中文摘要 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和線性理論的同趨完善，非線性科學(xué)已經(jīng)在各個研究 領(lǐng)域的作用越來越重要，逐步成為科學(xué)研究的焦點(diǎn)物理、化學(xué)、生物、工程 技術(shù)甚至經(jīng)濟(jì)研究等都存在著人量的非線性問題，這些問題可以用非線性常 微分方程或j f 線性偏微分方程來描述至此，如何求解這些非線性方程無疑成 為了非線性研究的關(guān)鍵和難點(diǎn)所在 非線性方程不同于線性方程，雖然人們已經(jīng)建立了不少行之有效的求解方 法，如直接法，廣義條件對稱法，分離變量法，經(jīng)典和非經(jīng)典李群法，齊次平衡法 等，但是，沒有一種方法是能夠普遍適用于所有的非線性方程的所以，繼續(xù)尋 找一些有效可行的方法求解非線性方程仍然是一項(xiàng)十分重要的工作 本文運(yùn)用了一種指數(shù)函數(shù)展開法，進(jìn)一步研究和分析了若干非線性演化方 程，并得到了它們的更多的新的精確解第一章中我們簡介了幾種求解非線性 偏微分力程精確解的方法和非線性偏微分方程求解研究方法的發(fā)展?fàn)顩r第二 章中我們運(yùn)用了指數(shù)函數(shù)展開法，求解了若干非線性演化方程( 組) ，給出了它 們更多的新的精確解第i 章我們對本文的工作做了總結(jié)和展望以及后續(xù)要研 究的二 作 關(guān)鍵詞 非線性演化方程，精確解，指數(shù)展開法 a b s t r a c t ( 英文摘要) w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g ya n dt h el i n e a rt h e o r yb e i n gp e r f e c t i n c r e a s i n g l y t h en o n l i n e a rs c i e n c ei sb e c o m i n gm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti na l m o s ta l lt h es c i e n t i f i cf i e l d sa n dc l o s et ot h ef o c u sf o rt h es c i e n t i f i cr e s e a r c h t h e r ea r eal a r g eo fn o n l i n e a rp r o b l e m st h a tc a nb es h o w na n dd e s c r i b e db y t h en o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n p h y s i c s ：c h e m i s t r y b i o l o g y ，a n da l s oe c o n o m i c sr e s e a r c h s o ，h o wt os o l v et h en o n l i n e a re q u a t i o n sh a v eb e c o m e dt h ec r u c i a la n dd i f f i c u l tw o r kf o rt h er e s e a r c h e r s n o n l i n e a re q u a t i o n sa r ed i f f e r e n tf r o ml i n e a re q u a t i o n s ，a l t h o u g hp e o p l eh a v e c r e a t e dm a n ye f f e c t i v em e t h o d st od e a lw i t hn o n l i n e a re q u a t i o n sl i k ed i r e c t m e t h o d ：g e n e r a l i z e dc o n d i t i o ns y m m e t r y , v a r i a b l es e p a r a t i o n ，c l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o da n ds oo n ，n oo n e m e t h o dc a nb es u i t a b l ef o ra l lk i n d so fn o n l i n e a re q u a t i o n s t h e n ，i tr e m a i n sa v e r yi m p o r t a n tw o r kt ol o o kf o rn e we f f e c t i v em e t h o d st od e a lw i t ht h en o n l i n e a r e q u a t i o n s i n t h i sa r t i c l e ，w eu t i l i z ea ne 印( 一妒( ) ) 一e x p a n s i o n a p p r o a c ht os t u d y s e v e r a ln o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n sa n dg e ts o m en e we x a c ts o l u t i o n so f t h e m i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es e v e r a lm e t h o d st os t u d yt h ee x a c ts o l u t i o n o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w eu t i l i z ea n e z p ( 一妒( ) ) 一e x p a n s i o na p p r o a c ht os t u d ys e v e r a ln o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a - t i o n sa n dg e ts o m en e we x a c ts o l u t i o n so ft h e m i nc h a p t e rt h r e e ，w es h o wt h e s u m l n a r v ，a n de x p e c t a t i o no ft h i sa r t i c l e k e y w o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n ：e x a c ts o l u t i o n ：e z p ( - 妒( 4 ) ) - e x p a n s i o na p p r o a c h i i 西北大學(xué)學(xué)位論文知識產(chǎn)權(quán)聲明書 本人完全了解西北大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定。 學(xué)校有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版。 本人允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)西北大學(xué)可以將本學(xué)位論文的 全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃 描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。同時授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研 究所等機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫或其它 相關(guān)數(shù)據(jù)庫。 保密論文待解密后適用本聲明。 學(xué)位論義作者簽名：君手壯指導(dǎo)教師簽名：肚 雷夕c 7 年鄉(xiāng)月，7 日易夕口7 年月，7 日 西北大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工 作及耳義得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地 方外，本論文不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含 為獲得婀北大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我 一j 二j t 作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的 說明并表示謝意。 學(xué)位論文儲簽名：方p 轉(zhuǎn)鑼 沙1 年6 月，- 7 曰 兩北人學(xué)碩l 學(xué)化論文 1 1引言 第一章緒論弟一早珀t 匕 在自然界和人類社會中的各個領(lǐng)域，存在著非常眾多的非線性現(xiàn)象例如 粒了的非簡諧振動，非線性等離子振蕩，固體在高溫或是低溫下的熱脹冷縮現(xiàn) 象等南于人們對探尋大自然和非線性現(xiàn)象本質(zhì)的強(qiáng)烈興趣，南此便促成了研 究非線性現(xiàn)象的科學(xué)即非線性科學(xué)近幾十年來非線性科學(xué)已經(jīng)得到了迅速 的發(fā)展，人們已經(jīng)逐步認(rèn)識到了非線性科學(xué)是一門處在當(dāng)代自然科學(xué)前沿的學(xué) 科，它的發(fā)展將會對其它自然學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響隨著數(shù)學(xué)家，物理學(xué) 家和眾多的科技工作者們研究的進(jìn)一步深入和細(xì)化，已經(jīng)有越來越多的非線性 現(xiàn)象可以川數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述，即可以用一個或是幾個常微分方程或非線性 的偏微分方程來進(jìn)行描述盡管很多的非線性現(xiàn)象都可以用非線性偏微分方程 來進(jìn)行描述，并且現(xiàn)有的相關(guān)理論可以對其進(jìn)行很好的解釋和相當(dāng)程度的理解， 但是對丁非線性偏微分方程的水解往往還存在一定的困難，特別是求其精確解 至今，還沒有一種方法是普遍適用于所有的非線性偏微分方程的所以，繼續(xù)在 原有的基礎(chǔ)上對現(xiàn)有的方法進(jìn)行必要的更加深入的推廣并尋找新的更加行之有 效的方法和途徑依然是當(dāng)前非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的重要研究課題 求解非線性偏微分方程精確解的方法有很多，往往是對不同的一類問題 采取不同的研究方法和手段我們經(jīng)常用的方法大致有：經(jīng)典和非經(jīng)典李 群法( c l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) 1 。4 i 、廣義條件對稱方 法( g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ) 5 8 】、形式分離變量法【引、幾何 方法( g e o r m e t r i c a lm e t h o d ) 1 0 ，l l 】、試探函數(shù)法【1 2 1 到、反散射方法( i n e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 1 5 , 1 6 】、達(dá)布變換法( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 【1 7 1 馴、p a i n l e v 6 截 斷展開法( t r u n c a t e dp a i n l e v de x p a n s i o n ) 2 0 一2 2 】和j a c o b i 橢圓函數(shù)展開法【2 3 - 2 5 】 等等限于篇幅，下而僅對幾種與本文相關(guān)的常用方法作以簡單介紹，對某些方 法感興趣的讀者可以查閱相關(guān)文獻(xiàn) 笫一辛緒論 1 2 幾種非線性系統(tǒng)求解方法簡介 1 2 1 泛函分離變量法 屈長征教授和張順利教授等在文獻(xiàn) 2 6 中對于非線性演化方程的泛函分 離解，提出了利用一般條件對稱對方程進(jìn)行歸類和求解的步驟和實(shí)現(xiàn)方法，稱 之為泛函分離變量法【7 - 引 對于非線性發(fā)展方程，為敘述簡明，以下考察k l e i n g o r d o n 方程 我們僅考察其乘積型分離解 或和式型分離解 u = ( z ) 矽( ) u = 矽( z ) + 矽( ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 的情況然而，對于絕大多數(shù)的非線性演化方程，它們是沒有此種解的因此， 我們需要尋求更一般形式的分離變量解一一即泛函分離解( f s s ) 廠( u ) = 砂( z ) + 妒( ) ， 取定f ( u ) 為可逆函數(shù)泛函分離解( 1 4 ) 滿足約束條件 ，三u z + g ( u ) u z u t = 0 ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中g(shù) ( u ) 三i l l ( u ) ，7 ( u ) 而尋求f s s 的問題等價(jià)于尋求方程( 1 1 ) 的一般條 件對稱 y = 7 7 瓦c 9 三k 。+ 咖) u 幽 彘 ( 1 6 ) 定義：一般向量場( 1 6 ) 叫做方程( 1 1 ) 的一般條件對稱( g c s ) ，如果 y ( 2 ) ( a ) i e n w = 0 ， ( 1 7 ) 2 兩北人學(xué)碩i “學(xué)位論艾 其中e 是方程( 1 1 ) 的解流形，w 是附加于( 1 1 ) 的方程列集d ：7 7 = 0 ，i = 0 ，1 2 ，：相當(dāng)于不變曲面條件及其關(guān)于z 的各階全導(dǎo)數(shù) 下面具體計(jì)算y ( 2 ) ( ) i e n 對于方程( 1 1 ) ，v 的二階延拓為： 儼b 彘塒r ，毫刪2 ，毫 若v ( 2 ) 作用于一般波動方程( 1 1 ) ，便有 y ( 2 ) ( ，“一“z z f ( ，u ) ) l e n w = ，) ；叩一7 ) ：叩一f ( h ) 叩 f e r l w ， 借助于表達(dá)式瓏7 7 = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，羊w - - 一i ：1 ( 1 1 ) ，從上式中消去u 的高階導(dǎo) 函數(shù)，上式化為含有亂的獨(dú)立偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的卜式 y ( 2 ) ( u “一u z z 一尸( u ) ) i e n = d , 2 7 7 1 e n w = 9 ( 亂) 一2 夕( u ) 9 7 ( u ) 】亂；亂z + 2 夕( 亂) 夕7 ( 扎) 一夕( 亂) u t u z 3 + i f ( 釓) + 9 ( u ) f 7 ( u ) + ( 3 9 7 ( 亂) 一2 夕( 饑) 2 ) f ( u ) “z ，( 1 8 ) 方程( 1 1 ) 具有一般條件對稱( 1 6 ) 當(dāng)且僅當(dāng)表達(dá)式( 1 8 ) 為零，這就給出方 程( 1 1 ) 具有泛函分離解的充要條件定理： 定理：方程( 1 1 ) 具有泛雨分離解( 1 4 ) 當(dāng)且僅當(dāng) g 一2 q 9 7 = 0 ，f + g f 7 + ( 3 9 7 2 9 2 ) f = 0 ( 1 9 ) 通過求解( 1 9 ) ，可給出方程( 1 1 ) 具有泛函分離解( 1 4 ) 的完全歸類；對任一 等價(jià)類，由9 ( “) 定出廠( u ) ，再取逆得u = f - 1 ( 矽( z ) + 砂( ) ) ，將它代入對應(yīng)方程 得到確定( z ) 和砂( ) 的常微分方程組，求解常微分方程組可得泛函分離變量 解 1 2 2 齊次平衡原則 齊次平衡原則1 2 7 - 2 9 是由蘭州大學(xué)的王明亮教授提出來的一種求解非線 性偏微分方程的非常重要的方法該方法能夠?qū)⒎蔷€性演化方程的求解問題轉(zhuǎn) 3 筇一帶緒論 化j , j 純代數(shù)運(yùn)算依據(jù)該方法可以事先判定某一類非線性偏微分方程是否有一 定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按照一定的步驟求出它們的解 因此，該方法具有直接，簡潔和步驟分明的特點(diǎn)到目前為止，齊次平衡原則在 非線性數(shù)學(xué)物理中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，而且它的應(yīng)用范圍還在不斷擴(kuò)展， 已經(jīng)成為處理非線性數(shù)學(xué)物理相關(guān)問題的非常有效的工具之一下面簡單的介 紹一下該方法的基本思想和步驟：對于給定的一個非線性偏微分方程 p ( u ，札z ，t t z z ，u ，t t x t ，) = 0 ，( 1 1 0 ) 其l f lp 一般是其變元的多項(xiàng)式，并含有非線性項(xiàng)及線性出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù) 項(xiàng) 一個函數(shù)叫= w ( x ，t ) 稱為是方程( 1 1 0 ) 的擬解，如果存在單變元函 數(shù)廠= 廠( 叫) ，使得f ( w ) 關(guān)于z , t 的一些偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，即 似叫) = 笨掣州州) ( 1 1 1 ) ( 其中v ( x ，t ) 是f ( w ) 關(guān)于z 和t 的低于m + 兒階的偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)線性組合) 精確地滿足( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 中的非負(fù)整數(shù)m ，n ，單變元函數(shù)f = f ( w ) 以及函 數(shù)w = w ( z ，t ) 都是待定的，將( 1 1 1 ) 代入( 1 1 0 ) 中可以通過下面步驟確定它 們： 首先，使高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中包含w ( z ：t ) 的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次和非線性項(xiàng)中 包含的關(guān)于( ：f ，t ) 的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次相等，來決定非負(fù)整數(shù)”。及幾是否存 在( 若發(fā)生m 及佗中有負(fù)數(shù)或是分?jǐn)?shù)的情形，可通過未知函數(shù)的變換，將原方 程化為新未知函數(shù)方程，使相應(yīng)的m ，n 為非負(fù)的) 其次，對于集合( z ，t ) 的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次的全部項(xiàng)，使其系數(shù)等于零： 而得到f ( w ) 所滿足的o d e ：解之則訂j 得f = 廠( 叫) ，一般是對數(shù)函數(shù) 第j ，將f = f ( w ) 的各階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)，用f = 廠( ) 的較高階的導(dǎo)數(shù) 米代替：再將，= ，( w ) 的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別合并在一起，并令其系數(shù)為零? 從而 得到“，( ，t ) 的各次齊次型的p d e 方程組，口j 通過選擇( 1 1 1 ) 中線性組合的 適當(dāng)系數(shù)，使p d e 方程組有解 4 p q 北人。學(xué)幀i 子：1 、? 侖艾 最后，如果前面三步的回答是肯定的，那么將這些結(jié)果帶入( 1 1 0 ) 中，經(jīng)過 一些計(jì)算就?？趈 | 以得到( 1 1 0 ) 的精確解 上述步驟對于許多的非線性數(shù)學(xué)物理方程( 組) 的解答都是肯定的，所以齊 次平衡原則具有一定的普適性 1 2 3 j a c o b i 函數(shù)展開法和f 一展式法 近些年來，基于齊次平衡原則的創(chuàng)立與廣泛應(yīng)用和符號計(jì)算發(fā)展的日趨成 熟，函數(shù)展式法逐漸發(fā)展成為了構(gòu)造求解非線性方程精確解的非常有效的直接 方法其中，j a c o b i 函數(shù)展開法【3 0 一3 1 1 和f 一展式法【3 2 3 4 1 是眾多方法中構(gòu)造非 線性方程雙周期解的十分有效的方法，它們的算法的基本原理是基于很多有物 理意義的非線性方程的雙周期解都可以表示為j a c o b i 函數(shù)的多項(xiàng)式，并且在 極限的情況下得到方程的孤立波解和三角函數(shù)解，這是許多方法所得不到的 在j a c o b i 函數(shù)展開法和f 展式法的基礎(chǔ)上，之后又發(fā)展了許多的推廣的方法， 它們可以求出非線性方程組合形式的解下面對j a c o b i 函數(shù)展開法和f 展式 法做一簡單的介紹： j a c o b i 函數(shù)展開法 函數(shù)展開法中j a c o b i 函數(shù)展開法是構(gòu)造非線性演化方程雙周期解的有效 方法運(yùn)用j a c o b i 函數(shù)展開法的主要步驟可以概括為以下幾步： 首先，假設(shè)方程具有形如u ( x ，t ) = ， ( ) = z u t + o 的行波解，然后將 其帶入非線性偏微分方程中，則得到關(guān)于，z ( ) 的常微分方程 其次，再假設(shè)在上一步得到的常微分方程的解的形式為：饑( ) = fa i s i ， i = o 其中s 為j a c o b i 函數(shù)中的跏或c 1 1 第三步：對化簡得到的常微分方程使用齊次平衡原則，平衡常微分方程中 的最高階線性項(xiàng)和最高階非線性項(xiàng)，得到，n 的值，從而確定第二步中的解的形 式 最后，將第三步確定的解的形式代入常微分方程整理成為關(guān)于s 的多項(xiàng)式 形式，令多項(xiàng)式的系數(shù)為0 即得到關(guān)于未知量的非線性代數(shù)方程組，再利用數(shù) 學(xué)軟件進(jìn)行符號計(jì)算，解此非線性代數(shù)方稗組，確定未知量，即可得出解的形式 5 第一帝緒論 由于所有的j a c o b i 函數(shù)均滿足如下的非線性常微分方程： f 膳= q o + q 2 f 2 + q 4 f 4 如果利用此非線性常微分方程作為輔助方程去構(gòu)造非線性演化方程的解， 則就發(fā)展出了f 一展式法 f 展式法 f 展式法適用于許多的非線性方程，利用它求解非線性方程的主要步驟 為： 第一步：假設(shè)給定的一個關(guān)于變量z ，t 的非線性偏微分方程為： 設(shè)其行波解的形式為： p ( u ，i t t ，u z ，札擾亂幽u z z ) = 0 ，( 1 1 2 ) u ( x ，t ) = 妒( ) ，= k x u 芒+ o ，( 1 1 3 ) 其中k 和u 是待定常數(shù)，如是任意常數(shù) 將( 1 1 3 ) 代入( 1 1 2 ) 就可得到關(guān)。丁妒的常微分方程： p ( 妒，妒7 ，妒，) = 0 ，( 1 1 4 ) 存上式中妒7 = 鬻，妒= 棗，妒( 幾) = 騫 第_ | 步：假設(shè)( 1 1 4 ) 的解有如下形式： 妒( ) = q i f i ( ) i = 0 f 7 2 ( ) = q o + q 2 p 2 ( ) + q 4 f 4 ( ) ， ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其中是待定常數(shù)：將其代入得到的常微分方程中，再利用齊次平衡原則，通 過平衡( 1 1 2 ) 中的最高階線性項(xiàng)及最高階非線性項(xiàng)，確定7 7 , 的值，即可以得到 解的形式 第三步：將( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 代入常微分方程( 1 1 4 ) 中，整理為關(guān)于f i ( f ) 的 多項(xiàng)式，令多項(xiàng)式的系數(shù)為o ，則可得到關(guān)于未知量的代數(shù)方程組 第陰步：利h j 數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行符號計(jì)算，求解所得到的非線性代數(shù)方程組： 確定詹，u 的值：然后將結(jié)果代入( 1 1 5 ) ，即可得到方程( 1 1 2 ) 的一般的行波 n p u 北人學(xué)碩f “學(xué)伉論文 解，解的形式為。ja j c o b i 函數(shù)雙周期解的形式，并且在極限情況下，就可以得到 方程的孤立波形式的解 f 滿足常微分方程f , 2 ( ) = 伽+ ( f 2 f 2 ( f ) + q 4 f 4 ( ) 的解，當(dāng)q o ，q 2 ，q 4 取不 同的值時即得到不同的j a c o b i 函數(shù)解 此兩種方法都是構(gòu)造非線性方程精確解的有效的直接方法，有一定的適用 性 1 2 4 指數(shù)函數(shù)展開法 指數(shù)函數(shù)展開法 3 5 】是一種構(gòu)造性的求解非線性演化方程精確解的有效方 法它適用于很多的非線性演化方程e x p ( 一妒( ) ) 展式法i s 6 是指數(shù)函數(shù)展開 法的一種改進(jìn)的形式，是一種新的探求非線性演化方程精確解的方法它使用 于大批的非線性演化方程如b u r g e r s 方程，k d v b u r g e r s 方程，b o u s s i n e s q 方 程等 e x p ( 一妒( ) ) 展式法的基本思想是：尋找非線性演化方程的可以表示 為e x p ( 一妒( ) ) 的多項(xiàng)式的新行波解，其中妒( f ) 滿足常微分方程( 1 2 1 ) 且易求 解，其中= x c t 多項(xiàng)式的冪次可以通過對方程的最高階導(dǎo)數(shù)和非線性項(xiàng)采 用齊次平衡方法而確定，然后令得到的關(guān)于e x p ( 一妒( ) ) 的多項(xiàng)式的系數(shù)為零： 便川得到非線性演化方程的更多的新行波解 考慮一個非線行演化方程，假設(shè)該方程僅依賴于變量z 和t ，并且有如下一 般形式 p ( u ，u t ，u z ，l t t t ，u x ，u z z ) = 0 ，( 1 1 7 ) 其中u = 饑( z ，t ) 是未知函數(shù)，) 是一個關(guān)于u = u ( z ，t ) 和它的各階偏導(dǎo)數(shù)的多 項(xiàng)式，且包括最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng) 具體的求解過程可以分為以下四步： 第一步：關(guān)于變量z 和t 作變換f = z c t ：假設(shè)禮= u ( z ，t ) 具有如下形 式 ( 了：，t ) = ? ( ) ，f = z c t ， 7 ( 1 1 8 ) 筇一市緒論 將( 1 1 8 ) 代入( 1 1 7 ) 中，- 口j 將( 1 1 7 ) 降階為關(guān)于“= 兒( ) 的一個方程 形式 p ( u ，一c ，u 7 ，c 2 ，t t ，一c u ，7 ，) = 0 ( 1 1 9 ) 第二步；假設(shè)方程( 1 1 9 ) 的解可以表示成如下關(guān)于e x p ( 一妒( ) ) 的多項(xiàng)式 住( ) = a m ( e x p ( 一妒( ) ) ) m + c t m - 1 ( e x p ( 一妒( ) ) ) m 一1 + ，( 1 2 0 ) 其中妒( ) 滿足下面的方程 妒7 ( ) = c x p ( - t ( ) ) + pe x p ( 妒( ) ) + a 由a 2 4 p 的正負(fù)，可將方程( 1 2 1 ) 的解分為以下五種情況： 1 ) 當(dāng)a 2 4 0 ，0 時 妒( ) = i n (一v a 2 - 4 , t a n h ( 業(yè)( f + c 1 ) ) 一a 其中c l 是任意常數(shù) 2 ) 當(dāng)a 2 4 0 ，p = 0 時 妒( ) = 一 2 “ l n 面麗 其中c l 是任意常數(shù) 3 ) 當(dāng)a 2 4 p = 0 ，p 0 ，入0 時， 妒( ) = i n ( - 2 ( a ( f + c 1 ) + 2 ) a 2 ( + c 1 ) 其中c l 是任意常數(shù) 4 ) 當(dāng)a 2 4 ，z = 0 ，p = 0 ，a = 0 時 其中c l 是任意常數(shù) 5 ) 當(dāng)a 2 4 , 0 ，肛0 時， 其中f = 丁+ 夏i 干孑叉_ 二硒t ，c i 是任意常數(shù) 2 ) 當(dāng)a 2 4 p , 0 ，t t = 0 時， ( 2 9 ) 以滬葡忘甕而- a a 士厄再麗， ( 2 1 0 ) 笫1 章若一p ：l l 線。r l 演化方補(bǔ)的精確艫f 其r 1 = z + 4 2 c o + ( z 2 入2 t ，c 1 是任恿常數(shù) 3 ) 當(dāng)a 2 4 皿= 0 ，p 0 ，入0 時， 昧) = 黼- a a + 儷， 其中f = z + v 2 c o + a 2 a 2 - - 4 a 2 # t ， c 1 是任意常數(shù) 4 ) 當(dāng)入2 4 p = 0 ，弘= 0 ，a = 0 時， ，“( ) = 麗- 2 a 土佤， 其中= z + 佩， c l 是任意常數(shù) 5 ) - _ - 5a 2 4 艫 0 ，p 0 時， 州2 麗i 忑露4 8 p 季2 c 7 石麗面( 、a 2 4 肛t a n h ( 型掣( f + c 1 ) ) + a ) 2 + 2 4 c a p 7 v a 2 4 # t a n h ( v v 。- 4 ( + c 1 ) ) + a 其中= z + c t ，c 1 是任意常數(shù) 2 ) 當(dāng)a 2 4 p 0 ，p = 0 時， 比) = 嘉 + c - i - c 7 a 2 + 8 c - t # 一c o 釅+ 面麗萬1 2 c 瓦7 a 兩2j 其中= z + c t ，c 1 是任意常數(shù) 3 ) 當(dāng)a 2 4 p = 0 ，肛0 ，a 0 時， ( 2 2 1 ) + c + c t a 2 一c o ，( 2 2 2 ) t z c ，= 毒專端+ 軎專粼+ c + c g a 、2 + 8 c 7 p 一印，( 一2 2 3 ，“a 、一e 漢蠆j _ 石_ 麗十匹叮蠆j _ 石廁十c + + 苓c 7 p 一印， 其中= z + c t ，c 1 是任意常數(shù) 4 ) 當(dāng)a 2 4 p = 0 ，肛= 0 ，a = 0 時， 北) = 盎c o ， 其巾= z + c t ：c 1 是任意常數(shù) 5 ) 當(dāng)a 2 4 0 ，蘆0 時， u ( f ) b ( v a 2 - 4 # t a n h ( 叢( + c 1 ) ) + a ) 2 + 瓦而i 五茬五i 而丙佃。 8 a “ 口( 、頁瓤t a n h ( 學(xué)( + c 1 ) ) + a ) u ( ) 2 瓦云瓦面1 孽6 c p , 2 蓀麗b ( 、勺浮- 二二_ 瓦t a n h ( 學(xué)( + c 1 ) ) + a ) 2 8 c a l z r ：三= = = = = 一 口( 、頁瓤t a n h ( 型學(xué)( + c 1 ) ) + a ) j _ ! 二! ! 壘! ! ! 絲! 堡! 竺旦 廳 其中f = z + c t ：c 1 是任意常數(shù) 2 ) 當(dāng)a 2 4 t 0 ，p = 0n - , l 。， 髓一雨麗一 t ，( f ) = + 4 a 2 瓦面兩可蠆麗+ q 。 4 c a 24 c a 2 b ( e x p ( a ( ( + c 1 ) ) 一1 ) 2b ( e x p ( a ( + c 1 ) ) 一1 ) 1 一c + c a 2 + 2 b c a o 其中= z + c t ：c 1 是任意常數(shù) 3 ) 蘭ja 2 4 弘= 0 ，p 0 ，a 0 時， ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) z z ( ) = 一再【袁齲+ i 篙黼+ 。 ( 2 4 。) 】9 + 坐 戶8一了 、j 一一l臚墊b 2 一 比絲 一 卜一 卜蘭 x 一一 旺 t l 缸一口。卜 f f 、l ，(“ 筇章? ? 十f f 線r i 演化方稃的秸0 解 c a 4 ( f + c 1 ) 22 c a 3 ( + c 1 ) b ( a ( + c 1 ) + 2 ) 2b ( a ( f + c 1 ) + 2 ) + 1 一c + c a 2 + 2 b c c 衛(wèi)。 其中= z + c t ，c 1 是任意常數(shù) 4 ) 當(dāng)a 2 4 p = 0 ，p = 0 ，a = 0 時， t ，( ) = 4 口( f + c 1 ) 2 4 c 日( + c 1 2 + 0 1 0 1 一c + 2 b c a o + 1 廣 其中f = ? + c t c 1 是任意常數(shù) 5 ) 當(dāng)a 2 4 ，z 0 時， u ( ) = 1 6 # 2 b ( v 4 # - a 2t a n ( 軍( + c 1 ) ) 一入) 2 8 a # b ( x 4 # - a 2t a n ( 平( f + c 1 ) ) 一入) u ( ) 2 瓦i 元乖1 6 季c # 2 百麗再 b ( 4 肛一a 2t a n ( 型半( + 1 ) ) 一a ) 2 8cart + ：蘭= = = = 一 1 3 ( v 4 # - a 2t a n ( 叢乒( + c 1 ) ) 一a ) 其中= z + c t ：c l 是任意常數(shù) 2 2 4 h i r o t a - s a t s u m a 方程組 + o l o + 生掣 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) h i r o t a - s a t s u m a 方程組已經(jīng)獲得的有運(yùn)用j a c o b i 橢圓函數(shù)展開法得到的 準(zhǔn)確周期解：其巾包括沖擊波和孤立波解；有利用d a r b o u x 變換求得的孤立 解，周期解極點(diǎn)解；有運(yùn)用f 一展式法和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)m a t h e m a t i c a 求解的 精確孤立波解等 在這一小節(jié)巾我們考慮如下形式的h i r o t a - s a t s u m a 方程組 3 9 】： 亂t + 6 u u z + 1 上z z z 一2 av v z = 0 1 衄+ 3 u v z + 1 k z z = 0 2 【) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 兩1 l j 0 ，肛= 0 時， 讓( ) _ 4 a 2 啪) = 而v 揣pu 、c “、，1 - u 1 ， 其中f = 丁+ a 2 t ，c l 是任意常數(shù) 3 ) ：入2 4 1 1 = 0 ，i t 0 ，a 0 時， ( 2 5 6 ) cxp(a淼( 1 ( 2 5 7 ) + c 1 ) ) 一 p 7 士2 怕a 2 + 萬麗虱砥干瓦薩可 似滬揣+ 器 5 8 ) z 代，= 煮器+ 蒜鬻器， 2 3 面i 至 旦一 卷卷 = 、， ，l 第i 章若十。| | 線竹演化, 丁- t l 引aj 0 1 精確解 其中= z4 - 1 2 p t ，c l 是任意常數(shù) 4 ) 當(dāng)a 2 4 p = 0 ，p = 0 ，a = 0 時， u = 再每+ 卷 ( 2 5 9 ) - i - 2 , 6士2 、6 a u k 卜麗麗一而兩， 其中= z ，c 1 是任意常數(shù) 5 ) 當(dāng)a 2 4 p 0 ，弘0 時， 筆i ( 2 m ) 3 ( f 可t a n h ( 跡( + c 1 ) ) + a ) 2 、7 其巾= z + c t ，q 是任意常數(shù) 2 ) 當(dāng)入2 4 p 0 ，肛= 0 時 蛾) _ - 麗蒹而一麗蒹兩( 2 j 7 2 )u ( ) 2 一麗而麗石j f 可一麗而雨麗 ( 2j 7 2 ) 吣) 面面若面兩士去， 其中= z + c t ：c 1 是任意常數(shù) 3 ) 當(dāng)入2 4 p = 0 ，0 ，a 0 時， 2 6 一曇，( 2 7 3 ) t ) 西北人學(xué)碩i 學(xué)何論文 其中= z + c t ： c l 是任意常數(shù) 4 ) 當(dāng)a 2 4 肛= 0 ，p = 0 ，a = 0 時， 比) 一嘉 吣) = 志- f - 1 ， vj l u 其中= z + c t ：c 1 是任意常數(shù) 5 ) 當(dāng)入2 4 弘 0 時， ( 2 7 4 ) 蚓= 一而聲磊磋8 # 2 甄而 2 7 5 ) 4 a # 2 + 菊云磊面寡甄而一j 肛 依) = 千瓦鬲元暴毒鬲士去，銹( 、伍御t a n ( 掣( f + c 1 ) ) 一入) 、3 其中= z + c t ，c l 是任意常數(shù) 2 3 本章小結(jié) 本章簡單介紹了非線性演化方程研究發(fā)展的一些基本情況：之后，主要是 運(yùn)用了指數(shù)展開法對若干的非線性演化方程進(jìn)行了精確求解 對于指數(shù)展開法，運(yùn)用它的關(guān)鍵是要正確的使用齊次平衡原則合理的假 設(shè)解的形式，化簡成關(guān)于若干待定常數(shù)的代數(shù)方程的求解問題對于很多的非 線性演化方程來說，并不能求出它們符合指數(shù)展開形式的精確解有的演化方 程對于其求出來的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚砗妥兓涂梢缘贸銎洳糠趾侠淼目梢?使川的粘確解 本章中我們求解出了b u r g e r s 方程、b e n j a m i n - b o n a - m a h o n e y 方 程、a k n s 方程組、h i r o t a - s a t s u m a 方程組和( 1 + 1 ) 維色散長波方程組的 更多的行波精確解從而豐富了它們的解的類型有利于對它們的性質(zhì)的進(jìn)一 步了解和更加深入的研究 2 7 筇i 章荇十一1 r 線r i j 演化方 ! i ! 的精確解 總結(jié)與展望 本文緒論部分簡單的介紹了幾種求解非線性偏微分方程的研究方法并引入 了本文中主要所用的指數(shù)函數(shù)展開方法，之后又描述了非線性偏微分方程求解 研究方法的發(fā)展?fàn)顩r 在第二章中，我們說明了非線性演化方程的一些情況然后，主要運(yùn)用指數(shù) 函數(shù)展開法對若干的非線性演化方程進(jìn)行了更深入的研究，并得到了它們更多 的新的精確解指數(shù)函數(shù)展開法是一種構(gòu)造性的求解非線性演化方程精確解的 有效的方法對于此方法，本文進(jìn)行了詳細(xì)的描述和介紹，在對每一個非線性演 化方程的求解過程中都做了認(rèn)真的考慮和考量我們從本文中的求解過程可以 看出此方法適用于很多的非線性演化方程，但它目前還只適用一維的非線性演 化方釋或是方程組 本文中的方法還有改進(jìn)和拓展空間，我們認(rèn)為還有一些問題值得去進(jìn)一步 思考和探求： 第一：能否結(jié)合變暈分離法構(gòu)造新形式的指數(shù)展開式將此方法推廣到二維 或是更高維的非線性演化方程上去? 第一：本文中僅對若干個非線性演化方程進(jìn)行了求解，而并沒有考慮它們 的物理意義，這還需要進(jìn)一步的研究 兩北人學(xué)頌f 畢, i k 論! 【： 參考文獻(xiàn) 【1 o v l e rp j a p p l i c a t i o no fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n2 n d g i a d u a t et e x t sm a t h 1 0 7s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 9 3 2 b l u m a ng w ，k u m e is s y m m e t r i e sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a p p l m a t h s c i 8 1s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 8 9 3 j z h d a n o vr zc o n d i t i o n a ll i e b s c k l u n ds y m m e t r ya n dr e d u c t i o no fe v o 1 u t i o ne q u a t i o n ，j p h y s a ，1 9 9 1 2 8 ：3 8 4 1 3 8 5 0 4 】z h d a n o vr z ，l a h n ov ic o n d i t i o n a ls y m m e t r yo fa p o r o u sm e d i u me q u a - t i o n ，p h y s i c s d ，1 9 9 8 ，1 2 2 ：1 7 8 1 8 6 5 jq uc z ，h ew l ，d o uj h s e p a r a t i o n o fv a r i a b l e sa n de x a c t s o l u t i o n st o q u a s i l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rs o u r c e ，p h y s i c s d ，2 0 0 0 ，1 4 4 ：9 7 1 2 3 f 6 】q uc z ，h ew l ，d o uj h s e p a r a t i o no fv a r i a b l e sa n de x a c ts 0 1 u t i o n so f g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rk l e i n g o r d o n e q u a t i o n s ，p r o g t h e o r p h y s ：2 0 0 1 ，1 0 5 ：3 7 9 3 9 8 e s t e v e zp g ，q uc z ，z h a n gs l s e p a r a t i o no fv a r i a b l e so fag e n e r a l i z e dp o r o u sm e d i u me q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rs o u r c e ：j m a t h a n a l a p p l ， 2 0 0 2 ，2 7 5 ：4 4 5 9 【8 j e s t e v e zp g ：q uc z s e p a r a t i o no fv a r i a b l e si nn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n w i t hav