第三節(jié) 絕對值不等式1絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值不等式|x|a與|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|a|x|a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.小題體驗(yàn)1不等式|2x1|3的解集為_答案：x|x1或x22不等式|x1|x2|1的解集為_答案：3函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函數(shù)y的最小值為8.答案：81對形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集時，易忽視a的符號直接等價轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽視等號成立的條件如|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時等號成立，其他類似推導(dǎo)小題糾偏1設(shè)a，b為滿足ab0的實(shí)數(shù)，那么()A|ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：選Bab0，|ab|a|b|ab|.2若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4題組練透1若關(guān)于x的不等式|ax2|3的解集為，則實(shí)數(shù)a_.解析：由|ax2|3，得1ax5，x，a3.答案：32解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：當(dāng)x時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6x；當(dāng)x時，原不等式轉(zhuǎn)化為26，恒成立；當(dāng)x時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6x.綜上知，原不等式的解集為.法二：原不等式可化為3，其幾何意義為數(shù)軸上到，兩點(diǎn)的距離之和不超過3的點(diǎn)的集合，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)x或x時，到，兩點(diǎn)的距離之和恰好為3，故當(dāng)x時，滿足題意，則原不等式的解集為.3已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知，當(dāng)f(x)1時，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時，可得x或x5.故f(x)1的解集為x|1x3，f(x)1的解集為.所以|f(x)|1的解集為.謹(jǐn)記通法解絕對值不等式的基本方法(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(2)當(dāng)不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解典例引領(lǐng)(2019成都外國語學(xué)校模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求證：f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|當(dāng)x3時，由3x28，解得x；當(dāng)3x時，x48無解；當(dāng)x時，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集為.(2)證明：f等價于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因?yàn)閨a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立由題悟法證明絕對值不等式主要的3種方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明即時應(yīng)用已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.典例引領(lǐng)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范圍是2，)由題悟法(1)研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)a恒成立f(x)mina.即時應(yīng)用已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)x|xm|.(1)解不等式f(x)x；(2)若對任意的x1，x21,1a，恒有|f(x1)f(x2)|2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：因?yàn)閒(x)x|xm|是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以m0，即f(x)x|x|.(1)由x|x|x，得或即x1或1x0，所以不等式f(x)x的解集為1,01，)(2)f(x)則f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)在1,1a上單調(diào)遞增，所以f(1a)f(1)2，即(1a)|1a|12，又1a1，故可得0a 1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，1一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1已知a，bR，則使不等式|ab|a|b|一定成立的條件是()Aab0Bab0Cab0 Dab0解析：選D當(dāng)ab0時，|ab|a|b|，當(dāng)ab0時，|ab|a|b|，故選D.2設(shè)集合Ax|4x1|9，xR，B，則(RA)B()A(，3)B(3，2C(，3D(3，2解析：選A由題意得A，B(，3)0，)，(RA)B(，3).3不等式|x2|的解集是()A(3，2) B(2,0)C(0,2) D(，3)(2，)解析：選D不等式即為5(x2)3x14或5(x2)(3x14)，解得x2或x3，故選D.4不等式|x1|x5|2的解集為_解析：不等式|x1|x5|2等價于或或即或或故原不等式的解集為x|x1x|1x4x|x4答案：x|x45不等式|x(x2)|x(x2)的解集為_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018臺州聯(lián)考)不等式(1x)(1|x|)0的解集是()Ax|0x1 Bx|x0且x1Cx|1x1 Dx|x1且x1解析：選D不等式等價于或解得0x1或x0且x1.故選D.2已知a，bR，則“|a|b|1”是“b1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B令a0，b2，則|a|b|1成立，但推不出b1；反之，若b1，則|b|1，又|a|0，所以|a|b|1.所以“|a|b|1”是“b1”的必要不充分條件3不等式|x5|x3|10的解集是()A5,7 B4,6C. (，57，) D. (，46，)解析：選D當(dāng)x3時，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.當(dāng)3x5時，|x5|x3|5xx3810，不成立，無解當(dāng)x5時，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.綜上可知，不等式的解集為(，46，)4不等式x2|x1|10的解集為()Ax|2x1 Bx|1x2Cx|1x2 Dx|1x1解析：選A當(dāng)x10時，原不等式化為x2x0，解得0x1.x1；當(dāng)x10時，原不等式化為x2x20，解得2x1.2x1.綜上，2x1.所以原不等式的解集為x|2x1，故選A.5(2018長沙六校聯(lián)考)設(shè)f(x)x2bxc，不等式f(x)0的解集是(1,3)，若f(7|t|)f(1t2)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A(3,1) B(3,3)C(1,3) D(1,1)解析：選Bf(x)0的解集是(1,3)，a0，f(x)的對稱軸是x1，且ab2.f(x)在1，)上單調(diào)遞增又7|t|7,1t21，由f(7|t|)f(1t2)，得7|t|1t2.|t|2|t|60，解得3t3. 故選B.6已知函數(shù)f(x)|x6|mx|(mR)，若不等式f(x)7對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為_解析：由絕對值三角不等式得f(x)|x6|mx|x6mx|m6|，由題意得|m6|7，則7m67，解得13m1，故m的取值范圍為13,1答案：13,17設(shè)|x2|a時，不等式|x24|1成立，則正數(shù)a的取值范圍為_解析：由|x2|a得2axa2，由|x24|1，得3x25，所以x或x.因?yàn)閍0，所以由題意得解得 0a2，故正數(shù)a的取值范圍為(0，2答案：(0，28(2018杭州五校聯(lián)考)已知不等式|x24xa|x3|5的x的最大值為3，則實(shí)數(shù)a的值是_解析：x3，|x3|3x.若x24xa0，則原不等式化為x23xa20.此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，x24xa0不成立于是，x24xa0，則原不等式化為x25xa20.x3，令x25xa2(x3)(xm)x2(m3)x3m，比較系數(shù)，得m2，a8.答案：89已知|2x3|1的解集為m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求證：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1可化為12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3.(2)證明：若|xa|1，則|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.10(2018杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x4|xa|(aR)的最小值為a.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)5.解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，從而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故當(dāng)x2時，令2x65，得x2，當(dāng)2x4時，顯然不等式成立，當(dāng)x4時，令2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集為.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2018金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“|ab2|ba2|1”是“22”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A22a2ab2ba2ab2b1b2aa2b1，令b2ax，a2by，則|x|y|xy|xy，所以|x|y|1xy1，故充分性成立，必要性不成立，故選A.2已知函數(shù)f(x)|x1|xa|(a1)(1)若不等式f(x)2的解集為，求a的