課時(shí)分層作業(yè) 五十九圓錐曲線的綜合問(wèn)題一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018六安模擬)已知雙曲線C:-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則PF1Q的周長(zhǎng)為()A.B.5C.D.4【解析】選A.因?yàn)閏=2,所以F2(2,0).因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,所以PQx軸.由-y2=1,解得y=,所以|PQ|=.因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在雙曲線C上,所以|PF1|-|PF2|=2,|QF1|-|QF2|=2,所以|PF1|+|QF1|=4+|PF2|+ |QF2|=4+|PQ|=4+=,所以PF1Q的周長(zhǎng)為|PF1|+|QF1|+|PQ|=+=.2.已知F1,F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是該橢圓上的任意一點(diǎn),則|PF1|PF2| 的最大值是()A.9B.16C.25D.【解析】選C.根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10,根據(jù)基本不等式可知|PF1|PF2|=25,所以最大值為25.3.(2018秦皇島模擬)設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn),M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】選C.如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),由橢圓定義知|PA|+|PB|=2a=10,連接PA,PB分別與圓相交于M,N兩點(diǎn),此時(shí)|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長(zhǎng),分別與圓相交于M,N兩點(diǎn),此時(shí)|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分別為8,12.【變式備選】如果方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.3mC.3mD.m4-m0,所以m4.4.(2018九江模擬)拋物線y2=12x上的點(diǎn)與直線3x-y+5=0的最近距離為()A.B.C.D.【解析】選B.拋物線上的點(diǎn)到直線的距離d=(y-2)2+16=.當(dāng)且僅當(dāng)y=2時(shí),等號(hào)成立.【一題多解】本題還可以采用以下方法:選B.如圖,若將直線3x-y+5=0平移,則移到剛好與拋物線y2=12x相切時(shí),切點(diǎn)到直線的距離最小.設(shè)與3x-y+5=0平行的切線為3x-y+t=0,代入拋物線方程得y2-4y+4t=0,=16-16t=0,所以t=1,所以最近距離d=.5.(2018贛州模擬)設(shè)F1,F2是橢圓+=1(0b0,b0)的虛軸端點(diǎn)到直線y=a2x的距離為1,則雙曲線的離心率的最小值為_(kāi).【解析】因?yàn)殡p曲線-=1(a0,b0)的虛軸端點(diǎn)(0,b)或(0,-b)到直線y=a2x的距離為1,所以=1,即b2=1+a4,所以離心率e=,當(dāng)且僅當(dāng)a2=,即a=1,b=時(shí)取等號(hào).答案:8.(2018長(zhǎng)治模擬)已知橢圓+=1和直線l:x-y+9=0,在l上任取一點(diǎn)M,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且以橢圓的焦點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸最短的橢圓的方程為_(kāi).【解析】因?yàn)镕1(-3,0),F2(3,0),易知F1關(guān)于l:x-y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)F1(-9,6),所以F1F2的方程為x+2y-3=0.所以得交點(diǎn)M(-5,4),即過(guò)M(-5,4)的橢圓,長(zhǎng)軸最短.由|MF1|+|MF2|=2a,則2a=6,所以a2=45,又c2=9,所以b2=36.故所求橢圓的方程為+=1.答案:+=1三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,已知F(,0)為橢圓C:+=1(ab0)的右焦點(diǎn),B1,B2,A為橢圓的下、上、右三個(gè)頂點(diǎn),B2OF與B2OA的面積之比為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)試探究在橢圓C上是否存在不同于點(diǎn)B1,B2的一點(diǎn)P滿足下列條件:點(diǎn)P在y軸上的投影為Q,PQ的中點(diǎn)為M,直線B2M交直線y+b=0于點(diǎn)N,B1N的中點(diǎn)為R,且MOR的面積為.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1)由已知得=.又c=,所以a=2,所以b2=a2-c2=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,設(shè)其坐標(biāo)為P(x0,y0)(x00),則Q(0,y0),且M.又B2(0,1),所以直線B2M的方程為y=x+1.因?yàn)閤00,所以y01,令y=-1,得N.又B1(0,-1),則R,所以|MR|=.直線MR的方程為y-y0=-,即2yy0+x0x-2=0,所以點(diǎn)O到直線MR的距離為d=1,所以SMOR=|MR|d=1=,解得y0=,又+=1,所以x0=,所以存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為.10.(2018武邑模擬)已知圓F1:(x+1)2+y2=16,定點(diǎn)F2(1,0),A是圓F1上的一動(dòng)點(diǎn),線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點(diǎn). (1)求P點(diǎn)的軌跡C的方程.(2)四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線C上,且對(duì)角線EG,FH過(guò)原點(diǎn)O,若kEGkFH=-,求證:四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.【解析】(1)因?yàn)镻在線段F2A的中垂線上,所以|PF2|=|PA|.所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4|F1F2|,所以軌跡C是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,且c=1,a=2,所以b=,故軌跡C的方程為+=1.(2)不妨設(shè)點(diǎn)E,H位于x軸的上方,則直線EH的斜率存在,設(shè)EH的方程為y=kx+m,E(x1,y1),H(x2,y2).聯(lián)立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,則x1+x2=-,x1x2=.由kEGkFH=-,得=-.由,得2m2-4k2-3=0.設(shè)原點(diǎn)到直線EH的距離為d=,|EH|=|x1-x2|=,S四邊形EFGH=4SEOH=2|EH|d=,由,得S四邊形EFGH=4,故四邊形EFGH的面積為定值,且定值為4.1.(5分)已知拋物線y2=2x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則|AB|的最大值為()A.1B.2C.3D.4【解析】選D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3,利用拋物線的定義可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由圖可知|AF|+|BF|AB|,|AB|4,當(dāng)直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí),|AB|取得最大值4.【變式備選】(2018西寧模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中, P是橢圓+=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A,B,則|PA|+|PB|的最大值為()A.5B.4C.3D.2【解析】選A.因?yàn)闄E圓方程為+=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為B和B,連接PB,AB,根據(jù)橢圓的定義,得|PB|+|PB|=2a=4,可得|PB|=4-|PB|,因此|PA|+|PB|=|PA|+=4+, 因?yàn)閨PA|-|PB|AB|,所以|PA|+|PB|2a+|AB|=4+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí),等號(hào)成立,綜上所述,可得|PA|+|PB|的最大值為5.2.(5分)(2018三明模擬)已知F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),則(其中e為橢圓C的離心率)的最小值為()A.B.C.D.【解析】選C.本題主要考查橢圓的定義與性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力.因?yàn)辄c(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),所以O(shè)Q是三角形PF1F2的中位線,則|PF1|=2|OQ|=2b,則|PF2|=2a-2b,且PF1與PF2垂直,則4b2+4(a-b)2=4c2,解得2a=3b,e=,所以=,當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí),等號(hào)成立.3.(5分)設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是_.【解析】以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則|FM|p,即y0+p,所以y0,即y02.答案:(2,+)4.(12分)已知橢圓C:+=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),右頂點(diǎn)為A,且|AF|=1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P,且與直線x=4交于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t,0),使得=0?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由c=1,a-c=1,得a=2,所以b=.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2.設(shè)P(xP,yP),則xP=-=-,yP=kxP+m=-+m=,即P.因?yàn)镸(t,0),Q(4,4k+m),所以=,=(4-t,4k+m).所以=(4-t)+(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,所以得t=1.所以存在點(diǎn)M(1,0)符合題意.5.(13分)(2018成都模擬)已知橢圓C:+=1(ab0)的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F(1,0)的距離為2. (1)求橢圓C的方程.(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交直線l:x=4于點(diǎn)P,若|PA|=1|AF|,|PB|=2|BF|,求證:1-2為定值.【解析】(1)由題意有:c=1,且=2,所以a=2,b2=a2-c2=3.所以橢圓C的方程為+=1.(2)由題意直線AB過(guò)點(diǎn)F(1,0),且斜率存在,設(shè)方程為y=k(x-1),將x=4代入得P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3k).由消元得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則0且方法一:因?yàn)閨PA|=1|AF|,所以1=,同理2=,且與異號(hào).所以|1-2|=0.所以1-2為定值0.方法二:由題意,當(dāng)x11x2時(shí),有=1,且=-2,所以(x1-4,y1-3k)=1(1-x1,-y1),且(x2-4,y2-3k)=-2(1-x2,-y2),所以1=,同理2=-,從而1-2=+=-1-1-=-2-=-2+=-2+=0.當(dāng)x110且因?yàn)閨PA|=1|AF|,所以1=.同理2=,且與異號(hào),所以|1-2|=0.又當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí),1-2=0,所以1-2為定值0.【變式備選】如圖,已知拋物線C:x2=4y,過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上.(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.【解析】(1)因?yàn)橹本€AB過(guò)定點(diǎn)M(0,2),由題意知直線AB的斜率一定存在,所以可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2.由得x2-4kx-8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=-8.又直線AO的方程為y=x,直線BD的方程為x=