2.2.1直線與平面平行的判定,1.直線與平面有幾種位置關(guān)系？,復(fù)習(xí)引入:,其中平行是一種非常重要的關(guān)系，不僅應(yīng)用較多，而且是學(xué)習(xí)平面和平面平行的基礎(chǔ),有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)，相交、平行,2,怎樣判定直線與平面平行呢？,問題探究:,根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點(diǎn)但是，直線無(wú)限延長(zhǎng)，平面無(wú)限延展，如何保證直線與平面沒有公共點(diǎn)呢？,3,在生活中，注意到門扇的兩邊是平行的當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊始終與門框所在的平面沒有公共點(diǎn)，此時(shí)門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門框所在的平面給人以平行的印象,實(shí)例感受,4,實(shí)例感受,將一本書平放在桌面上，翻動(dòng)書的硬皮封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？,5,將課本的一邊AB緊靠桌面，并繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察AB的對(duì)邊CD在各個(gè)位置時(shí)，是不是都與桌面所在的平面平行？,A,B,C,D,CD是桌面外一條直線，AB是桌面內(nèi)一條直線，CDAB，則CD桌面,猜想：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。,做一做,猜一猜,6,如果平面內(nèi)有直線與直線平行，那么直線與平面的位置關(guān)系如何？,是否可以保證直線與平面平行？,觀察,直線與平面平行,7,平面外有直線平行于平面內(nèi)的直線,（1）這兩條直線共面嗎？,（2）直線與平面相交嗎？,探究,直線與平面平行,共面,不可能相交,8,平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行,說明:(1)證明直線與平面平行，三個(gè)條件必須具備，才能得到線面平行的結(jié)論,1.直線與平面平行判定定理,(3)思想:空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.,9,假設(shè)與有公共點(diǎn)P，則，點(diǎn)P是a與b的公共點(diǎn)，這與矛盾，,證明：,經(jīng)過a，b確定一個(gè)平面,是兩個(gè)不同的平面,直線與平面平行判定定理證明,10,（1）定義法：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；,（2）判定定理：證明平面外直線與平面內(nèi)直線平行,2.直線與平面平行判定方法,說明:證明線面平行一般用判定定理.,11,找線線平行的方法：,1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性2）三角形中位線法3）平行四邊形法4）成比例線段法,直線和平面平行的判定定理,如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。,b,ab,a,a,注明：,1、定理三個(gè)條件缺一不可。,2、簡(jiǎn)記：線線平行，則線面平行。,3、定理告訴我們：,要證線面平行，只要在面內(nèi)找一條線，使線線平行。,13,1如圖，長(zhǎng)方體中，,（1）與AB平行的平面是；,（2）與平行的平面是；,（3）與AD平行的平面是；,平面,平面,平面,平面,平面,平面,隨堂練習(xí),14,判斷下列命題是否正確，若正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由，若不正確，請(qǐng)給出反例.,(1)如果a、b是兩條直線，且ab,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；(),（2）如果直線a和平面滿足a,那么a與內(nèi)的任何直線平行;(),（3）如果直線a、b和平面滿足a,b,那么ab;(),(4)過平面外一點(diǎn)和這個(gè)平面平行的直線只有一條.(),試一試,15,已知:空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn).求證:EF/平面BCD.,分析：EF在面BCD外，要證明EF面BCD，只要證明EF和面BCD內(nèi)一條直線平行即可.,EF和面BCD哪一條直線平行呢？,直線BD,例求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線，平行于經(jīng)過另外兩邊的平面.,在ABD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),證明：,EFBD,EF平面BCD,又EF平面BCD，,連接BD，,三角形的中位線是常用的找平行線的方法.,16,1.如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn).,(3)你能說出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的所有情況嗎？,(1)E、F、G、H四點(diǎn)是否共面？,(2)試判斷AC與平面EFGH的位置關(guān)系；,練習(xí),解：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面.,在ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn).,EHBD且,同理GFBD且,EHGF且EHGF,E、F、G、H四點(diǎn)共面.,(2)AC平面EFGH,17,解:（3）由EFHGAC，得,EF平面ACD，,AC平面EFGH，,HG平面ABC.,由BDEHFG，得,BD平面EFGH，,EH平面BCD，,FG平面ABD.,1.如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn).,(3)你能說出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的所有情況嗎？,(1)E、F、G、H四點(diǎn)是否共面？,(2)試判斷AC與平面EFGH的位置關(guān)系；,18,1如圖，長(zhǎng)方體中，,（1）與AB平行的平面是；,（2）與平行的平面是；,（3）與AD平行的平面是；,平面,平面,平面,平面,平面,平面,隨堂練習(xí),19,20,例2在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中.（1）作出過直線AC且與直線BD1平行的截面，并說明理由.（2）設(shè)E，F(xiàn)分別是A1B和B1C的中點(diǎn)，求證直線EF/平面ABCD.,21,2如圖，正方體中，E為的中點(diǎn)，試判斷與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由,證明：連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE,隨堂練習(xí),22,A,E,B,D,C,如圖，空間四邊形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn),試過CE作一平面平行于BD，并說明畫法的理論依據(jù),F,變式引申,23,兩個(gè)全等的正方形ABCD、ABEF不在同一平面內(nèi),M、N是對(duì)角線AC、BF的中點(diǎn)求證：MN面BCE,練一練,24,P,Q,引申：,M、N是AC，BF上的點(diǎn)且AM=FN，求證：MN面BCE,25,26,已知四棱錐S-ABCD,ABCD是平行四邊形,S是平面ABCD外一點(diǎn),M為SC的中點(diǎn).求證:SA/平面MDB,知識(shí)擴(kuò)展,B,S,M,C,A,D,o,27,證明：如圖，連接BD1，在DBD1中，EF為三角形中位線，所以EF/BD1，又EF平面ABC1D1，BD1平面ABC1D1所以BD1/平面ABC1D1,例如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn).求證：EF/平面ABC1D1.,28,解：直線BD1/平面AEC，證明如下:如圖，連接BD交AC于O，再連接OE在DBD1中，OE為三角形中位線，所以O(shè)E/BD1，又BD1平面AEC，OE平面AEC，故BD1/平面AEC.,P562如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn).試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由.,O,注意：在直觀圖中，線段平行關(guān)系不變，可利用此特性先直觀地找出平行線的可能所在.,練習(xí),29,如圖，已知P、Q是邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1,面ABCD的中心.求證PQ/平面AA1B1B,并求線段的PQ長(zhǎng).,解:（1）連接AB1，在AB1D1中，顯然P，Q分別是AD1，D1B1的中點(diǎn)，所以，PQ/AB1，且PQ=CD1又因?yàn)镻Q平面AA1B1BCD1平面AA1B1B所以PQ/平面AA1B1B,（2）AB1=，PQ=,問：PQ/平面DD1C1C？,PQ/C1D,練習(xí),30,C1,A,C,B1,B,M,N,A1,F,證明：取A1C1中點(diǎn)F，連結(jié)NF，F(xiàn)C,N為A1B1中點(diǎn)，,M是BC的中點(diǎn)，,NFCM為平行四邊形，,故MNCF,MN平面AA1C1C.,例如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點(diǎn)，求證：MN平面AA1C1C,31,練習(xí),練1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的點(diǎn)，F(xiàn)是CB1上的中點(diǎn)，求證：A1B/平面ADC1.,法一：線面平行判定定理連接BC1，則DE為ABC1中位線，所以EF/AB,又EF平面ABC，AB平面ABC，故EF/平面ABC.,法二：由面面平行判定線面平行取CC1的中點(diǎn)G，連接GE和GF，則GE為ACC1中位線，所以GE/AC,又GE平面ABC，AC平面ABC，故GE/平面ABC.,G,同理可證GF/平面ABC.,又GEGF=G，所以面GEF/面ABC.,32,m,l,證明：,又因m在內(nèi)，,，,和沒有公共點(diǎn)；,和m也沒有公共點(diǎn)；,又和m都在平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，,m,33,解：依題意點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn).連接A1C交AC1于E，連接DE.在ADC1中，DE為三角形中位線，所以DE/A1B,又DE平面ADC1，A1B平面ADC1故A1B/平面ADC1,練2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC為正三角形，D是BC上的點(diǎn)，若ADBC，求證：A1B/平面ADC1.,E,練習(xí),34,例如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn),求證：MN/平面PAD.,H,G,法二：取DC的中點(diǎn)G，連接GN，GM，,往證面GMN/面PAD即可.,證明：取PD的中點(diǎn)H，連接HN，AH，在三角形PDC中，HN為三角形中位線，所以HN/DC且HN=DC又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，且M為AB中點(diǎn)，所以AM/DC且AM=DCAM/HN且AM=HN即AMNH為平行四邊形，故MN/AH又AH平面PAD，MN平面PAD，故MN/平面PAD.,35,練：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PAD是正三角形，E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點(diǎn)，求證：EF/平面PAD.,證明：分別取PD，AD的中點(diǎn)G，H，連接GE，HF，GH在PDC中，GE為三角形中位線，所以GE/DC且GE=DC同理，HF/AB且HF=AB又底面為正方形，AM/DC且AM=DCGE/HF且GE=HF即HFEG為平行四邊形，故EF/GH又GH平面PAD，EF平面PAD，故EF/平面PAD.,G,H,練習(xí),36,例如圖，點(diǎn)B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別為ABC，ABD的重心.(1)求證：MN/平面ACD.(2)若底面邊長(zhǎng)為1為正三角形，求線段的MN的長(zhǎng)度.,解:(1)分別連接BM，BF交AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).因?yàn)镸，N分別為對(duì)應(yīng)三角形的重心，故E，F(xiàn)為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，且有BM:ME=2:1，BN:NF=2:1MN/EF且MN=EF.又因?yàn)镸N平面ACD，EF平面ACD所以MN/平面ACD.,E,F,(2)又因?yàn)樵贏CD中，EF是三角形的中位線，所以，EF/CD且EF=CD.MN=，CD=,線段成比例也是常用的找平行線的方法.,37,練如圖點(diǎn)B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為ABC，ABD，BCD的重心.(1)求證：平面MNG/平面ACD.(2)求的值.,E,F,H,同理，連接BG交CD于中點(diǎn)H，可證NG/平面ACD且NG=FH.又因?yàn)镸NNG=N，所以面MNG/面ACD.,練習(xí),解:(1)分別連接BM，BF交AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).因?yàn)镸，N分別為對(duì)應(yīng)三角形的重心，故E，F(xiàn)為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，且有BM:ME=2:1，BN:NF=2:1MN/EF且MN=EF.又因?yàn)镸N平面ACD，EF平面ACD所以MN/平面ACD.,38,同理可證明NG=AC且NG/AC，MG=AD且NG/AD,練如圖點(diǎn)B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為ABC，ABD，BCD的重心.(1)求證：平面MNG/平面ACD.(2)求的值.,練習(xí),解：(2)因?yàn)镋F是ACD的中位線，所以，EF/CD且EF=CD.由(1)知MN=EF.MN=CD且MN/CD,39,練1：如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在AB1上，F(xiàn)在BD上，B1E=BF，求證：EF/平面BB1C1C.,解:（1）連接AF交BC于點(diǎn)，再連接B1K，,K,又因?yàn)镋F平面BB1C1CB1K平面BB1C1C所以EF/平面