摘要 本文主要研究密群和正則密群的性質(zhì)，結(jié)構(gòu)和正則密群上的同余全文 共分五章 第一章給出完全正則半群的一些基本概念和性質(zhì)，同時(shí)固定本文經(jīng)常使 用的符號(hào) 第二章展開關(guān)于密群，正則密群和正規(guī)密群等的討論包括利用g r e e n 關(guān)系和其它等價(jià)關(guān)系對(duì)密群進(jìn)行刻畫；用左( 右) 平移及同態(tài)對(duì)( 正則，正規(guī)) 密群進(jìn)行刻畫；從簇的角度刻畫密群；利用偏序關(guān)系對(duì)密群進(jìn)行等價(jià)刻畫 最后我們介紹局部左正則純正密群簇所滿足的等式 在比較充分地討論密群之后，第三章利用左右正則帶和族群及群之間 的同態(tài)構(gòu)造正則密群 第四章給出密群的構(gòu)造定理首先和用帶和一族群及群之間的同態(tài)構(gòu)造 了密群，然后刻畫密群之間的同態(tài) 第五章首先給出了正則密群的同余的結(jié)構(gòu)利用半格和完全單半群上的 同余及完全單半群的同態(tài)刻畫了正則密群的同余然后刻蕊正則密群上的最 小純正同余 關(guān)鍵詞：密群；正則密群；同態(tài)；同余；簇 m r ( 2 0 0 0 ) 分類號(hào)：2 0 m 1 0 中圖分類號(hào)：0 1 5 2 7 a b s t r a c t t h i sp h dd i s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s w es t u d yp r o p e r t i e s a n dc o n s t r u c t i o n so f ( r e g u l a r ) c r y p t o g r o u p sa n dc o n g r u e n c e so nr e g u l a rc r y t c o g r o u p s s o m ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sf o rc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa r e p r o p o s e di nc h a p t e r1 a n dt h e n ，w ef i xs o m en o t a t i o n w h i c hi su s e dl a t e r t h ea i mo fc h a p t e r2i st oc h a r a c t e rc r y p t o g r o u p sa n dr e g u l a r ( n o r m a l ) e r y p t o g r o u p su s i n gg r e e n r e l a t i o n sa n do t h e re q u i v a l e n tr d a t i o n s ，l e f t ( r i g h t ) t r a n s l a t i o na n dh o m o m o r p h i s m s ls o m ep a r t i a lr e l a t i o n sa n dv a r i e t y f i n a l l y , a ni d e n t i t yf o rl o c a l l yl e f tr e g u l a ro r t h o c r y p t o g r o u p 8i si n t r o d u c e d a f t e ri n v e s t i g a t i n gp r o p e r t i e so fc r y p t o g r o u p sa n dr e g u l a rc r y p t o g r o u p s ， i n c h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c tr e g u l a rc r y p t o g r o u p sb yl e f t a n dr i g h tr e g u l a r b a n d s ，af a m i l yo fg r o u p sa n dh o m o m o r p h i s m s c h a p t e r 4i sd e v o t e dt oc o n s t r u c tc r y p t o g r o u p s u s i n gb a n d sa n d af a i n - i l yo fg r o u p sa n dh o m o m o r p h i s mb e t w e e ng r o u p s ，w ec h a r a c t e r e de o n s t r u c t i o n so fe r y p t o g r o u p s a sa na p p l i c a t i o n ，h o m o m o r p h i s m sb e t w e e nc r y p - t o g r o u p sa r es t u d i e d w e i n v e s t i g a t e dc o n g r u e n c e so nr e g u l a rc r y p t o g r o u p si nt h e f i n a lc h a p - t e r b yc o n g r u e n c e so ns e m f l a t t i c e sa n dc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p sa n d h o m o m o r p h i s m 目n 口o fc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s ，c o n g r u e n c e so nr e g - u l a rc r y p t o g r o u p sa r ec h a r a c t e r e d a n dt h e n ，w eg i v et h el e a s to r t h o d o x c o n g r u e n c eo nr e g u l a rc r y p t o g r o u p s k e y w o r d s ：c r y p t o g r o u p ；r e g u l a rc r y p t o g r o u p ；h o m o m o r p h i s m ； c o n g r u e n c e ；v a r i e t y m r ( 2 0 0 0 ) m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：2 0 m 1 0 致謝 本文是作者在導(dǎo)師宋光天教授的精心指導(dǎo)下完成的在此，我對(duì)宋老師 表示誠摯的謝意正當(dāng)我為學(xué)習(xí)和工作感到迷茫的時(shí)候，有幸成為宋老師的 學(xué)生并零蒙他三年的指導(dǎo)，鼓勵(lì)和愛護(hù)。宋老師澍博的學(xué)識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕田L(fēng)和 求真務(wù)實(shí)的科研精神深深地影響著我科大三年的學(xué)習(xí)和生活并將永遠(yuǎn)成為 我人生的榜樣宋老師和葉林秀老師對(duì)作者的生活給予了無微不至的關(guān)懷， 作者對(duì)此表示最衷心的感謝 感謝科大數(shù)學(xué)系的全體老師正是他們提供了良好的學(xué)習(xí)和科研條件， 作者才得以順利完成學(xué)業(yè) 感謝郭聿琦教授，kps l m m 教授和p a s t i j n 教授在本論文完成過程 中，他們給過作者很多有益的建議 感謝我的同學(xué)朱鳳林，張建剛，孟祥芹，范自強(qiáng)，張慶海，儲(chǔ)誠浩，李 忠華，彭喻振在討論班上他們給過我很多有益的啟示 最后感謝我的家人本文凝聚著他們的奉獻(xiàn)，理解，鼓勵(lì)和期待我用 本文紀(jì)念我的父親。 第0 章引言 1 9 4 1 年， c l i f f o r da _ h 在文 2 】中提出了完全正則半群的概念稱半 群s 是一個(gè)完全正則半群( c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p ) ，如果它的每個(gè) 元素都屬于s 的某個(gè)極大子群所以完全正則半群有時(shí)也被稱作群并這 是一類重要的正則半群在 2 】中，c l i f f o r d 證明了半群s 是一個(gè)完全正則 半群當(dāng)且僅當(dāng)s 是完全單半群的半格這給出了完全正則半群s 的整體結(jié) 構(gòu)s = u 。e y 品，也就是通常所說的半格結(jié)構(gòu)所以完全正則半群s 通常被 表示成s = ( s o ) ，其中y 是半格，是完全單半群，o y1 9 4 0 年， r e e s 在 2 3 中給出了完全單半群的一個(gè)優(yōu)美的r e e s 矩陣表示這樣，完全 正則半群的局部結(jié)構(gòu)也被很好地解決接下來的問題是進(jìn)一步確定乳和 之間的交互作用，這是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題 l a l l e m e n t 于1 9 6 7 年在 1 1 中給出了完全正則半群的一個(gè)置換表示 設(shè)s = ( y ；r ) 是一個(gè)完全正則半群，a s a 。 p t 7 ( s ) ，阢p 丁( s ) 則) ( ：a 一( k ，p 。) 是s 到p 丁7 ( s ) p 丁( s ) 的單同態(tài)，這里p t ( s ) 和 p 丁( s ) 是s 上的左平移和右平移( 分別作用在左邊和右f a ) 這樣，確定完 全正則半群s 的結(jié)構(gòu)，就歸結(jié)于確定p 丁( s ) p t ( s ) 的完全正則子半群 的結(jié)構(gòu)在同一篇文章中，l a l l e m e n t 還用完全單半群的平移包給出了完全 正則半群的一個(gè)結(jié)構(gòu)定理 w a r n e 于1 9 7 3 年在文2 6 中用群和右零半群的半格及左零半群的半格 的一般化的s c h r e i e r 積刻畫了完全正則半群 1 9 7 4 年，p e t r i c h 在17 1 中用完全單半群的平移包的w r e a t h 積表示更 細(xì)致地刻畫了完全正則半群的結(jié)構(gòu) 前述幾個(gè)結(jié)構(gòu)定理給出了s 的完全單半群間的交互作用的刻畫然 而，尋找上述結(jié)構(gòu)定理中的結(jié)構(gòu)參數(shù)不是一件容易的事情對(duì)于一些具有某 種性質(zhì)而地位又比較重要的完全正則半群，我們期望給出它們的代數(shù)意義比 較明確的構(gòu)造定理 在完全正則半群中，最重要的兩類是密群和純正群( 參看 3 1 ， 1 5 ， 1 7 ) 稱一個(gè)完全正則半群s 為密群( c r y p t o g r o u p ) ，如果s 上的g r e e n 關(guān)系爿 2 0 0 4 年i 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第2 頁 第o j r 引言 是一個(gè)同余密群s 被稱為正則密群( r e g u l a rc r y p t o g r o u p ) ，如果s m 是 一個(gè)正則帶而一個(gè)密群s 被稱為正規(guī)密群( n o r m a lc r y p t o g r o u p ) ，如果 s “是一個(gè)正規(guī)帶在專著 1 5 中，p e t r i c h 證明了一個(gè)完全正則半群s 是 正規(guī)密群當(dāng)且僅當(dāng)s 是完全單半群的強(qiáng)半格 一個(gè)完全正則半群s 是純正群( o r t h o g r o u p ) ，如果它的冪等元集合構(gòu) 成帶在文 17 】中，p e t r i c h 用完全正則半群結(jié)構(gòu)定理中的參數(shù)壚：加u 。，p 和妒即對(duì)完全正則半群進(jìn)行了分類在純正群中，正規(guī)純正群( 正規(guī)純正密 群) 的結(jié)構(gòu)相對(duì)簡單，它可以被表述為左正規(guī)帶，c l i f f o r d 半群和右正規(guī)帶 的織積( s p i n e dp r o d u c t ) 而正則純正密群是左正則帶，c l i f f o r d 半群和右 正則帶的織積一般地，純正密群是一個(gè)帶和一個(gè)c l i f f o r d 半群的織積f 1 5 1 但是，即使是正規(guī)密群( 完全單半群的強(qiáng)半格) 和正則純正群，也沒有相應(yīng) 的織積結(jié)構(gòu) 1 9 7 3 年，y a m a d a 在文f 2 剮對(duì)正則純正群的結(jié)構(gòu)做了精彩的刻畫，我 們認(rèn)為有必要在這里復(fù)述y a m a d a 定理( 參看f 2 7 1 ， 1 5 1 ) 設(shè)l 一( ，；l 。) 是左正則帶，g = ( y ；g 。) 是c l i f f o r d 半群，r = ( y ；風(fēng)) 右正則帶如果 7 ( l ) + ! g 二( r ) ， 其中o - ：9 一，r ：9 一是滿足下列條件的映射： ( 1 ) a a l z l ?？?，r 口勺r ?？?，其中9 g 。 ( 2 ) 口1 。= a ，n 。= m ，其中i l 。，p r 。 ( 3 ) t 。o 盯h = a t 。0 h ，v g t h p p = t g h p p ，其中g(shù) g n ，h g , s ，i l a 盧，肛 只日 在s = u 。；y ( k g 。r o , ) 定義乘法 ： ( i ，g ，a ) ( j ，h ，p ) = ( i ( a g j ) ，g h ，( a n ) 弘) 則s 是一個(gè)正則純正群反之，每一個(gè)正則純正群都能如此構(gòu)造 在上述定理中，我們看到，正則純正群s 已經(jīng)沒有織積結(jié)構(gòu)，而c l i f f o r d 半群g = ( y ；g 。) 通過誘導(dǎo)同態(tài)和n 分別影響左正則帶l = ( y ；l 。) 和右正則帶r = ( y ；兄) 的乘法上述結(jié)構(gòu)通常被稱做半織積結(jié)構(gòu)而關(guān)于 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第3 頁 第0 章引言 一般純正群，s o n g ，z h a n g 和l i u 于2 0 0 4 年在 2 5 】中給出了它們的一種構(gòu) 造 綜上所述，作為完全正則半群的兩個(gè)重要子類，密群和純正群，它們的 公共子類，純正密群是一個(gè)帶和一個(gè)c s f f o r d 半群的織積，純正群的構(gòu)造已 被研究，而正規(guī)密群是完全單半群的強(qiáng)半格但是，即使是正則密群的結(jié)構(gòu)， 人們?nèi)匀恢啦欢?x zk o n g 和k p s h u m 于2 0 0 1 年在f 9 1 中用了+ 單半群間的一族滿足 一定條件的同態(tài)刻畫了正則密半群的結(jié)構(gòu) 本文主要討論密群和正則密群，偶有涉及正規(guī)密群 首先，在第二章我們推導(dǎo)了密群和正則密群的一些新性質(zhì)，包括利用 g r e e n 關(guān)系，偏序關(guān)系，其他等價(jià)關(guān)系和同態(tài)對(duì)它們做等價(jià)刻畫我們還建 立了局部左正則密群簇所滿足的等式( 定理2 37 ) ： ( a z y ) o = ( a o x o y o 凸0 y o ) o ，a ，口，y s 在上述準(zhǔn)備工作完成之后，我們給出正則密群的結(jié)構(gòu)前面提到，完全 正則半群是完全單半群的半格，而正規(guī)密群是完全單半群的強(qiáng)半格我們 有理由推測，正則密群的結(jié)構(gòu)應(yīng)該介于完全單半群的半格和強(qiáng)半格之間設(shè) s = ) 是正則密群，這里y 是半格而& = m ( l ，g 。，a 。；兄) 是完全 單半群，y 如果a ，y 滿足o 盧，則 臼。，盧：& 呻昂，z hz 如，盧= z ( z e 盧z ) o 是一個(gè)r 到島的同態(tài)這個(gè)同態(tài)誘導(dǎo)出一個(gè)群同態(tài) 乩，口：g 。_ g z ，9 “g 艮，口 且可用以口刻畫正則密群s 的運(yùn)算： z y = ( x y e ?？? o z 以。口知，。e ( e 。z z y ) o ，z 咒，ye5 0 而我們知道，如果s 是正規(guī)半群，則x y = 艮，?？趏 z ，叩，這里如口剛好是s 的強(qiáng)畢格結(jié)構(gòu)同態(tài) 利用群同態(tài)以口：g 。一g 口，我們給出正則密群的結(jié)構(gòu)( 定理3 1 1 ) 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第4 頁 第0 章引言 設(shè)y 是半格，= ( y ：厶) 是左正則帶，a = ( y ；a 。) 是右正則帶對(duì) 每個(gè)a ，設(shè)咒= 朋( l ，g 。，a 。；只) 是群島上的r e e s 矩陣半群，其 中s a n d w i c h 矩陣r 在( i 。，1 ：) 厶xa 。處正規(guī)化對(duì)于任意o x ，盧，7 y ： 口2 盧7 ，記u 即( ) = p 1 - 弘1 。l 目p 1 抽u 目，訓(xùn)a ，蘆( a ) = p 劣1 幽- 其中 i l ，a a 。設(shè)日郵是g 。到g 口的同態(tài)，且滿足下列條件： ( i ) 氏，。= 1 g 。 ( 訌) 毋。辟口妒、1 = 口。，7 e 。8 。，( 1 。1 口) ( i i i ) p j , i o 。，口= v e t , 口( a ) p l 軌。1 口u 。，口( z ) ，對(duì)任意i 厶和 a 。 ( 1 v ) p - 1 目z ，t 1 口z 盯，蘆= z ，蘆p l j ，q p i 口，其中q 如，即a b ，z = ( i ，g ，a ) e 咒，記 z ，口= 。，口( i ) 9 瓦。p u 。，口( a ) 若z = ( i ，g ，a ) & ，y = ( j ，h ，“) e 品，在s = u 。y & 上定義乘法+ 則s 是一個(gè)正則密群反之，每一個(gè)正則密群都能如此構(gòu)造 從上述定理能夠看到，正則密群有一種半織積結(jié)構(gòu)需要指出的是， u 。；，g 。一般不能通過群同態(tài)阢，口構(gòu)成c l i f f o r d 半群但上述結(jié)構(gòu)定理刻 畫了左右正則帶對(duì)正則密群第二個(gè)坐標(biāo)的乘法的影響作為應(yīng)用，我們考察 了正規(guī)密群和左擬正規(guī)密群 在本文的第四章，我們構(gòu)造密群當(dāng)密群s 不具有正則性時(shí)，以口已 經(jīng)不是& 到島的同態(tài)但它限制到& 的每一個(gè)氕一類上仍然是一個(gè)同 態(tài)，從而誘導(dǎo)一個(gè)群同態(tài)，仍用艮口表示： 目。口：g 。- + g 口，g g 如p 在處理密群時(shí)，我們整體刻畫帶對(duì)s 的第二個(gè)坐標(biāo)的乘法的影響( 定理4 1 1 ) 設(shè)y 是半格，b = ( y ；既) 是一個(gè)帶對(duì)任意0 ：y ，令= j t 4 ( b 。，g 。；只) 是群g 。上的r e e s 矩陣半群，如是g 。的單位元s a n d w i c h 矩陣圪在在b a 處被正規(guī)化記“。，口( 。) = p 。- i 。i p a 。陸，口( o ) = p i - 。1 i i 。， 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第5 頁 第0 章引言 其中，夕y 滿足a p ，口既對(duì)任意a ，y ，其中a 三盧，令瓦，口 是甌到的同態(tài)，且滿足條件：如果口，盧7 y ，口2 之1 ， ( i ) 日= l c 。 ( i i ) 目a ，口知，1 = e 。m ( a 衙 ( i i i ) 目。，口= 口a 口( n ) p 。蔬“。，p ( n ) ，對(duì)任意。b 。 f i v ) 硪p 。函z 口a ，口= z ，口攻j 護(hù)。- k 1 ，對(duì)任意b ，c 昂和z = ( 。，g ) ， 其中 z ，聲= 程。，口( 8 ) g 艮，f ，口( 8 ) 。 對(duì)任意z = ( o g ) ，y = ( b ，h ) 函，在s = u 。y 定義乘法* ： x + y = ( a b ，2 c 0 - a 口p p 硒。o 口，a p ) 則s 是一個(gè)密群反之每一個(gè)密群都能如此構(gòu)造 從上述定理能夠看到，密群也有一種半織積結(jié)構(gòu)，而u 。yg 。一般不 能通過以口構(gòu)成c l i f f o r d 半群上述結(jié)構(gòu)定理刻畫了帶對(duì)密群第二個(gè)坐標(biāo)的 乘法的影響證明密群的結(jié)構(gòu)定理要比證明正則密群的結(jié)構(gòu)定理困難許多， 作為上述定理的應(yīng)用，我們研究了密群之間的同態(tài)( 定理4 4 1 ) 設(shè)s = ( 1 ，；& ) ，t = ( z ；死) 是兩個(gè)密群，且設(shè)：y z 是兩個(gè)半格 之間的同態(tài)對(duì)每個(gè)d y ，令：晶一死是一個(gè)同態(tài)，且滿足條件： ( 1 ) 對(duì)任意a ，盧a 乳，b 勘，n 丸( 0 6 ) 口 ( 2 ) 對(duì)任意o ，盧。2 盧，饑f ，艇= ，p 陽其中，札 ，雕是咒到 ? + 碡的映射：囂妒。f 盧= 茁( 。e 口 z ) o 則”= u 。y 是s 到t 的一個(gè)同態(tài)反之，對(duì)每個(gè)s 到t 的同態(tài)q ，都存 在唯一的f 和，使得目能夠如此構(gòu)造 在本文的最后一章，我們利用上述同態(tài)如、口和完全單半群上的同余刻 畫了正則密群的同余我們證明了下面的結(jié)果( 定理5 2 1 0 ) 如果( ，叩q ) 是s 的同余成分( c o n g r u e n c ea g g r e g a t e ) ，則p = p ( f m ) 是 s 上的使得r e p = ，p l s 。= 的唯一同余，其中口y 反之，如果p 是s 上的同余，則( r e p ，pf 品) 是s 的同余成分且p = p ( r e p , p 。) 2 0 0 4 年i 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第6 頁 第0 章引言 最后我們利用第3 章和第4 章的結(jié)構(gòu)定理刻畫正則密群和密群上的最 小純正同余( 定理5 ，3 ，2 ) 設(shè)s = ( y ；咒) 是正則密群在s 上定義二元關(guān)系o ：設(shè)= ( i ，9 ， ) ，b = ( j ，h ，肛) ， 0 = ( ( 。，b ) l a t - l b ，g h 一1 或 則0 是s 上的最小純正同余 類似地，我們得到了密群上的最小純正同余( 定理53 3 ) 第1 章基本概念和性質(zhì) 本文所討論的半群，如果沒有特別指出，都是完全正則半群我們把 一個(gè)完壘正則半群s 表示成s = ( 二r ) ，其中 ，是一個(gè)半格，咒= ( l ，g 。，a 。；r ) 是群g 。上的r e e s 矩陣半群，y 本文所用符號(hào)， 如果沒有指出，都是 1 5 中的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)本章首先給出完全正則半群的一 些基本性質(zhì)然后介紹完全單半群，包括它的基奉性質(zhì)，等價(jià)刻碴和同態(tài) 我們今后將反復(fù)利用這些結(jié)果 1 1 基本概念和符號(hào) 眾所周知，g r e e n 關(guān)系是研究半群的重要工具它們包括，佗，“，d ， 五種等價(jià)關(guān)系設(shè)s 是一個(gè)半群，a ，b sa c b 營s 1 0 = s 1 b ，而a m 備 a s l = b s l 它們是最基本的兩種g r e e l 3 關(guān)系另外，托= a 寵，口= v 寵， o 了6 營s 1 a s l = s 1 b s l 對(duì)于完全正則半群，容易證明，口= 了 半群s 的一個(gè)元素a 是完全正則的，如果存在o s 使得。= a x a ，a x = x a 稱半群s 是一個(gè)完全正則半群，如果它的每個(gè)元素是完 全正則的通過完全正則半群的這個(gè)元素定義，我們得到下列等價(jià)命題 定理1 1 1 1 5 】t h e o r e mi i 1 ，4 設(shè)s 是一個(gè)半群則下列命題等價(jià) ( 1 ) s 是完全正則的； ( 2 ) s 的每個(gè)h 一類是一個(gè)子群； ( 3 ) s 是群并i ( 4 ) 對(duì)任意a s ，o a s a 2 i ( 5 ) s 是完全單半群的豐格 口 c l i f f o r df 2 發(fā)現(xiàn)一個(gè)半群s 是完全正則的當(dāng)且僅當(dāng)s 是完全單半群的 半格這對(duì)于完全正則半群的結(jié)構(gòu)刻畫是重要的 由定理1l l ，可用。_ 1 表示s 的元素a 在正k 中的逆元，d o 表示仇 的單位元且記 e ( s ) = ( e s ie 2 = e 下列引理的證明是容易的 7 2 0 0 4 年l o 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第8 頁 量! 蘭叁查堡篁皇蘭墮 ! ! ：! 苧查堡壘童塹蘭 引理1 _ 1 2 設(shè)s 完全正則半群，a ，b s 則a - i b 甘a 0 = b o 口 引理1 1 3 1 5 】l e m m ai i2 1 】設(shè)s 是完全正則半群，a s 則n 一1 是唯 一和n 可交換的a 的逆元 口 完全正則半群是一類同型代數(shù)類它關(guān)于同態(tài)象，子代數(shù)和直積封閉， 也可以用恒等式表示，因此構(gòu)成代數(shù)簇用c 冗表示完全正則半群簇即 c 冗= a = a a _ 1 0 ，o = ( a - 1 ) ，a a = a - 1 。 我們以后會(huì)碰到很多完全正則半群簇的子簇這里沿用文獻(xiàn)f l 引中的記號(hào)， 列出一些重要的子簇并給出它們所滿足的恒等式 0 = ( o b o ) o = a o b o 純正群 c 7 已o = a x = a x a o 左正則純正群 冗7 z o = 陋。= a o x a 右正則純正群 且g = ( 。6 ) o = ( a o b o ) o 】密群 冗8 蛋= ( a x y a ) o = ( a z a y a ) o 】正則密群 c q 廠囂g = ( o 。) o = ( a x a y ) o 】左擬正規(guī)密群 9 9 = ( a x y a ) o = ( a y x a ) o 】正規(guī)密群 o b g = ( 0 6 ) o = a o b 0 1純正密群 7 z o 召9 = 陋( z ) o a = a x o o o y o 翻正則純正密群 p - 廠8 毋= a x y o a = a y 0 3 7 a 正規(guī)純正密群 s g = f a x o = z o a lc l i f f o r d 半群 我們將陸續(xù)建立一些完全正則半群簇的子簇所滿足的等式 如果s 的所有具備形式e s e ，e e ( s ) 的子半群都屬于完全正則半群 簇的某個(gè)子簇v ，我們稱s 是局部v ，記做s l v 我們以后會(huì)看到，對(duì)任 意的完全正則半群簇v ，v 構(gòu)成完全正則半群簇的子簇關(guān)于局部，我們 首先陳述幾件有趣的事實(shí) 命廂1 1 4 1 5 p r o p o s i t i o ni i 8 4 】l b o = 8 9 口 引理1 1 5 1 5 l e m m ai i 7 4 設(shè)s 是一個(gè)完全正則半群如果s 是局部 純正的，則s 的每一個(gè)單側(cè)主理想是純正的口 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文 第9 頁 苧! 蘭叁童堡壘竺竺竺 ! ! ；! 蘭童堡壘皇塹蘭 這個(gè)引理幫助我們確定局部純正群簇下面列出能用局部確定的一些完 全正則半群簇的子簇 推論1 1 6 1 5 】c o r o l l a r yi i7 5 jl ( d = ( z ) 。( 。) o = ( ( 。z ) o ( o ) o ) o 口 定理1 1 7 1 5 t h e o r e m l ，2 】一個(gè)完全正則半群是正規(guī)密群當(dāng)且僅當(dāng)它 是局部翻i 肋喇半群口 定理1 1 8 1 5 jt h e o r e mv4 ，3 】7 4 是完全正則半群s 上的正規(guī)帶同余當(dāng) 且僅當(dāng)s 三冗冗p口 定理1 1 9 “ 1 5 】t h e o r e mi i i 1 3 一個(gè)完全正則半群s 是完全單的當(dāng)- g - 4 z 當(dāng)s 是局部群口 對(duì)于正則半群s ，定義一個(gè)關(guān)系： o sb 營存在e ，f e s ) ，使得o = e b = v ，( a ，b s ) 容易驗(yàn)證是s 上的偏序關(guān)系我們把這種用s 的乘法運(yùn)算定義的偏序關(guān) 系叫做自然偏序關(guān)系 我們用e ( z ) 和c ( s ) 分別表示s 上的等價(jià)關(guān)系和同余關(guān)系全體設(shè) p e ( s ) ，稱p 是s 上的v 同余，如果s ；v 令口c ( s ) 稱s 滿足乒 優(yōu)化，如果a ，b ，c s ，a b ，a c ，b s c ，則b = c 稱s 上的自然偏序關(guān)系是左相容的，如果d ，b ，c s ，o 6 號(hào)c a c 6 類似地，可以定義自然偏序關(guān)系的右相容自然偏序關(guān)系如果既是左相 容的又是右相容的，我們則稱它是相容的自然偏序關(guān)系的相容性和g r e e n 關(guān)系的優(yōu)化很有聯(lián)系事實(shí)上，如下結(jié)果成立 定理1 1 1 0 【1 5 t h e o r e mi i41 1 在正則半群s 上，下列命題是等價(jià)的 ( i ) 自然偏序關(guān)系是右相容的 ( i i ) 對(duì)于冪等元，s 滿足c 一優(yōu)化 ( i i i ) s 滿足c 一優(yōu)化 下面的定理刻唾口優(yōu)化和c 一優(yōu)化及億優(yōu)化的關(guān)系 口 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第1 0 頁 第1 章基本概念和性質(zhì) 姐2 完全正則半群的基本性質(zhì) 定理1 1 1 1 【 1 5 t h e o r e mi i41 4 在完全正則半群s 上，下列命題是等價(jià) 的 ( i ) s 滿足口一優(yōu)化 ( i i ) 對(duì)于冪等元，s 滿足口優(yōu)化 ( i i i ) s 滿足c 一優(yōu)化和佗一優(yōu)化 ( i v ) 對(duì)于冪等元，s 滿足c 一優(yōu)化和冗一優(yōu)化口 在完全正則半群中，滿足口優(yōu)化的子類有非常好的代數(shù)性質(zhì)完全正 則半群s 滿足。一優(yōu)化等價(jià)于s 是正規(guī)密群，也等價(jià)于s 是完全單半群的 強(qiáng)半格而強(qiáng)半格結(jié)構(gòu)通常被認(rèn)為是好的代數(shù)結(jié)構(gòu) 定理1 1 1 2 1 5 t h e o r e mi v16 在完全正則半群s 上，下列命題是等價(jià) 的 ( i ) s 是正規(guī)密群 ( i i ) s 是局部c l i f f o r d 半群 ( i i i ) s 滿足口一優(yōu)化 ( i v ) s 是完全單半群的強(qiáng)半格。 ( v ) s 滿足恒等式( a x y a ) o = ( a y x a ) o ( v i ) s 上的自然偏序關(guān)系是相容的 口 1 2 完全正則半群的基本性質(zhì) 本節(jié)列出關(guān)于完全正則半群的一些結(jié)論這些結(jié)論在我們以后構(gòu)造密群 和正則密群以及構(gòu)造同余的時(shí)候經(jīng)常用到 下列引理說明用更高一級(jí)的口一類中的元素做左平移和右平移時(shí)，分別 不改變關(guān)系和冗關(guān)系 引理1 2 1 1 5 c o r o l l a r yi i 4 3 令n ，盧y ，盧，z ，y 函則 z y e y ，o 兄f 口 我們引進(jìn)一些冪等元的性質(zhì)它們將幫助我們尋找密群的新的代數(shù)性 質(zhì)，而這種代數(shù)性質(zhì)對(duì)于密群和正則密群的構(gòu)造，幾乎是決定性的 引理1 2 2 f 1 5 】c o r o l l a r yi i ，4 ，4 】) 令e ，e ( s ) 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文 第1 1 頁 第l 章基本概念和性質(zhì) 5 l _ 2 完全正則半群的基本性質(zhì) ( i ) ( e ) - 1 = ( e ) o ( ，e ) 0 0 ，) o ( i i ) e ( e ) 。= ( e r e ) o = ( e ，) o e 巴 下面的一些引理是關(guān)于同余和同態(tài)的 引理1 2 3 1 5 l e m m a i i4 7 】設(shè)s = ( y ；) 是一個(gè)完全正則半群，p c ( s 1 則 ( 1 ) 如果o ，盧y ，血盧，a ，c 咒，b 島且a p b 則c p d ，其中 d 島滿足d 莖c ( 2 ) 令q ，p ， y 滿足8 三j 8 ，y ，a ，。s 。， s o ，c s 0 且a p e 則z p g ，其中y 島且w p z 對(duì)某個(gè)z s ( 3 ) 令a ，z 咒，b ，9 島，a p b ，且z2 則z 聊 口 這個(gè)引理反映偏序關(guān)系和同余的聯(lián)系我們繼續(xù)討論同余和g r e e n 關(guān) 系的聯(lián)系 引理1 2 4 1 5 】t h e o r e mv i 5 1 】設(shè)s = ( y ；咒) 是一個(gè)完全正則半群 pec ( s ) 用p 表示s 上的任意一種g r e e n 關(guān)系則 ( 1 ) p v p = p p p ， ( 2 ) 口( p v p ) 6 營a p p b p ，向，b s j 口 我們知道半群的同態(tài)有很好的代數(shù)性質(zhì)，例如，它保持半群簇，保持冪 等元 引理1 2 5 15 】l e r n m ai i24 設(shè)t 是一個(gè)半群， 群，妒：s t 是一個(gè)同態(tài)，則 ( i ) s 妒是完全正則的 ( i i ) 對(duì)任意a s ，a - 1 妒= ( o 妒) 一1 ，a o w = ( o 妒) o 下列結(jié)果是引理1 2 5 的自然推論 s 是一個(gè)完全正則半 口 引理1 2 6 1 s 1c o r o l l a r yi i25 1 ) 設(shè)p 是完全正則半群s 上的同余，a p b 則a - 1 p b ，a o p b o ，a o p = ( o p ) o 口 引理1 2 7 1 5 l e m m ai i 3 3 】設(shè)p 是正則半群s 上的同余，如果a s ，a p e ( 彤p ) ，則存在e e ( n s n ) ，使得a p e 口 2 0 0 4 年1 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文第1 2 頁 第1 章基本概念和性質(zhì) 5 l2 完全正則半群的基本性質(zhì) 在本章的最后，我們討論完全單半群完全正則半群的最重要的結(jié)構(gòu)特 征為它是完全單半群的半格我們能夠這樣理解，對(duì)完全正則半群的結(jié)構(gòu)刻 畫在很大程度上依賴于它的局部結(jié)構(gòu)，完全單半群的刻畫本節(jié)介紹的r e e s 定理完美地刻畫了后者的結(jié)構(gòu)我們還將敘述一些完全單半群的有趣的性 質(zhì)， 引理1 2 8 1 5 jp r o p o s i t i o ni i i1 1 】設(shè)s 是一個(gè)完全正則半群，則下列命 題等價(jià) ( i ) s 是完全單的 ( i i ) s 滿足恒等式( 。6 ) o = ( a x b ) o ( i i i ) 對(duì)任意a ，b ，x s ，有a b h a x b ( i v ) s 滿足恒等式o = ( a x a ) o ( v ) s 滿足恒等式a = ( a x ) o a 口 我們知道，一類代數(shù)構(gòu)成代數(shù)簇當(dāng)且僅當(dāng)它們是滿足某些等式的代數(shù) 類因此，完全單半群是完全正貝g 半群簇的子簇 定理1 2 9 1 5 t h e o r e mi i 4 2 在完全單半群s 上，自然偏序關(guān)系是平凡 的，且s 的所有冪等元本原口 滿足下列定理中等式的蘊(yùn)涵關(guān)系的完全正則半群類被稱為擬簇 定理1 2 1 0 1 5 】t h e o r e mi i i1 3 設(shè)s 是一個(gè)完全正則半群，則下列命題 等價(jià) ( i ) s 是完全單的 ( i i ) s 是局部群 f i i i ) s 滿足弱可消去性 ( i v ) 對(duì)任意a ，b s 有a t z a b ( v ) s 滿足蘊(yùn)涵關(guān)系a = c t x a ： z = x a x ( v i ) s 的冪等元都是本原的。口 設(shè)g 是群，a 是任意非空集合，p ：a i g ，其中，( a ，i ) p = p 她 是映射令s = i g a 在s 上定義乘法 ( i ，g ，入) ，h ，弘) = ( i ，9 p 撕& ，蘆) 2 0 0 4 年1 0 月中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文 第1 3 頁 第i 章基本概念和性質(zhì) 5 l2 完全正則半群的基本性質(zhì) 容易驗(yàn)證，s 是半群，稱它為群g 上的r e e sa xf 矩陣半群，用s = j v i ( i ，g ，a ；p ) 表示，其中，p 被稱為s a n d w i c h 矩陣 引理1 2 1 1 【 1 s 】l e m m ai i i22 j 設(shè)s = m ( i ，g ，a ；p ) ，則s 是完全單半 群且 e ( s ) = ( i ，p 囂，a ) s l i i ja a 口 定義1 2 1 2 設(shè)p 是群g 上的a i 矩陣如果存在元素1 ，n a 使得 對(duì)任意i i 。a a ，總有蘆 1 = p l 。= e ，e 是g 的單位元稱p 在! 處正 規(guī)化 下面介紹完全單半群的結(jié)構(gòu)定理它被認(rèn)為是半群中最好的結(jié)構(gòu)定理， 因?yàn)樗哂心撤N唯一性，利用它能夠刻畫完全單半群的同態(tài)和同余，等等 定理1 2 1 3 1 5 】t h e o r e m ( i r e e s ) i i i 26 半群s 是完全單的當(dāng)且僅當(dāng)s 同 構(gòu)于一個(gè)r e e s 矩陣半群( s a n d w i c h 矩陣已被正規(guī)化 口 設(shè)s = m ( i ，g ，a ；p ) ，t = 川( 一h ，e ；q ) 是r e e s 矩陣半群，u ：i 一 日ih u ：；u ：g - 日；u ：a h ，ahv a ；妒：i _ j 和妒：a _ 0 是映射 且滿足條件： p ) i w = u q 母，。p 玨t 定義映射x = x ( 妒，“，u ，u ，1 】f 1 ) ：( i ，g ，a ) 一( 如，u i ( g “j ) v x ，a 矽) 則有 ( 1 1 ) 引理1 2 。1 4 i s 】t h e o r e mi i i 3 2 】設(shè)5 一m ( i ，g ，a ；p ) ，t = m ( 只h ，e ；q ) 是r e e s 矩陣半群則x = ) ( ( 妒，u ，u ，妒) 是s 到t 的同態(tài)反之，每個(gè)s 到? 的同態(tài)都能如此構(gòu)造 口 因此，完全單半群的結(jié)構(gòu)和完全單半群之間的同態(tài)被認(rèn)為已經(jīng)解決事 實(shí)上，完全單半群上的同余也已被清楚地刻畫 第2 章關(guān)于密群的進(jìn)一步討論 很多代數(shù)學(xué)家研究過完全正則半群的性質(zhì)( 8 1 1 0 】， 1 5 】， 17 ， 2 2 】) 在 專著c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s 中，p e t r i e h 和r e i l l y 系統(tǒng)地整 理了半個(gè)多世紀(jì)以來這方面的研究成果 這一章進(jìn)一步討論密群的代數(shù)性質(zhì)在引言中已經(jīng)提到，密群是一類非 常重要的完全正則半群我們?cè)噲D盡可能多地發(fā)現(xiàn)密群的新性質(zhì)，目標(biāo)是給 出它們的一個(gè)代數(shù)意義比較明確的結(jié)構(gòu)定理我們將從以下幾個(gè)方面刻畫密 群： l ，利用g r e e n 關(guān)系和其他等價(jià)關(guān)系對(duì)密群進(jìn)行等價(jià)刻畫；2 ，用左( 右) 平移及同態(tài)對(duì)( 正則，正規(guī)) 密群進(jìn)行等價(jià)刻畫；3 ，從簇的角度刻畫密群； 4 ，利用偏序關(guān)系對(duì)密群進(jìn)行等價(jià)刻畫最后我們給出局部左正則純正密群所 滿足的等式 2 1 密群的若干性質(zhì) 本節(jié)利用這些性質(zhì)和第一章的結(jié)論，通過格林關(guān)系，左( 右) 平移及同 態(tài)對(duì)( 正則，正規(guī)) 密群進(jìn)行( 等價(jià)) 刻畫 設(shè)s = m ( i ，g ，a ；p ) 是一個(gè)r e e s 矩陣半群對(duì)任意的五y s ，s 上的映射a ( 作用在左邊) 稱為左平移，如果口( z g ) = ( a x ) y ；s 上的映射 p ( 作用在右邊) 稱為右平移，如果( z y ) p = x ( y p ) 用( x ) ( p 陋) ) 表示 集合x 上作用在左( 右) 邊的所有變換所組成的集合令口( p ) 是s 上的 左( 右) 平移，由p e t r i c h i 7 ，存在妒( n 妒p ( a ) 使得對(duì)任意的 ( i ：g ， ) es ，口( i ，g ，a ) = ( 妒i ，a ) ，( i ，g ，a ) p = ( i ，a 妒) 設(shè)s = ( y ；) 是 一個(gè)完全正則半群，其中咒= m ( l ，g 。，a 。；p a ) 是r e e s 矩陣半群如果 o ，盧y 且d2p ，對(duì)任意的oe & ，妒：口( 攏，口) 表示由n 誘導(dǎo)的如( a 口) 上 的左( 右) 變換 首先給出 1 5 】中的一些結(jié)果，引用時(shí)不再多加說明下面的兩個(gè)引理用 g r e e n 關(guān)系和簇分別刻畫密群和正則密群 引理2 1 1 1 5 】t h e o r e mi i 8 1 】設(shè)s 為完全正則半群，則下列情形等價(jià) ( 1 ) s 是密群； 1 4 2 0 0 4 年i 0 月 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博學(xué)位論文第1 5 頁 第2 章關(guān)于密群的進(jìn)一步討論 21 密群的若干性質(zhì) ( 2 ) s 是群帶； ( 3 ) 對(duì)任意n ，b s ，a 2 b s = a b s ，s a b 2 = s a b j ( 4 ) s 滿足等式( 6 ) o = ( a 0 6 0 ) o口 引理2 1 2 1 5 1p r o p o s i t i o nv 4 4 設(shè)s 為完全正則半群，則下列情形等 價(jià)， ( 1 ) s 是正則密群； ( 2 ) 格林關(guān)系c 和冗都是s 上的同余； ( 3 ) 對(duì)任意。，z ，y s ，( a x y a ) o = ( a x a y a ) 。 口 我們著手給出密群的一些性質(zhì)首先用完全單半群的平移包刻畫密群和 正則密群 引理2 1 3 設(shè)s = ( ，；) 是完全正則半群則s 是密群當(dāng)且僅當(dāng)?shù)? 妒譬口，螺口= 砂。a u 口，其中d ，盧y 且a p ，。甌 證明設(shè)s 是密群，o 盧且。甌則對(duì)任意的b = ( j ，h ，p ) 乳， ( 吃，肛) = a b t 吖a o b = ( a o ，盧) 因此咿：，口= a o ，p 對(duì)偶地，咖：，口= 妒為相反地，假設(shè)n ，b 且a t - l b ，則擴(kuò)= 6 0 對(duì)任意的盧y ， c 昂，我們記a o c = b o c = ( i ，g ，a ) 最口，那么o c = o o o c = ( 妒：。t ，a ) ， b c = b b o c = ( 妒：棚i ，a ) 因?yàn)槎剩?，?？? 妒魏口= b o 郇= 妒：御，故a c t i b c 對(duì) 偶地，c a c b 所以h 是s 上的同余，也即s 是密群 口 引理2 1 4 設(shè)s = ( y ；& ) 是正則密群，盧y 且o p 則對(duì)任意 a ，b & ，k e r 蝶, ，p = k e r 9 9