華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 粘性不可壓縮流體動力學(xué)的數(shù)學(xué)理論自從j l e r a y 【5 在1 9 3 4 年的開創(chuàng)性工作以 來，引起了許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注對于一些粘性流體，諸如像空氣或其它氣 體，水，酒精和一些簡單的碳?xì)浠衔锏?，物理試驗表明這類流體的運動可以用s t o k e s 定律來描述，也就是說，粘性應(yīng)力張量一線性依賴于速度變形張量e ( u ) ，描述這類流 體運動的方程就稱為n a v i e r s t o k e s 方程然而有許多流體，例如油漆，橡膠，聚合物 溶液以及一些生物流體如血液等等，物理試驗表明這類流體的運動不滿足s t o k e s 定 律，即其本構(gòu)關(guān)系是非線性的，這類其運動不滿足s t o k e s 定律的流體就稱之為非牛頓 流體，而且如果粘性應(yīng)力張量依賴于速度場的一階( 或二階) 導(dǎo)數(shù)，則相應(yīng)的非牛頓流 體稱為單極( 或雙極) 流體 關(guān)于粘性不可壓縮流體的數(shù)學(xué)理論，有大量的文獻(xiàn)來研究其適定性和長時間性態(tài) 【1 - 7 l 】最近，n e c 如o v a 等【6 9 利用f o u r i e r 分解方法研究了單極非牛頓流體弱解的 l 2 衰減性，然而由于沒有精確估計高粘性項v ( 1 e ( u ) l p - - 2 e ( 札) ) ，他們只得到了當(dāng)初速 度“o l 2 n l l 時，弱解u ( o ，t ) 在驢范數(shù)下衰減率分別為i n 一( 1 + t ) ( 二維情形) 和 ( 1 + t ) 一 ( 三維情形) 關(guān)于雙極非牛頓流體，g u o 和z h u 【7 1 利用f o u r i e r 分解方法 也討論了弱解的驢衰減，由于他們沒有考慮到低耗散項u 的影響，因此弱解在l 2 范數(shù)下的衰減率只能達(dá)到f 1 + t ) - 科ni 1 一鄯 本文也是討論關(guān)于單極流體和雙極流體弱解的時間衰減性我們首先利用s t o k e s 算子的譜理論來討論單極流體的衰減率由于s t o k e s 算子在l p ( r “) ( 1 p o 。) 生成 一個有界的解析半群，這就保證了s t o k e s 算子分?jǐn)?shù)冪的存在性，我們充分利用s t o k e s 算子的分?jǐn)?shù)冪以及線性熱方程解的口一三a 衰減估計，得到了當(dāng)初速度釷o l 2 時， l f u ( 圳2 - 40 ( t - 。o ) ；當(dāng)u o l 2 n l ( 1 r 2 ) 時，( 圳2 c t 一 ( 一 ) ，而且衰減 率達(dá)到與線性熱方程一致關(guān)于雙極流體，我們通過進(jìn)一步改進(jìn)f o u r i e r 分解方法， 得到了當(dāng)初速度釷o l 2n l l 時，弱解u ( x ，t ) 在l 2 范數(shù)下衰減率為( 1 + f ) 一 ，達(dá)到 與線性熱方程一致 關(guān)鍵詞：弱解l 2 衰減非牛頓流體譜分解 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fv i s c o u si n c o m p r e s s i b l ef l u i d sd y n a m i c sh a sb e e na t - t r a c t i n gt h ea t t e n t i o no fm a n y m a t h e m a t i c a n sa n dp h y s i c i s t ss i n c et h ep i o n e e rw o 。k f 5 1o fj l e r a yi n1 9 3 4 f o rs o m ev i s c o u sf l u i d s ，s u c ha sa i r ，o t h e rg a s e s ，w a t e r ，a l c o h o l s ， a n ds i m p l yh y d r o c a r b o nc o m p o u n d se t c ，p h y s i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h em o t i o n o ft h e s ef l u i d sc a nb ed e s c r i b e db yt h es t o k e sl a w ，i e v i s c o u ss t r e s s t e n s o r d e p e n d sl i n e a r l yo ns t r a i nt e n s o re ( “) ，t h e i rg o v e r n i n ge q u a t i o n so f m o t i o na r es o c a l l e d n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s h o w e v e r ，t h e r ea r em a n yf l u i d s ，f o re x a m p l e s ，p a i n t s ，v a t n i s h e s m o l t e np l a s t i c s ，g r e a s e sa n db i o l o g i c a lf l u i d sl i k eb l o o d ，p h y s i c a le x p e r i m e n t s i n d i c a t et h a tt h em o t i o no ft h e s ef l u i d sc a nn o tb ed e s c r i b e db yt h es t o k e sl a w ，i e t h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i pi sn o n l i n e a r ，t h ef l u i d sa r ec a l l e dn o n n e w t o n i a n i f t h e v i s c o u ss t r e s st e n s o rt ”d e p e n d so n l yo nt h ef i r s to r d e r ( o rt h es e c o n do r d e r ) d e r i v a t i v e s o ft h ev e l o c i t yf i e l d ，t h ef l u i di sam o n o p o l a r ( b i p o l a r ) o n e a sf o rt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fv i s c o u si n c o m p r e s s i b l ef l u i d s ，t h e r ei sa ne x - t e n s i v el i t e r a t u r eo nt h ew e l l p o s e d n e s sa n dl a r g et i m eb e h a v i o r 1 _ 7 1 】r e c e n t l y ， n e c a s o v 矗e ta l 6 9 s t u d i e dt h el 2d e c a yf o rw e a ks o l u t i o n so ft h em o n o p o l a rn o n n e w t o n a i nf l u i d sb yt h ef o u r i e rs p l i t t i n gm e t h o d s ，h o w e v e r ，b e c a u s et h e yd i d n tg e t t h ee x p l i c te s t i m a t e so nt h eh i g hv i s c o u st e r mv ( f e ( u ) r 2 e ( “) ) ，t h e yg o tt h a tw h e n o l 2 n l l ，t h ew e a ks o l u t i n o s 扛，t ) i nl 2n o r md e c a ya tar a t ei n m ( 1 + t ) ( 扎= 2 ) a n d ( 1 + t ) 一 協(xié)= 3 ) f o rt h eb i p o l a rf l u i d s g u oa n dz h u 【7 1 】a l s ov e s t i g a t e dt h e a l g e b r a i cl 2d e c a yo fw e a ks o l u t i o n s ，b e c a u s et h e yn e g l e c t e dt h ee f f e c t o ft h el o w e r d i s s i p a t i v et e r ma u ，t h e yo n l yg o tt h a tt h ew e a ks o l u t i o n si nl 2n o r md e c a ya ta r a t e f 1 + t 1 一昔( 如 i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，t h et i m ed e c a yo ft h em o n o p o l a ra n db i p o l a rn o n n e w t o n i a n f l u i d si sa l s ov e s t i g a t e d w ef i r s t l yc o n s i d e rt h ed e c a yr a t eo ft h em o n o p o l a rf l u i d sb y u s i n gt h es p e c t r a lt h e o r yo ft h es t o k e so p e r a t o r i ti s w e l lk n o w nt h a t ，t h ee x i s t e n c e o ff r a c t i o n a lp o w e r so ft h es t o k e so p e r a t o ri sg u a r a n t e e db yt h ef a c tt h a tt h es t o k e s 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 o p e r a t o ri nr “g e n e r a t e sab o u n d e da n a l y t i cs e m i g r o u pi ne a c h 驢( 礎(chǔ)) ( 1 p o 。) s p a c e - a p p l y i n gt h ef r a c t i o n a lp o w e ro fs t o k e so p e r a t o ra n d 上尸一l qd e c a ye s t i m a t s o ft h eh 8 8 te q u a t i o n s ，w es h o wt h a ti f u 0 l 2 ，l l u ( t ) 1 1 2 0 ( t o o ) ，a n di f 亂o l 2 n l ( 1 r 2 時流體稱為厚剪切流，當(dāng)p 2 是 就稱為薄剪切流把上述本構(gòu)關(guān)系( 1 5 ) 一( 1 6 ) 分別代入( 工i ) 得到的流體就通常稱為 單極流體和雙極流體關(guān)于流體動力學(xué)的一般物理背景可參照 1 - 4 對上述粘性流體附加上必要的初邊值條件 札( 茁，0 ) = 1 1 0 ， i nq ， ( 1 7 ) 釷( z ，t ) = 0 ， i na q ( 0 ，o 。) ( 1 8 ) 其數(shù)學(xué)理論的研究主要是討論這類系統(tǒng)是否可解，以及相應(yīng)的解的性質(zhì)等等 粘性不可壓縮流體動力學(xué)的數(shù)學(xué)理論自從l e a f yf 5 1 的開創(chuàng)性工作以來，七十多 年來取得了輝煌的成就首先對于經(jīng)典的n a v i e r s t o k e s 方程，l a d y z h e n s k w a 在其 經(jīng)典的著作【6 】中構(gòu)建了一般的理論框架，隨后t e m a m 【7 ，8 】，g a l d i 9 ，p l l i o n s 1 0 】，s o h r 1 1 ，l e m a r i 6 【1 2 】系統(tǒng)的研究了這類粘性流體的一般理論關(guān)于解的存在性 和正則性，l e r a y 【5 】首次在i p 給出了一類適當(dāng)弱解的整體存在性，h o p f 1 3 在有 界區(qū)域討論了這類弱解的整體存在性( 然而這類適當(dāng)弱解所包含的函數(shù)類太廣泛了， 以至于在三維情形其唯一性至今懸而未決) f u j i t a 和k a t of 1 4 利用半群方法在一定 的可積條件下研究了l e r a y - h o p f 弱解的存在唯一性，之后關(guān)于解的正則性有大量的 文獻(xiàn)，如s e r r i n 1 5 ，s c h e f f e r 1 6 ，c a f f a r e l l i ，k o h na n dn i r e n b e r g 1 7 ，l a d y z h e n s k a y a 【1 8 1 等另外h e y w o o d 【1 9 1 ，k a t o 2 0 1 ，g i g a 2 1 1 - 2 4 ，c o i f m a n 2 乩a m a n n 【2 6 1 ，c h e n 2 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 和x i n 2 7 ，h o f f 【2 8 等研究了當(dāng)初值屬于適當(dāng)空間時系統(tǒng)的可解性問題，c a n n o n e 2 9 】，n e e a sf a o ，t s a i 3 1 分別在b e s o v 空間，l 3 中討論了其自相似解關(guān)于解的長 時間性態(tài)，m e s c h o n b e k a 2 一 4 0 1 主要利用f o u r i e r 分解方法在全空間上討論了弱解 的三2 衰減性，并且精確的給出了其上下界估計，以及在一定的加權(quán)可積條件下解的 時空估計t m i y a k a w af 4 1 一 4 9 1 則利用s t o k e s 算子的譜分解方法，非常精細(xì)地描述 其弱解在全空間，半空間，外區(qū)域的擴(kuò)( 1 蘭ps2 ) 衰減性，而且也成功地利用h a r d y 空間技術(shù)研究了解的時空衰減性還有其他的一些工作如 5 0 - 5 6 】，則大都是上面兩種 方法在一定條件下的推廣 關(guān)于粘性不可壓縮非牛頓流體的數(shù)學(xué)理論，l a d y z h e n s k a y a 5 7 ，j l l i o n s 5 8 首 先研究了其可解性問題，隨后這方面的工作也有很大的發(fā)展如 5 9 一 6 8 關(guān)于解的長 時間性態(tài)，由于系統(tǒng)的非線性程度較高，很難預(yù)測是否能得到像經(jīng)典的n a v i e r s t o k e s 方程那樣豐富的衰減性最近n e c 矗s o v a 6 9 1 利用f o u r i e r 分解方法討論了單極粘性 流體在全空間上弱解的l 2 衰減性，但由于對高粘性項v ( i e ( u ) l p _ 2 e ( “) ) 沒有給出精 確的估計，因此只能得到一半的衰減率，他們證明了當(dāng)初速度“o l 2nl 1 時，速度 u ( x ，t ) 在三2 范數(shù)下衰減率分別為i n 一“( 1 - t - t ) ( 二維情形) 和( 1 + t ) 一 ( 三維情形) c u o 和z h uf 7 0 1 通過改進(jìn)f o u r i e r 分解方法得到了一致代數(shù)衰減性，他們得到當(dāng)初速 度q a 0 l 2n l 7 ( 1 r 2 ) 時， ( 茁，t ) 為線性熱方程的解，那么速度u ( z ，t ) 在l 2 范數(shù)下衰減率為( 1 + 1 ) - 。2 。r 射，而且陋( t ) 一 ( t ) i f 2 _ 0 ，當(dāng)t _ o 。關(guān)于雙極流體， g u o 和z h u 7 1 也利用f o u r i e r 分解方法討論了弱解的l 2 衰減性，然而由于他們沒 有考慮低耗散項u 對流體衰減性的影響，因此衰減率只能做到( 1 + ) 一 ( 一扣 本文我們首先利用s t o k e s 算子的譜分解方法來討論單極粘性流體弱解的l 2 衰 減由于s t o k e s 算子在上，( r “) ( 1 r o 。) 生成一個有界的解析半群 7 2 ，7 3 ，我們充 分利用其分?jǐn)?shù)冪，將s t o k e s 算子的譜在零點附近截斷，然后利用一些基本的泛函分析方 法和不等式，得到了弱解的一致代數(shù)衰減性，而且其衰減率達(dá)到與線性熱方程一致如 我們證明了當(dāng)初速度u o l 2 時，1 1 u ( 圳2 - 4 0 ( 亡- o 。) ；而當(dāng)u o l 2 n l 7 ( 1 r 2 ) 時， l t u ( t ) r 1 2 c t i 皓一j ( n 3 ) ，t l ，而且如設(shè)v ( x ，t ) 為線性熱方程的解，則當(dāng) _ 。時，j u ( t ) 一u ( t ) 1 1 2 = o ( t - ”2 。r ) ) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 關(guān)于粘性不可壓縮雙極流體，我們通過進(jìn)一步改進(jìn)f o u r i e r 分解方法，由于影響 解的衰減性的主要原因是流體的低頻效應(yīng)，因此我們主要討論低耗散項札的影響， 從而得到了弱解的一致代數(shù)衰減性，而且其衰減率達(dá)到與線性熱方程一致如我們得 到了當(dāng)初速度u o l 2nl 1 ，那么速度札( z ，t ) 在l 2 范數(shù)下衰減率為( 1 + t ) 一 ( n 2 ) ， 而且如設(shè) ( z ，t ) 為線性熱方程的解，則當(dāng)t - o o 時，( t ) 一”( t ) f f 2 = 。( ( 1 + t ) 一 ) 1 2 預(yù)備知識 首先，為了討論問題的方便，本文采用以下記號和約定： l 。( r ，) ( 1sq 0 ，；1 + i 1 = 1 ，則有 曲g a p + c l ) b 9 其中c ( e ) = ( 印) 一；g 定理1 2 ( h s l d e r 不等式) 假設(shè)1sp ，9s c o ，i 1 + ；= 1 ，如果u 口，u l 9 ， 則u 口l 1 ，且有 r 。川如s 刪l 。- 定理1 3 ( 2 插值不等式) 假設(shè)1ss r t o 。，0 0 1 以及滿足 l 一0 ，( 1 0 ) + t8 + t ，c 如果u l 3nl 2 ，則u l 7 ，且有 k 叫u 咿。 定理1 4 ( 廣義g r o n w a l l 不等式) 假設(shè)，( t ) ，口( t ) ，h ( t ) 為非負(fù)的連續(xù)函數(shù)且滿 足 9 ( ) m ) + z 9 ( s ) h ( s ) d s ， v t o ， 這里，詠) 0 ，則有 9 ( t ) ，( f ) e x p ( o 。丘( s ) d s l ，v t o ( 1 9 ) 5 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 特別地當(dāng)，( t ) 三c 時，上述結(jié)論為 ，( t ) 冬c e x p ( z m ) d s ) ， vt o 定理1 5 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) 假設(shè)，p ( r “) ，d “，l 9 ( r “) ，1 曼 p jq 。則對任何j ( 0 j m ) 有 i l d 1 1 ，sc i i l l ；。l i d ”削：， 其中；一丟= a ( ；一署) + ( ，一a ) ；，熹as 若m 一；= ， 。 0 1 3 主要結(jié)果 為了研究單極流體和雙極流體弱解在全空間的衰減性，不失一般性，我們假定密 度p = 1 ，粘性系數(shù)弘o = p = 1 ，外力，= 0 那么在初始條件下，其模型可分別寫成 u 一u + ( u v ) u v ( i e ( ) p - 2 e ( u ) ) + v 7 r = 0 v “= 0 u ( o ，0 ) = 讓o l i m u ( z ，t ) = 0 i zj + ( 11 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) f 1 1 4 1 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 和 u t 一u + a 2 “+ - v ) u v ( f e ( u ) 嚴(yán)一2 e ( 釷) ) + v 丌= o ，( 1 1 5 ) v “= 0 ，( 1 1 6 ) u ( z ，0 ) = 札o ，( 11 7 ) 1 i mu ( x ，t ) = 0 ( 1 1 8 ) l l 葉o o 本文的主要結(jié)果如下： 定理1 7 假設(shè)u ( t ) 為c a u c h y 問題( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 的一個弱解，當(dāng)他3 ，p2 3 時， ( i ) 若初速度螄i - i ，則( 圳_ 0 當(dāng)t _ o o ； ( i i ) 若初速度u 0 hn 口( r “) “，1 r 2 ，則 - ( t ) l l c t 一 ( 一如，t 1 定理1 7 描述的衰減性在下面意義下是最優(yōu)的： 定理1 8 當(dāng)n 蘭3 ，p 3 時，假設(shè)讓( t ) 為c a u c h y 問題( 1 1 1 ) 一( 1 - 1 4 ) 的一個弱 解，”( t ) 為具有相同初值u o 的線性熱方程的解， ( i ) 若u 0 h ，則( t ) 一 ( t ) i l = o ( t 一 ) 當(dāng)t _ 。， 這里= m i n 1 ，i n + j 1 一e ) ，為一充分小的正數(shù)； ( i i ) 若u 0 hnl ( r p ) “，1sr 0 同樣，定理1 9 描述的衰減性在下面意義下是最優(yōu)的： 定理1 1 0 在定理1 9 條件下，且設(shè)u ( t ) 為具有相同初值1 1 0 的線性熱方程的解， 那么對t 1 ， f ( 1 + 壙 ， 2 蘭c ( 1 + 壙 一 【( 1 + t ) 一 一i 1 2 p 3 ，幾= 2 ： 1 + i 2 再n p o ， 且 厶。警馴。+ 厶。嘶差川”r 。t i j ( e ( u ) ) e 玎( 妒) d x = o ( 2 1 ) 對任意妒ew 1 巾( i p ) “n v 在( 0 ，t ) 上幾乎處處成立 在定義2 1 的意義下，c a u c h y 問題( 1 1 i ) 一( 1 1 4 ) 的弱解u ( z ，t ) 滿足下面的能量 不等式： ；丟厶川2 出+ 厶。1 w 1 2 出+ 厶。l v “i 出o ( 2 2 2 關(guān)鍵性引理 我們首先考慮( i i i ) 一( 1 1 4 ) 的抽象c a u c h y 問題 札t + a u + b m ) = 0 ，亂( z ，0 ) = u o ( 2 3 ) 這里 b ( u ) = p ( u - v ) u p v ( 1 e ( u ) r 2 e ( u ) ) ， a 為s t o k e s 算子且可表示為a p aa p ，p 是從l 2 到它的子空間h 上的正 交投影算子，由于它與l a p l a c e 算子可交換，因此立即可得出a 為自伴算子，事 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 實上，a 本質(zhì)上就等于一，而且由s t o k e s 算子a 生成的半群e 。a 本質(zhì)上就等于熱 算子e 出所以半群e 。a 在l q ( r n ) ( 1 0 ，根據(jù)算子a 的譜分解公式，我們來估計上式左邊的第二項 1 1 a “1 1 2 = ：”a d l l e ( a ) u i l 2 f r o a d l l e ( a ) u l l 2 ，。z = p ( 1 l t i i e ( p ) u l l pd l l e ( a ) u l l p ( 1 l u l li e ( p ) u l l 2 ) n 一 2 一 ) 瓢u i l 2 一l i e ( p ) u 憐 扣( t ) | 1 + p l l 札( w 5p i l e ( p ) u ( t ) 1 1 2 ( 2 6 ) 為了估計右端項i i e ( p ) u ( t ) l l ，我們考慮( 2 3 ) 的積分方程形式 u ( ) = e 州u 。+ t e - ( t - s ) a b ( u ) d s ， 這里 e m ，t 0 是由一a 生成的半群把e ( 作用于上述積分方程的兩邊，利用 分部積分就得到 居( p ) u ( t ) = e ( p ) e 一“。+ o 。e ( p ) ( e 一一s a b ( u ) ) d s = e ( p ) e - t a u o + o ：9 e 一、一3 1 d ( e ( a ) b ( “) ) d s = e 。) e - t a u o + 上。e 刊叫e ( p ) b ( u ) ) 如 + ：o s ) ( 上9e 一啡一3 ) e ( ) b ( u ) d a ) d s 下面我們在l 2 范數(shù)下來估計上式右邊的最后兩項，并注意利用引理2 2 曼飾半e 一一( 一) ( 1 1 亂1 1 2 + l l v u 峪：) d s j 0 + c p 半瓜一s ) ( ，。p e _ a ( t _ s ) ( 2 + i s gp半_。(ilull。+iivu憾p-i)執(zhí)j0 、 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 根據(jù)定義2 1 可知，c a u c h y 問題( 1 1 i ) 一( 1 1 4 ) 的弱解u ( z ，t ) 滿足 v u l 2 ( 0 ，o o ；l 2 ( r “) ”) nl p ( o ，o c ；l 9 ( 王p ) ”) 義凼為p23 ，即2s p 一1 0 ，然后關(guān)于時間t 積分就得到 | | 玨( t ) 1 1 2 c a t - 。z 0 t 8 a - 1 擴(kuò)3 且u 。怖s + ( 。+ - 一；- 1 孚t 一孚 + ( q 一- 一擴(kuò)d 孚t 一 ( 2 1 1 ) 我們知道 4 1 ，如果u 0 l 2 ，那么i e 一a u o i l 2 0 當(dāng)t _ 0 ( 3 這樣就可以推斷出，注意 到n 3 ， j | ( t ) j | _ 0 ，t - o o 這就證明了定理l7 的結(jié)論f i l 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二步：( i i ) 的證明 因為u o h n 礦( 1sr ；+ 2 ) ，r = 2 然后兩邊同乘以 t o 就得到 g t a 一 一。( 0 。i i u 怖s 1 2 + g t 。一一2 + c t ”釧u i l 2 + 2 t ” 一鐘v u 忙i 關(guān)于時間t 積分，并利用( 2 7 ) 就有 叫( t ) | | 2s c t l - ( 一i 0 i i | | 2 d s ) 2 + t - 1 o 。i i u i l 2 d s ) + c t 一 一1 + c t 一 一( 2 1 9 ) 根據(jù)定理1 7 的結(jié)論( i ) ，( 圳_ 0 當(dāng)t _ 0 0 于是 i ( t ) 1 1 2 = o ( t 一4 ) ， t - 0 0 這里蘆= m i n ；一1 ，；+ 1 一) ，其中e 為一充分小的正數(shù) 這樣定理1 8 的結(jié)論( i ) 就證明完畢 第二步：( i i ) 的證明 當(dāng)；一2 l 時，根據(jù)定理1 7 ，i i u ( t ) l l sc t 一 ( 一 ( 1sr 2 ) 將其代入到 ( 2 。1 8 ) 就得到 c p 孚t 2 2 ( 一 ) + g p 孚 + c t 一( 摯一 ) + 2 t 一號一 | ，。p p - 一1 ( 2 2 0 ) 1 8 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 同樣，令p ：t t 選取q 適當(dāng)大，兩邊同乘以t “，然后關(guān)于時間t 積分就得到 即 l i 叫( t ) 1 1 2 c t ，t 1 這里1 = m i n 孕一；一1 ，囂+ ；) 當(dāng)；一；= 1 日, - j - 由i i u ( t ) l l i i u o i i 和i i u ( t ) l ls c t g 一 ( 1 冬r 1 時，由于i i 讓( t ) 1 1 2 莖c ( 1 + 礦一( 一) 所以 肼u 舳c 同樣從( 2 1 8 ) ，我們有 這就得到了結(jié)論( i i ) ，定理1 8 證明完畢 ( 2 2 1 ) 1 6 、 一 旦打 r+ 射 l i t 礦 ， + 軋 ” 爭 廠 r + + 墮， 墮， 一 一 2 2 h h 、=三，三一 g e 一 一 0 叫 嗇 1 r l + 薯一 l 塋鯽 社 爭 壙 r e g + + 。一： 。一。 r r c g o 且 厶。警妒出+ lu , o “x - - ；, 忱出+ j f r t i i ( e ( 札) ) ( 妒) 如= 。 ( 3 1 ) 對任意妒w 1 , 一( f p ) ”n v 在( 0 ，t ) 上幾乎處處成立 在定義3 1 自穗義下，c a u c h y 問題( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 的弱解“( z ，t ) 滿足下面的能量 不等式； ；爰厶f u i 2 如+ 厶i v 砰出+ 厶ni a u l 2 如+ 厶i w l 9 d x 0 ( 3 2 ) 3 2 關(guān)鍵性引理 在討論雙極不可壓縮流體的衰減性之前，我們還需要下面的關(guān)鍵性引理 引理3 2 假設(shè)u o hnl 1 ( r “) “，“( z ，t ) 為c a u c h y 問題( 1 1 5 ) 一( 1 1 8 ) 的弱解 則有 ( i ) 當(dāng)2 p 3 ，禮= 2 時， t 毗i it + c l l o 。懈) 臨+ c l o t ( z i i u ( s ) 慚s ) 彳； 1 7 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 【l i ) 當(dāng)l 十i 2 n 忑p 3 ，禮3 時， t ) 蚍i i - + c 1 ：i f o i i 酬陽+ c l ：l ( 上。i i 札( s ) 廬d s ) 寸 這里a = 塾塵蔓4 叫8 = 延型k 4 坐塑 ( i i i ) 當(dāng)p 3 ，n 2 時， l 也( ，t ) i i l 札。i i 。+ c l ：l ：o 。i i u ( s ) l f 2 d s + g 陣 證明：對方程( 1 1 5 ) 兩邊施加f o u r i e r 變換得到 仉+ ( i f l 2 + l 引4 ) 砬= r v ( i e ( u ) l p 一2 e ( u ) ) 一( u v ) u v ” = ：g ，# ) ( 3 3 ) 下面我們來估計g ( f ，t ) 首先，在( 1 1 5 ) 兩邊取散度就可以得到 一吾去c 對上式兩邊施加f o u r i e r 變換就得到 這樣就有 叉由于 引2 f 防 = 6 白f 一u i + l e ( u ) l 一2 e 耐( u ) i , j f w i = i e l f i n i f l y ( 1 e ( 刪，_ 2 e ( u ) ) 】l + f ( 讓v ) u l ，( 3 ，4 ) f v ) 忙i f 嘶 ) 雌蕁二。i u t 呦出莖釷1 1 2 ， f l y ( 1 e ( 札) r 2 e ( u ) ) i l l f 1 e ( u ) i p - 2 e ( u ) l 酬l v u 臨；，( 3 6 ) 把( 3 ，4 ) 一( 3 6 ) 代入到g ( ，t ) ，我們就得到 i g ( - ，t ) c l f l l b , 1 1 2 + c 川f v u 怔i ( 3 7 ) 1 8 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 從( 3 3 ) ，通過解一個常微分方程可以很答易得到 爰( 渺m ”) 冬g ( “) e “2 刊引 然后關(guān)于時間t 積分就有 矗( ，t ) e 一( k 1 2 + k 1 4 ) 。色。( ) + z g ( ，t ) e 一2 + l f | 4 t s d s 利用( 3 7 ) ，我們估計l 包( ，t ) 讎，t ) l 獻(xiàn)) i + 上| g ( ，t ) t c l s 1 1 “o l l c - + g i f l z 。i i “( s ) | | 2 d s + c l lf o 。1 i v “( s ) 1 1 ；二j d s ( 3 8 ) 下面我們分三種情形來估計片i l v “( s ) 峪：i 如，即： ( i ) 2 p 3 ，n = 2 ； ( i i ) 1 + 蒜2 n 西sp 3 ，n 2 當(dāng)2 p 3 ，n = 2 時 由定義3 1 可知鏟l i d 2 u ( t ) 1 1 2 d t c ，利用定理1 5 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) 和定理1 2 ( h s l d e r 不等式) ，我們就得到 z 。i i v “( s ) i i ，p 一- - 1 d s 莖：。i i 札( s ) i i i i d 2 u ( s ) l i 一2 d s ( z 。i i u ( 馴i 南d s ) 彳( z 。 j d 2 u ( 圳：d t ) 寧 g ( z 。i i 酬j 南d s ) 千； ( 3 9 ) ( i i ) 當(dāng)1 + 百2 巧n p 0 ，這樣就有 爰( f ( t ) f r - i 也( f ，圳2 d f ) 十2 ，( ) 厶蚓2 瞰，圳2 蟛，m ) 厶。i 也( f i 。必 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 令b ( t ) = b p ：z f ( t ) l 1 2s ，( ) ) ，那么有 2 f ( t ) t 腳也( ，t ) 1 2 蜒 = 2 f ( t ) b ( ”剛也( 洲2 d + 2 坤) 厶( 壚m(xù) 矗( 洲2 巒 2 f ( t ) f b 洲媳舭 蘭f ( t ) f a 。腓，t ) f 2 一，他) 厶讎，t ) 陡 因此我們就得到下面的微分不等式 d 旦t ( f ( t ) f r 。i 也( ，) 1 2 d 0 ，( t ) 上也( f ，t ) 2 d 然后關(guān)于時間t 積分就得到 f ( t ) f r 。愀，t ) 1 2 d f 曼厶坩西+ o 。，( s ) 五瞰，s ) d s ( 3 1 4 ) 下面我們也分三種情形來討論弱解的l 2 衰減性，即 ( i ) 2 p 2 ( i ) 當(dāng)2 p 3 ，禮= 2 時 設(shè)= 盥2 f ( t ) ，u 。為n 維單位球面的面積，根據(jù)引理3 3 的結(jié)論( i ) ，從( 3 1 4 ) 我 們得到 ，( t ) 厶。愀，t ) 陬厶。坩d + 肌s ) z 4 ( 0 5 忙釅打+ r ( 舢脖打) 寧) 2 舛e 肌s ，( 器+ ( 器) 2 ( o 怕曠d 斗s + c 肌s ，( ( 器) 一( o 脅) 4 呻) 虹 塒 2 1 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 從能量不等式( 3 2 ) 我們很容易得到i b ( x ，t ) l l i b o l l ，這樣( 3 1 5 ) 就暗示了 f ( t ) f r 。圳2 蜓sg + c 肌s ) 器d s + g 肌s ，( 器) 2 c 8 2q - 8 4 - p 令，( t ) = ( 1 n ( e + t ) ) 3 ，則， ) = 地衄e + t，盟2 y ( t ) = 硒可3 幣罰，通過簡單的計算，并 注意利用p l a n c h e r e l 定理就得到 u ( t 川曼