3-5 函數(shù)的極值和最值,一、函數(shù)的極值,定義1. 設(shè) f (x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 若 (x0), 有,f (x) f (x0),則稱 f (x)在x0處取得極大值(極小值) f (x0).,x0稱為極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)),極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).,注: 極值是一個(gè)局部概念, 如圖,o,a,b,x1,x2,x3,x4,x5,y=f (x),x,y,定理1(Fermat定理) 設(shè)函數(shù)f (x)在某區(qū)間I內(nèi)有定義, 在該區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)x0處取得極值, 且 f (x0)存在, 則必有,f (x0) = 0,證: 不妨設(shè) f (x0)為極大值, 則存在U(x0) I,使x (x0), 有 f (x) f (x0),由 f (x)在x0可導(dǎo), 故當(dāng)x x0時(shí),同理當(dāng)x x0時(shí),從而必有 f (x0) = 0.,注1. 使 f (x) = 0的x0稱為 f (x)的駐點(diǎn).,注2. f (x) = 0是 f (x)在x0取極值的必要條件, 非充分條件, 比如y = x3駐點(diǎn)x0=0非極值點(diǎn).,注3. f (x) 不存在的點(diǎn), 也可能是極值點(diǎn).,如y = | x |, x0 = 0.,定理2. 設(shè) f (x)在x0連續(xù), 在 (x0)可導(dǎo),(1)若x , f (x) 0,x , f (x) 0,則 f (x)在x0取得極大值.,(3)若x (x0)內(nèi) , f (x)不變號(hào),則 f (x)在x0不取得極值.,(2)若x , f (x) 0,x , f (x) 0,則 f (x)在x0取得極小值.,證: 只證(1). 當(dāng)x 時(shí),因?yàn)?f (x) 0 , 所以 f (x)單調(diào)增加.,因而 f (x) f (x0) , x,當(dāng)x 時(shí), f (x) 0, 所以 f (x)單調(diào)減少,因而也有 f (x) f (x0) , x,例1. 求 f (x) = x33x2 9x +5的極值.,解: f (x) = 3x26x 9 = 3(x+1)(x3),令f (x) = 0, 得駐點(diǎn)x1= 1, x2= 3,將(, +)分成三個(gè)區(qū)間, 列成下表.,故, 極大值 f (1) = 10,極小值 f (3) = 22,(, 1),f (x),x,f (x),+,單增,1,0,極大,(1, 3),單減,3,0,極小,(3, +),+,單增,例2.,解:,f (x)與x同號(hào), 故 f (0) = 0為極小值.,定理3. 設(shè) f (x)在U(x0)具有二階導(dǎo)數(shù), 且f (x0)=0, f (x0)0, 則,(1) f (x0)0, f (x0)為極大值,(2) f (x0)0, f (x0)為極小值,證:,當(dāng) f (x0)0時(shí), 由極限保號(hào)性, 存在 (x0),故 x x0時(shí), f (x0) 0,x x0時(shí), f (x0) 0,此時(shí) f (x)在 x0處取極小.,例3. 求f (x) = sinx+cosx的極值.,解: 因 f (x)以2為周期, 只需考慮區(qū)間0, 2),由f (x) = sinxcosx = 0,得駐點(diǎn),f (x) = sinxcosx,故,(, +)上,二、函數(shù)的最值,若 f (x)在a, b上連續(xù), 則 f (x)在a, b上 一定存在最大值M和最小值m.,假定 f (x)在(a, b)內(nèi)只有有限個(gè)駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)x1, x2, , xn, 我們說(shuō)M和m只能在這些點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.,即 M = max f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b),m = min f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b),(想一想: 為什么),例4. 求f (x)=x4 8x2 +2在1, 3上的最大值和最小值.,解: f (x)= 4x3 16x = 4x(x +2)(x 2),f (x)= 0, 得x1= 2(舍去), x2= 0, x3= 2,故最值在1, 0, 2, 3四處達(dá)到,f (1)= 5,f (0)= 2,f (2)= 14,f (3)= 11,所以 M = f (3)= 11, m = f (2)= 14,例5. 設(shè) f (x) = xex, 求它在定義域上的最大值和最小值.,解: f (x)在(, +)上連續(xù)可導(dǎo), 且 f (x)=(x+1)ex,令 f (x)=0, 得 x = 1,x 1時(shí), f (x)0, f (x)單減,x 1時(shí), f (x)0, f (x)單增.,故 f (x)在1處達(dá)到極小值,由于極小值點(diǎn)唯一,而,故 f (x)無(wú)最大值.,注意1. f (x)C(a, b), 且在(a, b)內(nèi)只有唯一 一個(gè)極值點(diǎn)x0 , 則當(dāng) f (x0)為極大(小)值時(shí), 它就是 f (x)在a, b上的最大(小)值.,注意2. f (x)在a, b上單調(diào), 則m和M在端點(diǎn)處達(dá)到.,注意3. 實(shí)際應(yīng)用中, 駐點(diǎn)唯一, 最大(小)值又存在, 則此點(diǎn)為最大(小)值點(diǎn).,例6. 要造一個(gè)容積為V0的帶蓋圓柱形桶, 問(wèn)桶的半徑 r 和桶高 h 如何確定, 才能使所用材料最省?,解: 先建立函數(shù)關(guān)系, 表面積,A = 2r2 + 2rh,又r2h = V0 ,所以,得駐點(diǎn),顯然,故r0為極小值點(diǎn), 又在(0, +)內(nèi)極小值點(diǎn)唯一, 此極小值就是最小值.,例7.,150,x,D,A,o,C,B,如圖 C 工廠, B 鐵路貨站, 要從AB鐵路上選 一點(diǎn)D修建一條公路CD. 使C與B連起來(lái), 已知AC=20公里, AB=150公里, 又知鐵路與公路的噸公里運(yùn)費(fèi)之比為3 : 5, 問(wèn)AD=x應(yīng)為多少才能使運(yùn)費(fèi)最省.,20,解: 建立坐標(biāo)如圖, 從A到B的方向, 取A為原點(diǎn). 則,AC = 20,AD = x,DB =150 x,設(shè)鐵路噸公里運(yùn)費(fèi)為3k , 則公路噸公里運(yùn)費(fèi)為5k.,于是從B到C每噸材料總運(yùn)費(fèi)為,要求W的最小值, 先求W,得x = 15. 在(0, 150)中駐點(diǎn)x=15唯一.,又 在(0, 150)中, 0,故W(15)為極小值也即為最小值.,故 x =15時(shí), 全程運(yùn)費(fèi)最省.,例8. 寬為2米的支渠道垂直地流向?qū)挒?米的主渠道, 若在其中漂運(yùn)原木, 問(wèn)能通過(guò)的原木的最大長(zhǎng)度是多少?,解: 如圖建立坐標(biāo)系. 原木直徑不計(jì).,設(shè)AB是通過(guò)點(diǎn)C(3, 2) 且與渠道兩側(cè)壁分別交于A和B的線段L.,要求L的最小值.,L(t) = AC + CB,實(shí)際問(wèn)題中最小值一定存在, 且駐點(diǎn)唯一, 故此極小值就為最小值, 于是,m = L(t0) 7.02,故能通過(guò)原木的最大長(zhǎng)度為7.02米.,3-6 函數(shù)圖形的描繪,一、漸近線,漸近線定義: 當(dāng)C上動(dòng)點(diǎn)M離坐標(biāo)原點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)移時(shí), 存在一直線l, 使MN趨向于零, 則稱直線l為曲線 C的一條漸近線.,注1. 漸近線是直線l: ax+by+c=0的形式.,注2. 一條曲線的漸近線可以是水平線 y=y0, 可以是鉛直線 x=x0, 也可以是斜線: y=ax+b.,注3. 一個(gè)函數(shù)所表示的曲線可以有零條, 一條, 二條甚至更多條漸近線.,確定函數(shù) y = f (x)的漸近線的方法如下:,(1) 鉛直漸近線:,則 y = f (x)有一鉛直線漸近線 x=x0.,x = 0為其漸近線.,(2) 水平漸近線:,則 y = f (x)有一水平線漸近線 y = A.,(3) 斜漸近線:,則 y = f (x)有一斜線漸近線 y=ax+b.,證: 如圖,設(shè)y = f (x)有漸近線y=ax+b.,例1.,解: (1)對(duì)于 y = lnx,故 y = lnx有鉛直線漸近線 x = 0.,(2),故該雙曲線有一對(duì)斜漸近線:,二、函數(shù)圖形的描繪.,利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)的圖形, 步驟如下:,(1) 確定y = f (x)的定義域, 并討論其奇偶性, 周期性, 連續(xù)性,(2) 求 f (x), f (x)及其全部零點(diǎn)和不存在的點(diǎn), 得系列點(diǎn)x1, x2, xn .,(3) 在 (xi, xi+1)上及分點(diǎn)xi 處觀察 f (x), f (x)的符號(hào), 從而確定單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn); 對(duì)應(yīng)曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)., : 表單增 : 表單減 : 表凹 : 表凸,(4) 確定y = f (x)的漸近線及其它變化趨勢(shì).,(5) 補(bǔ)充一些適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)(xi , f (xi).,(6) 用光滑的曲線連接這些點(diǎn)并作圖.,例2. 描繪 f (x) = 2xex的圖形.,解: (1) 函數(shù)定義域?yàn)?, +), 連續(xù).,(2) f (x) = 2ex 2xex = 2(1 x)ex,f (x) = 2ex 2(1 x)ex,= 2ex(x 2 ),由 f (x) = 0, f (x) = 0 , 得,x1 = 1, x2 = 2.,(3) 將(, +)分為三個(gè)區(qū)間(, 1), (1, 2), (2, +),列表討論如下,(, 1),f (x),x,f (x),+,1,0,(1, 2),2,0,(3, +),+,f (x), , , ,(4),(5) 補(bǔ)充點(diǎn) f (0)=0. 描點(diǎn)作圖.,2,1,例3.,解: (1)定義域?yàn)?f (x)為奇函數(shù),故 f (x)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,(2),由 f (x)0, 知 f (x)無(wú)駐點(diǎn),f (x) = 0, 得x0 = 0.,且,0,f (x),x,f (x),+,+,+,f (x),0, ,+,間斷點(diǎn), ,(3),(4),(5) 取輔助點(diǎn),描繪出函數(shù)在0, +)上的圖形, 再根據(jù)對(duì)稱性得到函數(shù)在(, 0)的圖形.,M1,M2,M3,例4.,解: (1) 定義域(, +), 連續(xù),(2),f (x)為0和不存在的點(diǎn)為4, 0, 6,f (x)無(wú)零點(diǎn), f (x)不存在的點(diǎn)為0, 6.,(3) 在(, 0), (0, 4), (4, 6), (6, +)上討論.,f (x),x,f (x),+,+,+,f (x), , ,(, 0),(0, 4),不存在,不存在, ,極小0,0,4,0,(4, 6), ,6,不存在,不存在,拐點(diǎn) (6, 0),(6, +),(4),= 2,故有斜漸近線 y = x +2 .,作圖如下:,4,(6, 0),y= x+ 2,3-7 相關(guān)變化率 曲率,一、相關(guān)變化率,相關(guān)變化率是: 若兩個(gè)函數(shù)的變化率(導(dǎo)數(shù))有聯(lián)系, 已知其中之一求出另一個(gè)變化率的問(wèn)題, 其實(shí)就是復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。,例1. 在氣缸內(nèi), 當(dāng)理想氣體的體積為100(厘米)3時(shí), 壓強(qiáng)為5牛頓/ (厘米)3. 如果溫度不變, 壓強(qiáng)以0.05牛/(厘米)3 小時(shí)的速率減少, 那么體積增加的速率是多少?,解: 由物理學(xué)知, 理想氣體之壓強(qiáng) p, 體積V和溫度T關(guān)系如下,pV = RT,已知T為常數(shù), 設(shè)RT=k, 且V=100時(shí), p =5.,得 500 = k.,故 pV = 500,從,得,所以,例2. 液體從深為18厘米, 頂直徑為12厘米的正圓錐形漏斗中漏入直徑為10厘米的圓柱形桶中, 開(kāi)始時(shí)漏斗盛滿液體, 已知漏斗中液面深為12厘米時(shí), 液面下落速度為1厘米/分, 求此時(shí)桶中液面上升的速率.,12,H,18,h,10,解: 設(shè)漏斗液面深為H厘米時(shí), 桶中液面深為h厘米, 漏斗液面圓半徑為R, 先求兩個(gè)體積之間的關(guān)系.,由,代入上式并整理得,兩邊對(duì)t 求導(dǎo),二、弧微分,設(shè) f (x)Ca, b, C為y = f (x)所表示的曲線.,設(shè)x增大時(shí), 點(diǎn)(x, f (x)沿曲線方向?yàn)镃的正方向.,在C上取點(diǎn)M0, 弧 M0M 的長(zhǎng)度為|M0M |, 規(guī)定了弧長(zhǎng)s的值為,),),由此可知, s為x的單調(diào)增加函數(shù).,我們要求s(x)的微分,如圖, 設(shè)M, M的坐標(biāo)為,M(x, y) , M(x +x, y +y ),s 的符號(hào)與x的符號(hào)相同.,則,),),而,故,或 (ds)2 = (dx)2 + (dy)2,這就是弧微分.,3-7、曲 率,曲率是描述曲線在一點(diǎn)彎曲程度的量.,曲率與什么有關(guān)呢? 設(shè)想有兩個(gè)圓半徑分別為r和R, 且r R. 則小圓比大圓彎曲程度大.,如圖,M,M,O,y,x,C,M, M是曲線C上 兩點(diǎn)(C是光滑曲線),當(dāng)C上的動(dòng)點(diǎn)從M移動(dòng)M 時(shí), 曲線切線轉(zhuǎn)過(guò)了角度(稱為轉(zhuǎn)角).,對(duì)應(yīng)弧有一個(gè)改變量s . 故,(1) 彎曲程度與轉(zhuǎn)角成正比,(2) 彎曲程度與弧長(zhǎng)改變量成反比,定義. MM 上平均曲率,),C上M點(diǎn)的曲率,比如, 半徑為R的圓, 其曲率,直線曲率,下面推出曲率計(jì)算公式,設(shè)曲線C的方程為 y = f (x), 且f (x)具有二階導(dǎo)數(shù).,又 tan = y , = arctany,故,于是,若曲線方程為,則,代入 K 的表達(dá)式, 得,例3. 鐵路拐彎處常用立方拋物線作為過(guò)渡曲線, 試求,解: y = x2,y = 2x ,于是 在(0, 0)處, K0 = 0.,定義:,給定在C上一點(diǎn)M ,在法線上沿