1,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),一、隨機(jī)變量的概念,基本事件,二、隨機(jī)變量的分布函數(shù),是右連續(xù)的函數(shù).,(2),(1),(4),(3),(5),是單調(diào)不減的函數(shù)；,復(fù) 習(xí),2,復(fù)習(xí) 2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,二、離散型隨機(jī)變量的常用分布,3,概率密度的性質(zhì),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù),三、連續(xù)型隨機(jī)變量一般定義,4,連續(xù)型隨機(jī)變量 取得它的任何可能值 的概率等于零，,連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布函數(shù),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布,一、連續(xù)型隨機(jī)變量的特點(diǎn),連續(xù)型隨機(jī)變量在試驗(yàn)的結(jié)果中可以取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值.,討論連續(xù)型隨機(jī)變量并不關(guān)心它等于某一個(gè)值的的概率，而是關(guān)心它落在某一區(qū)間內(nèi)的概率,概率為0的事件未必是不可能事件，概率為1的事件未必是必然事件,一定是連續(xù)函數(shù),5,的圓內(nèi)的概率，與圓盤上以 為半徑的同心圓的面積成正比，,彈著點(diǎn)到圓盤中心的距離，射手擊中以靶心為中心，以 為半徑,射手射擊時(shí)，設(shè)目標(biāo)靶是半徑為20厘米的圓盤，以 表示,設(shè)每次射擊都能中靶，試求 的分布函數(shù),并求概率,例1,解,6,當(dāng) 時(shí)，設(shè) ，則由題意得,當(dāng) 時(shí)，,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 是電子管的使用壽命，則 的分布函數(shù),，其中 是常數(shù)， 表示當(dāng) 時(shí)，較,使用了 小時(shí)的電子管在以后的 小時(shí)內(nèi)損壞的概率等于,例2,高階的無窮小量. 求電子管的使用壽命(即電子管損壞前已使用的時(shí)數(shù))的分布函數(shù).,解,7,8,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù),隨機(jī)變量X 在點(diǎn) x 處的概率分布密度(或概率密度)為:,9,概率密度的性質(zhì)：,(1)：非負(fù)性,注:,(2)：規(guī)范性,概率密度的圖形 通常叫做 分布曲線。,內(nèi)的概率為：,(3)：,10,的圓內(nèi)的概率，與圓盤上以 為半徑的同心圓的面積成正比，,彈著點(diǎn)到圓盤中心的距離，射手擊中以靶心為中心，以 為半徑,射手射擊時(shí)，設(shè)目標(biāo)靶是半徑為20厘米的圓盤，以 表示,設(shè)每次射擊都能中靶，試求 的密度函數(shù),并求概率,例3,解,11,對(duì)任意實(shí)數(shù) ，有,設(shè) 為隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù) ，,則 稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱 為 的概率密度函數(shù)或分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度或密度函數(shù).,三、連續(xù)型隨機(jī)變量一般定義,定義,利用上述定義，我們可以很容易地推出概率密度的性質(zhì),12,例4 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為,其中 k 為正整數(shù)，求系數(shù) A 的值。,解,令,得,即：,伽瑪函數(shù)的定義：,伽瑪函數(shù)的性質(zhì)：,P44,13,注：,若隨機(jī)變量 X 的概率密度為,并記作 。,14,練習(xí) (柯西分布)設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為,求: (1)系數(shù) A 及 B ; (2) 隨機(jī)變量X 落在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的概率;,(3)隨機(jī)變量X的概率密度.,解,(1),解得,(2),(3),15,連續(xù)型,密度函數(shù) X p(x) ( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,離散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較,5. F(x)為階梯函數(shù)。,5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,16,1、均勻分布,定義,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的一切可能值充滿某一個(gè)有限區(qū),并且在該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)有相同的概率密度，即：,此分布叫做均勻分布（或等概率分布）。,事實(shí)上,間,即,四、連續(xù)型隨機(jī)變量的常見分布,17,若 ，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) ( )有,均勻分布的概率密度及分布函數(shù)的圖形分別如下：,的取值落在區(qū)間 內(nèi)的任意子區(qū)間上的概率，與子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與子區(qū)間的位置無關(guān),18,的密度函數(shù),設(shè)隨機(jī)變量 服從區(qū)間 上的均勻分布，試求一元二次,故所求概率,例5,方程 有實(shí)根的概率.,解,19,又設(shè) 為乘客的等候時(shí)間，,設(shè)乘客到達(dá)候車地點(diǎn)的時(shí)間為7點(diǎn) 分,其密度函數(shù),例6,某長(zhǎng)途汽車每天有兩班，發(fā)車時(shí)間分別為7:30和8:00，某乘客在7:00至8:00之間的任意時(shí)刻到達(dá)候車地點(diǎn)是等可能的，試求該乘客候車時(shí)間不超過20分鐘的概率.,解,20,均勻分布在實(shí)際中經(jīng)常用到，比如一個(gè)半徑為r的汽車輪胎，當(dāng)司機(jī)剎車時(shí)，輪胎接觸地面的點(diǎn)與地面摩擦?xí)幸欢ǖ哪p. 輪胎的圓周長(zhǎng)為2r，則剎車時(shí)與地面接觸的點(diǎn)的位置X應(yīng)服從0, 2r上的均勻分布，即 X0, 2r ，即在 0, 2r 上任一等長(zhǎng)的小區(qū)間上發(fā)生磨損的可能性是相同的，這只要看一看報(bào)廢輪胎的整個(gè)圓周上磨損的程度幾乎是相同的就可以明白均勻分布的含義了.,21,定義,其中 0 為常數(shù)。,顯然,2、指數(shù)分布,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度,此類分布為指數(shù)分布，,記作,22,若 ，則對(duì)于任意 ，有,事實(shí)上，,這種性質(zhì)叫做指數(shù)分布的“無記憶性”，故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布.,我們一般說電子管的使用壽命近似服從指數(shù)分布,23,例 已知某電子管的壽命X （小時(shí)）服從指數(shù)分布：,求這種電子管使用1000小時(shí)以上的概率。,解,指數(shù)分布常用來作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動(dòng)物的壽命；電話的通話時(shí)間；排隊(duì)時(shí)所需的等待時(shí)間都常假定服從指數(shù)分布因此，指數(shù)分布在生存分析、可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用,24,指數(shù)分布， 的計(jì)時(shí)單位為分鐘，若等候時(shí)間超過10分鐘，,的分布律以及概率,已知顧客在某銀行窗口等候服務(wù)的時(shí)間 服從參數(shù)為的,他就離開. 設(shè)他在一個(gè)月內(nèi)要到銀行5次，以 表示一個(gè)月內(nèi)他,例7,因等候時(shí)間超過10分鐘，沒有得到服務(wù)而離開銀行