第五節(jié)橢圓A組基礎(chǔ)題組1.已知方程x22-k+y22k-1=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.12,2 B.(1,+)C.(1,2) D.12,12.橢圓x225+y29=1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2,N是MF1的中點(diǎn),則|ON|等于()A.2 B.4 C.8D.323.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,若PF1F2=30,則橢圓C的離心率為()A.33 B.36 C.13 D.164.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=15.已知橢圓C:x24+y23=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,橢圓C上的點(diǎn)A滿(mǎn)足AF2F1F2.若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則F1PF2A的最大值為()A.32 B.332 C.94D.1546.直線x-2y+2=0過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,則橢圓的方程為.7.如圖,橢圓x2a2+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓上,若|PF1|=4,F1PF2=120,則a的值為.8.(2016北京西城一模)已知橢圓C:x23m+y2m=1(m0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和離心率;(2)設(shè)動(dòng)直線l與y軸相交于點(diǎn)B,點(diǎn)A(3,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在橢圓C上,求|OB|的最小值.9.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.B組提升題組10.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.0,32 B.0,34C.32,1 D.34,111.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2-1,以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切,則橢圓C的方程為()A.x23+y22=1B.x24+y22=1C.x22+y2=1D.x26+y22=112.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率等于13,其焦點(diǎn)分別為A,B,C為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),則在ABC中,sinA+sinBsinC的值等于.13.(2017北京朝陽(yáng)二模)已知橢圓W:x24+y2b2=1(b0)的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).(1)求橢圓W的方程和離心率;(2)若橢圓W與y軸交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方),M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MNy軸于N,E為線段MN的中點(diǎn),直線AE與直線y=-1交于點(diǎn)C,G為線段BC的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求OEG的大小.14.(2017北京西城一模)如圖,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12,F為橢圓C的右焦點(diǎn).A(-a,0),|AF|=3.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),AP的中點(diǎn)為M.直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D,過(guò)O作OEDF,交直線x=4于點(diǎn)E.求證:OEAP.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.C方程x22-k+y22k-1=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,2-k0,2k-10,2k-12-k,解得k12,k1,故k的取值范圍是(1,2).2.B設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2.如圖,連接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,|MF2|=10-|MF1|=8.由題意知|ON|=12|MF2|=4.故選B.3.A如圖,設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M為PF1F2的中位線.所以O(shè)MPF2,所以PF2F1=MOF1=90.因?yàn)镻F1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|c=3|PF2|2,則e=ca=3|PF2|223|PF2|=33.4.D直線AB的斜率k=0-(-1)3-1=12,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,-得y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2.即k=-b2a22-2,b2a2=12. 又a2-b2=c2=9,由得a2=18,b2=9.橢圓E的方程為x218+y29=1,故選D.5.B由橢圓方程知c=4-3=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)A滿(mǎn)足AF2F1F2,所以可設(shè)A(1,y0),代入橢圓方程可得y02=94,所以y0=32.設(shè)P(x1,y1),則F1P=(x1+1,y1),F2A=(0,y0),所以F1PF2A=y1y0,因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),所以-3y13,故F1PF2A的最大值為332,選B.6.答案x25+y2=1解析直線x-2y+2=0與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),即為橢圓的左焦點(diǎn),故c=2.直線x-2y+2=0與y軸的交點(diǎn)為(0,1),即為橢圓的上頂點(diǎn),故b=1.所以a2=b2+c2=5,所以橢圓的方程為x25+y2=1.7.答案3解析由題意知|F1F2|=2a2-2,因?yàn)閨PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在F1PF2中,由余弦定理得cos 120=42+(2a-4)2-(2a2-2)224(2a-4)=-12,解得a=3.8.解析(1)因?yàn)闄E圓C:x23m+y2m=1,所以a2=3m,b2=m,故2a=23m=26,解得m=2,所以橢圓C的方程為x26+y22=1.因?yàn)閏=a2-b2=2,所以離心率e=ca=63.(2)由題意,直線l的斜率存在,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(y00),則線段AP的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為x0+32,y02,且直線AP的斜率kAP=y0x0-3,由點(diǎn)A(3,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,得直線lAP,故直線l的斜率為-1kAP=3-x0y0,且過(guò)點(diǎn)D,所以直線l的方程為y-y02=3-x0y0x-x0+32,令x=0,得y=x02+y02-92y0,則B0,x02+y02-92y0,由x026+y022=1,得x02=6-3y02,化簡(jiǎn)得B0,-2y02-32y0.所以|OB|=-2y02-32y0=|y0|+32|y0|2|y0|32|y0|=6.當(dāng)且僅當(dāng)|y0|=32|y0|,即y0=62-2,2時(shí)等號(hào)成立.所以|OB|的最小值為6.9.解析本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(ab0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m2,且n0.直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m),直線BN的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立得y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.B組提升題組10.A直線l:3x-4y=0過(guò)原點(diǎn),從而A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),則由點(diǎn)M(0,b)到直線l的距離不小于45,得4b32+(-4)245,即b1.所以e2=c2a2=a2-b2a2=4-b2434,又0e1,所以e0,32,故選A.11.C由題意知a-c=2-1,b=21+1=1,所以a2-c2=1,聯(lián)立,解得a=2,b=1,所以橢圓C的方程為x22+y2=1.故選C.12.答案3解析在ABC中,由正弦定理得sinA+sinBsinC=|CB|+|CA|AB|,因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以由橢圓定義知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以sinA+sinBsinC=2a2c=1e=3.13.解析(1)依題意得,a=2,c=3,所以b2=a2-c2=1,則橢圓W的方程為x24+y2=1.離心率e=ca=32.(2)設(shè)M(x0,y0),x00,則N(0,y0),Ex02,y0.因?yàn)锳(0,1),所以直線AE的方程為y-1=2(y0-1)x0x.令y=-1,得Cx01-y0,-1.又B(0,-1),G為線段BC的中點(diǎn),所以Gx02(1-y0),-1.所以O(shè)E=x02,y0,GE=x02-x02(1-y0),y0+1,所以O(shè)EGE=x02x02-x02(1-y0)+y0(y0+1)=x024-x024(1-y0)+y02+y0.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓W上,則x024+y02=1,所以x02=4-4y02.所以O(shè)EGE=1-x024(1-y0)+y0=1-y0-1+y0=0,因此OEGE.故OEG=90.14.解析(1)依題意,得ca=12,a+c=3,解得a=2,c=1.所以b2=a2-c2=3,所以橢圓C的方程是x24+y23=1.(2)證明:由(1)得A(-2,0).設(shè)M(x0,y0),P(x1,y1).設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2)(k0),將其代入橢圓方程,整理得(4