平面向量的數(shù)量積,2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義,2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角,定義：,一般地，實(shí)數(shù)與向量a 的積是一個(gè)向 量，記作a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： (1) |a|=| |a| (2) 當(dāng)0時(shí),a 的方向與a方向相同； 當(dāng)0時(shí),a 的方向與a方向相反；,已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a， OB=b，則AOB= （0 180）叫做向量a與b的夾角。,O,B,A,向量的夾角,我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）,F,S,力F所做的功W可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中是F與S的夾角,從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。,定 義,|a| cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。,思考：,ab=|a| |b| cos,當(dāng)0 90時(shí)ab為正；,當(dāng)90 180時(shí)ab為負(fù)。,當(dāng) =90時(shí)ab為零。,重要性質(zhì):,特別地,解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2,ab的幾何意義：,O,投影,O,O,練習(xí)：,1若a =0，則對(duì)任一向量b ，有a b=0,2若a 0，則對(duì)任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，則b=0,4若a b=0，則a b中至少有一個(gè)為0,5若a0，a b= b c，則a=c,6若a b = a c ,則bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=0 時(shí)成立,7對(duì)任意向量 a 有,二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：,數(shù)量積的運(yùn)算律：,注：,則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON,證明運(yùn)算律(3),例 3：求證：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,證明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,P116 例4,例4,小結(jié)：,1. 2.,可用來求向量的模,3.投影,作業(yè)：,4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 與7 a 5 b 垂直，a 4 b 與7 a 2 b垂直，求a與b的夾角。,解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a