函數(shù)空間拓?fù)湟恢滦詥栴}的討論 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè) 研究生原雅燕指導(dǎo)教師梁基華 函數(shù)空間是d o m a i n 理論中的基本結(jié)構(gòu)，討論在函數(shù)空間上i s b e l l 拓?fù)浜?s c o t t 拓?fù)浜螘r一致問題是研究函數(shù)空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要方面劉應(yīng)明、梁基華 【1 9 對此問題給出了很好的回答受此工作的影響，本文關(guān)于函數(shù)空間上i s b e l l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢伦鞒鲞M(jìn)一步研究 為了研究函數(shù)空間的緊性?？茌x、羅懋康【1 3 】提出了r w 拓?fù)湫再|(zhì)本文 將繼續(xù)對r w 空間進(jìn)行討論，并分析對于r w 空間x ，使函數(shù)空間一引 的i s b e l l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢?，則l 應(yīng)滿足什么條件，與l 的緊性有何關(guān)系 得到以下結(jié)果 ( 1 ) 三是帶有性質(zhì)m 的具有最小元的連續(xù)d o m a i n ，則函數(shù)空間一糾 上s c o t t 拓?fù)渑ci s b e l l 拓?fù)鋵τ谒泻司o空間x 一致當(dāng)且僅當(dāng)連續(xù)d o m a i nl 是有界完備d o m a i n ( 2 ) l 是有最小元的連續(xù)l - d o m a i n ，則函數(shù)空間一引上s c o t t 拓?fù)渑c i s b e l l 拓?fù)鋵τ谒衦 w 空間x 一致當(dāng)且僅當(dāng)三是l a w s o n 緊的 關(guān)鍵詞：函數(shù)空間；i s b e l l 拓?fù)洌籹 c o t t 拓?fù)?；連續(xù)l - d o m a i n ；有界完備d c p o ； 核緊空間；r w 空間；收縮；性質(zhì)m ；局部連通空間 a b s t r a c t d i s c u s s i o no ft h et o p o l o g i c a lc o i n c i d e n c eo i lf u n c t i o n s p a c e s m a j o r lf o u n d a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t = y a y a ny u a u s u p e r v i s o r ：j i h u al i a u g f u n c t i o ns p a c ei sa ne s s e n t i a ls t r u c t u r ei nd o m a i nt h e o r y t h ep r o b l e m w h e ni s b e ua n ds c o t tt o p o l o g ya g r e eo nf u n c t i o ns p a c e sp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nt h es t u d yo ft o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo nf u n c t i o ns p a c e s l i ua n dl i a n g 1 9 】 o b t a i n e das o l u t i o nt ot h ep r o b l e mi n1 9 9 6 f o rs t u d y i n gt h ec o m p a c t n e s so f f u n c t i o ns p a c e s ，k o ua n dl u o 1 3 】d e f i n e dp r o p e r t yr i nt h i sp a p e rw ed i s c u s s f u r t h e rt h a tf o rr w s p a c e t h ec o n d i t i o n so nls u c ht h a tt h ei s b e l la n ds c o t t t o p o l o g i e so i lf u n c t i o ns p a c e _ 馴a g r e e i t sp r o v e dt h a tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： ( 1 ) l e tl b ea p o i n t e dc o n t i n u o u sd o m a i nw i t hp r o p e r t y 訂1 t h e nt h ei s b e l l a n ds c o t tt o p o l o g i e so n x _ 糾a g r e ef o ra l lc o r ec o m p a c ts p a c e sxi fa n do n l y i fli sab o u n d e dc o m p l e t ed c p o ( 2 ) l e tlb eac o n t i n u o u sl - d o m a u w i t ht h e e a s te l e m e n to l t h e nt h e i s b e l la n ds c o t tt o p o l o g i e so nf x _ l ja g r e ef o ra l lr w s p a c e sxi fa n do n l yi f li sl a w s o nc o m p a c t k e y w o r d s ：f u n c t i o ns p a c e ；i s b e l lt o p o l o g y ；s c o t tt o p o l o g y ；b o u n d e dc o m p l e t e d c p o ；c o n t i n u o u sl - d o m a i n ；c o r ec o m p a c ts p a c e ；r 一s p a c e ；p r o p e r t ym ：r e t r a c t i o n ；l o c a l l yc o n n e c t e ds p a c e ， 聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得四川大學(xué)或其他教育機構(gòu) 的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn) 均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 本學(xué)位論文成果是本人在四川大學(xué)讀書期間在導(dǎo)師指導(dǎo)下取得的，論文成 果歸四川大學(xué)所有，特此聲明。 1 7 導(dǎo)晦蛐戧) 儲! 塾墼 二零零七年四月二十日 致謝 本文的寫作是在導(dǎo)師梁基華教授的悉心指導(dǎo)下完成的。 梁基華教授嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、高尚的人格魅力、平和的處事 原則、堅強的性格都對作者留下了深刻影響，受益終身。三 年來，梁基華教授對作者在學(xué)習(xí)上精心的指導(dǎo)，生活中無微 不至的關(guān)懷，使作者能夠得以順利的完成學(xué)業(yè)，作者非常的 感激和懷念她。梁基華教授在講臺上的英姿，講臺下的平易 成為她在我心中最后的定格，將會永遠(yuǎn)的留在我的記憶中。 作者在此特別感謝張德學(xué)教授、感謝寇輝教授認(rèn)真閱讀 了本文的初稿，對本文的寫作給予的大力幫助，提出有建設(shè) 性的意見，三年中來兩位教授對作者學(xué)習(xí)、科研中遇到的難 題給予了認(rèn)真細(xì)致的解答，再次表示最忠心的感謝。感謝師 兄黃方平博士、閡超、師弟孟華、朱穆艷平時在學(xué)習(xí)、討論、 生活中對作者的諸多幫助，特在此表示誠摯的謝意。感謝我 的所有老師、朋友、同學(xué)以及師弟師妹們。 謹(jǐn)對我的父母，兄姐表示最忠心的感謝，是他們多年來 對我學(xué)習(xí)上的理解，生活上的支持才使我可以順利的完成了 學(xué)業(yè)。 再次對梁基華教授的早逝表示深切的悼念。 第一章引言 d o m m n 理論是理論計算機科學(xué)研究的一個重要分支，各種c a r t e s i a i l 閉范 疇可以用來解釋函數(shù)式程序設(shè)計語言的語義學(xué)，d o m a i n 理論為函數(shù)式語言提供 了語義學(xué)模型其中函數(shù)空間是d o m a i n 理論中一個重要結(jié)構(gòu)許多學(xué)者都在其 文章中對函數(shù)空間上拓?fù)渲g關(guān)系進(jìn)行過討論 對于函數(shù)空間上的拓?fù)?，考慮函數(shù)空間一目上的h b e u 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)渲睾系臈l件g i e r z 和k e i m e l 證明了；若x 是局部緊的，l 是連續(xù)格，則 一引上的i s b e u 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)渲睾蟬 c h w ”z 和w e c k 證明了，若x 是 核緊空間，l 是連續(xù)格，則一糾上的h b e u 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)渲睾?l a w s o n 和m i s i o v e f 2 0 1 在1 9 9 0 年提出公開問題：x 是核緊空間，l 是帶有 s c o t t 拓?fù)涞膁 c p o ，問工滿足什么條件下使得函數(shù)空間一引上的h b e l l 拓 撲與s c o t t 拓?fù)渲睾? 對此問題，劉應(yīng)明和梁基華1 9 給出過一個充要條件；l 是有最小元的連續(xù)l 廣d o m m n ，則對任意的核緊空間x ，函數(shù)空間一引上的 i s b e 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)渲睾袭?dāng)且僅當(dāng)l 是有界完備d 印o 由于連續(xù)l 廣d o m a i n 都帶有性質(zhì)m ，本文試圖把此結(jié)果從連續(xù)【廣d o m a i n 推廣到帶有性質(zhì)m 的連續(xù) d o m a i n 上 為了研究函數(shù)空間的緊性，梁基華和k e i m e l 在f l7 】提出了拓?fù)淇臻g的w 性質(zhì)，并分析了空間與函數(shù)空間緊性的聯(lián)系寇輝、羅懋康在 1 3 中又提出 了比w 性質(zhì)更一般的拓?fù)湫再|(zhì)r w ，并且分析了r w 空間和函數(shù)空間緊性之 間的聯(lián)系我們討論對于r w 空間x ，函數(shù)空間【x 一目上i s b e l l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢屡cl 緊性之間的關(guān)系 基于此，本文分別在第三，第四章中作出了進(jìn)一步的研究 第三章中分析了帶有性質(zhì)m 的連續(xù)d o m a i n 。并證明了，若l 是帶有性質(zhì) m 的含最小元的連續(xù)d o m m n ，則函數(shù)空間一糾上s c o t t 拓?fù)渑ch b e u 拓?fù)?對于任意核緊空間x 是一致的當(dāng)且僅當(dāng)l 是有界完備d c p o 1 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第2 頁 第四章介紹了r 空間及其性質(zhì)，并討論對于任意r w 空間x ，l 的緊性 與一叫上i s b e l l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢轮g的聯(lián)系，證明了，若l 是含最 小元的連續(xù)l - d o m a i n ，則函數(shù)空間一明上s c o t t 拓?fù)渑ci s b e u 拓?fù)鋵τ谌?意r w 空間x 是一致的當(dāng)且僅當(dāng)l 是l a w s o n 緊的 第二章預(yù)備知識 偏序集l 的非空子集d 稱為是定向集，如果對任意z ，y d ，存在z d 使得z ，ysz 偏序集l 稱為定向完備偏序集( d c p o ) 當(dāng)且僅當(dāng)l 的任意定向集 有上確界d c p ol 是有界完備的，如果每個有上界的非空子集有上確界 對于d c p o l ，z ，y l ，稱。方向小于y 0 y ) ，如果給定l 中的定向集 d 并且y v d ，存在某個d d ，使得o d 若z o ，則z 稱為緊元d c p o l 稱為連續(xù)的，如果對于所有x l ，有x = v 14 l z = v t ( o l ：a z ) 連續(xù) d c p o 也叫d o m a i n 或連續(xù)d o m a i n d c p ol 稱為代數(shù)的，若對每個z l ，z = v ( 1z n k ( l ) ) ，其中k ( l ) 是工中所有緊元之集若l 還是完備的，l 稱為代 數(shù)格連續(xù)l - d o m a i nl 就是所有主理想lz ，z l 為連續(xù)格的連續(xù)d c p o l 是一個d c p o ，u l 稱為s c o t t 開集當(dāng)且僅當(dāng)u 是上集并且若定向集 d l ，v d u ，則d n u 妒所有s c o t t 開集構(gòu)成s c o t t 拓?fù)?，記為? l 中所有主濾子的補趴tz ，x l 作為子基生成l 的下拓?fù)鋟 ( l ) l a w s o n 拓 撲 是s c o t t 拓?fù)淇诤拖峦負(fù)鋟 的并，即( 叭t f ：u 口( l ) ，f c f i n l ) 構(gòu)成 l a w s o n 拓?fù)鋋 ( l ) 的基 x 是一個拓?fù)淇臻g，n ( x ) 表示它的開集格拓?fù)淇臻gx 是核緊的當(dāng)且僅 當(dāng)n ( x ) 是連續(xù)格通常我們認(rèn)為一個拓?fù)涫蔷o的是說它是l a w s o n 緊的 對于連續(xù)d c p ol ，我們有一些基本性質(zhì) 1 插入性質(zhì)：x ，y l ，y 則存在z l ，使得z 2 y 2 介z ，。l ) 是盯( 工) 的基； 3 口( l ) 是連續(xù)格 x 是拓?fù)淇臻g，l 是帶有s c o t t 拓?fù)涞膁 c p o ，一上j 表示所有從x 到l 的連續(xù)函數(shù)全體，并在其上賦予點態(tài)序，稱一引為函數(shù)空間 對于函數(shù)空間一目，它的緊開拓?fù)涠x如下t 3 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第4 頁 設(shè)l v ( k ，v ) = ， x 一捌：f ( k ) y ) ，其中k 是x 的緊子集，v 盯( l ) 所有形如n ( k ，v ) 的集合作為子基生成的拓?fù)浣凶龊瘮?shù)空間一引的 緊開拓?fù)?除了點態(tài)拓?fù)浜途o開拓?fù)渫?，對函?shù)空間定義一個重要的拓?fù)洌?令( e v ) = ，i x 一叫：f 1 ( 日) ，其中h 口( q ( x ) ) ，v 口( l ) 形如n ( h ，v ) 的所有集合作為子基生成的拓?fù)浞Q為一引上的i s b e l l 拓 撲，記為i s x l 根據(jù)緊開拓?fù)浜蚷 s b e l l 拓?fù)涞亩x可知，一日上的i s b e l 拓?fù)浔绕渖系?緊開拓?fù)浼?xì)如果x 是局部緊的，則這兩個拓?fù)湟恢赂鶕?jù)i s b e l l 拓?fù)涞亩x 可知，一上i 上的i s b e l l 拓?fù)浔萻 c o t t 拓?fù)浯?對于d c p ol 和e ，連續(xù)映射r ：l e 稱為個收縮，若存在一個連續(xù)映 射8 ：e 一三使得r 。8 = i d f 其中e 稱為三的收縮 第三章帶有性質(zhì)m 的連續(xù)d o m a i n 定義3 0 1 稱d c p o x 有性質(zhì)m ，如果對x 中的任意有限集f 和f 的上界2 0 存在f 的極小上界z 使得f z 知，即是說，n ft 口= tm u b f 引理3 0 1 【朝連續(xù)l - d o r s a i n 的收縮仍是連續(xù)l - d d m 口t n 例3 0 1 尬是最小的非連續(xù)l - d o m a i n ，所以根據(jù)引理5 0 j ，尬不是任何一 個連續(xù)l d o m a i n 的收縮但顯然尬帶有性質(zhì)m 由此可知連續(xù)l d o m a i n 一定具有m 性質(zhì)，但反之不成立 l ( n ) 是有最小元的代數(shù)l - d o m a i n ，口( ) = l ( n ) u t ) 是代數(shù)d o m a i n 并且口( f ( ) ) 是連續(xù)的，( l ( ) ，口( 口( ) ) ) 是核緊空間。 x o 圖一艦 c 2c 3 印 圖二l ( n 1 0 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第6 頁 引理3 0 2 【朝l 是帶有性質(zhì)m 的含最小元的連續(xù)d o m a i n ，則l 是連續(xù)l d o m a i n 當(dāng)g - 4 又當(dāng)l 不包含偏序尬( 圖一所示) 作為收縮 引理3 0 3f 明對拓?fù)淇読 ：1x 和連續(xù)d o m a i nl ，如果e 是l 的收縮，則 i s x l 1 = d 一糾蘊涵i s 一司= 口陋一e 】 l a w s o n 和m i s l o v e 在 2 0 中提出下面問題：x 是核緊空間，l 是帶有s c o t t 拓?fù)涞膁 c p o ，問l 滿足仟么條件，使得函數(shù)空間【x 一翻上的i s b e u 拓?fù)渑c s c o t t 拓?fù)湟恢? 劉應(yīng)明、梁基華在 19 】中給出了如下的回答： 定理3 0 1 帶有最小元o l 的連續(xù)l d o m a i nl ，則z s x l = 口一上j 對 任意的核緊空間x 成立當(dāng)_ g - 4 z 當(dāng)l 是有界完備d c p o 由于連續(xù)l - d o n m i n 帶有性質(zhì)仇，我們將上邊的結(jié)論推廣到帶有性質(zhì)m 的 連續(xù)d o m a i n 上去 定理3 0 2l 是帶有性質(zhì)m 的含最小元的連續(xù)d o m a i n 。月t f 斗任意的核緊空間 x ，i s x l 1 = 口一捌成立當(dāng)且僅當(dāng)l 是有界完備d c p o 證明：充分性根據(jù)定理3 0 1 自然得出 反之，要證必要性，我們只需證明l 是連續(xù)l - d o m a i n 假定l 不是連續(xù) l - d o m a i n ，則根據(jù)引理3 2 2 可知，l 包含 n 作為收縮我們希望可以得出結(jié) 論：對某個核緊空間x 。有z s i x 一尬】f 一艦j ，以此導(dǎo)出矛盾 設(shè)x = ( l ( ) ，一( 口( ) ) ) ，其中( ) = l ( n ) u t ) 是代數(shù)d o m a i n 并 且a ( l ( ) ) 是連續(xù)的。( 上，( ) ，a ( l ( | ) ) ) 是核緊空間 令 u = ， l ( ) 一m 】：f ( a ) = l ，( 6 ) = y 2 ，( 0 0 ) = 銣) f = ，u ：9 n o n ，s t ，( c 2 。) = i ，( q ) = y 1 0 r y 2 ，i 2 珊) ) 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第7 頁 下邊表明叭f 不是i s b e l l 開集，只是 p ( v ) 一m 1 】上的s c o t t 開集 根據(jù)u 及f 的定義，可知u f 是s c o t t 開集 假定u f 是i s b e l l 開集， 定義映射，：【上，( ) 一尬】如下； ，( 。) = 勛z = 0 0 璣z = o 拋z = b 斫z = 一l ( n n ) 昵z = q 。( n n ) zz=l 可看出，u f ，又 b ( ，) = n ( tf 1 ，tg i ) n n ( tf 2 ，t 必) n n ( no ，ty 1 ) n | v ( t tb ，t 2 ) 最伽 。跏一1 ，玨 ，懇一。 c 軌，仃 是，的i s b e l l 鄰域基 任取 v = n ( t r ，tf i ) n ( t f 2 ，t ：) i 1 n ( r fa ，ty 1 ) n n ( f fb ，ty 2 ) b ( y ) 令n o = m a x i n ：島f l u 毋 定義h ：l ( ) 一 矗如下所示 吣，= 溉，： 有h f l ( ) 一艦 ，h v 并且h f ，則h 仨u f 因此可知 y 垡v f 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第8 頁 根據(jù)y 的任意性可知，u f 不是i s b e l l 開集，因此有i s x 一 ?！靠谝?尬 因為尬是l 的收縮，有引理3 0 3 可知l s x 一糾口一目，與已 知矛盾，所以l 定是連續(xù)l - d o m a i n 根據(jù)定理3 0 1 ，l 是有界完備d c p o ，綜上 必要性得證r t 第四章r w 空間 4 1 關(guān)于r w 空間 對于函數(shù)空間一l 的l a w s o n 緊性，l a w s o n 和m i s l o v e 2 0 1 提出過一 個公開問題：刻畫，l ) 的性質(zhì)，其中x 是核緊空間，工是連續(xù)d c p o ，使得 一別是l a w s o n 緊的連續(xù)d c p o 對此問題，梁基華和k e i m e l 在【17 1 中提 出了空間的概念，并且證明了，若l 是緊連續(xù)l - d o m a i n ，x 是w 空間，則 一引是緊的連續(xù)d c p o 此后，寇輝和羅懋康 1 3 提出了比w 性質(zhì)更一般 的概念r w 性質(zhì)，并且研究r w 空間和函數(shù)空間的緊性之間的關(guān)系，證明了幾 個重要的結(jié)論： ( 1 ) 任何緊連續(xù)d o m a i n 都有性質(zhì)r w ；對于連續(xù)l - d o m a i n 來說，緊性等 價于r w 性質(zhì)； ( 2 ) l 是含最小元的連續(xù)d c p o ，則對于r w 空間x ，一日是l a w s o n 緊的當(dāng)且僅當(dāng)l 是緊連續(xù)l - d o m a i n ； ( 3 ) 若x 是核緊空間，則x 有r w 性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)對緊連續(xù)l - d o m a i n l ，一糾是l a w s o n 緊的 為了更深入的研究r w 性質(zhì)對函數(shù)空間上i s b e l l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢滦?的影響，首先給出w 性質(zhì)及r w 空間的定義： 定義4 1 1 以v a ( x ) 并且v u ，v 的劃分 k ：i i ) 對u 稱為是相對 極大的，如果對u 的每個劃分 v j ：j 以及每個j j ，有n v 0 推出 n v = u k ：t j ，n k o ) 拓?fù)淇臻gx 稱為有性質(zhì)r w ，若對a ( x ) 中有限對開集k 以( f ，f 是有限集) ，其中n f m 0 ，則n 詎f k 對n 詎f 以有相對極大劃分 帶有性質(zhì)r 的核緊空間稱為r 空間 9 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第1 0 頁 空間x 稱為局部連通的，如果存在n ( x ) 的連通開集構(gòu)成的基開集格 n ( x ) 是穩(wěn)定的，如果對璣v w n ) ，有u k w 號u v nw 命題4 1 1 【j 5 l x 是局部連通空間。若v ，u q ( x ) ，v u ，則v 有相對u 的有限極大劃分 命題4 1 2 對干局部連通空l 可x ，如果開集格a ( x ) 是穩(wěn)定連續(xù)的，則x 有 r w 性質(zhì)特別地，如果x 是連續(xù)d o m a i n 并且s c o t t 開集格口( x ) 是穩(wěn)定連 續(xù)的。則x 是r 空間 證明：令k 以0 f ，f 是有限集) 是e ( x ) 中有限對開集，并且n ，。f k 0 ， 則n 。，k 阢0 f ) 根據(jù)n ( x ) 的穩(wěn)定性知n ；f m n ；f 以由于x 是 局部連通的，則n 詎尸有相對于n t 尸阢的有限極大劃分由于連續(xù)d o m a i n 都皂局部連通的，第二個命題成立口 4 2 x l 上i s b e l l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢滦耘cl 緊陛 之間的等價 在文 1 2 】中，給出了一個關(guān)于緊連續(xù)l - d o m a i n 的刻畫定理；連續(xù)l - d o m a i n l 是l a w s o n 緊的當(dāng)且僅當(dāng)i s l 一上4 = o l 一糾我們考慮，對于函數(shù)空間 x 一馴，x 是核緊空間，上是連續(xù)l - d o m a i n ，l 的l a w s o n 緊性與j s 一 l 】= 口一上j 成立又有何關(guān)系? 另外在文【1 3 中，寇輝提出l 是連續(xù)l - d o m a i n ，若對所有r w 空間 x ，瞵一上l 上i s b e l 拓?fù)渑cs c o t t 拓?fù)湟恢?，問工是否是l a w s o n 緊的? 對此問題，在下文中作出回答 基于此，我們把討論關(guān)鍵放在x 是r w 空間上 引理4 2 1 i j6 】x 是核緊空間，l 是有最小元的連續(xù)d o m a i n ，若i x 一引是緊 的連續(xù)d c p o ，則i s x 一馴= 口一上4 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第1 1 頁 定理4 2 1l 是具有最小元的連續(xù)d o m a m ， ( j ) l 是l a w s o n 緊的連續(xù)三d o m a i n ； ( 2 ) 對所有的r 空間x 來說，一別是緊的連續(xù)d o m a i n ； ( 對干r w 空問x ，有，5 一糾= o x 一糾 則( ) 和( 2 ) 等價，并且( 2 ) 可以推出( 3 ) 根據(jù) 1 3 】中的結(jié)論( 2 ) 可知，( 1 ) 和( 2 ) 是等價的對所有的核緊空間x ， 由引理4 2 1 ，可知一叫的緊性可推出一目上i s b e l l 拓?fù)浜蛃 m t t 拓?fù)?一致，r w 空間是帶有性質(zhì)r w 的核緊空間，( 2 ) 推出( 3 ) 對于( 1 ) 和( 3 ) 的等價性，我們將在下文的定理中繪出 引理4 , 2 2 【廁l 是d 印d ，則以下三個條件等價 ( j ) l 是連續(xù)三一d o m a i n 2 ( 2 ) 對任意核緊空間x ( 鄹對任意核緊空間x ， 一目是連續(xù)l d o m a i n ； x 一引是連續(xù)d c p o 例4 2 1l ( n ) ( 圖二所示) 是代數(shù)l - d o m a i n ，螄是核緊空間。并且?guī)в衦 w 性質(zhì)由引理4 ，2 2 可知 m n 一二( ) 】是連續(xù)l - 面m a m 圃 t 上 3 圖三m n 從收縮的角度出發(fā)，文【1 2 1 中給出了另一個關(guān)于連續(xù)l - d o m a i n 緊性的刻 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第1 2 頁 引理4 , 2 3 【l 是連續(xù)l - d o m a i n ，則l 非l a w s o n 緊的當(dāng)且僅當(dāng)l ( ) ( 圖 二) 是l 的收縮 定理4 2 2l 是帶有最小元的連續(xù)l - d o m a i n ，則，s 陋一l l = 口隴一l j 對任 意r w 空間x 成立當(dāng)且僅當(dāng)l 是l a w s o n 緊的 證明：假設(shè)l 是含最小元的l a w s o n 緊的連續(xù)l - d o m a i n ，則對r w 空間x 來 說，函數(shù)空間一糾是l a w s o n 緊的連續(xù)d c p o 根據(jù)引理4 2 1 及定理4 2 ，1 可知，對r w 空間x ，有如陋一糾= ，一上j 成立 反之，假設(shè)二不是l a w s o n 緊的，則根據(jù)引理4 2 3 ，可知l ( n ) ( 圖二所 示) 是l 的收縮，其中l(wèi) ( n ) 是帶有最小元的代數(shù)l - d o m a i n 特別地，令x 是 r w 空同( m n ，a ( m n ) ) ( 圖三所示) ，則【m n l ( ) 是連續(xù)l - d o m a i n 可以斷定1 8 m n l ( ) a m n l ( ) 】 由于m n 關(guān)于a ( m n ) 是局部緊的，則【m n l ( ) 】上的i s b e l l 拓?fù)浜推?緊開拓?fù)湎嗟萳 ( n ) 是代數(shù)l - d o m a i n ， tk ：k l ( ) ) 是l ( n ) 的基 因此下面這種形式的集合全體 n ( t 以t 妨= f f m n l ( ) 】：f ( t u ) t 塒 其中u m i v 是s c o t t 擬緊集并且k l ( ) ，構(gòu)成 m j r l ( ) 1 上的i s b e l l 拓?fù)涞拈_子基 因為n ( m ) 和l ( n ) 都有可數(shù)基，則根據(jù)前邊的討論知i s m n l ( n ) 有可數(shù)基 然而對每個i n ，令 鞏= ， m n l ( r ) = f ( t ) = 島，( 上) = 口0 ) 置= f 配：f ( n ) = n ，o r b ，n n ) 阢 可以證明對每個i n ，阢是口【 如一l ( ) 中的開集，但只包含阢 中不可數(shù)多個極小元，因此 m n l ( j ) 上的s c o t t 拓?fù)錄]有可數(shù)基，即 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文 第1 3 頁 i s ( m n 一三( ) 口i 知一l ( ) 】但是由于l ( ) 是l 的收縮，由引理3 0 3 知，條件l s x l 】= a x l 可以推出i s x l ( ) l = o x 一工( ) 】，得 出個矛盾因此可知l 是l a w s o n 緊口 由此定理可看出，定理4 2 1 中三個條件是等價的 推論4 2 1 連續(xù)d o m a i n x 賦予鼬擾拓?fù)涫呛司o空間，則x 是尉緲空間當(dāng)且 僅當(dāng)對任意的緊連續(xù)l d o m a i nl ，【x _ 糾上的i s b e l l 拓?fù)浜蛃 c o t t 拓?fù)湟恢?參考文獻(xiàn) 1 1sa b r a m s k y ，a j u n 島d o m a i nt h e o r y ，m ：s a b r a m s k y , d m g a b b 吼t i s 。e ，m 曲a u m ( e a s ) ，蛆d b 。o ko fl o 西ci nc o m p u t e r s c i e c e ，v o l 3 ，c 1 齟e n d o n p r o s ，o x f o r d ，( 1 9 9 4 ) ：1 - 1 6 8 2 1j a m e k ，h h e r r h d a ，g e s t r e c k e r ，a b s t r a c ts a d g 0 呶e t ec a t 。驢r i e s ，2 0 0 4 f 。3 1e ，d i d ，s t ts p a c e sa n ds o b e rs p a c e s ，t o p o l o g ya n d i t 6a p p l i 。a t i o ”，v o l 1 0 0 ( 2 0 0 0 ) ：9 3 - 1 0 1 4 1re n g e l k i n g ，g e n e r a lt o p o l o g y , w a r b z 8 w a ，1 9 7 7 f5 1te r k 口，m ，he s c a r d o ，k k e i m e l ，t h ew a y b e l o w r e l a t i o o ff u n c 七i o “s p 8 。e s o v 竹s e m a n t kd o 皿缸n 8 ，t 0 p o l o g ya n d i t sa p p h c a t i o n s ，v o 8 9 ( 1 9 9 8 ) ：6 1 - 7 4 f 6 1me g c a r d 6 ，j l a w n ，a s i m p s o n ，c o m p a r i n gc a r t e s i a nc l o s e dc a t e g o 嘏o ! f c o r e lg o p 砒l yg e n 盯刪s p a c e s ，t o p 。l o g y 姐di t sa p p l i c a t i 。”，v o l _ 1 4 3 ( 2 0 0 4 ) ：1 0 5 - 1 4 5 - f 7 1g g i e r z ，k h h o f i n a n n ，k ，k e i m e l ，j d l a w s o n ，m m b 脅，d ss 。t t ， c 。t 血l sl a t t i c e sa n dd o m a i ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 3 f 8 1 rh e c l 【m 眥，a u p p e rp o w e rd o m a i nc o n s t r u c t i o n i nt e r m so fs t r o g l yc o m - d a c ts e t s ，l n c s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，v o l5 9 8 ( 1 9 9 1 ) ：2 7 2 - 2 8 2 i9 1a j u g ，c 毗i c l o s e dc a t e g o r i e s 。fd o m a i n s ，i n ：c 唧n a c t s ，v 0 1 6 6 ( 1 9 8 9 ) i t o j l k e l e 弘g e n e r a lt o p o l o g y , s p r i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 1 1 1 r k o p p e r m a ，a s y m m e t r ya n dd u a h t y i nt o p o l o g y ，t o p o l o g y8 n d 婦a p p l 圯8 t i o n s ，y o l6 6 ( 1 9 9 5 ) ：1 - 3 9 f 1 2 1h mk 。u ，ac h 缸a c t e r i z i n gt h e o r e m o fc o m p a c tc o n t i n u 。1 1 sl d 。m a i n s ，a d v a c e 8i nm a t h e m a t i c s ，v o i3 2 ( 2 0 0 3 ) ：6 8 3 - 6 8 8 【13 1h u ik 。u ，m a 0 k a n “u 。，r w s p a c e sa n d c o m p a c t n e s s 。fn l n 。t i o “s p 卿f o r 。d o m a i n ，t o p o l o 舒a n d 婦a p p l i c & t i o n s ，v 0 1 1 2 9 ( 2 0 0 3 ) ：2 1 1 - 2 2 0 1 4 1jd l 糾w s 。，e n c 。u n t e r sb e t w e e n t o p 。l o g ya n dd o m 越t h e 。r y ，l “：k k 。i m e l e ta 1 d o m a i n sa n dp r o c e s s e s ，( 1 9 9 9 ) ：1 - 3 2 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文第1 5 頁 1 5 1j dl a w s o n ，t h eu p p e ri n t e r v a lt o p o l o g y , p r o p e r t ym ，a n dc o m p a c t n e s s ， e l s e v i e rs c i e n c eb v ，1 9 9 8 1 6 1jd l a w s o n ，t h ev e r s a t i l ec o t i n u o u so r d e r ，l e c t u r en o t e si nc o m p u t s e i ， v o l2 9 8 ( 1 9 8 8 ) ：1 3 4 - 1 6 0 17 j i h u al i a n g ，k k e i m e l ，c o m p a c tc o n t i n u o u sl - d o m a i m ，c o m p u t e r sa n dm a t h e m m i c 8w i t ha p p l i c a t i o n s ，v 0 1 3 8 ( 1 9 9 9 ) ：8 1 8 9 1 8 】j i h u al i a n g ，y i n g m i n gl i u