摘要 本文在分析評價現(xiàn)有的邊坡穩(wěn)定性分析方法的基礎(chǔ)上，綜合巖土力學(xué)、彈塑性力學(xué)、非 線性有限元方法、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、可靠度數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)等多學(xué)科的知識，詳細研究 了邊坡穩(wěn)定非線性有限元可靠度分析的有關(guān)方法，推導(dǎo)了相關(guān)公式，編制了相應(yīng)的計算程序， 進行了均質(zhì)土坡及非均質(zhì)土坡的可靠度分析。主要研究成果與結(jié)論如下： 1 )提出基于強度折減的邊坡穩(wěn)定有限元可靠度分析方法研究表明，這種方法無需對 各有限單元求單元的可靠指標(biāo)，能一次性得出邊坡的整體可靠指標(biāo)；不需對定值法有限元分 析程序作任何修改，無論是線性有限元問題還是非線性有限元問題都適用，因而方便易用， 適用性廣。 2 )基于增量初應(yīng)力法及偏微分技術(shù)。研究了基于滑面應(yīng)力分析的非線性有限元可靠度 分析方法中邊坡整體可靠指標(biāo)及其對應(yīng)滑面位置的求解方法，探討有限元分析中功能函數(shù)形 式對計算結(jié)果的影響。研究表明，在這種方法中，功能函數(shù)的形式對滑面可靠指標(biāo)的影響很 大，計算中應(yīng)采用考慮滑面方向的函數(shù)形式作為功能函數(shù)。它能更好地反映滑面方向?qū)吰?可靠指標(biāo)的影響，物理概念明確，因而更為合理。 3 ) 分析比較了上述兩種方法的異同點。研究表明，基于強度折減的有限元可靠度分析 方法編程簡單，可調(diào)用現(xiàn)有的定值法程序，但計算速度較慢；基于滑面應(yīng)力分析的有限元可 靠度分析方法編程復(fù)雜，需對現(xiàn)有的定值法分析程序進行較大修改，但計算速度較快，并且 能得到邊坡整體可靠指標(biāo)對應(yīng)的滑面位置。理論分析還表明，基于強度折減與基于滑面應(yīng)力 分析的邊坡穩(wěn)定非線性有限元可靠度分析方法本質(zhì)相同，其計算結(jié)果的差異主要是由于這兩 種方法具體實現(xiàn)過程的不同而引起的。 4 ) 針對當(dāng)前響應(yīng)面法中的一些不足之處，提出了一種改進的響應(yīng)面法一f o r m r s m 二步法。其主要的計算分二步，一是用驗算點法求解可靠指標(biāo)及驗算點的位置，二是在此驗 算點處進行響應(yīng)面的擬合，并對此響應(yīng)面函數(shù)用常規(guī)的可靠度分析方法求解相應(yīng)的可靠指標(biāo)。 不同算例表明：該方法在計算精度及效率上均比常用的基于響應(yīng)面迭代的響應(yīng)面法有所提高。 5 )研究邊坡有限元可靠度分析中的敏感性計算方法，推導(dǎo)基本變量相關(guān)時在原始空間 中求解可靠指標(biāo)對參數(shù)敏感性的計算公式，提出進行參數(shù)的相對敏感性分析方法及公式。研 究表明：基本變量相關(guān)時在原始空間中求解可靠指標(biāo)對參數(shù)敏感性的優(yōu)點是無需求解轉(zhuǎn)換矩 陣，計算更加簡單直接；對參數(shù)進行相對敏感性分析能剔除變量的單位對計算結(jié)果的干擾， 因而敏感性分析的結(jié)果更具有可比性。 6 ) 研究既考慮邊坡的彈塑性材料非線性又考慮其大變形幾何非線性的有限元可靠度分 析方法，比較大小變形情況下的相應(yīng)結(jié)果。研究表明：在小變形情況下，彈性模最對邊坡的 安全系數(shù)及可靠指標(biāo)影響很小。在邊坡穩(wěn)定性分析時可以忽略其影響但是當(dāng)考慮土體中發(fā) 生的大變形現(xiàn)象時，彈性模量對邊坡安全系數(shù)及可靠指標(biāo)影響很大，不能忽略不計。 7 )為提高非線性有限元程序的收斂性，本文基于常規(guī)有限元計算中的a i t k e n 加速收斂 算法，研究了基于增量切線剛度法的隨機有限元分析中相應(yīng)的加速收斂方法，推導(dǎo)了其計算 公式。計算表明：與不采用加速收斂算法的隨機有限元相比較，此方法明顯提高了有限元計 算的收斂速度，提高了計算效率。 8 )研究了有限步長迭代法在邊坡穩(wěn)定有限元可靠度分析中的應(yīng)用，分析了初始步長及 步長控制系數(shù)對一階可靠度分析中可靠指標(biāo)迭代過程的影響，得出了常見的取值范圍。這種 方法克服了常規(guī)驗算點法中可能出現(xiàn)的可靠指標(biāo)迭代不收斂的問題。 關(guān)鍵詞：邊坡穩(wěn)定，有限元，可靠度分析，敏感性分析，大變形 a b s t r a c t b a s e do i lt h er e v i e wo f t h ea n a l y s i sm e t h o d so fs l o p es t a b i l i t ya n dal o to f k n o w l e d g e s u c ha s g e o m e c i m i c s ，e l a s t o - p l a s t i cm e c h a n i c s , n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，p m b a b i l 蚵t h e o r y a n dm a t h e m a t i c ss t m i s t i c s ，r e l i a b i l l t ym a t h e m a t i c s , c o m p u t e rs c i e n c e ，s o m em e t h o d so fn o n l i n e a r f e m r a l i a b i l i t ya n a l y s i so f s l o p es t a b i l i v ya r es t u d i e di nd e t a i li nt h i st h e s i s m a i na c h i e v e m e n t sa n d c o n c l e s i n ma 地a sf o i l o w s af e m r e l i a b i l i v ya n a l y s i sm e t h o do fs l o p es l a b i l i t yw h i c hi sb a s e do l lt h es t r e n g t hr e d u c t i o n m e t h o d ( s r m ) i sp r o p o s e d 1 1 1 ea d v a n t a g eo ft h i sm e t h o di st h a ti t 啪c a l c u l a t et h eo v e r a l l m l i a b i l i i yi n d e xj n s t e a do ft h e l c u l a t i o no f e a c he l e m e n t sr a l i a b i l i t yj n d e x a n o t b e ra d v a n t a g ei s t h a tt h i sm e t h o dc a r lm a k eu s eo f a n yd e f i n i t ef e ms o f t w a r e , n om a t t e rt h er e s e a r c ho b j e c ti sl i n e a r o f n o n l i n e a r t h e r e f o r e , i ti sv e r yc o n v e n i e n tf o ra n y o n et o 眥i t b a s e do ni n c r e m e n t a li n i t i a ls t r e s sm e t h o da n d 刪a ld i f f e r e n t i a lt e c h n i q u e , a n o t h e rf e m m l i a b i l i v ya n a l y s i sm e t h o do f s l o p es l a b i l i t yw h i c hi sb a s e do nt h es l i ps u r f a c es t r e s sa n a l y s i s ( s s a ) ss t u d i e d t 1 l em a i np r o b l e m so ft h i sm e t h o da r et h ec a l c u l a t i o nm e t h o d so ft i l eo v e f a l lr e i i a b i i i t v i n d e x a n d t h e l o c a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n gs l i ps u r f a c e o f a s l o p e i t s c o n c l u d e d t h a t t h e t y p e o f t h e l i m i ts t a t ef u n c t i o nh a sg r e a ti n f l u e n c et ot h eo v e r a l lm l i a b i l i v yi n d e x , a n dt h ey i e l d i n gf u n c t i o n w h i c hc a l lc o n s i d e rt h es l i d i n gd i r e c t i o ns h o u l db es e l e c t e da st h ei k n i ts t a t ef u n c t i o nf o ri tc a n r e f l e c tt h ei n f l u e n c eo f t h es l i d i n gd i r e c t i o np r o p e r m y t h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e so ft h ea b o v et w om e t h o d sa r ec o m p a r e d i t sp r o v e dt h a tt h e f i r s tm e t h o di ss i m p l ei np r o g r a m m i n ga n dc a nm a k eu o fa n yd e f i n i t es o f t w a r e b u tt h er u n n i n g s p e di sv e r ys l o w o nt h ec o n t r a r y , t h ep r o g r a m m i n gp r o c e d u r ei sv e r yc o m p l i c a t ei nt h es e c o n d m e t h o d ，b u tt h er u n n i n gs p e e di sv e r yq u i c k a tt h es a m et i m e ，i t 啪a l s oc a l c u l a t et h el o c a t i o no f t h es l i ps u r f a c ej nt h e 嗣朋n dm e t h o d 。i t sa l s ot e s t i f i e dt h a tt h ea b o v et w om e t h o d sa r et h es a h l e s u b s t a n t i a l l y , a n dt h ed i f i e f e n c eo ft h et w om e t h o d sm a yc o m ef r o mt h e i rd i f f e r e n ti m p l e m e n t a t i o n p r o c e d u r e s a ni m p r o v e dr e s p o n s es u r f a c em e t h o d f o r i r s m i sp r o p o s e di nt h i st h e s i s t h i sn e w m e t h o dc o v a c o m et h es h o r t c o m i n g so f t h eg e n e f a iu s e dr s m , w h i c hi sb a s e do nt h ei t e r a t i o no f r e s p o n s es u l f a e 8 1 kf i r s ts t e po ft h i sm e t h o di st oc a l c u l a t et h er e l i a b i l i t yi n d e xa n dt h ed e s i g n p o i n tb yu s i n gf i r s to r d e rm l i a b i l i t ym e t h o d , a n dt h es e c o n ds t e pi st of i tar e s p o n s es u r f a c eo nt h e d e s i g np o i n t t h e n , t h em l i a b i l i t yi n d e xc a l lb ec a l c u l a t e db yu s i n gs o m en o r m a lf i r s to r d e rr e l i a b i l i v y m e t h o d i t sd e m o n s t r a t e df r o ms e v e r a le x a m p l e st h a tt h ea c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h i sn e w m e t h o da r eb e t t e r t h a nt h a to f t h eg e n e r a lu s e dr s m t h es e n s i t i v i t yc a l c u l a t i o nm e t h o di nt h ef e mm l i a b i l i t ya n a l y s i si ss t u d i e d ，a n dt h ef o r m u l a s o ft h es e n s i t i v i t yo fm l i a b i l i t yi n d e xt ot h eb a s i cp a r a m e t e r si nt h eo r i g i n a ls p a c ew h e nt h e ya r e c o r r e l a t e da r ed e r i v e d a n dt h e n ，ar e l a t i v es e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o da n df o r m u l aa r es u g g e s t e d i t ss h o w e dt h a tt h et r a i l s f o r m i n gm a t r i x , w h i c hi sn e e d e di nt h ec o m p u t a t i o ni nt h et r a n s f o r m e d s p a c e i sn o wu n n e c e s s a r yi n 出i sm e t h o d ，a n dt h ed i s t u r bo ft h ed i f f e r e n tu n i t so fe a c hp a r a m e t e r c a nn o wb ee l i m i n a t ei nt h er e l a t i v es e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o d , s oi t sm o r ep r o p e rt oc o m p a n et h e i n f l u e n c eo f a l lk i n d so f p a r a m e t e r s i nt h em l i a b i l i v ya n a l y s i so f as l o p eu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h a ti su s u a l l yc o n s i d e r e di s o n l yt h ep r o p e r t yo f e l a s t o - p l a s t i e i t yo rm a t e r i a ln o n l i n e a r i t y h o w e v e r ，t h e me x i s t sl o c a ll a r g es t r a i n i nm o s ts o l ls l o p e s t h e r e f o r e , t h ef e mr e l i a b i l i t ya n a l y s i sm e t h o d , w h i c hc a nc o n s i d e rb o t ht h e m a t e r i a ln o n l i n e a r i t ya n dt h el a r g ed e f o r m a t i o ng e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , i ss t u d i e d , a n dt h e d i f f e r c n e , c so f t h er e s u l t so f a na n dl a r g ed e f o r m a t i o nm e t h o d sa ”c o m p a r e d i t sp 附v e dt h a tt h e p a r a m e t e ro fe l a s t i cm o d u l eh a si i t t l ei n f l u e n c eo nt h es a f e t yf a c t o ra n dt h er e l i a b i l i t yi n d e xi nt h e n o r m a l l yu s e ds m a l ld e f o r m a t i o ni c e ma n a l y s i s h o w e v e r , i ft h e r ei ss o m el a r g ed e f o r m a t i o n , t h e i n f l u e n c eo fe l a s t i cm o d u l et ot h es a f e t yf a c t o re n dt h er e l i a b i l i t yi n d e xw i l lb e c o m el a r g e , a n di t s h o u l dn o tb eo m i t t e d b a s e do nt h ea c c e l e r a t i n gc o n v e l 琶e n c em e t h o do f a j t k e ne n dt h em e t h o do f i n c r e m e n t a lt a n g e n t s t i f f n e s sm e t h o di nt h ed e f i n i t ef e ma n a l y s i s ，ac o r r e s p o n d i n ga c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c em e t h o da n d i 臼f o r m u l a sa ”s t u d i e di nt h es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s t h r o u g ht h ec o m p a r i s o no ft h e m e t h o d sw h i c hc o n s i d e ra n dd o n tc o n s i d e rt h ea c c e l e r a t i n go n e , i t sd e m o n s t r a t e dt h a tt h i sn o w a c c e l e r a t i n gm e t h o dmi m p r o v et h ec o n v e r g e n c es p e e dg r e a t l y 1 1 址a p p l i c a t i o no f t h el i m i ts t e pl e n g t hi t e r a t i o nm e t h o dt ot h ef e mr e l i a b i l i t ya n a l y s i so f t h e s l o p es t a b i l i t yi ss t u d i e d t h r o u g hm a n yt i m e so f c a l c u l a t i o n , t h ei n f l u e n c eo f t h ei n i t i a ls t e pl e n g t h a n dt h es t e pl e n g t ha d j u s t m e mc o e 伍c i e n tt ot h ei t e r a t i o np r o c e d u r eo f t h er e l i a b i l i t yi n d e xa n dt h e i r r a n g eo f v a l u e s8 r es t u d i e d i t sp m v o dt h a tt h i sm e t h o dc a nc o n q u e rt h ep r o b a b l yn o n - c o n v e r g a n c e p h e n o m e n o no f t h ei t e r a t i o no f t h en o r m a l l yu s e df i r s to r d e rr e l i a b i l i t ym e t h o d k e yw o r d s ：s l o p es t a b i l i t y ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；r e l i a b i l i t ym a l y s i s ；s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ；l a r g e d e f o r m a t i o n 插圖清單 圖2 i - 1極限狀態(tài)方程( a ) 兩個變量( ”一般情況 圖2 4 - l不同情況下計算失效概率與精確失效概率的關(guān)系。 l l 1 7 圖2 , 4 - 2 非正態(tài)隨機變量的當(dāng)量正態(tài)化1 8 圖3 1 1土條及作用于土條上的力 圖3 2 i 瑞典法計算圖式 圖3 玉l 畢肖普法計算圖式 圖4 2 - i莫爾圓與莫爾庫侖屈服準(zhǔn)則 圖4 2 - 2石平面上的莫爾一庫侖屈服曲線 圖4 3 1過渡區(qū)域應(yīng)力增量的計算 圖4 4 - l 圖4 4 - 2 2 3 2 4 2 6 2 9 應(yīng)力方向的定義及應(yīng)力莫爾圓 口的符號定義( a ) 秘= 0 ( b ) o o ：表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)； z s 時結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)，r s 的區(qū)域表示可靠域，r s 的區(qū)域表示失效域。對f 一般的情 形，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)如式( 2 1 1 ) ，在圖2 1 - l ( b ) 中。相應(yīng)的曲線( 曲面) 稱為極限狀態(tài)曲線( 曲 面) | 2 1 6 1 。 結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本原理 o 圖21 1 極限狀態(tài)方程( a ) 兩個變量( b ) 一般情況 2 2 結(jié)構(gòu)的可靠度與失效概率 由式( 2 1 1 ) 知，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)是多個隨機變量的函數(shù)，所以結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)本身也是一 個隨機變量。這樣，在結(jié)構(gòu)使用過程中，功能函數(shù)是大于零( 可靠) 還是小于零( 失效) 是 不確定的，工程中需要分析的是結(jié)構(gòu)使用期內(nèi)功能函數(shù)至少一次小于零的概率。以圖2 1 - i c o ) 為例，( 凰，x 2 ) 構(gòu)成一個隨機點，當(dāng)該點落入可靠域時，結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；當(dāng)該點落入失 效域時，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)。隨機點落入可靠域的概率稱為可靠度，用只表示；落入失效域 的概率稱為失效概率( 破壞概率) ，用p 廠表示顯然，只+ p ，= l 。由于結(jié)構(gòu)的可靠度只在數(shù)值 上非常接近于1 ，沒有用失效概率表達起來方便，習(xí)慣上多用失效概率廳來表示結(jié)構(gòu)的可靠度。 一般地，設(shè)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)z 的概率密度函數(shù)。取z ) 是已知的，則結(jié)構(gòu)的失效概率可由下式計 算 0 = p ( z o ) = i 正( z ) d z ( 2 2 1 ) 而實際上，很難知道結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的概率分布，一般情況下可能知道的是其表達式中各 髓機變量的概率分布。如結(jié)構(gòu)的抗力為島荷載效應(yīng)為島聯(lián)合概率密度函數(shù)為矗鼬習(xí)，則隨 機點落a r 。，h 卅和p s + d s 所構(gòu)成矩形區(qū)域的概率f 斟r , s ) d r d s 若結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為z = r 一 島則由概率論的原理可得結(jié)構(gòu)的失效概率為 b = p ( z o ) = p ( r s ) = l i 蠡( r ，s ) d r d s ( 2 2 2 ) 始 如果r 與s 相互獨立，則聯(lián)合概率密度函數(shù)為m r ) f s ( s ) 。此時，在積分域內(nèi)先沿r 軸方向 積分，再沿s 軸方向積分可得 弓2 尸r s 2f 凼j ：厶7 矗5 毋 ( 2 2 3 ) 2i 【j ：f 一( r ) d r l ( s ) d s2 f ( s ) l ( s ) a s 也可先沿s 軸方向積分。得 弓2 p ( r 研= r 辦廠m 刪出 = r 【廠五o ) 西】厶( ，) 西= f 【l b ( r ) 】厶( r ) d r 。 1 2 合肥工業(yè)大學(xué)博 論文 作為更一般的情況，若功能函數(shù)中包含n 個基本隨機變量蜀，五，墨，其聯(lián)合概率 密度函數(shù)為厶( 而，毛，矗) 則結(jié)構(gòu)的失效概率可表示為 弓= p ( r 中( 力 固2 4 1 不同情況下計算失效概率與精確失效概率的關(guān)系 3 原始空間中可靠指標(biāo)的計算 下面將基本變量由y 空間變回z 空間。 由式( 2 4 7 ) 可得 2 警= 警 a y i毅； 1 a 3 ( y ) ( 2 4 2 1 ) = a x jq 4 2 2 ) x 空間中驗算點的坐標(biāo)為i = ，+ y ：c r t = 置+ 口盯r 相應(yīng)地， ：絲： 吒 聯(lián)立求解式( 2 4 2 2 ) 、( 2 4 2 3 ) 、( 2 4 2 4 ) - 即可求得可靠指標(biāo)。 南 t 8 合肥工業(yè)大學(xué)博士論文 2 4 2 2 隨機變量不服從正態(tài)分布的情況 當(dāng)基本隨機變鼉不服從正態(tài)分布時r a c k w i t z - f i e s s l e r 提出可采用當(dāng)量正態(tài)化的方法。將 隨機變量x 轉(zhuǎn)化為當(dāng)量正態(tài)變量z 具體方法是：將非正態(tài)變量置在驗算點處，根據(jù)分布函 數(shù)毋舡) 與概率密度函數(shù)相等的原則等價變換為當(dāng)量正態(tài)變量廚，并確定冊的平均值和 標(biāo)準(zhǔn)差1 2 ”。 如圖2 4 - 2 ，按在驗算點上分布函數(shù)相等的條件 g ) = 氣( i ) = m 睜) ( 2 4 2 5 ) 可得，k = # 一m 。 氏( i ) 】 ( 2 4 2 6 ) 按在驗算點在密度函數(shù)相等的條件 “( 枷毒( 警) 7 ) 可得 _ 叫( 芋) 肛“) _ 烈曠i 【氣g ) 】 厶g ) ( 2 4 2 8 ) 式中o ( ) 和m 。( ) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)和它的反函數(shù)，廬( ) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率 密度函數(shù) 眥。澎 - 1 、 一二新尉) f 知 “) x i p a恥囂 國2 4 2 非正態(tài)隨材l 變量的當(dāng)量正態(tài)化 當(dāng)基本變暈x 為對數(shù)正態(tài)分布時其當(dāng)鼙正態(tài)變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的公式可導(dǎo)出如下： 對于對數(shù)止態(tài)分布的基本變量x ，有 目( # ) ：由( 竺! 生i )( 2 4 2 9 )吒( # ) = 由( 二二墮)( 2 4 氣z 厶( ) ：。l 妒( 竺! 魚噬)3 0 ) x i o h jo h t 由式( 2 4 2 8 ) - - ( 2 4 3 0 ) 可得 結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本原理 1 9 刊警) 肛( 枷札2 # 廚麗，) 式中勃為x 的變異系數(shù) 由式( 2 4 2 6 ) 和式( 2 4 2 9 卜( 2 4 3 0 ) 可得 p x ；：i 一摯i 吒z ：相o - l n i + 心f )2 而一了7 。五吒z2 而m + 心f j ”。石 ( 2 4 3 2 ) = 4 ( 1 地和h 憊 2 4 2 3 驗算點法的迭代步驟 上文分析推導(dǎo)了驗算法中可靠指標(biāo)的計算公式。由于公式中驗算點的位置是未知的，因 此需迭代求解，具體的迭代步驟如下： 1 ) 列出極限狀態(tài)條件g ( 五，砭，k ) = 0 并確定所有基本變鼉的分布類型和統(tǒng) 計參數(shù)如及吒o = l ，2 , - - - , n ) ； 2 ) 假定驗算點的初值x 郴= “，z 們，z o ) 7 ，般可取 i o = ( 饑，帆) 7 ； 3 ) 對非正態(tài)基本變量在驗算點的初值處按公式( 2 4 2 6 ) 和式( 2 4 2 8 ) 計算其當(dāng)量正態(tài)變 量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并分別替代原有的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差； 4 ) 由式( 2 4 2 4 ) 計算可靠指標(biāo)局 5 ) 由式( 2 4 2 2 ) 計算方向余弦口； 6 ) 由式( 2 4 2 3 ) 計算新的驗算點x 堋= ( i m ，“，1 ) 7 ； 7 )若前后兩次迭代計算所得口之差小于e ( 或前后兩次迭代的設(shè)計點間的距離 8 x 唧一x 。l 譬) ，8 為規(guī)定的允許誤差，則停止迭代，所求聲即為要求的可靠指 標(biāo)；否則，取x ( o = x ( ”，轉(zhuǎn)至3 ) 繼續(xù)進行迭代。 2 5 蒙特卡羅模擬法( m c s m ) 蒙持卡洛模擬法( m o n t e - c a r l os i m u l a t i o nm e t h o d ，簡稱m c s m ) 又稱為隨機抽樣法，概 率模擬法或統(tǒng)計試驗法。該法是通過隨機模擬和統(tǒng)計試驗來求解結(jié)構(gòu)可靠性的數(shù)值方法。由 于它以概率論和數(shù)理統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)，故被一些物理學(xué)家以位于法國與意人利接壤的聞名于 世的睹城蒙特卡羅命名，以此來表示其隨機性的特征。在目前的結(jié)構(gòu)可靠度分析中，它被認 為是一種相對精確的方法【2 l “8 i 。 蒙持卡洛模擬法用于結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本思想是：當(dāng)已知基本變量x 的概率分布時， 可利用適當(dāng)?shù)碾S機數(shù)發(fā)生器，產(chǎn)生符合狀態(tài)變量x 的概率分布的一組隨機數(shù)而，x 2 ，以 之代入狀態(tài)函數(shù)g ( 五，五，五) ，計算狀態(tài)函數(shù)的一個隨機數(shù)g “，而，毛) ，并看它是否 小于零。以同樣式方法產(chǎn)生n 個狀態(tài)函數(shù)的隨機數(shù)據(jù)。若n 個狀態(tài)函數(shù)的隨機數(shù)中有冊個小 2 0合肥工業(yè)犬學(xué)博士論文 于零。則當(dāng) ，足夠大時，由大數(shù)定律可知系統(tǒng)的失效概率丹為： 弓= 魄“，x 2 ，) 0 】= m n( 2 5 1 ) 為與其它方法的計算結(jié)果進行比較，取 = 中1 0 - p ：) ( 2 5 2 ) 可以證明：當(dāng)規(guī)定了模擬的精度( 廳的變異系數(shù)曩) 后，可由下式近似估算需要的模擬 次數(shù)1 2 1 6 1 3 3 0 - 3 ”： l p ， n 2 否藶 3 ) 對于實際工程而言，p ，的數(shù)量級一般是己知的。因此，給定一個模擬精度后。即可預(yù)估模 擬次數(shù)由上式可見，為了達到預(yù)定的精度，所需的模擬次數(shù)相對較多，計算量較大，因而 m c s m 多用于理論方面。以便檢驗一些新提出的計算方法的計算精度，或者進行某種比較。 由上述分析可知，在結(jié)構(gòu)可靠度分析的m c s m 中，如何由隨機變量的已知分布進行隨機 抽樣是十分重要的。 首先考察各基本變量互相獨立的情況。設(shè)基本變量五，邑，k 分別有分布函數(shù) f x , ( 而) ，氏( x 2 ) ，( x d 因為( t ) 為是一個服從【o ，1 1 區(qū)間上均勻分布的隨機變量， 可以將其與蒙特卡羅法中產(chǎn)生的隨機數(shù)相對應(yīng)，即令瓦( ) = ，這里r i 是由蒙特卡羅法產(chǎn) 生的【o ，l 】區(qū)間上均勻分布的一個隨機數(shù)，由此可得= 巧1 ( ) ，f = l ，2 ，挖，從而可得基本 變量墨，五，以的一組實現(xiàn)而，屯，。 若基本變量互相關(guān)，可以利用條件概率密度，把多維問題化成一維問題來解決設(shè)結(jié)構(gòu) 基本變量五，五，k 彼此相關(guān)，則可將聯(lián)合密度函數(shù)用條件密度函數(shù)表示為 厶( ，x 2 ，) = 矗( 而) ( 恐i 五) 厶，( 而i 而，屯) 矗( i 薯，而，一i ) ( 2 5 4 ) 式中右邊各個因子都是一維概率密度，因此可仿獨立情況，對于每個一產(chǎn)生一組基本變量 而，而，靠，其公式為 2 6 響應(yīng)面法( r s m ) 2 6 1響應(yīng)面法的原理 而= 露( ) 而= 瞄 ( 吒i 五) = 磁置，也，丘一( l ，屯，一i ) 結(jié)構(gòu)可靠度常用的分析方法是一階可靠度方法或蒙特卡羅模擬法。但是，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu) 的可靠度分析t 功能函數(shù)通常無法用顯式表達，只能通過一些數(shù)值算法( 如有限元法) 得到 其離散值。因為一階可靠度方法需計算功能函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。計算較為復(fù)雜；蒙特卡羅模擬法又 墮塑旦苧堡坌塹塑苧查曼里-! ! 需多次進行有限元計算，計算工作量極大。在這種情況下，常采用響應(yīng)面法( r e s p o n s es u r f a c e m e t h o d ，簡稱r s m ) 來進行可靠度分析 r s m 是統(tǒng)計學(xué)的綜合試驗技術(shù)，用于處理復(fù)雜系統(tǒng)的輸入( 基本變量) 和輸出( 系統(tǒng)響 應(yīng)) 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。其基本思想是用響應(yīng)面豳致( r s f ) 來擬合原有的隱式極限狀態(tài)函數(shù)。 常用的響應(yīng)面函數(shù)是下面的二次多項式形式 g ) “；( 力= + q + 吼# + 嘞t ( 2 6 1 ) t - il - l i - t 式中，國，西，a l ：，嘞( 盧l 2 ，m 產(chǎn)1 2 ，帕分別是常數(shù)項及線性項、平方項及二次交叉項的 系數(shù)。需要計算確定。其方法是先按定方式選擇一系列取樣點( 擬合點) ，k = l 2 ，n f ； 然后，在這些取樣點處計算對應(yīng)的響應(yīng)量，再用最t j 、- - 乘法等方法來求解響應(yīng)面的系數(shù)當(dāng) 上式中待定系數(shù)確定之后，即可視這一響應(yīng)面函數(shù)為近似的極限狀態(tài)函數(shù)，從而可用常規(guī)的 可靠度分析方法，如一階可靠度方法、= 階可靠度方法、蒙特卡羅模擬法等進行分析 目前，對于r s m 探討比較多的問題集中于取樣點點位的選擇及響應(yīng)面形式的確定 w o n g ( 1 9 8 5 ) l l n l 提出了包含一次項及二次交叉項的響應(yīng)面函數(shù)。對每個隨機變量石，分 別取其下界巧= ，一聽和上界i = 幾j + o ( 式中，和a 分別為隨機變量五的均 值和均方差) 。因此，對個隨機變量，這樣的組合共有礦種方式，即為了求解響應(yīng)面的系數(shù)， 共需在2 i ，個擬舍點處計算結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)值。由于響應(yīng)面法一般是用于極限狀態(tài)函數(shù)無法顯 式表示的情況，相應(yīng)的功能函數(shù)值常需有限元等數(shù)值計算方法實現(xiàn)，計算量較大。因此，當(dāng) 隨機變量數(shù)較多時，這種方法計算量太大，不便于實用 為了減少計算工作量，b u e h e r 和b o u r g u n d ( 1 9 9 0 ) | 1 1 4 1 提出了不考慮交叉項的二次多項式 形式的功能函數(shù)，因此只需計算2 n + 1 個待定系數(shù)。這種方法分兩步，第一步：選隨機向量x 的均值向量t x 作為中心擬合點，并沿每一坐標(biāo)軸方向各取兩個點彳= 置，吒。，其中f 是 擬合點的點位控制系數(shù)，b u c h e r 和b o u r g u n d 取f = 3 。因此，只需進行2 ，一1 次有限元計算，即 可確定響應(yīng)面的待定系數(shù)，從而可確定響應(yīng)面的形式及其設(shè)計點f 第二步，對觸和f 進行 線性內(nèi)插，以確定新的驗算點確( 其對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值為o ) ，以使擬合中心點更接近響 應(yīng)面。點舶的計算公式為 ，、 = 以+ ( ，一心) = _ 苧警毪i ( 2 6 2 ) g u l x 一g u 】 然后，以粕為中心點再次進行響應(yīng)面的擬合。因此，這種方法中共需進行4 n + 3 次有限元計 算，計算次數(shù)比w o n g 的方法大大減少。 上述方法很自然地被r a j a s h e k h a r 和e l l i n g w o o d ( 1 9 9 3 ) l 推廣至響應(yīng)面的多次迭代，直 至新的內(nèi)插點處功能函數(shù)值真正趨于零為止。他們考慮了交叉項的影響，并建議在響應(yīng)面的 初次迭代時取f = 3 、后序迭代中取= 1 ，以改進響應(yīng)面的迭代過程。 k i m n a ( 1 9 9 7 ) 8 1 分析指出：上述三種方法中，擬合點的選取沒有考慮到原始極限狀 態(tài)曲面的影響，因而迭代有可能不收斂于真正的設(shè)計點他們提出了基于一系列線性響應(yīng)面 迭代計算的向量投影法，以使擬合點更靠近響應(yīng)面。z h e n g ，d a s ( 2 0 0 0 ) l “9 i 對這種方法進行 了進一步改進，將上述方法中的線性響應(yīng)面改為二階響應(yīng)面，并用s o r m 進行可靠度計算 但是，由于這種算法十分復(fù)雜，當(dāng)前應(yīng)用較多的仍是b u e h e r 的響應(yīng)面法及其局部改進。 2 2 。合肥工業(yè)大學(xué)博士論文 2 6 2常規(guī)響應(yīng)面法的迭代步驟 響應(yīng)面法的實質(zhì)是用近似的功能函數(shù)來代替真實的功能函數(shù)。當(dāng)由響應(yīng)面法得到這一近 似的功能函數(shù)后，還需結(jié)合一定的可靠度分析方法( 如一階可靠度分析方法f o r m 、二階可 靠度分析方法s o r m 、蒙特卡羅模擬法m c s m 等) 進行可靠度計算。常用的是f o r m 。 對n 個隨機變量，通常取如下形式的二次多項式作為響應(yīng)面函數(shù)： z = g ) = 口+ 島耳+ q # ( 2 6 3 ) l 。l扣i 式中，a 、b i 、白( 盧i ，2 ，一) 為待定因子。 與f o r m 相結(jié)合的r s m 的常用步驟是7 j 叫： 1 ) 假定初始點x 。娩：，們，一般取均值點； 2 ) 利用數(shù)值模擬方法計算功能函數(shù)g ( x l ，x 2 。，粕，以及9 0 l ，x 2 。，f 土和舶，而 ， 得到2 n + 1 個點估計值其中系數(shù)，一般第一步取3 以后備步取l ： 3 ) 解由表達式( 2 6 3 ) 確定的含有2 ，什1 個待定系數(shù)的線性方程組，求出待定因子口、b l ， o ，得到以二次多項