課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(四十二) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A異面 B相交 C平行 D異面或相交解析當(dāng)兩條直線無公共點(diǎn)時(shí)，可知兩直線異面；當(dāng)兩異面直線中的一條直線與兩條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可知兩直線相交，選D.答案D2.如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過()A點(diǎn)A B點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D點(diǎn)C和點(diǎn)M解析AB，MAB，M.又C，M、C，與的交線必通過點(diǎn)C和點(diǎn)M.選D.答案D3已知正方體ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()AA1、M、O三點(diǎn)共線 BM、O、A1、A四點(diǎn)共面CA、O、C、M四點(diǎn)共面 DB、B1、O、M四點(diǎn)共面解析因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)由正方體的性質(zhì)知，O也是A1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O在直線A1C上，又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A1、M、O三點(diǎn)共線，又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以B、C正確答案D4以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面A0 B1 C2 D3解析對(duì)于，不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線，故正確；對(duì)于，若A，B，C共線時(shí)，A，B，C，D，E不一定共面 ，故不正確；對(duì)于，b，c也可異面，故不正確；是錯(cuò)誤的選B.答案B5在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析如圖，連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角或其補(bǔ)角連接A1C1，設(shè)AB1，則AA12，A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.答案D6兩條異面直線在同一個(gè)平面上的正投影不可能是()A兩條相交直線 B兩條平行直線C兩個(gè)點(diǎn) D一條直線和直線外一點(diǎn)解析如圖，在正方體ABCDEFGH中，M，N分別為BF，DH的中點(diǎn)，連接MN，DE，CF，EG.當(dāng)異面直線為EG，MN所在直線時(shí)，它們?cè)诘酌鍭BCD內(nèi)的射影為兩條相交直線；當(dāng)異面直線為DE，GF所在直線時(shí)，它們?cè)诘酌鍭BCD內(nèi)的射影分別為AD，BC，是兩條平行直線；當(dāng)異面直線為DE，BF所在直線時(shí)，它們?cè)诘酌鍭BCD內(nèi)的射影分別為AD和點(diǎn)B，是一條直線和一個(gè)點(diǎn)，故選C.答案C二、填空題7(2017陜西漢中調(diào)研)若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是_答案b與相交或b或b8(2018江西上饒?jiān)驴?如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線MN與AC所成的角為60.其中正確的結(jié)論為_(把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)解析由題圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線因?yàn)镈1CMN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60.答案9(2017廣東華山模擬)如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1AB1，則異面直線AB1與BD所成的角為_解析取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E即為所求設(shè)AB1，則A1A，AB1，B1E，AE，故AB1E60.答案60三、解答題10如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由解(1)不是異面直線理由如下：連接MN、A1C1、AC.M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MNA1C1.A1A綊C1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)是異面直線理由如下：假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面.D1、B、C、C1，與ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線能力提升11如圖，平面與平面交于直線l，A，C是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D不在直線l上，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，下列判斷正確的是()A若AB與CD相交，且直線AC平行于l時(shí)，則直線BD與l可能平行也有可能相交B若AB，CD是異面直線時(shí)，則直線MN可能與l平行C若存在異于AB，CD的直線同時(shí)與直線AC，MN，BD都相交，則AB，CD不可能是異面直線DM，N兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交解析對(duì)于A，直線BD與l只能平行；對(duì)于B，直線MN與l異面；對(duì)于C，AB與CD可能為異面直線當(dāng)直線AB與CD的中點(diǎn)M，N重合時(shí)，必有直線ACl，故不可能相交，綜上所述，故選D.答案D12(2016全國(guó)卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A. B. C. D.解析解法一：平面CB1D1，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCDm，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，mB1D1.平面CB1D1，平面ABB1A1平面DCC1D1，平面ABB1A1n，平面CB1D1平面DCC1D1CD1，nCD1.B1D1，CD1所成的角等于m，n所成的角，即B1D1C等于m，n所成的角B1D1C為正三角形，B1D1C60，m，n所成的角的正弦值為.解法二：由題意畫出圖形如圖，將正方體ABCDA1B1C1D1平移，補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖，易證平面AEF平面CB1D1，所以平面AEF即為平面，m即為AE，n即為AF，所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角因?yàn)锳EF是正三角形，所以EAF60，故m，n所成角的正弦值為.答案A13如圖所示，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，過EF任作一個(gè)平面分別與直線BC，AD相交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論正確的是_對(duì)于任意的平面，都有直線GF，EH，BD相交于同一點(diǎn)；存在一個(gè)平面0，使得GFEHBD；存在一個(gè)平面0，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上解析當(dāng)H，G分別為AD，BC的中點(diǎn)時(shí)，直線GF，EH，BD平行，所以錯(cuò)，正確；若存在一個(gè)平面0，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上，則平面0與CD的交點(diǎn)不可能是CD的中點(diǎn)，故錯(cuò)答案14(2017安徽安慶調(diào)研)如圖所示，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為_解析取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.由題設(shè)，HF綊AD.GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)在GHF中，可求HF，GFGH，cosGFH.答案15(2017河南許昌模擬)如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn)已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解(1)SABC222，三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.16如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(diǎn)(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面積S4，所以，四棱錐OABCD的體積V42.(2)連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE，則EMD為異面直線OC與MD所成的角(或其補(bǔ)角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM為直角三角形，ta