教育研究的人員，在數(shù)學(xué)教育博士生導(dǎo)師、校長史寧中教授的帶領(lǐng)下，通過專題訪談、研討班、座談會等多種形式，對包括方程思想在內(nèi)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中的一系列重大的熱點問題進(jìn)行了系列研究。本文就是史寧中教授系列訪談錄中的第一篇。訪談形式：專題訪談，三人對話，并輔以資料查詢。訪談的核心問題：方程的教育價值主要體現(xiàn)在哪些方面？方程思想的核心到底是什么？學(xué)生為什么必須學(xué)習(xí)方程（方程的學(xué)習(xí)對后續(xù)內(nèi)容有哪些影響）？對中國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程、教學(xué)來說，方程課程教材設(shè)計的重點應(yīng)放在哪些方面？一、方程思想的本質(zhì)問：史教授，方程長期以來一直是中小學(xué)數(shù)學(xué)中的一項重要內(nèi)容。您能不能談一談方程思想的核心到底是什么？學(xué)生為什么必須學(xué)習(xí)方程？史教授：方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：（1）建模思想；（2）化歸思想，如在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，三元一次方程可以化歸為二元一次方程，二元一次方程可以化歸為一元一次方程，一元一次方程最終化歸為x=a的形式。雖然大學(xué)高等代數(shù)中有方程的矩陣解法，但是，對中小學(xué)生來說，用這種解法解二元一次方程、三元一次方程是不可取的。事實上，矩陣解法涉及的因素太多，不符合這個年齡段兒童的特點。對初中生來說，學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個方面：一方面是建模，另一方面是會解方程。對于后者來說，解方程的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，即將新的問題化歸為以前可以解決的問題，利用以前的算法解決。這種化歸、迭代的思想正是當(dāng)代計算機(jī)的思想。長期以來，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育界一直存在這樣的觀點：一元一次方程比小學(xué)四則算術(shù)進(jìn)步，但兩者沒有本質(zhì)的不同。其實不然，兩者有本質(zhì)的區(qū)別：小學(xué)四則運(yùn)算僅僅提供一種算法，而一元一次方程則比較全面地展示了建模思想用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)立，等號的左右兩邊等價，至于其中的關(guān)系是用自然語言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號表達(dá)的，都不太重要，重要的是等號左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價的。這就是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)之一。方程一般有兩種情況出現(xiàn)，一種是僅出現(xiàn)未知數(shù)，另一種是既出現(xiàn)未知數(shù)，也出現(xiàn)未知的系數(shù)。在目前的初中數(shù)學(xué)中，只存在含未知數(shù)的方程這樣一種情況，沒有含未知系數(shù)的方程。但是，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實應(yīng)用中，將出現(xiàn)大量含有可以變動系數(shù)的方程。在初中數(shù)學(xué)中，解一元一次方程，只需要將含有未知數(shù)的項放到方程的一邊，將不含未知數(shù)的項放到方程的另一邊，就可以解出未知數(shù)的值，這是解方程的核心工作。而解的具體過程就要用到四則運(yùn)算。為此，在進(jìn)行解一元一次方程的課程設(shè)計、教材編寫、教學(xué)實施時，必須突出化歸這個重點，至于合并同類項、通分等問題，雖然是代數(shù)式的重點內(nèi)容，但不是這里的重點。否則，就會陷入繁瑣運(yùn)算的誤區(qū)。從這個意義上講，一元一次方程課程的重點就是讓學(xué)生掌握“建?！彼枷耄瑢W(xué)會“化歸”方法，其中，前者是列一元一次方程的重點，后者是解一元一次方程的重點。對二元一次方程來說，也有類似的解釋。不同的是，在用等號聯(lián)立兩個相互等價的事情時，涉及兩個未知量。對二元一次方程組來說，是兩個等價關(guān)系，每個等價關(guān)系涉及兩件相互等價的事件，而這兩個等價關(guān)系依靠相同的未知數(shù)關(guān)聯(lián)在一起。從表面上看，這里似乎出現(xiàn)了兩件事情，事實上卻是同一件事情，是在同一個描述過程中，對同一組事物的不同角度、不同方面的刻畫和寫照。在解二元一次方程組時，只要把未知數(shù)看成已知數(shù)，將其中的一個未知數(shù)用另一個替代，轉(zhuǎn)化為一元一次方程就可以了。所以，解二元一次方程組的要害在于：通過替代等手段，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。對于三元一次方程（組）問題，同樣也是如此，只需要通過替代等手段，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可。二、方程思想的含義及典型觀點辨析問：標(biāo)準(zhǔn)1中關(guān)于方程思想闡述了這樣一個基本觀點（劉堅在許多不同場合提到這個說法）：（1）方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型；（2）方程沒有一般解法；（3）特殊方程用特殊解法。另外，張奠宙先生曾經(jīng)提出，方程的思想不在于標(biāo)準(zhǔn)上所說的“建?！彼枷?，而在于“方程是一座橋梁，一座聯(lián)立已知和未知的橋梁”。你如何看待上面的觀點？史教授：方程不能看作是建立“已知和未知之間的橋梁”，四則運(yùn)算實質(zhì)上才是這樣的橋梁。事實上，四則運(yùn)算是將已知全部寫在等號的一邊，只不過沒有寫出“=x”而已，這才是在已知和未知之間建立了一個橋梁。方程不是這樣，方程根本沒有經(jīng)過任何運(yùn)算，只是闡述了一個事實本身，一個沒有經(jīng)過任何加工的事實本身。方程只是在說明兩件事情是等價的。比如，小明走了5千米，用了2小時，問速度是多少？四則運(yùn)算是：速度=52，而方程則是：設(shè)速度為x千米/小時，則2x=5。顯然，前者用已知的兩個量路程、時間表示出未知的量速度，而后者是再現(xiàn)了路程、時間、速度之間的關(guān)系。問：張先生的觀點強(qiáng)調(diào)“在方程中，已知和未知借助等號聯(lián)立以后，未知可以和已知一樣參與運(yùn)算，享有同樣的地位”。您認(rèn)為是不是這樣？史教授：在這件事情（“未知可以和已知一樣參與運(yùn)算”）上是對的。當(dāng)然，不要過于強(qiáng)調(diào)已知、未知，而要強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的符號把要說的話（即兩件事情等價）表達(dá)出來。這個是根本，是學(xué)生必須真正掌握的東西。在進(jìn)行方程的課程設(shè)計和教學(xué)實施時，可以先讓學(xué)生用自然語言闡述所述的事情，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，最后用數(shù)學(xué)符號建立方程，解決問題。這正是建模的過程。當(dāng)然，與中小學(xué)數(shù)學(xué)中的方程不同的是，現(xiàn)實應(yīng)用中的數(shù)學(xué)建模往往含有可以變動的未知系數(shù)含有變動系數(shù)的方程，它代表了不