西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第1 頁 摘要 本文首先討論了算子正則性的一般結(jié)果。著重考查了算子正 則性與絕對值的關(guān)系，即絕對值的存在性問題，并得到相應(yīng)的結(jié) 論：當(dāng)空間具有某種序完備性時，兩者等價；而當(dāng)空間不具備序 完備性時，結(jié)果不成立，并給出反例說明?？疾炝擞邢蘧S空間上 算子正則及具體的矩陣分解的含義，舉例說明對于無限維空間沒 有類似的結(jié)果成立。 其次，重點研究了a l 一空間上連續(xù)算子的正則性。分析了對 任意b a n a c h 格f ，a l 一空間e 應(yīng)滿足什么條件才能使e 到f 的有 界線性算子空間與正則算子空間相同，并且每個正則算子的正則 范數(shù)與算子范數(shù)相等。進(jìn)一步地證明這個條件還是充分必要的， 而且在此條件下正則算子空間就是一個格。 最后，對b a n a c h 格上一些特殊算子的正則性研究進(jìn)行了綜 述。主要包括緊算子與弱緊算子，尤其是對一些重要的b a n a c h 格， 如a l 一空間、a m 一空間、k b 一空間上的算子的正則性及其絕對值進(jìn)行 深入地分析。 關(guān)鍵詞：r i e s z 空間，b a n a c h 格，a l 一空間，正則性 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第頁 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w e p r e s e n tt h eg e n e r a l i z e d r e s u l ta b o u tt h er e g u l a - r i t yo f o p e r a t o r s t h er e l a t i o n sb e t w e e nr e g u l a r i t ya n d m o d u l u sa r e s t u d i e d ，a n dw h e n t h es p a c e sh a v es o m ec o m p l e t i o n ，t h e ya r ee q u i v a - l e n t ，o t h e r w i s es o m ec o u n t e r e x a m p l e sa r eg i v e n t h er e g u l a r i t yo f o p e r a t o r so nf i n i t ed i m e n s i o n a l r i e s z s p a c e sa n dt h e m a t r i xm e a n so f t h e s eo p e r a t o r sa r eo b t a i n e d i na d d i t i o n s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt o s h o wt h a to p e r a t o r so ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e sh a v en o tt h i s s i m i l a r p r o p e r t i e s 1 1 1 em a i n p u r p o s e o f t h et h e s i si st os t u d yt h er e g u l a r i t yo f c o n t i n - o u s o p e r a t o r so na l s p a c e s h e r ew ep r e s e n t ac h a r a c t e r i z a t i o no n a l - s p a c e s es u c ht h a te v e r yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o rf r o mei n t oa b a n a c hl a t t i c ei sr e g u l a r m o r e o v e ru n d e rt h i sc o n d i t i o nt h es p a c eo f r e g u l a ro p e r a t o r s i sal a t t i c e f i n a l l y , w es u r v e yt h er e g u l a r i t yo fs o m es p e c i a lo p e r a t o r s ，s u c h a sc o m p a c ta n d w e a k l yc o m p a c to p e r a t o r s w ec o n c l u e ds o m e r e s u l t s b yi n v e s t i g a t i n gt h er e g u l a r i t ya n d m o d u l u so f t h e s e o p e r a t o r so n a l - s p a c e s ，a m - s p a c e so rk b s p a c e s k e y w o r d s ：r i e s zs p a c e ，b a n a c h l a t t i c e ，a l - s p a c e s ，r e g u l a r i t y 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第1 頁 第1 章緒論 1 1r i e s z 空間理論發(fā)展簡述 r i e s z 空間又稱向量格或線性格，最早出現(xiàn)追溯至2 0 世紀(jì)初 期對b a n a c h 空間的系統(tǒng)研究。1 9 2 8 年，匈牙利數(shù)學(xué)家f r i e s z 在 布拉格國際數(shù)學(xué)家大會上作了關(guān)于線性泛函分解的報告，標(biāo) 志著r i e s z 空間與正算子理論研究的開端?！靶颉弊鳛橐环N新的有 力工具也開始得到了重視與發(fā)展。2 0 世紀(jì)3 0 年代，隨著e r i e s z ， l v k a n t o r o v i c 和h f r e u d e n t h a l 等人在這一領(lǐng)域的深入研究，r i e s z 空間與正算子理論進(jìn)入了系統(tǒng)研究階段，也出現(xiàn)了以 l v k a n t o r o v i c ，a g p i n s k e r 和b z v a l i k h 為代表的蘇聯(lián)學(xué)派，以 h n a k a n o 、td g a s w a r a ，k y o s i d a 為代表的日本學(xué)派和以g b i r k h o f f , m m s t o n e 為代表的美國學(xué)派。 然而，從4 0 年代到5 0 年代末期，正算子理論的發(fā)展幾乎處 于停滯階段，有價值的論文也非常少見。直到5 0 年代末期， l v k a n t o r o v o i c ，b z v u l i k h 等人編寫的“f u n c t i o n a la n a l y s i si n p a r t i c a l l yo r d e r e ds p a c e s ”一書的出版，才又使這一理論的研究漸 入佳境。1 9 7 4 年，德國數(shù)學(xué)家h h s c h a e f e r 的著作“b a n a c hl a t t i c e a n dp o s i t i v eo p e r a t o r s ”的問世標(biāo)志著正算子理論已步入快速發(fā)展 階段，尤其是在上世紀(jì)末的二十多年里，這一領(lǐng)域的研究工作受 到了空前的矚目，不但理論上更加完善，研究內(nèi)容更加豐富而且 研究的方式方法也多樣、新穎，融合了經(jīng)典泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)理 論、函數(shù)論、代數(shù)學(xué)等主要數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容，可謂博眾家之長， 獨樹一幟。其中，以a c z a a n e n ，w a j l a x e m b u r g ，c d a l i p r a n t i s ， 0 b u r k i n s h a w ，d h f r e m l i n ，m m e y e r ，em e y e r - n i e b e r g ，c b 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第2 頁 h u i j s m a n s ，v a a b r a m o v i e h ，a ww i e k s t e a d 等為杰出代表的一批 優(yōu)秀數(shù)學(xué)工作者。 進(jìn)入新世紀(jì)，隨著越來越多的數(shù)學(xué)工作者投身這個領(lǐng)域， r i e s z 空間與正算子理論的發(fā)展日趨成熟、完善。與此同時，在其 它學(xué)科，如：數(shù)學(xué)物理、經(jīng)濟學(xué)、隨機過程等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用， 為這一理論指引了新的研究方向，也使它煥發(fā)出了勃勃生機! 1 2 有關(guān)正則算子的研究與發(fā)展概況 對r i e s z 空間e 到f 的正則算子空間f ( e ，f ) 的序結(jié)構(gòu)研究 是一個相當(dāng)古老的問題。在r i e s z 空問理論研究的開始，也就是上 世紀(jì)3 0 年代，l v k a n t o r o v i c h ，h f r e u d e n t a l 和f r i e s z 就證明了 當(dāng)像空問f 是d e d e k i n d 完備時，正則算子空間r ( e ，f ) 也是一個 d e d e k i n d 完備的r i e s z 空間。幾十年以后，也就是1 9 8 2 年， y a a b r a m o w i c h 和v a g e j l e r 證明了對任意的定義域空間e ，正 則算子空間r ( e ，f ) 是一個r i e s z 空間的充分必要條件就是像空間 f 的d e d e k i n d 完備性。 1 9 8 4 年a c m v a nr o o q 在他的博士論文。1 “w h e nd ot h e r e g u l a ro p e r a t o r sb e t w e e n t w or i e s zs p a c e sf o r m sar i e s z s p a c e ? 由 就這個問題驗證了很多具體空間中的情況。他所得的一個重要結(jié) 論是以下對固定的r i e s z 空間e 的一個刻畫：對某個r i e s z 空間f ， r ( 五，f ) 是一個r i e s z 空間當(dāng)且僅當(dāng)存在一個集合s 使得e 同構(gòu)于 c 矗p ) 空間( c 。$ ) 是所有s 上的實函數(shù)空間，并且對c 。 ) 中每 個元素，都存在一個有限集合d c s 使得在s d 上廠= 0 ) 。 1 9 9 0 年以后，y a a b r a m o v i c h 和a w w i c k s t e a d 開始深入研 究當(dāng)像空間f 不是d e d e k i n d 完備時正則算子空間r ( e ，f ) 的序結(jié) 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第3 頁 構(gòu)。為了在這個研究方向有所突破，他們首先研究了像空間或定 義域空問是l o ( 除了在一個有限集上其余都是常數(shù)的所有實數(shù)序 列) 的情況。這是研究非d e d e k i n d 完備r i e s z 空間情況最具代表 性的問題。當(dāng)像空間是囂時，他們證明了如果定義域空問e 是一 致完備的r i e s z 空間，那么j 下則算子空間l r ( e ，臂) 就是一個r i e s z 空間。而當(dāng)定義域e 是等空間時，正則算子空間r l 瑤，f ) 是一個 r i e s z 空間當(dāng)且僅當(dāng)f 是d e d e k i n d 仃一完備的。特別地，當(dāng)考慮從 等到留的情況時，我們發(fā)現(xiàn)正則算子空間l 7 i t ；，學(xué)) 就不是一個 r i e s z 空間，更令人吃驚的是它甚至沒有r i e s z 分解性質(zhì)。 y a a b r a m o v i c h 和a w w i c h s t e a d 所發(fā)現(xiàn)的另一個重要結(jié)論 是：當(dāng)定義域空間f 是可分b a n a c h 格時，的d e d e k i n d 盯一完備 性對正則算子空問r ( e ，f ) 的d e d e k i n d 盯一完備性是本質(zhì)的，即有 如下刻畫：b a n a c h 格，是d e d e k i n d 盯一完備的r i e s z 空間當(dāng)且僅 當(dāng)對所有的可分b a n a c h 格e 正則算子空間f 佃，f ) 也是d e d e k i n d 仃一完備的r i e s z 空間。 現(xiàn)在，這一問題的研究仍在繼續(xù)，仍有相當(dāng)?shù)恼撐暮徒Y(jié)果不 斷出現(xiàn)。在前人不斷解決問題的同時又不斷地發(fā)現(xiàn)新的問題，使 這個原本古老的命題又推陳出新，具有更加廣泛的研究意義。 1 3 本文主要內(nèi)容 本文以“a l 一空間上算子的正則性”為主線，主要討論了以 下幾個方面的內(nèi)容： 首先，關(guān)于算子正則性的一般結(jié)果，著重考慮了算子正則性 與絕對值的關(guān)系，即絕對值的存在性問題，并得到相應(yīng)的結(jié)論： 當(dāng)空間具有某種序完備性時，兩者等價；而當(dāng)空間不具備序完備 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第4 頁 性時，結(jié)果不成立，并給出反例說明?？疾炝擞邢蘧S空間上算子 正則及具體的矩陣分解的含義，舉例說明對于無限維空間就沒有 類似的結(jié)果成立。 其次，重點討論了a l 一空間上連續(xù)算子的正則性，這也是全 文的一個核心內(nèi)容。文中第三章研究對任意b a n a c h 格f ，a l 一空 間e 究竟?jié)M足什么條件才能使e 到f 的有界線性算子空問與正則 算子空間相同，并且每個正則算子的正則范數(shù)與算子范數(shù)相等。 進(jìn)一步地證明這個條件還是充分必要的，而且在此條件下正則算 子空間就是一個格。 最后，對b a n a c h 格上一些特殊算子的正則性研究進(jìn)行了綜 述。主要包括緊算子與弱緊算子，尤其是對一些重要的b a n a c h 格， 如a l 一空間、a m 一空間、k b 一空問上的算子的正則性及其絕對值 進(jìn)行深入地分析。 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第5 頁 第2 章算子的一般正則性 本章首先介紹了r i e s z 空間與正算子理論中的一些基本概念 與結(jié)果。然后重點討論了算子的一般正則性，包括算子正則性與 絕對值存在的關(guān)系，和有限維空問上算子的正則性及具體分解的 含義，例舉了一些反例，并得到相關(guān)有用結(jié)論。 2 1 r i e s z 空間的基本概念 定義2 1 1 設(shè)z 是一非空集合，x 上的二元關(guān)系“”叫做一 個偏序，如果滿足，對x 中任意元素x ，y ，z ( 1 ) 自反性：x x ； ( 2 ) 傳遞性：如果x y ，y z 貝0 x z ； ( 3 ) 反對稱性：如果工莖y ，y 劉叫x = y 。 這時我們把( x ，) 或j 稱為一個偏序集，x 蘭y 有時也寫作 y x 。 定義2 1 2 若j 是一個偏序集，y 是j 的非空子集，x 。x 如果對任意y y ，有y ，那么稱是】，的一個上界。如果對y 的任意上界x ，都有x ，那么稱是y 的上確界或最小上界， 記作x o = s u p ，或x o = s u p y ：y y 。 由偏序的反對稱性易知，偏序集如果有上確界，則上確界必 然唯一。類似的，可定義一個集合的下確界。如果乩是y 的下確 界，記作y 。= i n fy 。 定義2 1 3 設(shè)x 是一個偏序集， ( i ) 如果x 任意有上界的非空子集都有上確界，則x 稱為 d e d e k i n d 完備； ( 2 ) 如果工的任意有限或可數(shù)非空有上界的子集均有上確 界，我們說肖是d e d e k i n d 盯完備或可數(shù)完備的； ( 3 ) 如是x 的任意兩個元素都有上確界和下確界，則x 是一 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第6 頁 個格。 下面，我們給出實r i e s z 空間( 向量格) 的定義：當(dāng)是一 個格時，習(xí)慣用x v y 與x a y 分別表s u p b ，y ) 與i n f ( x ，y ) 。 定義2 1 ，4e 是一個實向量空間，賦予偏序使得向量空間結(jié) 構(gòu)與序結(jié)構(gòu)相融合，即滿足下列條件： ( 1 ) 如果x s y ，那么對任意z e 。有x + 2 y + 2 ： ( 2 ) 如果x 0 ，貝u 積0 ( 0 口r ) ， 則稱e 是有序向量空間。此外，如果e 關(guān)于這個偏序還是一個格， 則e 就叫做一個r i e s z 空問或向量格。 例2 1 5 ( 1 ) 設(shè)e 是非空集合k 上所有實值函數(shù)組成的集合。 按逐點的加法和數(shù)乘，以及逐點的偏序，即f g 是指f ( x ) g ( x ) ， 對任意x x 都成立，則e 是一個r i e s z 空間。特別地，當(dāng)x 是 h a u s d o r f f 拓?fù)淇臻g，則k 上所有連續(xù)實值函數(shù)組成的集合c ( k ) 亦 是一r i e s z 空間。 ( 2 ) n 維歐幾里德空間按通常意義下的偏序作成一個 r i e s z 空間，即工= ( z l ，z 2 ，一，x 。) ，y = ( y y ，y 。) ，羔y 當(dāng) 且僅當(dāng)x 。y ，對任意的f ( 1 i ”) 都成立。 ( 3 ) 上。一空間也是一類重要的r i e s z 空間。如果( j ，) 是 一個測度空間，且0 p o o ，則三。) 是由所有在肖上可測并且 滿足fl 卅d u 0 0 的實值函數(shù)，組成的向量空間。容易驗證在偏序 f 莖g 即f ( x ) g ( x ) a e 于工上，上。) 是一個r i e s z 空間。 定義2 1 6 設(shè)e 是一個r i e s z 空間，x e ，令 z + = 工v 0 ，x 一= ( z ) v 0 ，f x i = z v ( - - x ) 則x + ，x 一分別稱為x 的正部與負(fù)部，稱為x 的?；蚪^對值，并且 我們有以下等式成立：x = 工+ 一工一，f x i = z + + x 一，定義e 的正錐為 五+ = 扛e ：z 0 。 定義2 1 7 設(shè)，是r i e s z 空間e 的一個線性子空間，如果只要 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第7 頁 | x i i y i ，y i ，就有x ，那么，就叫做e 的一個序理想。 r i e s z 空間e 的理想是一個帶，是指如果對于，的任意子集 d ，只要x = s u p d 在e 中存在，就有x ，。 e 的子集4 生成的序理想( 帶) 就是指e 中包含a 的最小序 理想( 帶) 。設(shè)0 p e ，如果由e 生成的序理想( 帶) 就是e ， 則e 被稱作e 的強( 弱) 序單位。 定義2 1 8r i e s z 空間e 是a r c h i m e d e a n 的，是指任意 “e + ，都有i n f i n 。：”= 1 , 2 ， = 0 成立。 并不是所有的r i e s z 空間都是a r c h i m e d e a n 的，但a r c h i m e d e a n 性質(zhì)本身包含很多良好的性質(zhì)，而且我們熟悉的d e d e k i n d 完備空 間、d e d e k i n d 盯一完備空間以及后文所要討論的賦范r i e s z 空間都 是a r c h i m e d e a n 的，因此若未加說明我們規(guī)定后文所討論的r i e s z 空間均為a r c h i m e d e a n 的。 定義2 1 9 設(shè)e 是一個r i e s z 空間，賦予e 一個范數(shù)洲，如果 對任意x ，y e ，h - l y l ，貝, m l l x l f ，這個范數(shù)就叫做r i e s z 范數(shù) ( 或格范數(shù)) 。一個賦予r i s e z 范數(shù)的r i s e z 空間就叫做賦范r i s e z 空間。如果在此范數(shù)意義下，該空間是完備的( 即是b a n a c h 空間) ， 就稱它是一個b a n a c h 格。 很多經(jīng)典的b a n a c h 空間都可以成為b a n a c h 格，如：序列空 間：c 。，c ，。( 1 p m ) ( 按標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)和坐標(biāo)定序) ，以及前面舉到的 函數(shù)空間三。( ) ( 1 p 0 0 ) 和連續(xù)函數(shù)空間c ( x ) ( 按相應(yīng)的偏序 和范數(shù)) 等。 定義2 1 1 0 賦范r i e s z 空間e 有序連續(xù)的范數(shù)是指e 中任意 子集合dj ，0 ( d ：單調(diào)向下有序集且以0 為下確界) 都有 i n f ( 1 l f l i ：f d ) = 0 成立。 r i s e z 范數(shù)的連續(xù)性也是很重要的一類性質(zhì)，并不是所有的賦 范r i s e z 空間都有這種性質(zhì)。例如我們前面所談到的 ，。，l 。( x ) ( 1 蔓p 0 ：h 血j ，我們稱e 是個有單位元的a m 一空間。 顯然，c ( k ) 是a m 一空間；l ，( 弘) 就是一令a l 一空間，并且每 個a l 空間都等距地序同構(gòu)于這個空間。容易驗證每個a l 一空間是 k b 一空間，而每個k b 一空間都有序連續(xù)的范數(shù)。 a l 空間、a m 空間和k b 空間也是b a n a c h 格理論中經(jīng)常討 論的三類重要空間，關(guān)于它們的具體性質(zhì)還可以參考文獻(xiàn)【1 1 、【2 l 。 本文其它未經(jīng)解釋的名詞術(shù)語也可以參考文獻(xiàn) 1 】、 2 】、【1 6 】。 2 2r i e s z 空間上算子的正貝l i l 陛與絕對值的一般結(jié)果 設(shè)e 和f 是r i e s z 空間，眾所周知，所有e 到f 的線性算子按 通常的加法和數(shù)乘做成一個線性空間。并且可以定義如下鵠偏序： s t v 0 x e ，s ( x ) t ( x ) 使之成為一個偏序的向量空間。 定義2 2 1 設(shè)e 、f 是r i e s z 空間，丁是e 到f 的線性算子： ( 1 ) t 叫做正算子，若當(dāng)x 0 對，有t x o 成立；且t ( e ，f ) 為e 到f 的正算子全體： ( 2 ) t 說是正則的，如果r 可以寫為兩個正算子之差，e 弱f 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第9 頁 的正則算子全體組成的集合記為r ( e ，f ) ，并且r ( e ，f ) 是由 r ( e ，f ) 生成的線性空間； ( 3 ) 如果丁把e 中的任意序有界集映成f 中的序有界集，則 稱丁為序有界算子，e 到f 的序有界算子全體組成的集合記為 l b ( e ，f ) ： 從正則算子和序有界算子的定義中，我們不難看出它們之間 的關(guān)系 命題2 2 2 對任意的r i e s z 空間e 、f 有r ( e ，f ) c 7 _ r ( e ，f ) 。 上述定理說明了正則算子與序有界算子的一個包含關(guān)系，但 反包含關(guān)系卻未必成立，即上述包含關(guān)系為真包含。 例2 2 3 設(shè)算子7 1 ：c 0 ，l 】- c o ，l l g g s l 蔓b ： f 0t ：0 r f ( ) 2 1 弛i n ) 一，( s i n ( h ) ) o ，) ，它也一定對 應(yīng)一個無窮矩陣，但迄今為止還不清楚無窮矩陣應(yīng)滿足什么條件， 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第13 頁 才能對應(yīng)一有界算子，所以不能像有限維空間一樣給出算子正則 性的條件以及相應(yīng)的絕對值和正、負(fù)部的算法。事實上不是每個 有界線性算子都是正則的。 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第1 4 頁 第3 章a l 一空間上連續(xù)算子的正則性 我們在研究連續(xù)算子空間l ( e ，f ) 的格序性質(zhì)時，涉及如下三 個基本的問題：( 1 ) 是否每個e 到f 的連續(xù)算子都是正則的，即 算子空間l ( e ，f ) 和正則算子空間f ( e ，f ) 是否相等? ( 2 ) 是否每 個正則算子的絕對值都存在? ( 3 ) l ( e ，f ) 中的算子范數(shù)限制在 r ( e ，f ) 上是否和正則范數(shù)相等，即俐l = 例i ，? y a a b r a m o v i c h 在 1 3 中建立了l ( e ，f ) = f ( e ，f ) 的必要特 征：若f 或e ( e 的共軛空間) 包含子格一致的同構(gòu)于，。n 空間( 關(guān) 于n ，其中1 p o 。，且l ( e ，f ) = k ( e ，f ) ，則f 同構(gòu)于一a m 一 空間或者e 同構(gòu)于一a l 空間。而對于問題( 2 ) 、( 3 ) ，有若干反 例但正面結(jié)果極少。本章基于l ( e ，f ) = f ( e ，f ) 的必要特征，集中 解決當(dāng)原像空間e 是一個a l 空間時，對任意的像空間f ，當(dāng)e 滿 足什么條件時，l ( e ，f ) = r ( e ，f ) ，并且正則范數(shù)與算子范數(shù)一致， 即，= ，并證明在此條件下r ( e ，f ) 還是一個格。 3 1 算子的一致范數(shù)與正則范數(shù) 設(shè)r ：e 寸f 是b a n a c h 格e 到b a n a c h 格f 的有界線性算子， 則丁的算子范數(shù)( 一致范數(shù)) 的定義如下： i i r l l = s u p ( 1 l z x l l ：x e 五， i x l l 1 ) 特別地，當(dāng)r 為正算子時，我們有下面定理： 命題3 1 1 設(shè)e 、f 是賦范r i e s z 空間，r 是e 到f 的正算子， 則： i i r l i = s u p l r x l i ：x e + ，俐1 我們用l ( e ，f ) 表示賦范r i e s z 空間e 到f 的連續(xù)算子全體所 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第15 頁 組成的集合，當(dāng)e 和f 是b a n a c h 格時，有以下定理說明l ( e ，f ) 和 f ( e ，f ) 的關(guān)系： 定理3 ，1 2 【l le 、f 是b a n a c h 格，則e 到f 的任意正則算子 一定是連續(xù)算子，即f ( e ，f ) cl ( e ，f ) 。 一般來說，連續(xù)算子卻未必是正則算子： 例：3 1 3 定義c 0 ，1 到c 。的算子r 如下：v f c o ，1 】 1 1 r f = ( f ( 1 ) 一廠( o ) ，( ) 一，( o ) ，廠( ) 一廠( o ) ，- ) zj 容易驗證丁是有界算子，但遺憾的是r 不是序有界算子，當(dāng) 然也就不是正則算子。 正則算子空間在算子范數(shù)下一般不完備，但存在一個自然的 范數(shù)一正則范數(shù)，使得正則算子空間在此范數(shù)下一定完備。 定義3 1 4e 、f 都是b a n a c h 格，對于r ( e ，f ) 中的任意算 子丁，定義它的正則范數(shù)( r 一范數(shù)) 為： l i r l l ，= i n f0 1 s l l ：s l ( e ，f ) ，s 0 ，丁s 關(guān)于正則范數(shù)的定義有以下幾種等價說法： 定理3 1 5 【l i 】【1 1t 是b a n a c h 格e 到f 的正則算子，則以下關(guān) 于正則范數(shù)的定義是等價的： ( 1 ) i i r l l ，= i n f 刮s 0 ：s r ( e ，f ) ，s o ，s 丁) ( 2 ) i i r l l ，= i n f l l z 。+ r 2 1 i ：t = 夏一疋，l r ( e ，f ) ，f = 1 ，2 ) ( 3 ) l i r l l ，= i n f 2 五一t i l ：正上+ ( e ，f ) 且瓦r ) 且互t 容易驗證，對任意t f ( e ，f ) ，算子范數(shù)都不大于正則范數(shù)， 即l i r l l l i r l l ，。并且如果瓦丁，兀一丁那么一定有l(wèi) l t o l i 例i ，成立。 對b a n a c h 格e 和f ，t r ( e ，f ) ，如果它的絕對值存在， 那么它的正則范數(shù)就是它的絕對值的算子一致范數(shù)，即： ，= l i = s u p 護(hù)俳1 ) 正則范數(shù)使b a n a c h 格e 到f 的正則算子空間k ( e ，f ) 成為一 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第16 頁 個b a n a c h 空間：進(jìn)一步地，如果f 還是d e d e k i n d 完備的，那么對 u ( e ，f ) 有如下刻畫： 定理3 ，1 6 1 1 3 1e 、f 是b a n a c h 格，則正則算子空間r ( e ，) 在正則范數(shù)下就是一個b a n a c h 空問。如果f 還是d e d e k i n d 完備的。 則r ( e ，f ) 是一個d e d e k i n d 完備的b a n a c h 格，并且對 v te f ( ，f ) ，4 f 虬= l l l r l 4 。 e 是b a n a c h 格時，e 的序共軛空間e 一就是它的連續(xù)泛函空 間e + ，即f = e ，線性泛函作為特殊的線性算子，可以驗證，它 的算子范數(shù)和正則范數(shù)是相等的。 命題3 1 7 如果e 是一個b a n a c h 格，那么任意e 上的連續(xù)泛 函x e + ，有忖| | = 忙n = i i j x 成立a 證明：首先對任意工e 有px 】- i x i i x p 蔓肛0 l l x l l ，因此可推 得i i x , | | - 0 ，因為ix f ( x ) 5 s u p ( 圳：酬r x l ) ，所以存在y e 滿足j y j i x l 并使得 i x l l x l - s i x 叫i x 。由此，臚i | l = s u p 肚1 帥：1 h i x l + ， 而占可任意小，因此肛7 i i x 換言之?dāng)U0 = 忙”。 下面兩個關(guān)于有界線性算子空間與正則算子空間關(guān)系的著名 定理主要是由l vk a n t o r o v i e h r i e s z 給出的。 定理3 1 ，8 【1 3 】設(shè)e 是任意的b a n a c h 格，是d e d e k i n d 完備的 有強序單位的a m 一空間，那么每個e 到，的連續(xù)線性算子都是正 則的，即( e ，毋= r ( e ，f ) ：并且對任意t l ( e ，f ) ，它的絕對值 例存在以及j 刖f = j 例f ，。 定理3 1 90 3 1 設(shè)是一個a l 一空間，那么對每個k b 空間f ， r ( e ，f ) = f ( e ，f ) ，并且對任意t l ( e ，f ) ，它的絕對值存在 以及妒= - t l r l l ，。 一般說來，l ( e ，f ) 與r ( e ，f ) 是不等同的集合，即使 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第17 頁 l ( e ，f ) = r ( e ，f ) ，算子范數(shù)與正則范數(shù)未必相等，甚至不一定是 等價的。 例3 1 1 0 u i ( 1 ) 設(shè)e 是，空間，分別是c o ，c ， l p ( 1 p 。0 ) ，乞，c o ，1 】空間，貝l j l ( e ，f ) 2 k ( e ，f ) ，并且惻i = 例l ， ( v t f ( 占，f ) ) ， ( 2 ) e 是z ?？臻g，f 分別是f 。( 1 p 。) ，c 。，f ，c o ，1 】空 間，則r ( e ，f ) l ( e ，f ) 。 ( 3 ) 如果是c ?？臻g，f 分別是f 。，c 。，c ，c o ，1 】空間，則 l ( e ，f ) = r ( e ，f ) 。 ( 4 ) e 是c 【o ，1 】空間，f 分別是，c ，l p ( 1 p o ，一定存 在一個原子口使得0 睇x 成立。 離散的b a n a c h 格一定是由它的原子所產(chǎn)生的帶。很顯然，c 。， c 和l p ( 1 p ) 空間都是離散的b a n a c h 格。 e 和f 是b a n a c h 格，在有界算子空間l ( e ，) 上可以定義偏序 如下： s t 當(dāng)且僅當(dāng)對任意的0 蔓z e ，s ( x ) t ( x ) ，一般說來 這并不是一個很好的序，因為在這種序結(jié)構(gòu)下l ( e ，f ) 不一定是一 個格，或者每個有界算子r 的絕對值也不一定存在。到目前為止還 不太清楚究竟對什么樣的像與原像空間，l ( e ，f ) 中的每個算子它 的絕對值都存在。而對于a l 空間上的連續(xù)算子有以下結(jié)果： 定理3 2 4 如果e 是一個離散的a l 空間，則對任意b a n a c h 格f ，任意從e 到f 的有界線性算子丁在l ( e ，f ) 中的絕對值存在， 并j l l l z l i = ，= 證明：如果e 是一個原子的a l 空間，令r 是e + 中所有范數(shù) 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第19 頁 為l 的原子全體，即1 1 = 杠e e + ：提原子且惻l = 1 ) ，不難驗證，f 內(nèi)的元素是兩兩不交的，并且e = ( r ) ，現(xiàn)在對任意的b a n a c h 格 f ，及e 到f 的任意有界線性算子丁，我們將證明，的模刖存在， 并且= ，= t i l t 4 。 對e + 中的每個元素x ，都可以寫作x = ( ) 。的形式。注意e + 上的范數(shù)是可加的，因此是序連續(xù)的范數(shù)，所以對任意x ，在r 中 至多有可數(shù)個元素a n 使得x 。0 ，從而 x = x 護(hù)。 l 此級數(shù)一定是范數(shù)收斂的，而且4 x 4 = 工。，也就是說b 。) e ，；。 容易驗證級數(shù)c a 。在f 中也是范數(shù)收斂的。 l 現(xiàn)e z s ：e + 斗f ，s x = x a 。l 砜i ，則不難驗證 s ( k ，x ，十k 2 x ：) = 女。s g ，) + ：s ( x 。) 對所有的正實數(shù)七和七，及e 中的正元素五，x 2 成立。于是s 可以唯 一延拓地到整個空間，我們記延拓后的算子仍為s ，現(xiàn)在我們將驗 證s 就是r 的絕對值，并且= 。顯然s 0 ，q 且 忡。h f i i 憶0 = l l r l i v x e + j i s & o = 1 f 莘x 。j z 。0 s 蘋f 工。o ，。i i 蔓| 丁| 車i k 。i i = i i r k i i 這說明l i s l l - c lr t i l 。剩下只需說明s 是r 的絕對值即可。 對任意x = e x “口。e + ，x “o 且 t x = _ 鞏阻i = li 因此t s 。另一方面，如果算子0 u ：e f ，且+ - t u ，那 么對所有的口f 有b l 沈，雨且 西南交通大學(xué)碩士嘶究生學(xué)位論文第2 0 頁 s x = x 。i 地喀k 。魄= u x 所以s u ，根據(jù)算子絕對值的定義知，s = l t l 就是r 絕對值。 上面這個定理討論了a l 空間上連續(xù)算子絕對值存在的一個 充分條件，接下來我們將討論絕對值存在的必要條件。為此先給 出兩個引理： 引理3 2 5 1 1 l 假設(shè)b a n a c h 格e 的范數(shù)是p 次可加的，即對e 中任意不交的正元素z ，y 都有峙+ y = + l l y l l 9 ( 1 s p 0 斗) 成立。 西南交通大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文第2 1 頁 為了說明f 有序列l(wèi) e v i 范數(shù)，根據(jù)定理3 2 2 只需要說明對 于每個不交的正序列y 。ef + ，如果有范數(shù)有界的部分和( 即對任意 月，l i e 。+ y ：+ + 乩| i 都是有界) 那么 的上確界存在即可。 令 虬 是滿足上述條件的不交序列。定義算子t ：e f ， 對任意x ee ，r g ) = x o ( x ) y 。，顯然，