學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人所呈交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及 取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文 不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對(duì)本文的研究做出重 要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名：日期：遜 學(xué)位論文授權(quán)使用聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué) 校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國(guó)家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電 子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論 文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn) 行檢索。有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的學(xué)位論文在 解密后適用本規(guī)定。 學(xué)位論文作者簽名：段和童 日期：司s 導(dǎo)師簽名： 群眾 日期：珥： 摘要 在本文中，我們將對(duì)低維的l e i b n i z 代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)做進(jìn)一步的研究，通過利用 l e i b n i z 代數(shù)的基本性質(zhì)分析了三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的k i l l i n g 型，得到 它的k i l l i n g 型是退化的，分析了它的一維不等價(jià)表示，一般結(jié)合型，不等價(jià)的一維 中心擴(kuò)張以及中心擴(kuò)張得到的1 4 類四維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的同構(gòu)問題 關(guān)鍵詞：l e i b n i z 代數(shù)，一維中心擴(kuò)張，一般結(jié)合型，一維表示 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v er e s e a r c ha b o u tt h er e l a t e dp r o p e r t yo ft h el o wd i - m e n t i o n a ll e i b n i za l g e b r a s ，u s et h eb a s i cp r o p e r t yo ft h el e i b n i za l g e b r a ，w ea n a l y s e t h ek i l l i n gf o r m ，o n ed i m e n t i o n a lr e p r e s e n t a t i o n ，c o m m o na s s o c i a t i v ef o r m ，o n ed i m e n t i o n a lc e n t e re x t e n t i o no fl e i b n i za l g e b r ao ft h r e ed i m e n t i o n a ln o nl i ea l g e b r a k e yw o r d s ：l e i b n i za l g e b r a s ，o n ed i m e n t i o n a lc e n t e re x t e n t i o n ，c o m m o na s s o c i a - t i v ef o r m ，o n ed i m e n t i o n a lr e p r e s e n t a t i o n 4 1 引言 早在1 9 9 3 年，l o d a y 就研究了作為李代數(shù)的非交換情形的l e i b n i z 代數(shù)，作為代數(shù)， 它滿足以下等式： b ，融，z 】= 【k ，引，z 】一l k ，z 】，們 事實(shí)上，首次研究這一代數(shù)的是b l o c h ，他稱其為d - a l g e b r a s 在1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 1 年，a y u p o v 和o m i r o v 對(duì)低維l e i b n i z 代數(shù)的冪零性以及它的 分類進(jìn)行了研究，提出了有限維l e i b n i z 代數(shù)冪零可解的充要條件 i o a n n i sd o k a s 和j ll o d a y 對(duì)對(duì)結(jié)合代數(shù)以及限制l e i b n i z 代數(shù)進(jìn)行了研究，提出 了對(duì)結(jié)合代數(shù)的的定義，并得到任一對(duì)結(jié)合代數(shù)，賦予方括號(hào)運(yùn)算k ，暑d ：= z y y 卜z ，可得到一個(gè)l e i b n i z 代數(shù)2 0 0 5 年，s a l b e v e r i o ，s h a a y u p o v 和b a o r a i r o v 對(duì) 冪零和單l e i b n i z 代數(shù)做了迸一步的研究，證明了在特征為0 的域上，滿足e n g e l 的n 階條件的任- - l e i b n i z 代數(shù)是冪零的 二維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的分類已被l o d a y 解決，二維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)只有兩種不同構(gòu)類受至l j l o d a y - ( 作的啟發(fā)，上海交通大學(xué)的博士蔣啟芬對(duì)三維 非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)進(jìn)行了分類，分為1 3 種不同構(gòu)類，其中包括9 個(gè)l e i b n i z 代數(shù) 和4 個(gè)l e i b n i z 代數(shù)的一維參數(shù)簇 2 0 0 6 年，s a l b e v e r i o ，b a o m i r o v ，和i s r a k h i m o v 對(duì)四維冪零復(fù)l e i b n i z 代數(shù)進(jìn)行了分類，從n u l f i l i f o r m ，f i l i f o r m ，a s s o c i a t e ，a b e l i a n 四種情形進(jìn)行討論，將四 維冪零復(fù)l e i b n i z 代數(shù)分為1 7 種不同構(gòu)類，其中包括5 個(gè)單參數(shù)族和1 2 個(gè)維數(shù)為4 的冪 零l e i b n i z 代數(shù)的具體表示 受到上海交通大學(xué)的博士蔣啟芬關(guān)于三維非l i 水?dāng)?shù)的l e i b n i z 代數(shù)的分類以及 s a l b e v e p j o ，b a o m i r o v 和i s r a k h i m o v 關(guān)于四維冪零復(fù)l e i b n i z 代數(shù)分類工 作的啟發(fā)，我們研究了三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì)，即它的導(dǎo)予代數(shù)， 自同構(gòu)群，k i l l i n g 型，一維表示，一般結(jié)合型，一維中心擴(kuò)張以及中心擴(kuò)張得到的部 分四維l e i b n i z 代數(shù)的同構(gòu)問題 5 2 l e i b n i z 妖數(shù)及其一些基本裰念 本節(jié)我們憋介紹l e i b n i z 代數(shù)，l e i b n i z 代數(shù)的理憋，以及l(fā) e i b n i z 代數(shù)冪零性， 可解性的定義，本篇文章都是狂特征為0 的代數(shù)閉域f 上進(jìn)行討論的 定義2 1 一令l e i b n i z 代數(shù)g 是一個(gè)嘲量空聞，上瑟定義了一個(gè)括積： 滿足l e i b n i z 等式： l ，一】： 露囂霧， 睜，晦，雹】= 【睜，鰣，。l 一【p ，魂，硪，v 瓢y ，z 驂+ 恩然，如聚g 是一個(gè)l e i b n i z 代數(shù)，則我們有等式： 和 陋，i v ，胡】一0 ，v 篁，”g k ，b ，z j 】+ p ，忙，訓(xùn)j 一0 ，v z ，y ，# g 蠢l e i b n i z 季琶數(shù)靜定義我稍懿遒，經(jīng)簿l i e 代數(shù)爨一個(gè)l e i b n i z 錠羧事寞主， l i e 代數(shù)是乘積滿足反交換律的l e i b n i z 代數(shù) 定義2 2 設(shè)g 是一今l e i b n i z 錢數(shù)，予空耨；cg 揀為g 轉(zhuǎn)志( 右) 理想，弱栗 v o i 和善g ，k 杜1 i ( 叫，) 如果f 既是左理想又是有理想，稱，是g 的 雙邊溪恕 定義2 3 對(duì)l e i b n i z 代數(shù)g ，我們定義以下的理想序列： ( a ) c 1 9 一承轤+ 1 9 = p g ，菇，托 0 顯然有c ) c 2 9 3 # 。 ( b ) d 1 9 篇g ，d ”十1 駐= d ”g ，d “g l ，f l 0 ，貝4 有d 1 辱3d 2 9 ) d ”9 稱一個(gè)l e i b n i z 找數(shù)g 是冪零的，舞鬃存在整羧靠 0 使褥g = o ；稱g 霆解 的，如果存在憋數(shù)t r $ 0 使得d g = 0 滿足上述兩個(gè)等式的最小的整數(shù)n ，m 分別 6 稱為g 的冪零次數(shù)和可解次數(shù) 定理【1 l 】任一個(gè)三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)g 必同構(gòu)于下面的一種： 1 d i m i = 1 ，i 是l e i b n i z 代數(shù)g 的非零真理想時(shí)，三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù) g 必同構(gòu)于下面幾類： ( i ) 【e 2 e 2 】= e 3 ( i i ) 【e 2 ，e l 】= e 3 ( i i i ) 【e l ，e l 】；e 3 ， e 2 ，e 2 】= e 3 ( i v ) f e l ，e l 】；e 3 ，f e 2 ，e l 】= k e n ，k 2 ，e 2 】= e 3 ( 【e 3 ，e 2 】= e 3 ( ) e l ，e l 】= e 3 ，【e l ，e 2 】= e 2 ，f e 2 ，e l 】= 一e 2 ( v i i ) l e l ，e 2 】_ e 2 ，【e 2 ，e l 】= - - e 2 ，i e 3 ，e l 】- k e s ( v i i i ) 【e l ，e 2 】= e 2 ，【e 2 ，e l 】= 一e 2 ，【e 2 ，e 2 】= e 3 ，【e 3 ，e l 】= 一2 e 3 ( i x ) 【e 1 ，e 2 】= e l ，【e 3 ，e 2 】= e 3 ( x ) e l ，e 2 】= e l ， e 2 ，e 2 】= e 3 ( ) 【e 1 ，e 2 1 = e 1 + e 3 ，【e 3 ，e 2 1 = e 3 ( = 士1 ) ( x i i ) 陋l ，e 2 】- e 3 ，f e 2 ，e 2 】= e 1 2 ( f i m i = 2 ，且g 只含二維理想時(shí)，三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)g 同構(gòu)于下面一 類： ( x i i i ) 【e 2 ，e 3 】= e l + e 2 ， e l ，e 3 l = 自e 2 其中 e 1 ，e 2 ，e 3 ) 為g 的一組基，且基向量的其余括積均為o ，k 0 3 三維釋l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)豹毒予健數(shù)與穩(wěn)同穩(wěn) 7 農(nóng)這一繁，我們?nèi)炜紤]三維非l i e 代數(shù)鰓i 碰b n i z 代數(shù)g 豹囂子代數(shù)d e r g 及其 自同構(gòu)群a u t g 斑子三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的每一類，我翻毒： ( i ) f e 2 ，e 2 】= 鰳 辯飪舞d e 嘧獲設(shè)d ( e 1 ) = 鉑e l + 鈀龜+ a 3 e 3 ，d ( e 2 ) = b l e l + b 2 e 2 b 3 e 3 ，其 中n l ，0 2 ，n 3 ，6 1 ，6 2 ，b 3 f ，貝u d ( e a ) = d ( i e 2 ，e 2 】) 一【d e 2 ，e 2 1 + 【e 2 ，d e 2 】；【b l e l + b 2 e ：+ b a e 3 ，# 2 l e 2 ，b l e l 如如+ b s e s 】= 2 b 2 e a ；m d ( e l ，e 2 轉(zhuǎn)一【d e l ，e 2 l = o a e a = 0 ，我囂】 可得鋤= 0 ，所以我們有： d 竺e l 三= 荔a l e l + a 3 e 3 毛齠 愆義g 的線性變換矗，如，如，矗如下：令顫：lhe 1 ，e 2 0 ，8 3h 0 如：e 1h 島，如h0 ，e 3h0 。懿：8 l 0 ，包8 l ，島h0 ，是：e 1h0 ，e 2h 如，鉛h2 e s 。 則容易驗(yàn)證磊d e r g ，i 一1 ，2 ，3 ，4 西，南，如，以線性無關(guān)且d e r g = a d go 媛，巍，蠢，是，a d g = a d e 2 ) ，a 璉如( 盤) 一匭，包】 下面我們考慮這一類l e i b n i z 代數(shù)的矩陣形式 囊上我臻霹鰓：這一類l e i b n i z 代數(shù)豹導(dǎo)予艿在基e 3 ，8 l ，兜t 夔矩辮為： f2 如翹埝1 a = i o 0 16 l i i o 。如j 同對(duì)簿g 豹鑷何線穗交換5 ，器5 在鏊8 3 ，8 l ，8 2 下酶矩薄為上述形式靜矩陣氣翔 易證d d e r o 8 因此 咖掣2 6 2 a 3 b 3 )啪 ) 我們記o r 為這一類l e i b n i z 代數(shù)的自同構(gòu)，設(shè) o e l = 盯e 2 = 則o e 3 = 州e 2 ，e 2 】= e r e ，a e 2 】= b l e l + b 2 e 2 + b s e 3 ，b a e l + b 2 e 2 + b s e s 】= 醒e 3 ，a e l ，e 2 】= p e l ，o e 2 】= 陋1 e l + 啦e 2 + a 3 e 3 ，b l e l + 6 2 e 2 + b s e 3 】= n 2 6 2 e 3 = 0 ， 我們可得0 2 = 0 則叮在基e 3 ，e 1 ，e 2 下的矩陣為： 因此 撕蘭b ；2 a 3 b 3 )。，啦，a，幻，63f，。t。，。，。) 按照同樣的方法，我們可得： ( i i ) e 2 崩】= e 3 d e r g = a d g o 仇，如，如) ，其中8 d g = ( a d e 0 ，6 1 ：e lh e l ，e 2h0 ，e 3 卜e 3 如 e 1h0 ，e 2 he 2 ，e 3 he 3 南：e l he 3 ，e 2 h0 ，e 3 h0 白 吼 毗 k 。警：亙 、1 如n 幻 m o 磋o o ，j-l_i、 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有 lfa l + 6 2 d e r g 壘 i o lio 舭a 帕 1 n 1 ，n 3 ，6 2 ，6 3 f j 0 1 ，幻，6 2 ，b 3 f a l 0 ，b 2 0 ( i i i ) 【e l ，e l 】_ e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e 3 d e r g = a d g e ( 況，如) ，其中a d g = ( a d e l ，a d e n ) ，6 l ：e lhe 1 ，e 2he 2 , e 3h2 e 3 如 e 1 he 2 ，e 2 h - e i ，e 3 h0 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： 呦艙引 叫) 口1 ，n 2 ，0 3 ，6 3 f 口1 ，0 2 ，n 3 ，6 3 只a l 0 ( i v ) 【e l ，e l 】= e 3 ，【e 2 ，e l 】- k e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e 3 d e r g = a d go 仇，如) ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) ，6 l ：e 1h e l ，e 2he 2 ，e 3h 2 e 3 如：e l hk e l e 2 ，e 2 he l ，e 3 卜后e 3 轉(zhuǎn)化為矩陣形式我們有： 9 、 b o k 啦 毗o 。e r 。壘 ( 2 。1 j61后；i。三。) a u t g 壘 ( 6 2 n 1j 。2 6 1 三莖) 1 0 1 ，吩，b l ，b 3 f j 吼，啦，口3，6“62，63f，m。，62。，62m吐26) ( v ) 【e 3 ，e 2 】_ e 3 d e r g = a d go 吼，如) ，其中a d g = ( a d e 2 ) ，g l ：e lh e l ，e 2h0 ，e 3h0 而：e lh 0 ，e 2h _ e l ，e 3p _ 0 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： ff 口， d e r g 皇 1 0 f ，。，6 1 o1 a u t g 壘 1 010 i 【o o c 3 1 0 1 ，6 1 c 3 f j 。-，。，cs只。，。，c3。) ( v i ) f e l ，e l 】- e 3 ，【e l 總】_ e 2 ，i e 2 ，e l 】= 一e 2 d e r g = a d g o ( 6 ) ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) ，6 ：e 1h0 ，e 2 he 2 ，e 3 h0 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： 、 o o q 以o 0 o 0 0 ：) 觚。皇l 0 a s ) 1 n 2 ，n 3 ，6 2 f j 1 幻，6 2 f 6 2 0 j ( v i i ) 【e l ，e 2 】_ e 2 ，【e 2 ，e l 】= - - e 2 ，e 3 ，e l j _ k e s d e r 0 = a d g o ( ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) ，6 ：e 1 h0 ，e 2 ho ，：3 he 3 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： o o 。) 撕壘b 2 c 恐a 2 1 口2 ，6 2 ，c s f j a 2 , b ：, c a , c 3 f , b 2 # 0 , c 3 # o ( v i i i ) 陋l ，e 2 】= e 2 ，【e 2 ，e l 】= 一e 2 ，【e 2 ，e 2 】= e 3 ，【e 3 ，e l 】= 一2 e 3 d e r g = a d o ，其中a d g = ( a d e l ，a d e 2 ) 轉(zhuǎn)化為矩陣形式我們有： 2 b 2 b s o ；) ) 1 1 f 卜 a u t g 望 1 0 1 n 2 ，6 2 f , b 2 0 j ( ) f e l ，e 2 】= e l ，【e 3 ，e 2 】= e 3 d e r g = a d g o ( 6 l ，如，如) ，其中a d g = ( a d e 2 ) ，以：e 1he l ，e 2h0 ，e 3 0 如 e 1he 3 ，e 2h0 ，e 3h0 如：e lh0 ，e 2h0 ，e 3he 1 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： 隊(duì)。壘價(jià) m 啦臼 舭a 壘1 0 0：) 1 n 1 ，0 3 ，c l ，c 3 f j o l ，a 3 ，c l ，c 3 f a z c 3 e l a 3 ( x ) 【e l ，e 2 l = e l ，【e 2 ，e 2 】一e 3 d e r g = a d g o ( 6 ) ，其中a d o ；( a d e 2 ) ，j ：e lhe l ，旬h0 ，e 3 h0 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： bo 、l d e r g 型 l 0 00 i 1 0 1 ，b s f j 、 o 眈l啦如。 fft 琵o1 a u t g 壘 l 010 l k oo 啦j 1 0 1 ，5 3 f , a l 0 j ) 玲l ，e 2 l 一8 i4 - 。瓤睡，e 2 j k e 3 ，一圭1 ) d e r 0 = a d g o ( 砷，芨中a d g = ( a d e 2 ) ，6 ：e l he 3 ，e 2 h0 ，e 3 h0 轉(zhuǎn)訖為簌薄形式 我翻有： 或 。e r 。籍 ( 瑤l + 鼉f 一弼i 三) 曠 ff 趣k0 奶、 a u t g 鍘 l o七o l lk 咱。啦j 1 a l ，a 3 f j 。，鋤jt8；一+e亳一，鈞。)， a l , a 3 e f , a ；k - a l a 3 ( 1 - k ) # o ( x i i ) 轉(zhuǎn)l ，2 l e 3 ，鶼，e 2 】= d e r g = a d g o ( 文，如) ，其中a d 9 = ( a d e 2 ) ，曲：e l 2 e l ，e 2 ”艮，e 3h3 e 3 如 e l h0 ，e 2 h 鉛，島h0 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，戴們有： 1 4 o e r 爐3 6 2 b s bl。) a u t ?；?( 莒圣6 謄) 1 6 1 ，6 2 ，5 3 f j h ，6 2 ，6 3 f ，6 2 。 ( x i i i ) 【e 2 ，e 3 】= e l + e 2 ，【e 1 ，e 3 】= k e 2 d e r g = a d g o ( 6 ) ，其中a d g = ( a d e 3 ) ，矗：e l he 1 ，e 2 he 2 ，e 3 h0 轉(zhuǎn)化為矩陣形式，我們有： 。e 碼壘 ( 弓m 蘭h ；) 蛐皇”莓幻 a 1 ，b l f h ，6 2 ，臼f ，c 3 。，6 2 a - 6 2 + 七砰) 通過以上研究，我們可知三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)除第( 9 ) 類外都 是可解的 、 o o 盤 “幻o 1 5 4 三壤菲l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)豹k i l l i n g 型 零節(jié)討論三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的k i l l i n g 型問題 定義4 1 設(shè)g 楚任一l e i b n i z 代數(shù)，若算，y l ，定義： 托( 舅，y ；一器( a 敷赫巍 則蓐是孽上軀一個(gè)黠稱雙線性型，稱為k i l l i n g 型+ 埒在下述意義下是結(jié)合的： 仡( p ，們，z ) = k ( z 洳，2 1 ) 取定g 的一組蒺 e l ，e 2 ，) ，則k 為非退化的當(dāng)且儀當(dāng) 第i 褥j 列盼元素是k ( 島，e j ) 的矩陣?guó)勁崃阈辛惺健?命題4 1 三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)都是可解的 在三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的1 3 中不圈構(gòu)類孛，其中( 1 ) ，( i i ) ，( 1 1 1 ) ，( i v x ( x n ) 是冪零的，其余的是可解的但不冪零，其中第( v ) ，( ) ，( v i i ) ，( i x ) ，( x ) ，( ) ( i ) ，( x a n ) 類 的可鰓次數(shù)為3 ，第( v i h ) 類的弼艇次數(shù)建4 。冪零的l e i b n i z 代數(shù)的k i l l i n g 型是遴他 的，且由冪零l e i b n i z 代數(shù)的e n g e l 定理可知，冪零的l e i b n i z 代數(shù)的k i l l i n g 型不僅 是退純鮑，瑟鼴它的k i l l i n g 型健兔o ，艇以我們只震考慮囂器零的壤形： ( v ) k 3 ，e 2 】= e 3 a d e l ( e l ，e 2 ，e 3 ) = e l ，e 3 ) a d e 2 ( e l ，e 2 ，e 3 ) = ( e l ，8 2 島) a d e 3 話l ，如，勖) 一( e t ，龜，e 3 ) i t ( e l ，e 1 ) 一t r ( a d e l a d e l ) 一0 ，擰( 顫，龜) = t r ( a d e 2 a d e l ) = 0 ， n ( e l ，e 2 ) 一t r ( a d e l a d e 2 ) 一0 ，k ( e 2 ，# 3 2 ) = t r ( a d e 2 a d e ：) = 0 ， 攤l ，島) 一t r ( a d e l a d e z ) 一0 ，( 9 2 ，e 3 = t r ( a d e 2 a d e z ) = 0 ， 一( e 3 ，e 1 ) 一n ( a d e 3 a d e l ) 一0 ，k ( e 3 ，e 2 ) = t r ( a d e 3 a d e 2 ) = 0 ， 0 0 1 o o o o o 0 o o o o o o o 0 o 0 0 o0 蟄o o e o 沙 ( | ；) ( ；) ( ；i ) ( x i i i ) f e 2 ，e 3 l ；e l + e 2 ，陋l ，e 3 1 = k e 2 它的k i l l i n g 登一在基8 l ，e 2 ，8 3t 豹度量斑陣為 由以上可知三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的k i l l i n g 型是退化的 1 7 l o o + 老 2 o o o o o o ，f， 1 8 5 三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的一維表示 本節(jié)我們討論三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的一維表示 定義5 1 設(shè)g 是l e i b m z 代數(shù)，向量空間m 被賦予g 的兩個(gè)作用： 卜，一】：gx m m 【一，一】：mxg m 如果滿足以下關(guān)系，則被稱為一個(gè)o 模： ( 1 ) 【m ，k ，鰣】= 【m ，z 】，胡一 階，引，卅， ( 2 ) k ，f m ，胡】= 【b ，州，y 】一【p ，刎，m 】， ( 3 ) p ，b ，m i j = 【陋，們，m 】一【k ，叫，圳， 對(duì)v z ，口g 和m t 定義5 2 設(shè)k w 是口模，g 模同態(tài)是一個(gè)線性映射：v 一彬，使得妒( z u ) = z 妒( ) ， 當(dāng)廬又是向量空間同構(gòu)時(shí)，稱為g 模同構(gòu)，k 緲提供了g 的等價(jià)表示 下面我們來考慮三維非l i e 代數(shù)的l e i b m z 代數(shù)g 的一維表示，即m 的維數(shù)為 一維的情形 記m ：f c e 1 ，e 2 ，e 3 ) 是g 的一組基，定義雙線性映射： gx m _ t 【e ，c 】= l i c ，l i f i = 1 ，2 ，3 m x g _ 尬【c ，e i 】= 覷c ，只i = 1 ，2 ，3 對(duì)于等式k 【y ，z 】| = 【陋，掣】，z l 一【陸，z 】，鰣，以下我們記作陋，璣刁 我們?cè)O(shè)【e ，c 】= ，( e ) c ，【c ，e j = 9 ( e ) c ， 對(duì)p ，c 】，由陋，i v ，c 】= 【陋，】c 】一【i x ，c 】，鰣，我們有f ( y ) f ( x ) c = ( ，( p ，胡) 一 ，( z ) 9 ( 可) ) c ，即f ( y ) f ( x ) = ，( 陋，掣1 ) 一，( 。) 9 ( ) ， 對(duì)i x ，c ，糾，由i x ，【c ，引】= 【k ，c 】叫一f 陋，y l ，c 】，我們有( z ) g ( y ) = f ( x ) g ( y ) 一 ，( k ，】) ，即，( 陋，引) = 0 ， 由以上兩式可得，( 。) 【，( ) + g ( ) 】= 0 ，若，0 ，則有g(shù) = 一， 對(duì)【c ，z ，刎，由p ，陋，】j = 【i t , 卅，糾一【i c ，卅，z 】，我們有g(shù) ( 扛，】) = 9 ( z b ( y ) 一 9 ( 掃( z ) ，即9 ( 陋，引) = 0 ，g ( 陋，引) = ，( 陋，鰣) = 0 對(duì)于三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)g 的1 3 種不同構(gòu)類，我們有： ( i ) 【e 2 ，e 2 】_ e 3 ( 1 ) 若，= 0 ，貝0 有矗= 0 ，l = 1 ，2 ，3 ，k 3 = 0 ，即【c ，e l 】= k l c ，【c ，e 2 】= k 2 c ，貝口 它的一維表示所對(duì)應(yīng)的向量空間為礦( 0 ，0 ，k l ，k 2 ) 若存在n = f c 是g 的另一個(gè) 一維表示，它滿足 c i ，e ，】= k ：c ，【c ，e 2 】= k 2 c ，若存在線性映射p ：c 一，滿足 p l c ，e 1 1 = k c d = 瞳，e l 】= t 蠡ic ，p 【c ，e 2 】= k a t c = t d ，e 2 】= t 硅c ，則g 的兩個(gè)一維 表示等價(jià)的充要條件是七，如分別與磁，磁成倍數(shù) ( 2 ) 若f 0 ，則有= 0 ，1 3 = 0 ，k l = 一f 1 ，k 2 = - 1 2 ，則它的一維表示所對(duì)應(yīng) 的向量空間為v ( 1 1 ，f 2 ，- 1 1 ，- 1 2 ) 同上可以得到g 的兩個(gè)一維表示等價(jià)的充要條件是 “，1 2 分別與f ：，砭成倍數(shù) 第( i i ) ，( i ) ，( ) ，( v ) 類的一維表示同第( i ) 類， ( ) 【e l ，e l 】= e 3 ，【e l ，e 2 j = e 2 ，【e 2 ，e l 】；一e 2 由，( 【厶糾) = g ( 肛，叫) = 0 ，我們得到= b 1 2 1 3 0 ，若，= 0 ，則2 1 = 0 ， 即【c ，e 1 】= h c ，則它的一維表示所對(duì)應(yīng)的向量空間為v ( o ，后1 ) ，若存在n = f c 是g 的另一個(gè)一維表示，它滿足【c e - 】= 瑤c ，若存在線性映射p ：c 一彬，滿 足p 【c ，e l l = t d ；眵，e l j = t k , d ，則g 的兩個(gè)一維表示等價(jià)的充要條件是k 1 與k ： 成倍數(shù)；若，0 ，則有i c ，e l 】= k l c ，k l ，c 】= z l c ，同上可以得到g 的兩個(gè)一維表示等價(jià) 的充要條件是k 1 ，b 分別與后：，e 成倍數(shù) 第( v i i ) ，( v i i ) ，o x ) ，( ) ，( i ) ，( x i i i ) 類的一維表示同第( v i ) 類 巨凈 畦甜 ( i i ) 【e 2 ，e l l = e 3 由( e l ，e 2 】，e 1 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e l i ) ，我f 得至0 ( e 1 ，e 3 ) = 0 ，即n 1 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e l i ，e 3 ) = ( e 2 ，【e l ，e 3 】) ，我f f 】得到( e 3 ，e 3 ) = 0 ，即o = 0 ， 由( 【e 2 ，e l i ，e 1 ) = 妒( e 2 ，e l ，e 1 1 ) ，我f 】得到廬( e 3 ，e 1 ) = 0 ，即n 3 l ：= 0 ， 蠡議融，e 1 ，e 2 ) = 毋她，和l ，包1 ) ，我稻褥到( e 3 ，e 2 ) 一0 ，幫鉑2 = 0 ， 幽毋( 【e 2 ，e 2 l ，e 1 ) = 毋( e 2 ，f e 2 ，e l 】) ，我f 得到咖( e 2 ，e 3 ) 一0 ，即a , 2 3 = 0 ， 掰璦多在基e 1 ，e 2 ，e 3 下瀚發(fā)量矩酶為： 吐l l 婦哇2 d 2 l0 2 2 oo ( i i i ) 【e l ，e 1 】一e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e 3 凌妒( e l ，# l l ，e 1 ) 一( e l ，f e l ，e l 】) ，我們得到妒( 如，e 1 ) 一垂( e l ，e 3 ) ，即蛙3 l = 8 1 3 ， 內(nèi)咖( e 1 ，e l 】，e 2 ) = 妒( e l ，忙1 ，e 2 】) ，我們得到毋( e 3 ，e 2 ) 一0 ，即n 3 2 = 0 ， 啦妒( 聱l ，e l l ，e 3 ) 一妒( e l ，晦l ，e 3 】) ，我彳f 】得至q ( # 3 e 3 ) 一0 ，印堪3 3 = o ， 由妒( 【e 1 ，e 2 j ，e 2 ) = 妒( e l ，k 2 ，e 2 】) ，我啊】得到西( e 1 ，e 3 ) 一0 ，即g 1 3 = 0 ， 受多( 眩，e l 】，e 1 ) 一毋( 龜，眩，e 1 1 ) 我 門褥到夠e 2 ，e 3 ) 一0 ，即璉2 3 = 0 ， 由( 【e 2 ，e 2 】，e 1 ) 一咖( e 2 ，【e 2 ，e 1 】) ，我們得到咖( e 3 ，e 1 ) 一0 ，即a 3 1 = 0 ， 鱖以毋在纂8 l ，釔，8 3 下的度量矩晦為： 8 l l 窿1 2 a 2 1 a 2 2 oo f i v ) 靜l ，l 】= # 3 ，融，e l = 蠢孳3 ，融，e 2 】；e 3 由( 【e l ，# 1 】，e 1 ) = 曲( e 1 ，【e 1 ，e 1 1 ) ，我們】得至0 ( e 3 ，e 1 ) 一毋( e l ，e 3 ) ，即d 3 l = ：a 1 3 ， 國(guó)聯(lián)l ，# l l ，如) 一爹和l ，和l ，嘲) ，我翻簿妥聯(lián)白，2 ) 一0 ，都a 3 2 = 0 ， 由( k l ，e l 】，e 3 ) 一曲( e 1 ，【e l ，8 3 】) ，我們得到曲( e 3 ，e 3 ) 一0 ，即0 , 3 3 = 0 ， 國(guó)母( 獨(dú)i ，e 2 】，e 1 ) 一簪和l ，和2 ，e l ) ，我囂】豢 至g 簪l ，e 3 ) 一0 ，幫糕1 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e 1 】，e 1 ) 一妒( e 2 ，陋l ，e 1 1 ) ，我們得到( e 2 ，e 3 ) 一0 ，即n 囂= 0 ， 掰馥垂在筵龜，玩，e 3 下的滾量矩簿為： ( v ) 【e 3 ，e 2 卜e 3 巍妒鎏l ，蝕】 e 2 ) = 簪( e l ，也巍我譽(yù)j 褥到球1 3 ；0 ， 凼( 【e 2 ，e 3 】，e 2 ) = 毋( e 2 ，【e 3 ，e 2 1 ) ，我們得到她3 = 0 ， 巍簪( 融，e 3 氧嘲= 戳島，融，e 2 】) ，我鋸褥爨鼬= 0 ， 由廬( 【e 3 ，e 2 】，e 1 ) 一咖( e 3 ，【e 2 ，e 1 】) ，我們】得到a 3 1 = 0 ， 翻蘞離，e 2 ，如) 一牽( e 3 ，海，勖勢(shì)，我翻得到鰳2 = 0 ， 所以西在基e 1 ，e 2 ，e 3 下的度量矩陣為： n l la 1 2 0 2 1o 2 2 oo 0 疆) 靶i ，e l 】一e 3 ，聱l ，e 2 】；e 2 ，融，e l l 一一e 2 由( 【e 1 ，e l 】，e 1 ) = 4 , ( e l ，陋1 ，e l j ) ，我竹】得到t 1 3 1 = 口1 3 ， 翻聯(lián)靶l(wèi) ，e l 毛e 2 ) 一簪( e l ，l ，e 2 】) ，我察褥羈多洶，句一垂 e l ，鰳) ，幫0 , 3 2 = 吐1 2 ， 由( e l ，e 1 1 e 3 ) 一驢( e l ，【e 1 ，島1 ) ，我們得至0 ( 島，e 3 ) 一0 ，即a 3 3 = 0 ， 滋妖l ，e 2 j ，e 1 ) 一事e l ，渤，j 巍我 f 】褥虱( e 2 ，e 1 ) = 一多8 l ，e 2 ) ，幫她1 = a 1 2 ， 由( 【e l ，e 2 1 ，e 2 ) 一毋( e 1 ，【e 2 ，e 2 】) ，我1 門得到毋( e 2 ，e 2 ) 一0 ，即a 2 2 = 0 ， 癲聯(lián)隨，e 2 ，e 3 ；一毋e t ，b ，嘲) ，我髓得到池，e 3 ) 一0 ，霹鼢= 0 ， 由妒( e 2 ，e l 】，e 1 ) = 西( e 2 ，陋l ，e 1 1 ) ，我們得到一毋( e 2 ，e 1 ) = 妒( e 2 ，e 3 ) ，即一8 2 l n 髂， 、tlii| o o o 毗 坳。 姐 眈o 由妒( 【e 1 ，e 2 】，e 1 ) = ( e l ，【e 2 ，e 1 】) ，我f 】得至u 廬( e 2 ，e 1 ) = 一砂( e 1 ，e 2 ) ，即0 2 l = 一口1 2 由妒( 【e 2 ，e l 】，e 2 ) = ( e 2 ，【e l ，e 2 】) ，我f 】得至0 一妒( e 2 ，e 2 ) = ( e 2 ，e 2 ) ，即a , n = 0 ， ) ( v i i i ) e l ，e 2 】= e 2 ，【e 2 ，e l 】= 一e 2 ，【e 2 ，e 2 j = e 3 ，【e 3 ，e l 】= 一2 e 3 由妒( 【e “e 1 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e l ，e 2 】) ，我f 得至( e 1 ，e 2 ) = 0 ，即a 1 2 = 0 ， 由( 陋l ，e 2 】，e 1 ) = ( e l ，【e 2 ，e l 】) ，我們得到( e 2 ，e 1 ) = 一妒( e l ，e 2 ) ，即a 2 1 = 一0 1 2 ， 由( 【e 1 ，e 2 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 2 】) ，我們得到( e 2 ，e 2 ) = ( e l ，e 3 ) ，即a 船= n 1 3 ， 由( 【e 1 ，e 3 】，e 1 ) = 4 , ( e l ，【e 3 ，e 1 j ) ，我f f 】得至( e 1 ，e 3 ) ：= 0 ，即0 1 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e 1 】，e 1 ) = 妒( e 2 ，( e l ，e l 】) ，我f 】得到( e 2 ，e 1 ) = 0 ，即n 2 l = 0 ， 由( 【e 2 ，e l 】，e 2 ) = 廬( e 2 ，【e l ，e ?！? ，我f f 得至n 2 2 = 0 ， 毗o o 為 o 0 o 陣 o 卿 o 吣 量，一 度的i 白吃 基在 以 所 由妒( 【e 2 ，e 1 j ，e s ) ；廬( e 2 ，【e l ，e 3 】) ，我 】得到( e 2 ，e 3 ) = 0 ，即a 2 3 = 0 ， 由毋( 【e 2 ，e 2 】，e 1 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e 1 】) ，我 f 得至0 ( e 3 ，e 1 ) = ( e 2 ，e 2 ) ，即a 3 l = 0 ， 由( 【e 2 ，e 2 】，e 2 ) = ( e 2 ，【c 2 ，e 1 】) ，我f 門得至0 妒( e 3 ，e 2 ) = 妒( e 2 ，e 3 ) ，即a s 2 = 0 ， 由廬( 【e 2 ，白j ，e 3 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e 3 】) ，我們得到( e 3 ，e 3 ) = 0 ，即o , 3 3 = 0 ， 所以在基e 1 ，e 2 ，8 3 下的度量矩陣為： ( x ) e l ，e 2 】= e l ， e 2 ，e 2 】；e 3 由( 【e 1 ，e l 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 1 ，e 2 j ) ，我f f 】得到妒( e 1 ，e 1 ) = o ，即0 1 1 = 0 ， 由( 【e l ，e 2 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 2 】) ，我f 】得到( e l ，e 2 ) = 妒( e l ，e 3 ) ，即a 1 2 = a 1 3 由j l ( 【e 1 ，e 2 】，e 1 ) ；( e 1 ，【e 2 ，e 1 j ) ，我們得到a l l = 0 ， 畦甜 ) ( x i i ) 【e 1 ，e 2 】- e 3 ，【e 2 ，e 2 】_ e l 由妒( 【e 1 ，e 1 】，e 2 ) = ( e 1 ，【e 1 ，e 2 1 ) ，我f f ) 得到( e l ，e 3 ) = 0 ，即a 1 3 = 0 ， 由廬( 【e 1 ，e 2 】，e 1 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 1 】) ，我1 門得到妒( e 3 ，e 1 ) = 0 ，即a 3 l = 0 ， 由礦( f e l ，e 2 】，e 2 ) = b ( e l ，f e 2 ，e 2 】) ，我f 】得至0 ( e 3 ，e 2 ) = ( e 1 ，e 1 ) ，即a 3 2 = n 1 1 由( 【e 1 ，e 2 j ，e 3 ) = ( e 1 ，【e 2 ，e 3 】) ，我1 得到( e 3 ，e 3 ) = o l 即a 3 3 = 0 ， 由( 【e 2 ，e l 】，e 2 ) = 妒( e 2 ，【e l ，e 2 】) ，我啊 得到妒( e 2 ，e 3 ) = 0 ，即a , z 3 = 0 ， 由妒( 【e 2 ，e 2 】，e 1 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e l 】) ，我們得到( e 1 ，e 1 ) = 0 ，即a 1 1 = 0 ， 由( f e 2 ，e 2 】，e 2 ) = ( e 2 ，【e 2 ，e 2 】) ，我們得到妒( e 1 ，e 2 ) = ( e 2 ，e 1 ) ，即a 1 2 = 眈l 所以在基e l ，e 2 ，e 3 下的度量矩陣為： 0 a 1 2 a 1 20 2 2 oo 睢) 7 三維非l i e 代數(shù)的l e i b n i z 代數(shù)的一維中心擴(kuò)張 定義7 1l 是域f 上的李代數(shù)，l 上的雙線性函數(shù)妒：l l f ，如果滿足： ( i ) 妒( z ，z ) = 0 ( i i ) 妒0 ，b ，z 1 ) + v ( y ，k ，z 1 ) + 妒( z ，扛，”1 ) = 0 則稱妒是l 的( f - 值) 2 - 上循環(huán) 記l 是域f 上的李代數(shù)，定義l i = l f c ，陋+ a c ，+ p c 】= 陋，y 】+ 妒( z ，! ，) c ， z ，y l ，a ，p f ，且【c ，l 】= 0 則工是工通過c 的中心擴(kuò)張 定義7 2 l e i b n i z 代數(shù)g 的2 - 上循環(huán)是指雙線性函數(shù)：妒：g g f ，其中妒滿足 妒 ，阻，z 】) 一