( o l ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 中文摘要 熟知，著名的k o b a y a s h i 度量與c a r a t h d d o r y 度量在中有界域的全 純分類中有重要應(yīng)用，它們都是復(fù)f i n s l e r 度量，在一般情況下兩者均不具有 良好的光滑性，但在 中的強(qiáng)凸區(qū)域上兩者相同，且均是f i n s l e r 幾何意義 下的光滑度量 本文研究兩類特殊的復(fù)f i n s l e r 度量，即( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù) f i n s l e r 度量通過計算兩者的基本張量以及相應(yīng)矩陣的行列式，得到兩者為 強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量的充分必要條件；通過計算基本張量矩陣的逆以及它們 相應(yīng)的非線性聯(lián)絡(luò)系數(shù)，分別得到兩者為強(qiáng)k a e h l e r - f i n s l e r 度量的充分必要 條件此外本文還得到了乘積復(fù)f i n s l e r 流形的全純曲率 本文分三章第一章，介紹了強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 流形的基本概念，主要是 復(fù)水平叢( 復(fù)非線性聯(lián)絡(luò)) 、c h e r n - f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)及其曲率以及本文要用到的幾 個引理第二章，定義了( q ，p ) 復(fù)f i n s l e r 度量，通過計算與它相應(yīng)的非線性 聯(lián)絡(luò)系數(shù)，得到( q ，盧) 一復(fù)f i n s l e r 度量為復(fù)b e r w a l d 度量、強(qiáng)k a e h l e r f i n s l e r 度量的條件第三章研究了乘積復(fù)流形上的復(fù)f i n s l e r 度量，得到了與它相聯(lián) 系的復(fù)非線性聯(lián)絡(luò)系數(shù)的具體表達(dá)式，并進(jìn)而得到了乘積復(fù)f i n s l e r 流形的全 純曲率的與兩個做乘積的復(fù)f i n s l e r 流形的全純曲率之間的關(guān)系 關(guān)鍵詞：復(fù)f i n s l e r 度量；( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量；乘積復(fù)f i n s l e r 度量；復(fù)b e r w a l d 流形；強(qiáng)k a e h l e r - f i n s l e r 流形；全純曲率 ( o l ，) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 2 a b s t r a c t a si sk n o w n c o m p l e xf i n s l e rm e t r i c ss u c ha sk o b a y a s h ia n dc a r a t h d d o r y m e t r i c sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h ec l a s s i f i c a t i o no fb o u n d e dd o m a i n su pt o b i h o l o m o r p h i s mi nc 竹b o t ho ft h ek o b a y a s h ia n dc a r a t h e d d o r ym e t r i c sa r e c o m p l e xf i n s l e rm e t r i c s i ng e n e r a lt h e yd o n th a v ew e l lr e g u l a r i t i e s h o w e v e r ， o ns t r o n g l yc o n v e xd o m a i n si nc nt h e ya g r e ea n db o t ho ft h e ma r es m o o t h m e t r i c si ns e n s eo ff i n s l e rg e o m e t r y t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt w oc l a s s e so fc o m p l e xf i n s l e r m a n i f o l d s ，i e ，c o m p l e x ( q ，p ) 一m e t r i ca n dp r o d u c tc o m p l e xf i n s l e rm e t r i c w e f i r s to b t a i nt h e i rm e t r i ct e n s o r sa n dt h e i rd e t e r m i n a n t sr e s p e c t i v e l y , a n dt h e n o b t a i na n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s em e t r i c st ob es t r o n g l y p s e u d o c o n v e xf i n s l e rm e t r i c s a f t e rg e t i n gt h ei n v e r s em a t r i xo ft h e i rm e t r i c t e n s o rm a t r i x e s ，w eo b t a i nt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ec h r i s t o f f e ls y m b o l s r 互a s s o c i a t e dt ot h ec o m p l e x ( q ，p ) 一f i n s l e rm e t r i c sa n dt h ep r o d u c tc o m p l e x f i n s l e rm e t r i c s ，r e s p e c t i v e l y ，a n df u r t h e r m o r eo b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h e mt ob es t r o n g l yk a e h l e rf i n s l e rm e t r i c s a tt h ee n do ft h i s p a p e r ，w eo b t a i na ne x p l i c i te x p r e s s i o no ft h eh o l o m o r p h i cc u r v a t u r eo ft h e p r o d u c tf i n s l e rm a n i f o l d t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n - t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so fs t r o n g l yp s e u d o c o n v e xc o m p l e xf i n s l e rm a n i - f o l d ，i n c l u d i n gc o m p l e xh o r i z o n t a lb u n d l e ，o re q u i v a l e n t l yc o m p l e xn o n - l i n e a r c o n n e c t i o n ，t h ec h e r n f i n s l e rc o n n e c t i o na n di t sh o l o m o r p h i cc u r v a t u r e i n c h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eac l a s so fc o m p l e x ( q ，p ) 一m e t r i c s b yc a l c u l a t i n gt h e c o e f f i c i e n to ft h ec o m p l e xn o n l i n e a rc o n n e c t i o na s s o c i a t e dt ot h ec o m p l e x ( q ，p ) 一f i n s l e rm e t r i c s ，w eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e c o m p l e x ( a ，p ) f i n s l e rm a n i f o l dt ob ec o m p l e xb e r w a l da n ds t r o n g l yk a e h l e r f i n s l e rm a n i f o l d s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c eap r o d u c tc o m p l e xm a n i f o l d s w i t hp r o d u c tc o m p l e xf i n s l e rm e t r i c s b yg e t i n gt h ec o e f f i c i e n t so ft h ec o i n - p l e xn o n - l i n e a rc o n e c t i o n sa s s o c i a t e dt ot h ep r o d u c tc o m p l e xf i n s l e rm e t r i c ， w eo b t a i nt h eh o l o m o r p h i cc u r v a t u r eo ft h ep r o d u c tc o m p l e xf i n s l e rm a n i f o l d k e y w o r d s ：c o m p l e xf i n s l e rm e t r i c ；c o m p l e x ( q ，p ) 一m e t r i c ；p r o d - u c tc o m p l e xf i n s l e rm e t r i c ； c o m p l e xb e r w a l dm a n i f o l d ； s t r o n g l yk a e h l e r f i n s l e rm e t r i c ；h o l o m o r p h i cc u r v a t u r e 廈門大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 茲呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的研究成 果。本人在論文寫作中參考的其他個人或集體的研究成果，均在 文中以明確方式標(biāo)明。本人依法享有和承擔(dān)由此論文產(chǎn)生的權(quán)利 和責(zé)任。 聲明人( 簽名) ：昊意q 、 2 口，f 年歲月z 7 日 廈門大學(xué)學(xué)位論文著作權(quán)使用聲明 本人完全了解廈門大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。廈 門大學(xué)有權(quán)保留并向國家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的紙 質(zhì)版和電子版，有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允 許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱，有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān) 數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密 的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定。 本學(xué)位論文屬于 1 、保密() ，在年解密后適用本授權(quán)書。 2 、不保密( 心 ( 請在以上相應(yīng)括號內(nèi)打“”) 作者簽名：昊名以 導(dǎo)師簽名：尾呼杏干 日期：m 孑鈔月2 7 日 腳9 年產(chǎn)哆日 ( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 4 ( o z ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 引言 1 8 5 4 年，r i e m a n n 在他的就職演說中討論了度量形式不受二次型限制的 高維流形，從而開創(chuàng)了r i e m a n n f i n s l e r 幾何的研究由于在廣義相對論中的 成功應(yīng)用，r i e m a n n 幾何得到了迅速發(fā)展而晶體結(jié)構(gòu)理論及其他自然科學(xué) 理論的需要則促進(jìn)了f i n s l e r 幾何的研究和發(fā)展特別是1 9 2 6 年，l b e r w a l d 將有關(guān)p b e m a n n 曲率的概念推廣到f i n s l e r 流形，并發(fā)現(xiàn)了非r i e m a n n 度量 的f i n s l e r 度量，進(jìn)一步促進(jìn)了f i n s l e r 幾何的研究和發(fā)展 復(fù)f i n s l e r 流形則是h e r m i t e 流形的推廣復(fù)f i n s l e r 幾何的研究始于 n p r a k a s h 【1 3 】，幾年后g b r i z z a 1 4 】在近復(fù)流形上引入了所謂r i z z a 條 件復(fù)f i n s l e r 流形上的聯(lián)絡(luò)與曲率則由多人建立，參見s k o b a y a s h i 1 1 ，h r u n d 1 5 ， 1 6 ，m a b a t e 和g p a t r i z i o 1 以及t a i k o u 5 ， 6 】， 7 】復(fù)f i n s l e r 流形的曲率有水平、垂直和混合部分，但在弧長的第二變分公式中只出現(xiàn)復(fù) f i n s l e r 流形的水平曲率，因而水平曲率對復(fù)f i n s l e r 幾何的研究有重要作用 最近鐘春平與鐘同德 1 7 】， 1 8 】在復(fù)f i n s l e r 流形上定義了水平l a p l a c e 算子， 該算子含有復(fù)f i n s l e r 流形的水平曲率，該算子在研究復(fù)f i n s l e r 流形的消滅 定理中已找到應(yīng)用 f i n s l e r 幾何的發(fā)展速度遠(yuǎn)不如r i e m a n n 幾何，除了計算復(fù)雜外，缺乏具 體的例子也是個因素( q ，p ) 一f i n s l e r 度量、乘積復(fù)f i n s l e r 度量則是利用已知 度量，如h e r m i t e 度量和全純1 一形式，來構(gòu)造新的復(fù)f i n s l e r 度量的有效途 徑陳省身和沈忠民在文 8 】對實的情形進(jìn)行了討論，本文討論復(fù)的情形本 o + t h i sw o r kw a ss u p p o r t e db yt h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 6 0 1 0 4 0 ， 1 0 5 7 11 4 4 ) ，t i a ny u a nf o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 5 2 6 0 3 3 ) a n dc h i n ap o s t d o c t o r a ls c i e n c ef o u n - d a t i o n ( n o 2 0 0 5 0 3 8 6 3 9 ) ( a ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 5 文對這兩類度量都給出了它們成為強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量的條件，計算了這兩 類度量的非線性聯(lián)絡(luò)系數(shù)，得到它們?yōu)樘厥鈴?fù)f i n s l e r 度量的條件 第一章，簡單介紹了強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 流形的基本概念和后面需要用到的 幾個引理 熟知，( q ，p ) 度量無論是在實f i n s l e r 流形還是復(fù)f i n s l e r 流形的研究 中都是較為具體的例子在實f i n s l e r 流形上，陳省身與沈忠民在 8 】給出了 ( q ，多) 一度量的度量張量的顯示表達(dá)式，并求出了度量張量矩陣的行列式；在 復(fù)f i n s l e r 流形上，最近n a l d e a 與g m u n t e a n u 4 】也求出了度量張量的表 達(dá)式，為了提供更多的復(fù)f i n s l e r 流形的例子，他們求出了復(fù)r a n d e r 度量、 復(fù)k r o p i n a 度量的度量張量的具體表達(dá)式在本文的第二章，我們研究了復(fù) ( a ，p ) 一f i n s l e r 度量，在較為一般的假設(shè)下，我們得到了復(fù)( q ，p ) 一f i n s l e r 度量 的聯(lián)絡(luò)系數(shù)表達(dá)式，并證明了當(dāng)全純( 1 ，0 ) 形式盧關(guān)于h e r m i t e 度量q 的 h e r m i t e 聯(lián)絡(luò)平行時，所給的復(fù)( q ，p ) f i n s l e r 流形即成為復(fù)b e r w a l d 流形； 特別的，若h e r m i t e 度量q 是k a e h l e r 度量，則所給復(fù)( a ，p ) 一f i n s l e r 度量即 為強(qiáng)k a e h l e rf i n s l e r 度量，這個結(jié)果也由文【5 】得到，文【1 9 】也研究了簡單 情形的復(fù)r a n d e r 度量 在本文第三章，我們研究了乘積復(fù)流形上的復(fù)f i n s l e r 度量；陳省身與沈 忠民 8 】對實的情形進(jìn)行了研究，但其中的子流形僅限于r i e m a n n 子流形 最近陳永發(fā)與嚴(yán)榮沐【9 】研究了較為特殊的復(fù)s z a b o 度量本文考慮由兩個復(fù) f i n s l e r 流形得到的乘積復(fù)f i n s l e r 流形，我們構(gòu)造乘積復(fù)f i n s l e r 度量的函數(shù) 更為一般，得到了所構(gòu)造的乘積復(fù)f i n s l e r 度量是強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量的充 要條件，得到了乘積復(fù)f i n s l e r 度量的非線性聯(lián)絡(luò)系數(shù)以及乘積復(fù)f i n s l e r 流 形的全純曲率 ( a ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 6 第一章強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 流形 本章先簡要介紹了復(fù)f i n s l e r 流形的幾個基本概念和結(jié)果，參見 1 】，然后 給出了后面需要用到的幾個引理 設(shè)( m ，f ) 為強(qiáng)擬凸的復(fù)f i n s l e r 流形這里m 為禮維復(fù)流形，f 是m 上的強(qiáng)擬凸的復(fù)f i n s l e r 度量，亦即連續(xù)函數(shù)f ：t 1 , 0 m _ r + ，滿足 ( 1 ) g = f 2 在砑= t 1 , o m o ( m ) 上光滑； ( 2 ) 訛m ，f ( v ) 0 ，且f ( v ) = 0 的充分必要條件是 = o ； ( 3 ) v v t 1 , 0 m ，c + = c 一 o 】，f ( 口) = i l f ( ) ； ( 4 ) g 的l e v i 矩陣 ( g 剖= ( 翥) 在府上正定 以下用分號區(qū)分府上的函數(shù)對變量和求偏導(dǎo)，例如g 。；驢= 瓣0 2 g 等我們用矩陣( g q p ) 表( g q 西) 的逆矩陣，i a i 表示n 階方陣a 的行列式 熟知，對m 上給定的強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量f ，有與f 相應(yīng)的復(fù)非線性 聯(lián)絡(luò)r 盎= g 訛g 鉗于是可構(gòu)造t i , o m 的適用標(biāo)架 札，亂) 及其對偶標(biāo)架 d z u ，g v u ，這里 亂= 釓一r 象瓦，6 = d v u + r 多d ，亂= 殺，瓦= 殺 設(shè)d ：x ( v ) _ 疋( mov ) 是與( m ，f ) 相聯(lián)系的c h e r n - f i n s l e r 聯(lián) 絡(luò)，則聯(lián)絡(luò)形式為 嵋= r 暑；p d z p + r 知j ， 這里 r 暑；p = g r q 乳( g 膨) 稱為c h e r n - f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)的水平聯(lián)絡(luò)系數(shù)， r 乩= 釓( g 臚) ( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 7 稱為c h e r n - f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)的垂直聯(lián)絡(luò)系數(shù) 熟知，由復(fù)垂直叢v 上的c h e r n - f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)可得到府上的復(fù)線性聯(lián) 絡(luò)，仍記為d 對復(fù)流形m 上的強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量f ，可定義f 沿方向t ，砑的 全純曲率 珞( 秒) = 素g 。娣艫杉p 移p ， 這里 r 磊p 驢= 一如( r 菪；p ) 一r 笤盯品( r 蠹) 為c h e r n - f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)的水平曲率分量 下面介紹幾個特殊復(fù)f i n s l e r 度量的定義 定義1 1 ( 5 】)設(shè)f 為復(fù)流形m 上的強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量，若由f 誘導(dǎo)的c h e r n - f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)的水平聯(lián)絡(luò)系數(shù)r 多；p 僅依賴于流形m 上的坐標(biāo) ( z a ) ，則稱f 為復(fù)b e r w a l d 度量，此時稱( m ，f ) 為復(fù)b e r w a l d 流形 定義1 2 ( 1 】)設(shè)f 為復(fù)流形m 上的強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量，r 考；“是 與f 相聯(lián)系的c h e r n f i n s l e r 聯(lián)絡(luò)的水平聯(lián)絡(luò)系數(shù)，若r 呂；弘= r 磊p ，則稱f 為 強(qiáng)k a e h l e rf i n s l e r 度量，此時稱( m ，f ) 為強(qiáng)k a e h l e rf i n s l e r 流形 定義1 3 ( 5 )設(shè)f 為復(fù)流形m 上的強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 度量，若存在m 上的局部坐標(biāo)系( u ；) ，使得g 口聲( z ， ) = g a 廳( ) ，亦即f 的基本張量局部地 只依賴于方向而不依賴于底流形m 上的坐標(biāo)，則稱f 為復(fù)的局部m i n k c ，w s k i 度量，此時稱( m ，f ) 為復(fù)局部m i n k o w s k i 流形 我們用a t 表示矩陣a 的轉(zhuǎn)置，a + 表示復(fù)矩陣a 的共軛轉(zhuǎn)置以下是 后面需要反復(fù)用到的引理 引理1 1 g = ( g 巧) ，h = ( 嘞) 為n 階復(fù)方陣， q ，p c n 為復(fù)n 維 列向量，6 c ，g = h + 6 q 薩，h 可逆，則有 ( 1 ) g j = j 日j j ，+ , f h - 1 筇丁j = j h i ( 1 + 齲t h - 1 乜) ； ( 2 ) g 。= h 一雨磊雨日。1 q 伊h 一 ( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量_ 8 證明( 1 ) 只需利用公式i k + a b l = l k + 8 a i ，其中厶表禮階方陣， a 為他仇陣，b 為m 佗陣 ( 2 ) 用待定系數(shù)法直接利用逆矩陣定義計算 引理1 2 設(shè)e m 2 n ( c ) 可分塊為e ：l a lb + 。b+(aa一-。bbd。-i，b一。*b)-+1a一。 假設(shè)其中的逆矩陣均存在 a 一1 b ( b + a b d ) 一1 ( d b 。a _ 1 b ) ， i dba 中其 1j b d ( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 9 第二章( o l ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量 ( q ，p ) 復(fù)f i n s l e r 度量是一類很重要的復(fù)f i n s l e r 度量，最近n a l d e a 與 g m u n t e a n u 2 】計算出了其度量張量，并著重研究了復(fù)r a n d e r s 度量 3 】其 中復(fù)r a n d e r s 度量f = o + 例、復(fù)k r o p i n a 度量f = 需以及復(fù)m a t s u m o t o 度量f = 嘗齋在量子物理方面均具有實際應(yīng)用本章計算了般的復(fù)( 口，p ) 一 f i n s l e r 度量的聯(lián)絡(luò)系數(shù)，證明了當(dāng)全純( 1 ，o ) 形式p 關(guān)于m 上的h e r m i t e 度量o t 的h e r m i t e 聯(lián)絡(luò)平行時，( m ，f ) 成為復(fù)b e r w a l d 流形，特別的，若 h e r m i t e 度量q 是k a e h l e r 度量，則( 尬f ) 是強(qiáng)k a e h l e rf i n s l e r 流形 1( q ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量 定義2 1 。1 設(shè)m 為死維復(fù)流形，q 2 = a i 3 ( z ) d z d 彩為m 上的 h e r m i t e 度量，p = b t ( z ) d z 為m 上的( 1 , 0 ) 形式，記 q ( 訓(xùn)) = 、o 巧( z ) 伊，p ( z ，u ) = 玩( z ) ，v z ，口) t 1 o m 所謂的復(fù)( q ，p ) 度量是指復(fù)f i n s l e r 度量 f = q ( 導(dǎo)) ：t l , o m r + 這里o l = q ( z ，u ) = 鬲匹黟歹，p = p ( 名，u ) = b i ( z ) v i ，： 0 ，b o ) _ r + 為僅 取正值的c 實函數(shù) 為方便起見記 s ：= 導(dǎo)，1 1 p 1 1 a ：= 廄卻吻川銣伊， 可以證明8 忪故復(fù)( q ，p ) 度量定義中一般要求忪憶 b o 經(jīng)直接計 算，得 q 產(chǎn)去嗍= 去( n 訂一2 q 矧， ( 2 1 ) q t2 菇，q 巧2 五l n 訂一z q 叼j l 乙上， ( q ，盧) - 復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量1 0 例t = 南一( 易卜1 q q t ) ， ( 2 2 ) s 滬一釉+ 南聃南 ( 2 3 ) 口巧仇v 3 - o l 2 , a 巧饑啄= 鼬療q t 叼= 五1 ，口i j b i a 3 = 會， ( 2 4 ) 及 g t ：2 a ( 擴(kuò)一s 咖，) q i + 蘭咖，萬魄 s 我們有 定理2 1 1 設(shè)f = q ( s ) ( 忪l i 。 b o ) 為復(fù)流形m 上的復(fù)( o l ，p ) 度量， 則f 的基本張量為 g 巧= p o a i 3 + # o b i 嗎一u o s t s j ，( 2 5 ) 其中 伽= 咖2 _ 8 ，伽= 三扎p ：= 了2 0 e 2l 9 9 一s r 2 _ 8 矽) ( 2 6 ) 若將( 2 5 ) 式表示為矩陣形式。則有 g = p o a + # o b b + 一u o s s + 這里已記 g = ( g 療) ，a = ( n 訂) ，s = ( 8 1 ，s n ) t m n ，1 ( c ) ，b = ( b 1 ，6 n ) r m n ，1 ( c ) 定理2 1 2 設(shè)m 為億維復(fù)流形，f = q 妒( s ) ( 歸憶 o ， 這里8 ，b 是滿足0 8 b 0 ( v s 0 ，v t 0 ，1 v s b o 6 = ( 伽+ 伽i i # i i 蘭) # o 一碰4 a 2 ( 苧- s 2 ) g ：1 _ _ a - l + c i a 一1 b b a - 1 _ 1 _ 0 2 a 一1 s s + a - i + c 3 a 一1 b s a - 1 - - c 4 a 一1 s b ，a g 療：三n 巧+ 經(jīng)( 旦旦絲q ! 坦蝰2 坦罡 p + o 筍4 5 p o 歸a 8 一笳椰嘶( 2 1 1 )+ 學(xué)歸一笳( 腳螄嗍 p j 叫 ( q ，p ) 復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 1 3 _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ l _ - - - _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ 一一一 一 一一 在式( 2 1 0 ) 中，常數(shù)c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 分別為 c = 嘗( 1 i 硎三- s 2 ) 柏m c 2 = 璽( 伽機(jī)拼最 c 3 = 一幫( 1 | 硎三- s 2 胂， 魄一籌( i f 俐_ 2 凇 證明主要是利用逆矩陣的定義 由引理1 1 ，我們可設(shè) g ：1 a - l + c 1 a 一1 b b a 一1 + c 2 a 一1 s s a 一1 + c 3 a 一1 b s a 一1 + c 4 a 一1 s b a ， 伽 其中c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 為待定系數(shù) 由逆矩陣定義 我們有 g g 一i = 0 o = 職a 一1 b c + 等怕苧c + 器( 三一s 2 ) c 4 】 + b s 竹1p o c 3 + 萬 - t 0 8 川剛q 2 一s 2 ) c 2 + p 。言c 3 + 舊c 4 - - 等( 1 i 硎主。) c 一叁( | f 硎：s 2 ) q + 斛礦 p o c 2 一p o 一基( 1 i 硎：一s 2 ) q 一面t t ：s 川剛2 a s 2 ) c s 對比等式系數(shù)可得 2主要結(jié)論 定理2 2 1設(shè)f = q ( s ) ( 歸| | q 0 ，v ( 8 ，t ) ( 0 ，o ) ( 3 1 ) 下面約定本章指標(biāo)取值范圍： 1 a ，b ，c m ；m + 1 q ，p ，y n ；1 i ，五k m + 幾 記k = 砰，h = 昭，定義f ：t 1 , 0 m _ 0 ，) 如下： f ( z ，移) = 扔靄可歷百承麗， 其中( z ，v ) t 1 , 0 m ，( z 口，u 。) t 1 , 0 五，( z a ，v a ) t 1 , 0 m 2 ( 3 2 ) ( o t ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 1 8 答易證明 ( a ) v v t 1 , 0 m ，f ( z ，釘) o ；當(dāng)且僅當(dāng)v = 0 時，f ( z ， ) = 0 ； ( b ) v v t l , o mv 入c ，f ( z ，a u ) = i a f ( z ，v ) ； ( c ) f ( z ，釕) 在m = t 1 , 0 m o ( m ) 上光滑 即f 是m 上的復(fù)f i n s l e r 度量，我們稱f 為f 1 ，易( 由f 誘導(dǎo)) 的乘 積度量，稱復(fù)f i n s l e r 流形( m ，f ) 為( 尬，毋) ，( ，f 2 ) ( 由f 誘導(dǎo)) 的乘積流 形 由f ( k ，h ) 的正齊次性得 l k k + i h h = | ， f k k k + f k h h = 0 ，f h k k + f h h h = 0 1 l 裘h = l k k l h h 。 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 這里，我們記忍= 嘉，厶日= 貉，以此類推 記u = ( k i ，) t ，w = ( h m + 1 - 1 一，+ n ) ? ；而k = ( ) 與 玨= ( 玩口) 分別表示k ，日的l e v i 矩陣，它們的逆矩陣分別表示為k 一1 ， 經(jīng)簡單計算，得 l u l 2 k = ( u ，u k ：= u k u = k k 蠔玩= 蠔礦= k ，( 3 6 ) 1 w i 備= ( w ，w ) 日：= w + 曠1 w = 日盧a 煒凰= 嘞護(hù)= h ，( 3 7 ) 叫剛= f k k + f k k u u 南囂二+ ) 8 ， 定理3 1 1 設(shè)( m 1 ，毋) ，( 尬，f 2 ) 均為強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 流形，f 為f 1 ，r 的乘積度量，則( m ，f ) 是強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 流形的充要條件是 l k 0 ，l h 0 ，l k + k f g i ( 0 ，| hj rh f h 0 ， k h f f k h 0 弋3 9 、 此時，度量矩陣g = ( g 彳) 的行列式是 i g i = 餾。，夤- 1 ( 氏屆一f y g g ) l k l l 1 ( 3 1 0 ) ( q ，p ) 一翹i = ! s l e r 度量及乘積復(fù)f i n 型呸壅量1 9 肛a 。b d ) - ( 墓黔 一= 去一麗f k kk 。刪+ k 1 1 l ( 3 1 2 ) 令x = 一a 一1 b 貝0 ( 萎。：) ( ：d b ) ( 0 ；) = ( a 。一：a 一。b ) c 3 j 3 ， = r + r + 贏姍。) i 厶k + 氏叫1 = 餾 1 + 百k f k k - 吲， 厶+ 燕w w + i - 餾 1 + 一h f k f h h 從而由( 3 1 4 ) 式，得 i g i i 厶k + 丘k 叫- 卜+ 者w w 叫 = f 妥一1f 百1 0 f k l h + k f k k f l i + h f k f h h ) i k i i h i ( o l ，p ) 一復(fù)f i n s l e r 度量及乘積復(fù)f i n s l e r 度量 由( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，得 k h + k y k k l h + h | k f h h = l k l h + f x 0 一j k h h + l k l 一 h k k 、 于是有 = l k h 一 k h l | h h + i k r l = k l h 一 k h 嬸 i 泛一1 絳一飛f k f h ff k h ) i k i i h i 定理的剩余部分相當(dāng)于證明g 正定的充要條件而由( 3 1 4 ) 式g 正定 等價于丘k + 屈k u u + ，f n h + 溉w w + 都正定 先證充分性 假設(shè)( 3 9 ) 式成立，下面證明y k k + 丘k u u + ，厶+ 舞軼w w + 都 正定記u = ( v 1 ， m ) ，叫= ( v 州d ，v m + n ) 若救x 0 ，顯然血k + f k k u u + 正定若氏k 0 ( 。川之= k ) 類似的，若厶日0 ，則知+ 學(xué)紜w w + 正定若局日 _ f n l y l 備+ 瓦f + n n k j 以gk y2 h ( 雌= 日) - l y 盼讎 。 0 從而f k k + 厶k 刪+ 與厶+ 鋟w w + 都正定，充分性得證 再證必要性 假設(shè)厶k + 氏胃刪+ ，厶+ 毒畿飛刪+ 都正定則 釓( 氏k + 厶x u u + u + = k ( 厶+ k f k k ) 0 ， 因此厶+ 厶k 0 取x a _ u ，x 0 ，即玩r , x 口妒= 0 ，則 x ( f k k + 厶k u u + ) x + = f k i k 西x 口麗i 之 0 ， 從而氏 0 同理可證向 0 ，a + 日，日日 0 最后由于g 正定，可得 i gj 0 ，因此詹一廠日 0 必要性得證 i 2乘積流形的非線性聯(lián)絡(luò)系數(shù) 下面我們通過計算乘積復(fù)f i n s l e r 度量的非線性聯(lián)絡(luò)系數(shù)來尋求乘積復(fù) f i n s l e r 流形成為b e r w a l d 流形、強(qiáng)k a e h l e rf i n s l e r 流形以及局部復(fù)m i n k o w s k i 空間的條件為此我們先計算g 的逆矩陣 命題3 2 1 設(shè)乘積復(fù)流形( m ，f ) 的度量矩陣g 由式( 3 1 1 ) 給出，若 ( m ，f ) 是強(qiáng)擬凸復(fù)f i n s l e r 流形，則g 的逆矩陣為 曠1 = g a b 驀) ， 塒 ! 竺! 旦：星墅型竺鏖量墾鲞塑星墅皇! 竺鏖量 2 2 其中 g = 去p 一麗痢醬南廝口a ， 峋 一麗再麗f 百k h 麗口。礦，f h | i l k + k | k k 、+ h | k h h v u g 肪= 一麗麗面麗f k h 雨瓜蕊礬盧， g胡=去卜一一fkf 口n - 證明由引理1 2 有 g 。k ：囂。礦籌一a 鬻。) ( b + a 一1 b d ) 一1 b + a 一