第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),二、梯度,一、問題的提出,一塊長方形的金屬板，受熱,產(chǎn)生如圖溫度分布場.,設(shè)一個小蟲在板中逃生至某,問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，,才能最快到達(dá)涼快的地點？,處，,問題的實質(zhì)：,應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的,方向爬行,需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，,從而確定出溫度下降的最快方向,引入兩個概念：方向?qū)?shù)和梯度,方向?qū)?shù)問題,梯度問題,討論函數(shù) 在一點P沿某一方向的 變化率問題,二、方向?qū)?shù),當(dāng) 沿著 趨于 時，,是否存在？,記為,的方向?qū)?shù)為,方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.,原因：,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,方向?qū)?shù)的存在及計算公式,那末函數(shù)在該點沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，,且有,計算公式,故有方向?qū)?shù),兩邊同除以,得到,故x軸到方向l 的轉(zhuǎn)角,解,方向l 即為,所求方向?qū)?shù),解,由方向?qū)?shù)的計算公式知,（1）最大值; （2）最小值； （3）等于零？,例2 求函數(shù),的方向?qū)?shù).,并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有,故,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值,;,方向?qū)?shù)達(dá)到最小值,;,方向?qū)?shù)等于0.,推廣: 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,對于三元函數(shù),它在空間一點,沿著方向l的方向?qū)?shù) ，,可定義為,其中,）,方向?qū)?shù)的計算公式,解,令,故,方向余弦為,求函數(shù),處的指向外側(cè)的法向量,故,三、梯度,設(shè),是方向l上的單位向量，,當(dāng) 時，,有最大值.,其中,由方向?qū)?shù)公式知,結(jié)論,x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為,函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值,梯度的模為,在幾何上 表示一個曲面,曲面被平面 所截,得曲線,它在xoy面上投影方程：,等高線,稱為等值線.,等值線,幾何上，稱為等高線.,例如,等值線,上任一點處的一個法向量為,表明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，,它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等,梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的,方向?qū)?shù).,值線，,問題：,上山時，如何選擇最快的方向？,計算方法課程中的一種計算策略：,“瞎子下山法”,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),解,由梯度計算公式得,故,則在,處梯度為,例4 求函數(shù),在點,處的梯度，并問在何處梯度為零？,一、方向?qū)?shù),（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,小 結(jié),1.定義,2.計算公式,二、梯度,（注意梯度是一個向量）,定義,方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切,模：,三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度：,其中,思考題,問函數(shù)在某點處沿什么方向的方向