13.4 空間幾何體的表面積與體積,高考數(shù)學(xué),知識清單,3.柱體、錐體、臺體、球的體積 (1)長方體的體積公式是V=abc,正方體的體積公式是V=a3.圓柱的體積 公式是V=r2h.柱體的體積公式可以統(tǒng)一為 V柱=Sh ,其中S為底面 積,h為高. (2)圓錐的體積公式是V= r2h,棱錐的體積公式是V= Sh.錐體的體積公 式可以統(tǒng)一為 V錐= Sh ,其中S為底面積,h為高. (3)圓臺的體積公式為V= (r2+rr+r2)h,棱臺的體積公式為V= (S+ +S)h,臺體的體積公式可以統(tǒng)一為V臺= (S+ +S)h,其中S、S分別為 上、下底面的面積,h為高.,(4)半徑為R的球的體積為 R3 . 拓展延伸 1.圓柱、圓錐、圓臺、球應(yīng)抓住它們是旋轉(zhuǎn)體這一特點(diǎn),弄清旋轉(zhuǎn) 軸、旋轉(zhuǎn)面、軸截面. 2.在球的有關(guān)計(jì)算中,球的半徑R,截面圓半徑r及球心到截面的距離d之 間有關(guān)系式R2=d2+r2.,空間幾何體的表面積 1.空間幾何體的表面積是空間幾何體暴露在外的面積,如果空間幾何體 是多面體,則其表面積是各個(gè)面的面積之和,求多面體的表面積的基本 方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積,然后求和. 2.求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割成基本的柱、 錐、臺體,先求這些柱、錐、臺體的表面積,再通過求和或作差,從而獲 得所給幾何體的表面積. 例1 (2013課標(biāo)全國,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AHHB =12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面 積為 .,方法技巧,解析 平面截球O所得截面為圓面,圓心為H,設(shè)球O的半徑為R,則由 AHHB=12得OH= R. 由圓H的面積為,得圓H的半徑為1, 所以 +12=R2,得出R2= ,所以球O的表面積S=4R2=4 = .,答案,空間幾何體的體積 1.求錐體的體積,要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?然后應(yīng)用公式V= Sh進(jìn)行計(jì) 算. 2.對于復(fù)雜的或不易求解的幾何體,我們可以通過分割或補(bǔ)體的途徑來 求解.常用的方法有割補(bǔ)法和等體積變換法. 例2 (1)(2017揚(yáng)州中學(xué)高三月考,4)若長方體相鄰三個(gè)側(cè)面的面積分別 是 , , ,則該長方體的體積是 . (2)(2017蘇北四市高三上學(xué)期期中)將斜邊長為4的等腰直角三角形繞 其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體體積是 .,解析 (1)設(shè)長方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為a,b,c,則由題設(shè)可得 三個(gè)式子相乘得a2b2c2=6,從而abc= ,所以該長方體的體積為 . (2)形成的幾何體為兩個(gè)同底等高的圓錐,其體積為2 222= .,答案 (1) (2),解答空間幾何體中最值問題的方法 解決最值問題的一種基本方法就是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù), 然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解,立體幾何中的最值問題也不例外,函數(shù)方法 是基本方法之一,使用函數(shù)方法的關(guān)鍵是正確選擇影響求解目標(biāo)的一個(gè) 變量,這個(gè)變量能完全確定求解目標(biāo). 例3 已知一個(gè)四面體有五條棱長都等于2,則該四面體的體積的最大值 為 .,解析 如圖所示,在四面體S-ABC中,SB=SC=BC=AB=AC=2, SABC= 22= . 設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h,則 VS-ABC= SABCh= h. 所以當(dāng)h取得最大值時(shí),四面體的體