線性二次型最優(yōu)控制器設計,講解人：胡玲笑,線性二次型最優(yōu)控制器設計,本節(jié)主要內容： 線性二次型最優(yōu)控制器概述 連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制 離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制 線性二次型Gauss最優(yōu)控制,應用經(jīng)典控制理論設計控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡單、確定系統(tǒng)的實際設計問題。但是對于諸多新型而復雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結果。這時就需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務時，使系統(tǒng)的某種性能指標具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可提出各種不用的性能指標。最優(yōu)控制的設計，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標為最小。,一、線性二次型最優(yōu)控制概述,線性二次型最優(yōu)控制設計是基于狀態(tài)空間技術來設計一個優(yōu)化的動態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標函數(shù)是狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標函數(shù)達到最小。 線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個方面：線性二次型最優(yōu)控制問題（LQ問題），具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型Gauss最優(yōu)控制問題，一般是針對具體系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測系統(tǒng)狀態(tài)。,1.連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理 假設線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 要尋求控制向量 使得二次型目標函數(shù) 為最小。式中，Q為半正定是對稱常數(shù)矩陣，R為正定實對稱常數(shù)矩陣，Q、R 分別為X和U的加權矩陣。,根據(jù)極值原理，我們可以導出最優(yōu)控制律： 式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須 滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程 因此，系統(tǒng)設計歸結于求解黎卡夫（Riccati）方程的問題，并 求出反饋增益矩陣K。,2.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù),在MATLAB工具箱中，提供了求解連續(xù)系統(tǒng) 二次型最優(yōu)控制的函數(shù)：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其調用格式為：,其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩 陣；Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為給 定的正定實對稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性 能指標中交叉乘積項的加權矩陣；K為最優(yōu)反饋 增益矩陣；S為對應Riccati方程的唯一正定解P （若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。,其中， lqry()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調節(jié)器的特 例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即其性能指標為： 這種二次型輸出反饋控制叫做次優(yōu)控制。 此外，上述問題要有解，必須滿足三個條件： （1） （A，B）是穩(wěn)定的； （2） R0且Q-NR-1NT0; （3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虛軸上不是非能觀 模式。 當上述條件不滿足時，則二次型最優(yōu)控制無解，函數(shù) 會顯示警告信號。,3.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設計實例,【例8.7】設系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為： (1)采用輸入反饋，系統(tǒng)的性能指標為： 取 ，R=1,(2)采用輸出反饋，系統(tǒng)的性能指標為： ，取Q=1,R=1 試設計LQ最優(yōu)控制器，計算最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣 ，并對閉環(huán)系統(tǒng)進行單位階躍的 仿真。 【解】 （1）我們可以用MATLAB函數(shù)lqr()來求解LQ最 優(yōu)控制器，程序清單如下：,A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6; B=0,0,1;C=1,0,0;D=0; Q=diag(1,1,1); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序運行結果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046,同時得到閉環(huán)階躍響應曲線，如圖1-1所示。 圖1-1 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線,由圖1-1可知，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應曲線略微 超調后立即單調衰減，仿真曲線是很理想的，反 映了最優(yōu)控制的結果。 （2）我們可以用MATLAB函數(shù)lqry()來求解LQ最優(yōu)控 制器，給出程序清單如下： A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6; B=0,0,1;C=1,0,0;D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc),程序運行結果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同時得到閉環(huán)階躍響應曲線，如圖1-2所示。 圖1-2 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線 由圖1-1和圖1-2知，經(jīng)最優(yōu)輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線與經(jīng)最優(yōu)狀態(tài)反 饋后的階躍響應曲線很接近。,三、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制,下面對離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制進行詳細介紹。 1、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理 假設完全可控離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 要尋求控制向量 使得二次型目標函數(shù) 為最小。,式中，Q為半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為正定實對稱 常數(shù)矩陣；Q、R分別為X和U的加權矩陣。 根據(jù)極值原理，我們可以導出最優(yōu)控制律： 式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必 須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程 因此，系統(tǒng)設計歸結于求解黎卡夫（Riccati）方程 的 問題，并求出反饋增益矩陣K。,2.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù),在MATLAB工具箱中，提供了求解離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函 數(shù)dlqr()與dlqry()。其調用格式為： 其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定 實對稱常數(shù)矩陣；R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性 能指標中交叉乘積項的加權矩陣；K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對應 Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P 存在）；E為矩陣A-BK的特征值。,其中，dlqr()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即 ，則其性能指標為： 3.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設計實例 【例2】設離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程 試計算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。,【解】 設定性能指標為 ， 取 ,R=1。 用MATLAB函數(shù)dlqr()來求解最優(yōu)控制器，給出程序清 單如下： %求解最優(yōu)控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=1000,0;0,1; R=1; A=a,0;-c*a,1; B=b;-c*b; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1); bxc=0;1;cxc=1,0;dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100),程序運行后得到系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣KX為： Kx =1.9981 -0.0310 以及閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應曲線，如圖1-3所示。 圖1-3 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應曲線,四、 線性二次型Gauss最優(yōu)控制,考慮系統(tǒng)隨機輸入噪聲與隨機量測噪聲的線性二次型的最優(yōu)控制叫 做線性二次Gauss(LQG)最優(yōu)控制。這是一種輸出反饋控制，對解決線性 二次型最優(yōu)控制問題更具有實用性。 1.LQG最優(yōu)控制原理 假設對象模型的狀態(tài)方程表示為： 式中，(t)和(t)為白噪聲信號，(t)為系統(tǒng)干擾噪聲，(t)為傳感器帶來的 量測噪聲。假設這些信號為零均值的Gauss過程，它們的協(xié)方差矩陣為： 式中，Ex為向量x的均值。ExxT為零均值的Gauss信號x的協(xié)方差。 進一步假設(t)和(t)為相互獨立的隨機變量，使得E (t)T(t) =0。定義最 優(yōu)控制的目標函數(shù)為： 式中，Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣，R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣。,根據(jù)LQG問題的分離原理，典型的線性二次型Gauss最優(yōu)控制的解 可以分解為下面兩個問題： LQ最優(yōu)狀態(tài)反饋控制問題； 帶有擾動的狀態(tài)估計問題。 設計LQG控制器的一般步驟如下。 （1）根據(jù)二次型的性能指標J，尋求最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣K。 （2）設計一個卡爾曼濾波器來估計系統(tǒng)狀態(tài)。 （3）構建LQG控制器。 下面介紹Kalman濾波器和LQG控制器設計的MATLAB實現(xiàn)。 2. Kalman濾波器 在實際應用中，若系統(tǒng)存在隨機擾動，通常系統(tǒng)的狀態(tài)需要由狀態(tài)方 程Kalman濾波器的形式給出。 Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測器，能夠抑 制或濾掉噪聲對系統(tǒng)的干擾和影響。利用Kalman濾波器對系統(tǒng)進行最優(yōu) 控制是非常有效的。,在MATLAB的工具箱中提供了Kalman()函數(shù)來求解系統(tǒng)的Kalman濾波 器。其調用格式為： 對于一個給定系統(tǒng)sys，噪聲協(xié)方差Q，R，N函數(shù)返回一個Kalman濾波器 的狀態(tài)空間模型kest,濾波器反饋增益為L，狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差為P。用 MATLAB構建的Kalman狀態(tài)觀測器模型為： 【例3】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 已知 ，試設計系統(tǒng)Kalman濾波器。 【解】 為計算系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣與估計誤差的協(xié)方差，給出一下程序：,% Kalman濾波器 A=-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2; B=6,1,1;C=0,0,1;D=0; S=ss(A,B,C,D); Q=0.001;R=0.1; kest,L,P=kalman(S,Q,R); L,P 運行程序，得到系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣L與估計誤差的協(xié)方差 P為： L = 1.0641 1.1566 2.0393 P = 0.0678 0.0664 0.1064 0.0664 0.0695 0.1157 0.1064 0.1157 0.2039,3.LQG最優(yōu)控制器的MATLAB實現(xiàn),我們已經(jīng)知道，LQG最優(yōu)控制器是由系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益K和 Kalman濾波器構成，其結構如圖1-4所示。 圖1-4 LQG最優(yōu)控制器框圖,Kalman濾波,-K,W,V,Y,x,u,+,+,LQG控制器,在系統(tǒng)最優(yōu)反饋K和Kalman濾波器設計已經(jīng)完成的情況下，可借助 MATLAB工具箱函數(shù)reg()來實現(xiàn)LQG最優(yōu)控制。函數(shù)調用格式為： rlqg=reg(sys,K,L) 其中，sys為系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，K為用函數(shù)lqr()等設計的最優(yōu)反饋增益，L 為濾波器反饋增益，rlqg為LQG調節(jié)器。 【例3】已知控制系統(tǒng)結構圖如圖1-5所示，Simulink仿真模型為untitled.mdl。 試對系統(tǒng)進行LQG最優(yōu)控制，并給出系統(tǒng)閉環(huán)的單位階躍響應曲線。 圖1-5 系統(tǒng)結構圖,【解】 根據(jù)題意，要將已知系統(tǒng)結構圖模型轉換成狀態(tài)空間模型，需要 調用函數(shù)linmod()。取加權矩陣Q1=1,R1=1,以及噪聲矩Q2=0.001,R2=0.1。 給出程序如下： %生成狀態(tài)空間模型 a,b,c,d=linmod(untitled); s1=ss(a,b,c,d); q1=1000,0,0;0,1,0;0,0,1;r1=1; K=lqr(a,b,q1,r1) %設計Kalman濾波器 q2=1;r2=1; kest,L,P=kalman(s1,q2,r2); %LQG校正器 af,bf,cf,df=reg(a,b,c,d,K,L);