第一節(jié) 微分中值定理 洛必達(dá)法則,一、微分學(xué)中值定理,二、羅必達(dá)法則,一、微分學(xué)中值定理,1、羅爾定理,定理1 （羅爾定理）如果函數(shù) 滿足下 列條件：,（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)；,（3）f(a)=f(b)。,則在開區(qū)間（a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得,羅爾定理的幾何意義：如果連續(xù)函數(shù)除兩個(gè)端 點(diǎn)外處處有不垂直又不垂直于x軸的切線，并且兩端 點(diǎn)處縱坐標(biāo)相等，那么在曲線上至少存在一點(diǎn) ， 在該點(diǎn)處的切線平行于x 軸(如下圖）。,注意（1）羅爾定理中的三個(gè)條件中任意一個(gè) 不滿足，則結(jié)論可能就不成立，分別考察下面三 個(gè)函數(shù)：,（2）羅爾定理的條件只是充分的而不是必要 的條件。,解：由于初等函數(shù) 在此閉區(qū)間上處 處有定義，故它在此區(qū)間上連續(xù)。,又 在開區(qū)間（-1,1)內(nèi)處處有定義，,再有 ，所以函數(shù) 在-1,1 上滿足羅爾定理的條件。,故函數(shù) 在此開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。,解： 函數(shù) 在 內(nèi)處處可導(dǎo)，并且滿 足,使得,因此至少存在一點(diǎn),因此， 有且僅有三個(gè)實(shí)根，分別在區(qū)間（1, 2）,（2, 3）,（3, 4）內(nèi)。,即 和 是 的三個(gè)實(shí)根。,至多有三個(gè)實(shí)根。,2、拉格朗日定理,定理2（拉格朗日定理）如果函數(shù) 滿 足下列條件：,（1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間（a, b）內(nèi)可導(dǎo)。,則在開區(qū)間（a, b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得,也可寫成,拉格朗日定理的幾何意義：如果連續(xù)函數(shù)除兩 個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直又不垂直于x軸的切線，那 么在曲線上至少存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處曲線的切線平 行于連接兩端點(diǎn)的切線（如下圖）,拉格朗日定理的推論,推論2 如果函數(shù) 和 在區(qū)間（a, b）內(nèi) 可導(dǎo)，且有 ，則有 與 在區(qū)間 （a, b）內(nèi)僅相差一個(gè)常數(shù)，即,為常數(shù)）,例3 證明：當(dāng) 時(shí)，,證明 設(shè),由推論1知，在（-1，1）內(nèi)恒有,則,于是 時(shí)，,令 ，,得,又 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,因此，當(dāng) 時(shí)，,例4 證明：當(dāng) 時(shí)，,證明 設(shè),上滿足拉格朗日定理的條件，因此有,顯然 在,即,由于 ，,所以,即,二、羅必達(dá)法則,如果當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)函數(shù) 的極限都為零或都趨于無(wú)窮大，極限,下面介紹利用導(dǎo)數(shù)求未定式極限的一個(gè)簡(jiǎn)單而 有效的方法羅必達(dá)法則。,通常稱為未定式，分別記為 。,1、 型未定式：,定理：若函數(shù) 滿足下列條件：,那么,例5 求,解,例7,解,解,例6 求,定理：若函數(shù) 滿足下列條件：,那么,例8 求,解,例9 求,解,3、其他未定式,除了 型和 型未定式外，還有 型 、,型、 型等類型的未定式 ，,這些未定式可通過(guò)化為 型或 型未定式來(lái)計(jì) 算，下面用例子說(shuō)明。,例10 求,例11 求,解 這是 型未定