hjT,求代數(shù)方程的近似根(解),問(wèn)題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康?近似求解代數(shù)方程,解方程（代數(shù)方程）是最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問(wèn)題之一。,目前還沒(méi)有一般的解析方法來(lái)求解非線性方程，但如果在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則可以認(rèn)為求解問(wèn)題已基本解決，至少可以滿(mǎn)足實(shí)際需要。,本實(shí)驗(yàn)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：對(duì)分法，迭代法 和 牛頓法。同時(shí)要求大家學(xué)會(huì)如何利用Matlab 來(lái)求方程的近似解。,相關(guān)概念,如果 f(x) 是一次多項(xiàng)式，稱(chēng)上面的方程為線性方程；否則稱(chēng)之為非線性方程。,線性方程 與 非線性方程,基本思想,對(duì)分法,將有根區(qū)間進(jìn)行對(duì)分，判斷出解在某個(gè)分段內(nèi)，然后再對(duì)該段對(duì)分，依次類(lèi)推，直到滿(mǎn)足給定的精度為止。,具體步驟,對(duì)分法,設(shè)方程在區(qū)間 a,b 內(nèi)連續(xù)，且 f(a)f(b)0，給定精度要求 ，若有 |f(x)| ，則 x 就是我們所需要的 f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的 近似根。,. .,收斂性分析,對(duì)分法收斂性,設(shè)方程的根為 x* (ak , bk ) ，又 ，所以,對(duì)分法總是收斂的,但對(duì)分法的收斂速度較慢 通常用來(lái)試探實(shí)根的分布區(qū)間， 或給出根的一個(gè)較為粗糙的近似。,根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個(gè)每次縮小一半的區(qū)間序列 ak , bk ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。,迭代法, (x) 的不動(dòng)點(diǎn),f (x) = 0,x = (x),f (x) 的零點(diǎn),若 收斂，即 ，假設(shè) (x) 連續(xù)，則,收斂性分析,迭代法的收斂性,即,注：若得到的點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！,定義：,迭代法收斂性判斷,定理 2：如果定理 1 的條件成立，則有如下估計(jì),如果存在 x* 的某個(gè) 鄰域 =(x*- , x* + ), 使得對(duì) x0 開(kāi)始的迭代 xk+1 = (xk) 都收斂, 則稱(chēng)該迭代法在 x* 附近局部收斂。,迭代法收斂性判斷,q 越小，迭代收斂越快,(x*) 越小，迭代收斂越快,迭代法收斂性判斷,以上所給出的收斂性定理中的條件的驗(yàn)證都比較困難，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用下面不嚴(yán)格的判別方法：,當(dāng)有根區(qū)間 a, b 較小，且對(duì)某一 x0a, b ，|(x0)| 明顯小于 1 時(shí)，則我們就認(rèn)為迭代收斂,迭代法的加速,設(shè)迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的近似根分別為 xk 和 (xk) ，令,其中 wk 稱(chēng)為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代 xk+1 = (xk),松弛迭代法,松弛法迭代公式：,松弛法具有較好的加速效果，甚至有些不收斂的迭代，加速后也能收斂。,缺點(diǎn)：每次迭代需計(jì)算導(dǎo)數(shù),Altken 迭代法,Altken迭代法,用 差商 近似 微商,設(shè) x* 是方程的根，則由中值定理可得,Altken 迭代法,Altken迭代公式,k = 0, 1, 2, . .,Altken 法同樣具有較好的加速效果,牛頓迭代法,令：,設(shè)非線性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 處的 Taylor 展開(kāi)為,牛頓法迭代公式,牛頓迭代公式,k = 0, 1, 2, . .,牛頓法的收斂速度,令,牛頓法至少二階局部收斂,(x) 即為牛頓法的迭代函數(shù),牛頓法迭代公式,牛頓的優(yōu)點(diǎn),牛頓法是目前求解非線性方程 (組) 的主要方法,至少二階局部收斂，收斂速度較快，特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)充分靠近精確解時(shí)。,在實(shí)際計(jì)算中，可以先用其它方法獲得真解的一個(gè)粗糙近似，然后再用牛頓法求解。,Matlab 解方程函數(shù),roots(p)：多項(xiàng)式的所有零點(diǎn)，p 是多項(xiàng)式系數(shù)向量。,fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用 inline、字符串、或 ，但不能是方程或符號(hào)表達(dá)式！,solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)方程； solve 也可解方程組(包含非線性)； 得不到解析解時(shí)，給出數(shù)值解。,linsolve(A,b)：解線性方程組。,其他 Matlab 相關(guān)函數(shù),g=diff(f,v)：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于 v 的導(dǎo)數(shù) g=diff(f)：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù) g=diff(f,v,n)：求 f 關(guān)于 v 的 n 階導(dǎo)數(shù),diff,f 是符