統(tǒng)計學(xué),從數(shù)據(jù)到結(jié)論,第三章數(shù)據(jù)的描述,在對數(shù)據(jù)進行深入加工之前，總應(yīng)該對數(shù)據(jù)有所印象。 可以借助于圖形和簡單的運算，來了解數(shù)據(jù)的一些特征。 由于數(shù)據(jù)是從總體中產(chǎn)生的，其特征也反映了總體的特征。對數(shù)據(jù)的描述也是對其總體的一個近似的描述。,3.1 如何用圖來表示數(shù)據(jù)？,3.1.1 定量變量的圖表示:1.直方圖,對于一個定量變量，比如某個地區(qū)（地區(qū)1）測量了163個高三男生的身高（S3height1.txt）。 用圖形來表示這個數(shù)據(jù)，使人們能夠看出這個數(shù)據(jù)的大體分布或“形狀”的一個辦法是畫直方圖(histogram)。 圖3.1就是利用這個數(shù)據(jù)由SPSS軟件所畫的直方圖。,該圖的橫坐標是身高區(qū)間，這里每一格代表5cm的身高范圍（格子寬度因不同的數(shù)據(jù)性質(zhì)或要求而定，這里的格子寬度為5cm），而縱坐標為各種身高區(qū)間的身高的頻數(shù)。,直方圖,3.1.1 定量變量的圖表示:2.盒型圖,簡單一些的是盒形圖(boxplot，又稱箱圖、箱線圖、盒子圖)。 圖3.2的左邊一個是根據(jù)地區(qū)1高三男生的身高數(shù)據(jù)所繪的盒形圖；其右邊的圖代表另一個地區(qū)（地區(qū)2）的高三學(xué)生的身高（height.txt，height.sav，第三章例.xls）。,盒型圖,盒子的中間橫線是數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)，封閉盒子的上下兩橫線（邊）為上下四分位數(shù)（點）；按照SPSS的默認選項，如果所有樣本中的數(shù)目都在離四分位點1.5倍盒子長度之內(nèi)，則線的端點為最大和最小值，否則線長就是1.5倍的盒子長度（盒子長度稱為四分位間距），在其外面的度量單獨點出,3.1.1 定量變量的圖表示:3.莖葉圖,在直方圖和盒形圖中，很難恢復(fù)數(shù)據(jù)的原貌。而另一種圖：莖葉圖(stem-and-leaf plots)可以恢復(fù)數(shù)據(jù) 以地區(qū)1高三男生身高為例（圖3.3），莖葉圖既展示了分布形狀又有原始數(shù)據(jù)。它象一片帶有莖的葉子。莖為較大位數(shù)的數(shù)字，葉為較小位數(shù)的數(shù)字。,莖葉圖,其中莖葉圖中莖的單位為10cm，而葉子單位為1cm。比如，由于第一行莖為150cm，因此葉子中的九個數(shù)字001223344代表九個數(shù)目150、150、151、152、152、153、153、154、154cm等。每行左邊有一個頻數(shù)（比如第一行有9個數(shù)目，第二行有17個等等）；可以看出最長的一行為從165cm到169cm的一段（有35個數(shù)）。,3.1.1 定量變量的圖表示:4.散點圖,數(shù)據(jù)會有兩個變量，如美國男士和女士初婚年限數(shù)據(jù)（marriage.txt）。 該數(shù)據(jù)描述了自1900年到1998年男女第一次婚姻延續(xù)的時間。 這里年份是一個變量，婚姻延續(xù)時間是第二個變量。由于不可能將所有人的婚姻年限都給出來，所以每年就取了一個中間的值(中位數(shù))作為代表。,散點圖,3.1.2 定性變量的圖表示：餅圖,定性變量（或?qū)傩宰兞?，分類變量）不能點出直方圖、散點圖或莖葉圖，但可以描繪出它們各類的比例。 下面用SPSS繪的圖3.5（餅圖，pie chart）表示了說世界各種主要語言人數(shù)的比例(language.txt).,餅圖,3.1.2 定性變量的圖表示：條形圖,而用同樣數(shù)據(jù)畫的圖3.6稱為條形圖（bar chart）。 從每一條可以看出講各種語言的實際人數(shù)，而且分別給出了每個語種中母語和日常使用的人數(shù)（在圖中并排放置）。條形圖顯示比例不如餅圖直觀。,條形圖,3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？,大量的數(shù)字既繁瑣又不直觀；需要對數(shù)據(jù)做人們時間和耐心所允許的簡化 我們可以用 “平均”，“差距”或百分比等來概括大量數(shù)字。 由于定性變量主要是計數(shù)，比較簡單，常用的概括就是比例或百分比。下面主要介紹關(guān)于定量變量的數(shù)字描述。,3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？,可用少量所謂匯總統(tǒng)計量或概括統(tǒng)計量(summary statistic)來描述定量變量的數(shù)據(jù)。 這些數(shù)字是從樣本數(shù)據(jù)得來的，因而也是樣本的函數(shù)， 任何樣本的函數(shù)，只要不包含總體的未知參數(shù)，都稱為統(tǒng)計量(statistic)。 樣本的隨機性決定統(tǒng)計量的隨機性（統(tǒng)計量也是隨機變量）,3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？,概括統(tǒng)計量經(jīng)常對應(yīng)于總體的無法觀測到的某些參數(shù)。 這時，統(tǒng)計量可作為這些參數(shù)的估計。一些統(tǒng)計量還可以用來檢驗樣本和假設(shè)的總體是否一致。,3.2 如何用少量數(shù)字來概括數(shù)據(jù)？,注：一些統(tǒng)計量前面有時加上“樣本”二字，以區(qū)別于總體的同名參數(shù)。如“樣本均值”和“樣本標準差”，以區(qū)別于總體均值和總體標準差；但在不會混淆時可以只說“均值”和“標準差”。,3.2.1 數(shù)據(jù)的“位置”,數(shù)據(jù)有位置嗎？,這里三個數(shù)據(jù)的位置一樣嗎？,3.2.1 數(shù)據(jù)的“位置”,“位置”一般是關(guān)于數(shù)據(jù)中某變量觀測值的“中心位置”或者數(shù)據(jù)分布的中心（center或center tendency）。 和這種“位置”有關(guān)的統(tǒng)計量就稱為位置統(tǒng)計量(location statistic)。 位置統(tǒng)計量當然不一定都是描述“中心”了，比如后面要講的k百分位數(shù)（或k分位數(shù)）。,3.2.1 數(shù)據(jù)的“位置”,最常用的位置統(tǒng)計量就是小學(xué)時所學(xué)到的算術(shù)平均數(shù)，它在統(tǒng)計中叫做均值(mean)；嚴格地說叫做樣本均值(sample mean)，以區(qū)別于總體均值。 如果記樣本中的觀測值為x1,xn，則樣本均值定義為,(樣本)中位數(shù)(median) 是數(shù)據(jù)按照大小排列之后位于中間的那個數(shù)(如果樣本量為奇數(shù))，或者中間兩個數(shù)目的平均(如果樣本量為偶數(shù))。 由于中位數(shù)不易被極端值影響，所以中位數(shù)比均值穩(wěn)健(robust)。,3.2.1 數(shù)據(jù)的“位置”,上下四分位數(shù)（或分別稱為第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)，first quantile, third quantile）則分別位于（按大小排列的）數(shù)據(jù)的上下四分之一的地方。,3.2.1 數(shù)據(jù)的“位置”,3.2.1 數(shù)據(jù)的“位置”,一般地還稱上四分位數(shù)為75百分位數(shù)（75 pecentile，有75的觀測值小于它），下四分位數(shù)為25百分位數(shù)（有25的觀測值小于它）。 一般地，k百分位數(shù)（k-pecentile）意味著有k的觀測值小于它。 如果令a=k%，則k百分位數(shù)也稱為a分位數(shù)(a-quantile)。 樣本中出現(xiàn)最多的數(shù)目，稱為眾數(shù)(mode),3.2.2 數(shù)據(jù)的“尺度”,這兩個數(shù)據(jù)“胖瘦”一樣嗎？,3.2.2 數(shù)據(jù)的“尺度”,數(shù)據(jù)中數(shù)目的分散程度由尺度統(tǒng)計量（scale statistic）來描述。 尺度統(tǒng)計量是描述數(shù)據(jù)散布，即描述集中與分散程度或變化（spread或variability）的度量。,3.2.2 數(shù)據(jù)的“尺度”,從前面兩個高三男生身高數(shù)據(jù)的盒形圖。左邊的數(shù)據(jù)平均要高些，但右邊的數(shù)據(jù)散布范圍要小得多。,統(tǒng)計中有許多尺度統(tǒng)計量。一般來說，數(shù)據(jù)越分散，尺度統(tǒng)計量的值越大。,3.2.2 數(shù)據(jù)的“尺度”,極差(range)；就是極大值和極小值之間的差。 前面兩個高三男生身高數(shù)據(jù)的極差分別為50cm和32cm。 盒形圖盒子的長度為兩個四分位數(shù)之差，稱為四分位數(shù)極差或四分位間距(interquantile range)；它描述了中間半數(shù)觀測值的散布情況。極差和四分位極差實際上各自只依賴于兩個值，信息量太少。,3.2.2 數(shù)據(jù)的“尺度”,另一個常用的尺度統(tǒng)計量為（樣本）標準差(standard deviation)。度量樣本中各數(shù)值到均值距離的一種平均。 標準差實際上是方差(variance)的平方根。如果記樣本中的觀測值為x1,xn，則樣本方差為,3.2.2 數(shù)據(jù)的“尺度”,兩個均值一樣，但右邊的要“胖”些，方差為左邊的一倍,3.2.3 數(shù)據(jù)的標準得分,假定兩個水平類似的班級（一班和二班）上同一門課， 但是由于兩個任課老師的評分標準不同，使得兩個班成績的均值和標準差都不一樣(數(shù)據(jù)：grade.txt)。,3.2.3 數(shù)據(jù)的標準得分,一班分數(shù)的均值和標準差分別為78.53和9.43，而二班的均值和標準差分別為70.19和7.00。 那么得到90分的一班的張穎是不是比得到82分的二班的劉疏成績更好呢？怎么比較才能合理呢？,3.2.3 數(shù)據(jù)的標準得分,雖然這種均值和標準差不同的數(shù)據(jù)不能夠直接比較，但是可以把它們進行標準化，再比較標準化后的數(shù)據(jù)。 一個標準化的方法是把某樣本原始觀測值（亦稱得分，score）和該樣本均值之差除以該樣本的標準差；得到的度量稱為標準得分(standard score，又稱為z-score)。,3.2.3 數(shù)據(jù)的標準得分,即，某觀測值xi的標準得分定義為,3.2.3 數(shù)據(jù)的標準得分,在我們的例子中，張穎的標準得分為(90-78.53)/9.431.22，而劉疏的標準得