空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系【知識梳理】1平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的_兩點(diǎn)_在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過_這個(gè)公共點(diǎn)_的一條直線公理3：經(jīng)過_不在同一條直線上_的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論1：經(jīng)過_一條直線和這條直線外的一點(diǎn)_，有且只有一個(gè)平面推論2：經(jīng)過_兩條相交直線_，有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過_兩條平行直線_，有且只有一個(gè)平面2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線判定定理過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)_的直線是異面直線(3)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的_叫做異面直線a，b所成的角范圍：_.答案：(1)平行相交(2)不經(jīng)過該點(diǎn)(3)銳角或直角3.同一條直線4.相等3公理4平行于_同一條直線_的兩條直線互相平行4定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角_相等_【自我檢測】1若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是 平行、相交或異面2如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線_24_對3三個(gè)不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為_4,6,7,8_4(2010全國)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成角的大小為_60_將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成如圖所示的幾何體由已知易知：該幾何體為正方體連結(jié)C1D，則C1DBA1.異面直線BA1與AC1所成的角為AC1D(或補(bǔ)角)，在等邊AC1D中，AC1D60.5下列命題：空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；三角形是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；垂直于同一直線的兩直線平行；一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形其中正確的命題是_(填序號).【例題分析】例1、如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AEEBCFFB21，CGGD31，過E、F、G的平面交AD于H，連結(jié)EH.(1)求AHHD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn) (1)解2，EFAC.EF平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACDGH，EFGH.而EFAC，ACGH.3，即AHHD31.(2)證明EFGH，且，EFGH，四邊形EFGH為梯形令EHFGP，則PEH，而EH平面ABD，PFG，F(xiàn)G平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三線共點(diǎn)變式1如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH與FG相交于點(diǎn)O.求證：B、D、O三點(diǎn)共線證明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可證O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，B、D、O三點(diǎn)共線例2、如圖所示，直線a、b是異面直線，A、B兩點(diǎn)在直線a上，C、D兩點(diǎn)在直線b上求證：BD和AC是異面直線證明兩直線為異面直線的方法：1定義法(不易操作)2反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到3判定定理證明假設(shè)BD和AC不是異面直線，則BD和AC共面，設(shè)它們共面于.A、B、C、D，AB、CD，即a、b.這與a、b是異面直線矛盾，故假設(shè)不成立BD和AC是異面直線變式2 如圖是正方體或四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的是_(填序號)例3、(2009全國)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為_解題導(dǎo)引高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為：(1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn)(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是090，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角如圖，A1D平面ABC，且D為BC的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的各棱長為1，則AD，由A1D平面ABC知A1D，RtA1BD中，易求A1B.CC1AA1，AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角在A1BA中，由余弦定理可知cosA1AB.AB與CC1所成的角的余弦值為.變式3在空間四邊形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，對角線BD，AC，求AC和BD所成的角如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連結(jié)EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知，EFAC，且EF，GEBD，且GE.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角同理，GHAD，HFBC.GH，HF，又ADBC，GHF90，GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，GEF90，即AC和BD所成的角為90.例4、如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值多角度審題對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點(diǎn)作PA的平行線，構(gòu)造三角形再求解解(1)在四棱錐PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB與平面ABCD所成的角，即PBO60，2分在RtAOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面積S2222，VPABCD22.7分(2)取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，E為PB中點(diǎn)，EFPA，DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)9分在RtAOB中，AOABcos 30，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，由余弦定理得cosDEF.12分所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.14分【突破思維障礙】求兩條異面直線所成的角的大小，一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn)總之，頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計(jì)算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0，90【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】1求異面直線所成的角時(shí)，僅指明哪個(gè)角，而不進(jìn)行證明2忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負(fù)值【強(qiáng)化練習(xí)】一、填空題1和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是_異面或相交_2給出下列命題：若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線，直線c是與的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；一定存在平面同時(shí)和異面直線a、b都平行其中正確的命題為_(填序號)錯(cuò)，c可與a、b都相交；錯(cuò)，因?yàn)閍、c可能相交也可能平行；正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即可滿足條件3. 如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的大小為_60_將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線，因GHDF，IJAD，所以ADF為所求，因此HG與IJ所成的角為60.4(2009全國改編)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為_如圖所示，連結(jié)A1B，則A1BC D1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角設(shè)ABa，則A1Ea，A1Ba，BEa.A1BE中，由余弦定理得：cosA1BE.5正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線BE和SC所成的角為_60解析設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OESC，BEO(或其補(bǔ)角)即為異面直線BE和SC所成的角，EOSC，BOBD，在SAB中，cos A在ABE中，cos A，BE.在BEO中，cosBEO，BEO60.6一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD.則正確結(jié)論的序號是_解析把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知ABEF，ABCM，EF與MN異面，MNCD，故正確7下面命題正確的是_(填序號)若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交；若ab，則a、b與c所成的角相等；若a、b與c所成的角相等，則ab；若ab，bc，則ac.8在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號) (2)(4)二、解答題9如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)證明(1)如圖所示，連結(jié)CD1，EF，A1B，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，EFA1B，且EFA1B，(2分)又A1D1綊BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BCD1，EFCD1，EF與CD1確定一個(gè)平面，E，F(xiàn)，C，D1，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(6分)(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四邊形CD1FE是梯形，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，(8分)則PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.(10分)又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三線共點(diǎn)(14分)10如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、M、N分別為AD、AB、C1D1、B1C1的中點(diǎn)，求證：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN.證明如圖所示，在A1B1上取中點(diǎn)K，易知四邊形MKBC為平行四邊形(3分)CMBK.又A1KBQ，且A1KBQ，四邊形A1KBQ為平行四邊形，A1QBK，(