摘要 本文對于在平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵下部分構(gòu)件進(jìn)入非線性彈塑性狀態(tài)工作的 大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)( 如橋梁、高層建筑等) 進(jìn)行抗震分析。采用b o u c w e n 等提出 的微分方程模型描述進(jìn)入非線性構(gòu)件的滯變特性，運(yùn)用虛擬激勵法結(jié)合等效線 性化進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)振動分析。求解受平穩(wěn)隨機(jī)激勵的剪切型非線性滯遲 系統(tǒng)，并研究了工程結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)問題。 對于剪切型滯遲系統(tǒng)作了以下工作：i ) 運(yùn)用虛擬激勵法結(jié)合等效線性化 法分析了單自由度滯遲系統(tǒng)在不同強(qiáng)度激勵下的響應(yīng)性態(tài)，與基于李亞普諾夫 方程的結(jié)果及用m o n t e c a r l o 法計算的結(jié)果作了比較，非常吻合。i i ) 運(yùn)用虛 擬激勵法結(jié)合等效線性化法分析了此類遭受地震激勵的多自由度滯遲系統(tǒng)在 不同的非線性系數(shù)下的平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)，與時程積分方法的計算結(jié)果相比較，比 較吻合。 對于工程結(jié)構(gòu)地震作用下局部非線性隨機(jī)振動，將離散塑性鉸模型與虛擬 激勵法和等效線性化法相結(jié)合，求解這一類局部發(fā)生彎曲型滯遲效應(yīng)的非線性 問題。以上的算法已在有限元分析軟件d d j w 中實(shí)現(xiàn)，可以處理具有復(fù)雜邊 界條件的三維結(jié)構(gòu)在地震激勵下的局部非線性隨機(jī)響應(yīng)分析，并計算了工程中 的實(shí)際橋梁。得到了比較合理的結(jié)果。 在此基礎(chǔ)上，探討了用虛擬激勵法分析非線性隨機(jī)振動問題應(yīng)用在工程實(shí) 際中的適用性和精度。本文方法充分利用了虛擬激勵法求解復(fù)雜線性結(jié)構(gòu)高 效、精確的優(yōu)點(diǎn)，以一系列線性問題的迭代分析，迅速地求得原非線性問題合 理的近似解。是一個有實(shí)用價值的非線性抗震分析方法。 關(guān)鍵詞：非線陛，隨機(jī)振動，滯遲系統(tǒng)，虛擬激勵，等效線性化，離散鉸模型 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r s e i s m i c a n a l y s i sm e t h o do fl a r g ec o m p l e x s t r u c t u r e ss u c ha s b r i d g e s ，t a l lb u i l d i n g s ，s u b j c o t e d t o s t a t i o n a r y r a n d o m g r o u n d e x c i t a t i o n s ，i s i n v e s t i g a t e df o rw h i c h t h en o n l i n e a re l a s t o - p l a s t i cc h a r a c t e r so fs o m e c o m p o n e n t s i st a k e ni n t oa c c o u n t t h eb o u c w e nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nm o d e l i su s e di n m o d e l i n gt h eh y s t e r e t i c c h a r a c t e r i s t i c so ft h e s ec o m p o n e n t s t h ep e m ( p s e u d o e x c i t a t i o nm e t h o d ) c o m b i n e dw i t ht h ee l m ( e q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o nm e t h o d ) i s u s e dt oa n a l y z et h en o n 1 i n e a rr a n d o mv i b r a t i o no f s u c hs t r u c t u r e s t h es h e a r t y p e n o n - l i n e a rh y s t e r e t i cs y s t e ms u b j e c t e dt os t a t i o n a r ye x c i t a t i o na n dl o c a ln o n - l i n e a r r a n d o mv i b r a t i o no fe n g i n e e r i n gs t r u c t u r eu n d e re a r t h q u a k ee x c i t a t i o na r es t u d i e d t h er e s e a r c hw o r ka b o u tt h e s h e a r t y p eh y s t e r e t i es y s t e mi n c l u d e s ：i ) r a n d o mr e s p o n s eo fs d o fh y s t e r e t i cs y s t e mu n d e rv a r i a n te x c i t a t i o ni n t e n s i t i e s a r ea n a l y z e du s i n gt h ep e mc o m b i n e dw i t ht h ee l m t h er e s u l t sa r ea l li ng o o d a g r e e m e n tw i t ht h o s eo f t h el i a p u n o vd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h em o n t e c a r l o s i m u l a t i o n ；i i ) t h es t a t i o n a r y r a n d o m r e s p o n s e s o fs u c hm d o fh y s t e r e t i c s y s t e m ss u b j e c t e dt oe a r t h q u a k ee x c i t a t i o nu n d e rv a r i a n tn o n l i n e a rc o o f f i c i e n t s a r es t u d i e du s i n gt h ep e mc o m b i n e dw i t he l m ；t h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t h t h o s ec a l c u l a t e db yu s i n gi n t e g r a t i o n ，t h ed i f f e r e n c ei sn o to b v i o u s t h er e s e a r c hw o r ka b o u tt h el o c a ln o n - l i n e a rr a n d o mv i b r a t i o no fe n g i n e e r i n g s t r u c t u r eu n d e re a r t h q u a k ee x c i t a t i o ni n c l u d e s ；d i s c r e t eh i n g em o d e lc o m b i n e d w i t ht h ep e ma n dt h ee l mi su s e dt os o l v es u c hn o n - l i n e a rp r o b 】e mw h i c ht h e b e n d t y p eh y s t e r e t i ce f f e c to f s o m ec o m p o n e n t si st a k e ni n t oa c c o u n t a l g o r i t h ma b o v e h a sb e e n i m p l e m e n t e d i n f i n i t ee l e m e n t p r o g r a m d d j w a n dc a n a n a l y z e n o n 1 i n e a rr a n d o m r e s p o n s e o f3 一ds t r u c t u r ew h i c hh a s c o m p l e xb o u n d a r y c o n d i t i o n su n d e r e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n p r a c t i c a l b r i d g e s o f e n g i n e e r i n g a r e c a l c u l a t e da n dt h er e s u l t sa r er e a s o n a b l e f i n a l l y ，t h ep o s s i b i l i t yo fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o na n da c c u r a c yo f t h ep e mi n a n a l y z i n gt h er a n d o mr e s p o n s eo f n o n l i n e a rs t r u c t u r e sa r ed i s c u s s e db a s e do i lt h e w o r ko u t l i n e da b o v e m e t h o dp r e s e n t e di nt h i sp a p e rm a k e sf u l lu s eo ft h em e r i t s o ft h ep e m ，i e i t sh i g he f f i c i e n c ya n da c c u r a c yi n s o l v i n gt h el i n e a rr a n d o m v i b r a t i o no fc o m p l e xs t r u c t u r e s t h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a ln o n l i n e a rp r o b l e mi s r e a s o n a b l ya p p r o x i m a t e db ym e a n so f as e r i e so fr a n d o mv i b r a t i o na n a l y s e sf o rt h e l i n e a r i z e ds t r u c t u r eu s i n gt h ep s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d k e y w or d s ：n o n 。iin e ar 。r a n d o m v i b r a t i o n h y s t e r e t i cs y s t e m p s e u d o e x c i t a t i o n e q u i v a ie n t1i n e ar iz a t i o n d is c r o t eh in g em o d e i 1 1 奎型墮塑曼塑斐垡絲墮墊墊壁墮窒坌堡一 一 1概論 1 1引言 在土木、機(jī)械、航空、航天及生物工程、海洋工程等幾乎所有的工程領(lǐng)域 中，非線性現(xiàn)象普遍存在。例如，在土木工程中，房屋、橋梁等建筑物在隨機(jī) 動力荷載作用下，尤其是地震作用下，其結(jié)構(gòu)構(gòu)件會因屈服而表現(xiàn)出非常明顯 的非線性滯遲形態(tài)；在機(jī)械工程中，各種車輛的磨擦減振器以及液( 氣) 壓緩沖 器都是含有較強(qiáng)非線性阻尼力的非線性元件：在海洋工程中，近海結(jié)構(gòu)、海洋 石油平臺在波浪力作用下，其樁一土支承系統(tǒng)會顯示出較強(qiáng)的非線性性質(zhì)：船 舶在不規(guī)則波浪作用下的搖擺，其阻尼力是搖擺角速度及其二次方的函數(shù)，該 二次項(xiàng)因顯著地大于其線性項(xiàng)而表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性；工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用的 各類粘彈性材料以及存在于摩擦作用的構(gòu)件，都會表現(xiàn)出一定的非線性效應(yīng)。 當(dāng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的非線性比較弱或?qū)λ芯康膯栴}不足以產(chǎn)生顯著的影響時， 線性系統(tǒng)作為對非線性系統(tǒng)，即客觀實(shí)際的近似模型而得以廣泛的應(yīng)用，解決 了大量工程實(shí)際問題。當(dāng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的非線性比較強(qiáng)或存在本質(zhì)非線性時，用線 性系統(tǒng)分析往往難以做出合理的解釋和正確的定性判斷：當(dāng)人們對某些問題需 要得到更準(zhǔn)確的定量分析時，用線性系統(tǒng)分析有時也難以給出滿意的結(jié)果。在 這些情況下，人們必須依賴于非線性分析而使問題得到更合理的解決。如上文 中提到的非線性滯遲效應(yīng)即是一種非常復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，其非線性恢復(fù)力不 僅取決于系統(tǒng)的瞬時位移，而且取決于系統(tǒng)響應(yīng)的歷史。只有建立相應(yīng)的非線 性微分方程模型，才能較準(zhǔn)確地描述該現(xiàn)象，并通過適當(dāng)?shù)氖侄吻蟮幂^合理的 結(jié)果。 1 2 結(jié)構(gòu)抗震分析的重要性 隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，技術(shù)的進(jìn)步，大跨度結(jié)構(gòu)在工程中日益廣泛采用， 一般都是重要的公眾設(shè)施，如城市立交橋，高架公路橋，油氣管線，水壩，體 育場館等，其地震安全性對于設(shè)施的正常運(yùn)行乃至公眾的生命財產(chǎn)等至關(guān)重 要，一旦在地震中遭到破壞，損失將是巨大的。1 9 7 1 年圣費(fèi)南多( s a nf e r n a d o ) 發(fā)生的里氏6 7 級地震，兩座互通式的立交橋工程嚴(yán)重倒塌毀壞，這兩座橋都 是高速公路上的樞紐工程，致使交通中斷。我國1 9 7 6 年的唐山地震中，遭受 破壞的鐵路橋梁占總數(shù)的3 9 。3 ，致使京山鐵路中頃，蘆臺運(yùn)河大橋和灤河 大橋的破壞，切斷了唐山與天津、沈陽之間的公路交通，給救災(zāi)工作帶來了極 大的困難。而1 9 8 9 年美國洛馬普里埃塔( l o m ap r e t a ) 地震，為7 0 級，橋梁 破壞的后果再次告誡人們現(xiàn)代城市交通中斷的危害性；1 9 9 4 年諾斯雷奇 查型苧塑旦塑i ! 堡堡墮墊墊簍塑墮坌塹 ( n o r t h r i g e ) 地震6 7 級，造成了洛杉磯市高速公路上的多座橋梁坍塌，嚴(yán)重 的交通中斷造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失；最近的日本阪神地震，7 2 級，是一個中 等強(qiáng)度的地震，卻造成了大量高速公路及高速鐵路的毀壞，導(dǎo)致除了航空以外 的交通幾乎全部中斷，使經(jīng)濟(jì)遭受巨大的損失。阪神地震大概損失了1 0 0 0 億 美元，是日本自1 9 2 3 年關(guān)東大地震以來傷亡最嚴(yán)重、經(jīng)濟(jì)損失最大的一次破 壞性地震。由此可見，作為交通樞紐的橋梁，如果遭到破壞，帶來的損失是巨 大的。 作為如此重要的公眾設(shè)施，大跨度結(jié)構(gòu)，特別是作為交通樞紐的大跨度橋 梁的安全性受到了格外的重視。如何在設(shè)計和建造階段就使它們具有足夠的抗 震能力和合理的安全度，始終是各國工程界、學(xué)術(shù)界十分關(guān)心的問題【l5 。2 6 j 。世 界著名的舊金山海灣大橋在1 9 8 9 年的地震中其東段遭到嚴(yán)重?fù)p壞，現(xiàn)仍處于 帶病工作狀態(tài)。1 9 9 7 年，加州政府決定撥巨資重建。在國外招標(biāo)中，加州大 學(xué)伯克利分校提出的弧形斜拉橋方案十分美觀新穎，被認(rèn)為是奪標(biāo)的大熱門。 但是由于很難對這種形狀新穎的橋型的抗震性能提供有力的分析驗(yàn)證，最終還 是被加州政府組織的專家組否定了。都市交通委員會發(fā)言人對此的評論說：“對 于這座橋要考慮的大事是其防地震能力，而不是美學(xué)問題。我們要再造一座橋，不是因 為現(xiàn)有的橋梁很丑陋，而是為了提高防震能力“( 美洲星島日報報道) 。大跨度橋梁 抗震分析方法的重要性由此亦可見一斑。近二十年來，歐美許多國家都投入很 大力量進(jìn)行相關(guān)的研究，并在研究的基礎(chǔ)上制定了一系列規(guī)范。 在地震工程領(lǐng)域，在強(qiáng)烈地震激勵的作用下，許多結(jié)構(gòu)會呈現(xiàn)出非線性滯 遲性態(tài)。對于此類結(jié)構(gòu)用等效線性化法處理時，要?dú)w結(jié)為反復(fù)求解等效線性系 統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。對于一些大跨度結(jié)構(gòu)，如橋梁、高架公路、水壩等，還要考慮 多點(diǎn)激勵和各地面節(jié)點(diǎn)之間存在的時間滯后( 相位差) ，即行波效應(yīng)。計算量 之大、計算過程之繁復(fù)，是工程界很難接受的。此種局面的改觀，迫切需要改 進(jìn)傳統(tǒng)計算方法和提出新的計算手段。 1 ，3 抗震分析中的非線性分析方法 雖然線性隨枧振動的基本理論框架已經(jīng)建立，發(fā)展了許多預(yù)測響應(yīng)的方 法，但非線性隨機(jī)振動分析卻存在著極大的困難。首先，疊加原理不再適用于 非線性系統(tǒng)，許多在線性分析中十分有效的方法不再適用，如振型分解法；其 次，在g a u s s 隨機(jī)激勵下非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不再是g a u s s 過程，不能夠僅僅由 響應(yīng)的二階矩就得到響應(yīng)的全部統(tǒng)計特性。因而有必要研究響應(yīng)的高階矩，或 直接尋求響應(yīng)的概率密度函數(shù)，這是非常困難的。 從6 0 年代起，非線性隨機(jī)振動問題的研究受到了普遍重視，迄今已發(fā)展 了許多分析方法，主要有解析地求解f p k 方程法、矩函數(shù)截斷法、隨機(jī)平均 法、等效非線性系統(tǒng)法、數(shù)值模擬法及等效線性化法等h 4 l 。但這些方法或是 因其求解范圍小，精度不易掌握，或是因其計算量大而大多數(shù)難以滿足工程需 要。其中，精確地求解f p k 方程法吸引了大批學(xué)者的注意力。從理論上說， 2 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 它是非線性隨機(jī)振動分析最嚴(yán)密的方法，可以得到解析解，并且對其研究大大 推動了非線性隨機(jī)振動學(xué)科的發(fā)展，以及對這類振動現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識。但該方 法可以解決的問題不多，而且附加了苛刻的條件，所以工程應(yīng)用意義不大。矩 函數(shù)截斷法是一類求解非線性系統(tǒng)反應(yīng)矩的方法，較常應(yīng)用的是高斯截斷法和 累積量截斷法，它們都基于響應(yīng)為g a u s s 分布的假設(shè)，可適用于單個或多個自 由度非線性系統(tǒng)受平穩(wěn)或非平穩(wěn)隨機(jī)振動的情況。但它們計算過程復(fù)雜，計算 量大，較難在工程應(yīng)用中推廣。隨機(jī)平均法是一種將隨機(jī)平均原理與f p k 方 程解法相結(jié)合的方法，有標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法和能量包線隨機(jī)平均法，二者分別適 用于隨機(jī)響應(yīng)為窄帶和寬帶過程的情形。但仍難以用于求解多自由度非線性體 系。等效非線性系統(tǒng)法是以某個具有精確穩(wěn)態(tài)解的非線性系統(tǒng)按某種準(zhǔn)則等效 代替給定的非線性系統(tǒng)而使該系統(tǒng)得以求解的方法。由于只對少數(shù)幾類特殊的 單自由度非線性系統(tǒng)可以獲得精確穩(wěn)態(tài)解，因而這種方法的應(yīng)用范圍非常有 限。數(shù)值模擬法是非線性隨機(jī)振動分析中最廣泛適用的方法，但其計算特別費(fèi) 時，般作為檢驗(yàn)其他方法的適用性與精度的工具，而在工程中極少應(yīng)用。與 以上各種方法相比，等效線性化法是用線性系統(tǒng)按方差最小原則來等效代替原 非線性系統(tǒng)的方法，因而可以用關(guān)于線性系統(tǒng)的諸多簡便成熟的方法來求出原 非線性系統(tǒng)的近似解。簡便可行，求解范圍廣，有良好的工程應(yīng)用前景。該方 法的最大的優(yōu)點(diǎn)之一是可以很容易地推廣應(yīng)用于多自由度的系統(tǒng)。 此外還有非線性確定性分析方法。對于非線性時程分析，由于對結(jié)構(gòu)構(gòu)件 內(nèi)力一變形非線性特征的模擬的困難，包括恢復(fù)力模型( f x ) 、屈服關(guān)系模型 ( n m ，n q ) 、彈塑性位移和位移角的算法、阻尼系數(shù)的確定和在數(shù)值運(yùn)算中 的處理、數(shù)值積分方法的優(yōu)劣等一系列問題的存在，使非線性時程分析變得十 分復(fù)雜。結(jié)構(gòu)靜力彈塑性分析法是近年來在國外得到廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu)抗震 能力評價的新方法，其應(yīng)用范圍主要集中于對現(xiàn)有結(jié)構(gòu)或設(shè)計方案進(jìn)行抗側(cè)力 能力的計算，從而得到其抗震能力的估計。這種方法從本質(zhì)上說是一種靜力非 線性計算方法，與以往的抗震能力計算方法不同之處主要在于它將設(shè)計反應(yīng)譜 引入了計算過程和計算成果的解釋。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：水平力的大小是根 據(jù)結(jié)構(gòu)在不同工作階段的周期由設(shè)計反映譜求得，而分布則根據(jù)結(jié)梅的振型變 化求得。缺點(diǎn)是這種方法對計算機(jī)軟硬件和分析人員要求較高，工作量也較大， 在一段時間內(nèi)不容易成為一種被廣泛采用的方法。 雖然隨機(jī)振動作為一門新興的技術(shù)學(xué)科幾十年來發(fā)展迅速，但在工程界的 應(yīng)用還不夠廣泛。究其原因，現(xiàn)有計算方法的復(fù)雜性是造成這一現(xiàn)象的瓶頸。 例如，地震工程界普遍認(rèn)為按照概率性的隨機(jī)振動理論進(jìn)行抗震分析是較為合 理的，分析理論也早已建立，但由于計算量太大，在設(shè)計中還是普遍采用比較 簡化的反應(yīng)譜理論。線性系統(tǒng)的計算尚且如此困難，對于求解非線性系統(tǒng)所需 要的更加巨大的計算量，工程界更難以接受。 近年來，林家浩教授從計算力學(xué)的角度對結(jié)構(gòu)的平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的 計算分析提出了高效精確的算法一虛擬激勵算法( p e s u d oe x c i t a t i o nm e t h o d ， 簡稱p e m ) 1 6 - 7 1 ，這是解決此類計算問題的有力工具。在線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分 析領(lǐng)域內(nèi)，虛擬激勵法已發(fā)展為一個高效算法系列。對結(jié)構(gòu)受單點(diǎn)多點(diǎn)、同 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 相位，異相位、完全相干任意相干、平穩(wěn)非平穩(wěn)隨機(jī)激勵均能進(jìn)行精確、高效 的計算【8 】”。比之傳統(tǒng)算法，其計算效率有極大的提高。尤其是實(shí)現(xiàn)了大型復(fù) 雜結(jié)構(gòu)的多點(diǎn)激勵隨機(jī)響應(yīng)分析，用微機(jī)處理的結(jié)構(gòu)自由度數(shù)可以逾萬，這是 傳統(tǒng)算法所難以達(dá)到的。對于工程領(lǐng)域中的非線性系統(tǒng)，采用等效線性化法時， 如果結(jié)合效率極高的虛擬激勵法，則顯然可以解決傳統(tǒng)方法反復(fù)求解線性系統(tǒng) 時存在的計算效率問題。 在此背景下，本文探索了用虛擬激勵法進(jìn)行非線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析的可 能性，以期突破非線性系統(tǒng)經(jīng)等效線性化后在計算存在的瓶頸。并對這種方法 在工程實(shí)際中應(yīng)用的可行性進(jìn)行了探索性的研究。 1 4 本文主要工作概述 本文對于在平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵下部分構(gòu)件進(jìn)入非線性彈塑性狀態(tài)工作的 大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)( 如橋梁、高層建筑等) 進(jìn)行抗震分析。采用b o u c w e n 等提出 的微分方程模型描述進(jìn)入非線性構(gòu)件的滯變特性，運(yùn)用虛擬激勵法結(jié)合統(tǒng)計線 性化進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)振動分析。做了以下幾方面的工作： 1 運(yùn)用虛擬激勵法結(jié)合等效線性化法分析了單自由度剪切型滯遲系統(tǒng)在 不同強(qiáng)度激勵下的響應(yīng)性態(tài)，與基于李亞普諾夫方程的結(jié)果及 m o n t e c a r l o 法的計算結(jié)果作了比較，非常吻合。并分析了此類多自由 度滯遲系統(tǒng)在地震激勵下的平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)，選取不同非線性系數(shù)，其計 算結(jié)果與時程積分方法的計算結(jié)果相比較，相差不大 2 大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)( 如橋梁) 在強(qiáng)烈地震激勵下，其局部出現(xiàn)非線性滯遲性 態(tài)，發(fā)生彎曲破壞，將離散塑性鉸模型與虛擬激勵法和等效線性化法相 結(jié)合，建立橋梁地震作用下運(yùn)動方程，以一系列線性問題的迭代分析， 迅速地求得原非線性問題合理的近似解。 3 以上算法已在有限元分析程序系統(tǒng)d d j w 上實(shí)現(xiàn)，將系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)的 動力分析推廣到非線性結(jié)構(gòu)，可以處理具有復(fù)雜邊界條件的三維結(jié)構(gòu)在 地震激勵下的非線性隨機(jī)響應(yīng)分析。 4 計算了一座中小跨度的橋和美國c a l t 橋在平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵下局部 進(jìn)入非線性彈塑性狀態(tài)工作下的響應(yīng)，得到了比較合理的結(jié)果。 4 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 2 滯遲系統(tǒng)的模型化及等效線性化法 2 1 引言 工程結(jié)構(gòu)的非線性主要分為兩類：幾何非線性和材料非線性。主要表現(xiàn)在 阻尼項(xiàng)和剛度項(xiàng)中。當(dāng)結(jié)構(gòu)的非線性項(xiàng)表現(xiàn)在阻尼項(xiàng)，剛度項(xiàng)或者兩者的耦合 項(xiàng)中時，分別稱為阻尼非線性、剮度非線性和滯變非線性。作為此三種非線性 的典型系統(tǒng)，范德波( v a nd e rp 0 1 ) 振予、杜芬( d u f f i n g ) 振子和滯遲系統(tǒng)被 研究的最多。許多工程結(jié)構(gòu)在嚴(yán)重載荷的作用下( 如強(qiáng)地震引起的地面運(yùn)動) ， 由于材料的屈服，內(nèi)摩擦或者構(gòu)件接合面間的摩擦等原因，往往呈現(xiàn)出滯遲特 性。滯遲系統(tǒng)的恢復(fù)力是一個多值函數(shù)，不僅取決于系統(tǒng)的瞬時位移，而且取 決于系統(tǒng)響應(yīng)的歷史。滯遲效應(yīng)主要表現(xiàn)為剛度的減小與能量耗散能力的增 加。 結(jié)構(gòu)是由構(gòu)件組成的，構(gòu)件的滯變特性是一種強(qiáng)非線性。這種非線性主要 表現(xiàn)為構(gòu)件的恢復(fù)力一抗力與變形的關(guān)系曲線在加載和卸載過程中不是沿著 同一個路徑變化，而是形成如圖2 1 所示的滯回環(huán)或稱滯變曲線。構(gòu)件具有這 種滯變特性的結(jié)構(gòu)，稱為滯變體系。 g jl 刁一 j 圖2 - 1 滯變恢復(fù)力曲線 f i g2 - 1h y s t e r e t i er e s t o r i n gf o r c ec u r v e 滯變特性也稱為彈塑性，是構(gòu)件變形過程的一種特有的屬性。大多數(shù)結(jié)構(gòu) 在強(qiáng)干擾作用下都將進(jìn)入彈塑性變形狀態(tài)，從而表現(xiàn)出這種滯變特性。 2 2 構(gòu)件的滯變恢復(fù)力模型 滯遲系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。a j i j 曾經(jīng)提出多種描述滯遲恢復(fù)力的 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 模型，主要有雙線性模型 2 7 , 2 8 】、分布彈塑性元件模型29 1 、r a m b e r g - - o s g o o d 模型【30 1 、b o u c - - w e n 的輔助微分方程模型3 1 ，3 2 33 】等。其中，雙線性模型最簡 單，同時抓住了滯遲效應(yīng)的本質(zhì)，因而應(yīng)用較多；b o u c - - w e n 輔助微分方程模 型變通性最大，可適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)值使之描述各種滯遲特性，且便于和微分方程 一起處理，因而越來越普遍地被采用。 構(gòu)件的滯變恢復(fù)力模型是進(jìn)行結(jié)構(gòu)彈塑性抗震分析的基礎(chǔ)。對于隨機(jī)振動 分析需采用微分方程描述。下面分別介紹兩類在工程中廣泛應(yīng)用的滯變恢復(fù)力 模型。 2 2 1 雙線性模型 3 4 1 ：。 彳1 叢 廠糾一 ) ? 圖2 2 f i g2 - 2 雙線性模型 雙線性模型比較簡單，它所描述的恢復(fù)力骨架曲線和滯回曲線如圖2 2 所 示。圖中g(shù) 。和x y 分別是屈服力和屈服位移。在構(gòu)件未達(dá)到屈服時，往復(fù)加載的 恢復(fù)力都按初始彈性剛度k 變化；在構(gòu)件達(dá)到屈服時，加載按第二剛度班變化， 其中口稱為第二剛度系數(shù)，一般0 口1 ；卸載按初始剛度k 變化。特別地，口= o 時，雙線性模型交成理想彈塑性模型：當(dāng)k = c o 時，第二剛度有限，則雙線性 模型變成剛塑性模型：當(dāng)k = 。，第二剛度為零時，雙線性模型變成理想剮塑 性模型。 2 2 2 光滑模型 b o u c 于1 9 7 6 年首次提出滯變恢復(fù)力過程的微分方程模型，后經(jīng)w e n ，b a b e r 等人推廣，得到了能概括較大一類光滑恢復(fù)力特點(diǎn)的滯變微分方程。根據(jù)w e n 等人提出的滯變微分方程模型，滯遲位移滿足如下非線性微分方程【3 1 1 6 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 j = 爿i 一i 刈z l ”- z - r x q z l ” ( 2 - 1 ) 其中參數(shù)y 和控制滯遲環(huán)的形狀；爿控制滯變位移的初始剛度：n 決定從彈 性區(qū)到塑性區(qū)過渡的光滑程度。適當(dāng)選擇參數(shù)，可給出具有不同能量耗散能力、 漸軟和漸硬的滯遲系統(tǒng)。 2 3 滯變恢復(fù)力的隨機(jī)等效線性化 結(jié)構(gòu)在強(qiáng)烈隨機(jī)干擾下，如果結(jié)構(gòu)構(gòu)件具有滯變恢復(fù)力的特點(diǎn)，則結(jié)構(gòu)的 振動是非線性隨機(jī)振動( 或稱滯變隨機(jī)振動) 。具有滯變恢復(fù)力特點(diǎn)的構(gòu)件稱 為滯變構(gòu)件( 或元件、或元素) ，由滯變構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)體系稱為滯變體系。 由于滯變體系是非線性體系的一種特殊形式，在大多數(shù)情況下，分析滯變隨機(jī) 反應(yīng)最實(shí)用、最有效的方法是隨機(jī)等效線性化法。 在用隨機(jī)等效線性化方法分析滯變體系的隨機(jī)反應(yīng)時，我們總是先將構(gòu)件 的滯變恢復(fù)力等價線性化，然后用等價線性構(gòu)件組成等價線性結(jié)構(gòu)體系，即用 構(gòu)件的等價線性恢復(fù)力去建立結(jié)構(gòu)體系的等價線性運(yùn)動方程，最后用線性隨機(jī) 反應(yīng)的分析方法來分析等價線性結(jié)構(gòu)體系的反應(yīng)，并將其作為滯變體系隨機(jī)振 動的反應(yīng)。 2 3 1 雙線性恢復(fù)力模型的等價線性化【3 4 】 這種模型的滯變恢復(fù)力過程可以表示為 g 陋，鼻) = 則+ ( 1 c , ) k z 式中滯變位移z 由以下非線性微分方程確定 2 = 巖i 一占伍b ( z 一石，) 一占卜衛(wèi)b ( _ z o ) 】 相應(yīng)的等價線性微分方程可以表示為 z = c x x + c z z 式中。t 和c ：是待求的等價線性參數(shù)。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 在這種滯變位移z 單獨(dú)由非線性微分方程確定的情況下，我們可以只討論 這個非線性微分方程的等價線性化，而將滯變位移z 也看作體系的狀態(tài)向量， 它與及其導(dǎo)數(shù)衛(wèi)的統(tǒng)計矩和概率分布一起由等價線性體系的隨機(jī)反應(yīng)分析 確定。這樣，滯變體系的運(yùn)動方程由兩組微分方程描述，其一是含滯變位移的 運(yùn)動微分方程，其二是確定滯變位移的非線性微分方程或相應(yīng)的等價線性化方 程。 2 3 2 光滑型滯變恢復(fù)力模型的等價線性化f 3 4 】 7 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 光滑型滯變恢復(fù)力亦可以表示為 g i x ，z j = 蝴+ ( 1 一口坶z 式中z 是滯變位移，對于不同情況可以用不同的非線性微分方程或微分方程組 描述。光滑型滯變恢復(fù)力的等價線性化主要是滯變位移微分方程或微分方程組 的等價線性化。 這種模型的滯變位移z 的微分方程為 2 = 丘宕- p l x l l z l ”1 z 一荔i z l ” ( 2 - 5 ) 將滯變位移z 視為體系的基本狀態(tài)變量，即視為已知的隨機(jī)狀態(tài)反應(yīng)，則式 ( 2 - 5 ) 的等價線性方程可以表示為 z = c x + c z z 式中等價線性系數(shù)按下式求得： c 一( 黔c z 一占( 器 h 是式( 2 - 5 ) 右端的具體函數(shù)。將( 2 - 5 ) 式代入上式，得 c 。：e b 一s g n ( x l z l ”1 z y i z l ”】 c ：一s p l s l l z l - + o y x t z l “z j ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 假定巖和z 的均值是零，將膏和z 的聯(lián)合正態(tài)概率密度代入上式求期望，得 式中 。t = a 一膨1 一歸2 ，c z = 一膨，一歸4 ( 2 - 9 ) 丑。= i 仃；t - ”+ 7 - 2 、) ；也，一l ：) 恥譬r ( 嘗7 戶 萬 、 ( 2 一l o ) ( 2 一) 恥華斜f 2 篳慨仉喝) 協(xié) 島= 印鵬去r ( 期2 ； 其中i ( ) 是g a m m a 函數(shù) ( 2 13 ) 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 特別地，當(dāng)n = 1 時 ，r s i n ”州妒， ，礦r s i n ”徊p 辱 曠“一層鋤川步： c ：= 一擺+ 矽婦h 2 4 等效線性化的實(shí)質(zhì)與不足 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 鑒于滯變體系隨機(jī)反應(yīng)精確分析的困難，目前大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的滯變隨機(jī)反 應(yīng)分析不得不采用隨機(jī)等效線性化的這種近似方法。這種方法的實(shí)質(zhì)是在任一 時刻r ，都計算一個等價線性剮度和阻尼，然后按線性隨機(jī)振動的分析方法計算 隨機(jī)反應(yīng)的統(tǒng)計矩。+ 隨機(jī)等價線性化方法通常有誤差，有時甚至是較大的誤差，這是它的不足 之一。其次，由于在任一時刻都是用等價線性體系替代滯交體系來確定反應(yīng)的 統(tǒng)計矩，未能反映滯變恢復(fù)力過程的一些本質(zhì)，例如非線性振動的跳躍、分叉 等現(xiàn)象。但是對于大部分工程分析而言，這種現(xiàn)象很少發(fā)生，也較少關(guān)注。 盡管等效線性化方法是一種誤差難以準(zhǔn)確估計的近似方法，但是，由于精 確分析方法的困難，這種近似方法仍然被廣泛認(rèn)為是工程結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)反應(yīng) 分析的最具實(shí)用價值的方法。 ) ) 4 5 b 二 ( ( 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 3 虛擬激勵法 3 1 引言 近幾十年來，隨機(jī)振動作為一f 新興技術(shù)學(xué)科獲得了廣泛重視與巨大發(fā)展， 其基本框架已經(jīng)建立，尤其是線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動理論已很成熟。但是，已經(jīng) 建立的理論成果卻在許多工程領(lǐng)域中并未獲得充分應(yīng)用。究其原因，現(xiàn)有方法 的計算復(fù)雜性是造成這一現(xiàn)象的一道瓶頸。即使對于較簡單的結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)響 應(yīng)分析，其計算工作量也令人難以接受。這種情況不但已經(jīng)成為應(yīng)用的嚴(yán)重障 礙，而且對于工程應(yīng)用中很重要的非平穩(wěn)激振、多點(diǎn)異相位激振等理論發(fā)展也 造成了障礙，迫切需要尋求解決的方法。 3 2 虛擬激勵法 虛擬激勵法【6 7 】是林家浩教授近年提出來的一套商效結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)計算方 法，該方法的主要思想是將平穩(wěn)隨機(jī)振動的計算轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)簡諧響應(yīng)計算，將 非平穩(wěn)隨機(jī)振動的計算轉(zhuǎn)化為普通逐步積分計算，從而實(shí)現(xiàn)了用最基本的結(jié)構(gòu) 動力學(xué)方法來處理一般的線性平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析問題，特別是在計算 很多自由度結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動力晌應(yīng)時，該方法具有簡單、高效和精確等突出優(yōu)點(diǎn)， 有著廣泛的工程應(yīng)用前景。 3 2 1 結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的計算 結(jié)構(gòu)受平穩(wěn)隨機(jī)激勵的響應(yīng)分析是線性隨機(jī)振動理論中業(yè)也相當(dāng)成熟的內(nèi) 容，尤其是其功率譜方法，即由給定的激勵功率譜求解各種響應(yīng)的功率譜，該 方法有下列各表達(dá)式表達(dá)： b 】= 阻】k 刪7 矗，1 = 舊 。矗。1 p ?！苛? 嘲7 ( 3 1 ) 陋】為頻率響應(yīng)矩陣，上標(biāo)+ 代表求復(fù)共軛。這些公式形式非常簡單，獲得 了廣泛應(yīng)用，是隨機(jī)振動理論的核心成果。但當(dāng)結(jié)構(gòu)的自由度很高，特別是受 到多點(diǎn)隨機(jī)激勵時，計算量巨大，難于為一般工程分析所接受；并且在非比例 阻尼情況下，難于實(shí)現(xiàn)參振振型間的解藕，又使一大類工程問題難以獲得妥善 處理。而虛擬激勵算法則為工程界提供了使用這些成果的高效手段。 0 奎鍪笙塑曼塑j ! 垡絲墮墊墊苧墮查坌塹 ( a ) s 。 f b ) x = 8 ( c ) x = 4 s 。e ( d ) x = s 。e s 。= 蚓2 s 。 v = h e 。“ y = s 厄= h e 。“ h = 0 s 。h l e y 2 = s i x t h 2 口“ 圖3 1虛擬激勵法的基本原理 f i g3 1p r i n c i p l eo fp s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d 3 2 2 單點(diǎn)激勵或單源多點(diǎn)同相位激勵 虛擬激勵法的基本原理可用單點(diǎn)激勵問題予以闡述，如圖3 1 。若一個平穩(wěn) 隨機(jī)激勵作用于一個線性系統(tǒng)，其功率譜密度為氣) ，則任意胞應(yīng)量也為平 穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度為 s ，( c o ) = 俐叉( 珊) ( 3 - 2 ) 如圖3 - 1 ( a ) 所示。這里，日為頻率響應(yīng)函數(shù)，即當(dāng)線性系統(tǒng)作用簡諧激勵e ”。 時，相應(yīng)的響應(yīng)為h - e ”，如圖3 - l ( b ) 所示。顯然，當(dāng)線性系統(tǒng)作用簡諧激 勵s 。洄) e ”時，相應(yīng)的響應(yīng)為s 。 ) e ”，如圖3 - 1 ( c ) 所示。因此，有 y y = | 刊2 = r i l l2 s 。( ) = ( 國) x y = 琢麗e - 瓦麗脅= s 。( c o ) h = s 。( ) y 工= s 4 - 瓦( c o ) n e “蕊= h + s 。( ) = & ( 口) 如果在上述線性系統(tǒng)考慮兩個響應(yīng)量y ，y ：，如圖3 - 1 ( d ) 所示，則有 ( 3 3 ) y y 椎2 y 麟= 瓣置h 研；s 乏囂象s 高 。， 。= s n ( ) 日：e 叫州s 矗( ) 圩i e =露( ) h l = 。( ) i 7 若線性時不變系統(tǒng)受單源多點(diǎn)同相位平穩(wěn)隨機(jī)激勵，則可將外激勵代之以 虛擬激勵仁( r ) = k 柝兩e ，其中 ) 為激勵的自譜密度，疊 為幅值向量； 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 并設(shè)斟與為由該虛擬激勵激發(fā)的兩種穩(wěn)態(tài)簡諧響應(yīng)，則下列譜密度矩陣公 式成立 墨，( d ) 】= w ”1 b ，( 國) 】= y 扛 7 ( 3 5 ) b ，( 國) 】= 扛) 涉y 若將激勵看作一類特殊的響應(yīng)，則式( 3 - 5 ) 便具有式( 3 - 1 ) 的功能。 3 2 3 單源多點(diǎn)異相位激勵 大跨度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析應(yīng)該考慮行波效應(yīng)，反應(yīng)譜方法和時程積分方 法都很難解決這個問題，即使能夠計算，計算量也是非常巨大。而應(yīng)用隨機(jī)振 動理論處理這種問題是比較方便的，利用虛擬激勵方法可以用很小的計算量得 到理論上的精確解。 假設(shè)系統(tǒng)受單源多點(diǎn)異相位平穩(wěn)隨機(jī)激勵為 b q o = 爭 ( 3 - 6 ) 各輸入量具有相同的函數(shù)形式，但存在不同的時間滯后。其中，口，( ，= l ，2 ，”) 是實(shí)數(shù)；t j u = 1 ，2 ，以) 為滯后時間量這種多相位隨機(jī)激勵問題可看作廣義單 激勵問題。設(shè)，( ) 的譜密度為小i 兩，則可構(gòu)造虛擬激勵” ( 廠( r ) ) _ a l e ，。 a 2 p 叫“ 口。一。 ( 國) p ” ( 3 - 7 ) 這時只要求出該確定性激勵作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)t y 、 z ) 等，就仍可按式 ( 3 - 5 ) 計算有關(guān)的功率譜密度矩陣。如將激勵廠( f ) ) 看作一類特殊的響應(yīng)z ， 則式( 3 5 ) 便具有了式( 3 - 1 ) 的功能。 3 2 4 一般多點(diǎn)任意相干激勵 對于多點(diǎn)任意相干平穩(wěn)隨機(jī)激勵問題，也可方便地用虛擬激勵法處理。因 、-_l_lii，-l_ft_-_j ) ) ) k 一 一 一 o o ：p ， ， q 吒 查型笙塑墨堡! ! 些壁墮墨! 墮嬰壁坌塹 激勵功率譜矩陣總是厄密特矩陣，故必可分解為【2 o 】 虬( ) - 主 妒州妒j ( 3 8 ) 其中，a ，與如，) 為b ) l 的第，階非零特征值與相應(yīng)規(guī)一化特征向量。，為激 勵功率譜矩陣陋f 伽) 的秩。于是可構(gòu)造r 個獨(dú)立的虛擬簡諧激勵 沙( f ) ) ，= 石h 抄，= l 川2 一， ( 3 - 9 ) 由擴(kuò)( f ) ，可求出任意的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)量) ，、口 ，等，則任意的響應(yīng)功率譜矩陣為0 b ，( ) ：窆 y j t l k ( m ) 】= 窆 j t i 陋，( ) 】_ 妻 y ； j - l ( 3 1 0 ) 此時，相當(dāng)于有r 個筒詣干擾力。如果r = 1 ，式( 3 1 0 ) 就退化為式( 3 - 5 ) 即化為廣義單激勵問題。 3 2 5 結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng) 非平穩(wěn)隨機(jī)過程有各種數(shù)學(xué)描述，目前在工程中最為廣泛應(yīng)用的是均勻調(diào) 制演變隨機(jī)過程 f ( t ) = g ( t ) x ( t ) ( 3 1 1 ) 其中，g ( f ) 是調(diào)制函數(shù)：x ( f ) 為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自譜密度) 給定。 線性時不變系統(tǒng)承受如式( 3 1 1 ) 的非平穩(wěn)激勵時，用虛擬激勵法求解的 基本原理可在單點(diǎn)激勵的情況下予以說明，由激勵( 3 - 1 1 ) 通過一個初始靜止 的線性時不變系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)y ( f ) ，可由杜哈曼積分表示為 y ( t ) = 【h ( t r ) f ( r ) d r ( 3 - 1 2 ) 這里廳( ，) 為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。y ( t ) 的自相關(guān)函數(shù)為 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 r w ( ，f 2 ) = e y ( t f ) y ( t 2 ) 】 = 目i i f 2 a ( r 一_ ) ( f ：一r ：) 廠( f l v ( r ：) 奶d f ：】 ：r f ：h ( t t - r t ) h ( 2 - - f 2 ) e l g ( r 。) ：( f 。) g ( r ：) x ( r ：) 】d ，。d f ：3 - 1 3 = r r 雄 因z ( ，) 是平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以 _ ) 矗( f 2 一r 2 ) g ( 1 ) g ( r 2 ) r “( f l ，z - - 2 ) d r l d r 2 r 。( r 1 5 t 2 ) = r 。( f ) = e s 。( 咖如 ( 3 1 4 ) 這里f = f ：一f 1 ，并已應(yīng)用了維納一辛欣關(guān)系。將式( 3 - 1 4 ) 代入式( 3 - 13 ) ，得 r 。( l ，f ：) = e ，( c o ，f j ) i ( c o ，屯) s 。( c o ) d c o ( 3 一t 5 ) 其中 i ( c o ，f ) = f ( f f ) g ( r ) e 7 d f ( 3 1 6 ) 在式( 3 - 1 5 ) 中令t 1 = f 2 = t ，即得_ y ( f ) 的方差 盯勛= r 。( f ，) = e ( c o ，t ) l ( c o ，t ) s = ( c o ) r i c o ( 3 1 7 ) 式( 3 - 1 7 ) 的被積函數(shù)正是響應(yīng)y ( f ) 的時變功率譜密度 ( ，f ) - ，+ ( c o ，0 i ( o ) ，r ) ( )( 3 - 18 ) 由式( 3 - 1 6 ) 可知，i ( c o ，f ) 是由激勵g ( t ) e 產(chǎn)生的響應(yīng)( 設(shè)響應(yīng)量的初始位移、 初始速度皆為零) 。若構(gòu)造虛擬激勵 巾) = 扣瓦滋( ，) 8 ”( 3 - 1 9 ) 則由該激勵產(chǎn)生的響應(yīng)為 y ( ，f ) = i 兩，( 珊，r )( 3 - 2 0 ) 顯然 y y = l + ( 印，f ) ，( ，f ) 5 0 ( 國) = s 一( ，f ) ( 3 - 2 1 ) 即 ( 腳，) = y y = l y l 2 ( 3 - 2 2 ) 1 4 大型結(jié)構(gòu)局部非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析 由此可見，非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的時變功率譜密度s 。 ，r ) 的計算可由確定性的 動力分析完成旺”。若用逐步積分法求出系統(tǒng)的任意瞬態(tài)響應(yīng) y 洄，r ) ) 、扛 ，f ) 等，則相應(yīng)的功率譜矩陣為【2 9 ，”1 k 泅，) j - y ( 腳，) ，f ，) ) t s ，( ，) j = y ( 。，r ) r z ( ，f ) r ( 3 - 2 3 ) 峪，( c o ，f ) j = z ( 國，f ) ) y ( 甜，) i 比較式( 3 - 5 ) 和式( 3 - 2 3 ) 可以看到這里的非平穩(wěn)虛擬激勵法是前面平穩(wěn)情況 的推廣。當(dāng)激勵是平穩(wěn)時，只需要求運(yùn)動方程的穩(wěn)態(tài)解：而對于非平穩(wěn)激勵， 則需要求運(yùn)動方程的瞬態(tài)解。 當(dāng)系統(tǒng)受菲平穩(wěn)單源多點(diǎn)異相位隨機(jī)激勵時，系統(tǒng)所受的外激勵可表示為 杪( r ) = g ( t 一 ) x 9 一f 。) g ( t t 2 ) x o 一，2 ) g ( t 一，。) z ( ，- t 。) 這是一廣義單激勵問題，可構(gòu)造虛擬激勵膽 廠( ，) = g ( t 一) e g ( t r 2 ) 8 g