摘要 本文通過(guò)建立比較簡(jiǎn)單的管壁模型，對(duì)充盈性不可壓縮粘性管流進(jìn) 行研究，根據(jù)充盈粘性管流的流動(dòng)特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化n a v i e r - s t o k e s 方程，用分 析的方法對(duì)其進(jìn)行理論上的探討，中間涉及到了圓管中的層流流動(dòng)的邊 界方程組，討論了動(dòng)量損失與熱量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并分析了沿水平方向的 層流速度分布和溫度場(chǎng)分布問(wèn)題。通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象建立彈性管流 的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出其聯(lián)立方程組，包括建立垂直方向的擠壓力平衡方程， 探討粘性流體的邊界層的形成，以及粘性流體在流動(dòng)過(guò)程中的能量損耗。 本文從力學(xué)原理和數(shù)學(xué)理論出發(fā)，進(jìn)行了建立微分方程的推導(dǎo)，并在一 定的假設(shè)條件下簡(jiǎn)化模型，通過(guò)對(duì)初始條件和邊界條件的討論得到了關(guān) 于彈性管壁中管流速度分布與溫度分布的初步結(jié)論，為以后進(jìn)一步的研 究作理論鋪墊。 關(guān)鍵字：粘性；彈性；不可壓縮；充盈；邊界層 c o m p u t a t i o n a lr e s e a r c ho ft h ei n c o m p r e s s i b l e v i s c o u st u b ef l o wi nt h ee l a s t i cw a u a b s t r a c t b a s e do nt h er e s e a r c ho ft h ef u l li n c o m p r e s s i b l ev i s c o u sf l o w , t h ep a p e r b u i l d ss i m p l ew a l lm o d e l ，s i m p l i f i e sn a v i e r - s t o k e se q u a t i o nd e p e n d i n go n t h ef l o w i n gc h a r a c t e r i s t i c so ft h ef u l lv i s c o u sf l o w , a n da n a l y z e st h ee q u a t i o n i nt h e o r yi n v o l v i n gb o u n d a r ye q u a t i o n8 0t h el a m i n a rf l o w i n gi nt h er o u n d t u b e ；a n dt h e nd i s c u s s e st h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nm o m e n t u ml o s sa n d h e a t ；a tl a s t ，a n a l y z e st h el a m i n a rf l o w i n gs p e e da n dt e m p e r a t u r ef i e l di n h o r i z o n t a ld i r e c t i o n b ya b s t r a c t i n gp r a c t i c a li s s u e st ob u i l dm a t h e m a t i c a l m o d e l s ，t h ep a p e rd e r i v e ss i m u l t a n e o u se q u a t i o n so ft h ee l a s t i cw a l lf l o w , b u i l d se x t r u s i o ns t r e s sb a l a n c ee q u a t i o ni nv e r t i c a ld i r e c t i o n ，a n di n q u i r e s i n t ot h eb o u n d a r yl a y e rf r i c t i o no ft h ev i s c o u sf l u i da sw e l la si t se n e r g yl o s s d u r i n gt h ef l o w i n g 。t h i sa r t i c l eg e a r sf r o mm e c h a n i c a la n dm a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e st oi n d u c et h eb u i l d i n go fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s i m p l i e y i n g t h e m o d e li nas u p p o s i n gc o n d i t i o na n dm a k i n gap r i m a r yc o n c l u s i o nt ot h et u b e f l o w i n gs p e e da n dt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n i nt h eb a s e so fi n i t i a la n d b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，s oa st op r e p a r ef o rt h ef u r t h e rs t u d yl a t e n k e y w o r d s ：v i s c o u s ；e l a s t i c i t y ；i n c o m p r e s s i b i l i t y ；f u l l ；b o u n d a r yl a y e r 彈性管壁不可壓縮粘性管流的計(jì)算研究 第一章緒論 1 1 問(wèn)題的提出 流體力學(xué)是一個(gè)基礎(chǔ)性極強(qiáng)且應(yīng)用很廣的學(xué)科，它的研究對(duì)象是隨著生產(chǎn)的需 要和科學(xué)的進(jìn)步而日益深化和擴(kuò)大。隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展，以及水利工程、環(huán) 境工程和各種管路系統(tǒng)等的需要，流體力學(xué)得到了空前的應(yīng)用和發(fā)展。流體力學(xué)與 其它的學(xué)科相互滲透，形成了一系列的邊緣學(xué)科，如計(jì)算流體力學(xué)、實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)、 生物流體力學(xué)等，它們?cè)诮ㄖ蛄?、石油、水利以及醫(yī)學(xué)等工程中起十分重要的 作用。這些新的邊緣學(xué)科所研究的對(duì)象在流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自身或與外界( 如固體管 壁或其流體界面) 之間還存在動(dòng)量、熱量和質(zhì)量之間的傳遞問(wèn)題，在這其中伴隨著 能量的損耗或化學(xué)反應(yīng)，這些問(wèn)題廣泛存在于航空、航天、化工、石油、能源、環(huán) 保、水利、建筑、醫(yī)療等工程中，由此可見(jiàn)，流體力學(xué)的研究與我國(guó)的現(xiàn)代化建設(shè)有 著非常密切的關(guān)系。 本文所研究的彈性管壁管道中不可壓充盈粘性流的流動(dòng)，以及中間所涉及的剛 性管壁管流都是流體力學(xué)在實(shí)際生活中的重要應(yīng)用課題如石油、天然氣管道輸送， 化工廠、發(fā)電廠熱水管道流體傳輸，血管內(nèi)血液流動(dòng)及動(dòng)脈硬化過(guò)程計(jì)算模擬等。 1 2 研究現(xiàn)狀 由于航空、造船等實(shí)際應(yīng)用的需要，近代流體力學(xué)的發(fā)展對(duì)平板流等外部繞流問(wèn) 題已經(jīng)的到了充分的研究，管流特別是彈性管流的研究相對(duì)處于比較簡(jiǎn)單的狀態(tài)，特 別是在多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，其流體介質(zhì)為水等，粘性作用很小。近年來(lái)，國(guó)外生物醫(yī) 學(xué)常采用計(jì)算數(shù)學(xué)和其他科學(xué)原理的方法，對(duì)生物醫(yī)學(xué)中的自然形成過(guò)程以及加工 工藝過(guò)程進(jìn)行計(jì)算模擬，取得令人矚目的發(fā)展。對(duì)腑血栓、心臟動(dòng)脈硬化等醫(yī)學(xué)的 研究提出了對(duì)血管流( 彈性管壁粘性流) 進(jìn)行計(jì)算模擬，這一課題涉及計(jì)算數(shù)學(xué)的 前沿領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)尚未發(fā)現(xiàn)相關(guān)論文，因此該課題的研究具有開啟性的意義。 1 3 研究的方法與主要內(nèi)容 工程技術(shù)的需要和科學(xué)的發(fā)展，使得研究流體力學(xué)中的管流計(jì)算成為可能，自 從1 6 8 7 年牛頓定律公布以來(lái)，研究流體力學(xué)中管流的主要方法有二種： 1 一種是理論分析方法，通過(guò)對(duì)流體物理性質(zhì)和流體特征的科學(xué)抽象，提出合理 的理論模型，對(duì)這樣的理論模型，根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，建立流體流動(dòng)方程組，將 實(shí)際的流動(dòng)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并能用數(shù)學(xué)方法求出理論結(jié)果，達(dá)到揭示流體運(yùn) 動(dòng)規(guī)律的目的，即利用簡(jiǎn)化的流體模型假設(shè)，給出問(wèn)題的解析解或簡(jiǎn)化方程。本文 要研究的不可壓縮粘性管流計(jì)算以建立理論模型為主。 現(xiàn)實(shí)中許多實(shí)際流動(dòng)問(wèn)題還難以精確求解，所以隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，它已經(jīng) 滿足不了近代科學(xué)技術(shù)的要求，今天隨著實(shí)際的需要，以數(shù)值計(jì)算方法研究流體運(yùn) 動(dòng)的物理特性已成為流體力學(xué)中管流計(jì)算中重要的方法，這也將是我們今后應(yīng)用復(fù)雜 問(wèn)題研究和實(shí)際應(yīng)用研究的主要方法 另一種是實(shí)驗(yàn)研究，即以物理實(shí)驗(yàn)為研究手段，通過(guò)對(duì)具體流動(dòng)的觀察與測(cè)量， 來(lái)認(rèn)識(shí)流動(dòng)的規(guī)律。理論上的分析結(jié)果需經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)又需要理論來(lái)指導(dǎo)。 流體力學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究，包括原形觀察和模型實(shí)驗(yàn)，而又以模型實(shí)驗(yàn)為主。 本文在研究不可壓縮粘性管流的計(jì)算時(shí)，首先以剛性管壁管流為前提進(jìn)行研究， 為研究彈性管壁管流作理論基礎(chǔ)。在彈性管壁管流的計(jì)算研究中，其目的是通過(guò)建 立合理的流體模型研究彈性管壁不可壓粘性流的流動(dòng)規(guī)律，給出合理的假設(shè)條件， 列出相應(yīng)的邊值條件，求出問(wèn)題的解，為數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究提供依據(jù)。本文從數(shù) 學(xué)理論研究的角度出發(fā)，推導(dǎo)出不可壓縮粘性管流的速度場(chǎng)與溫度場(chǎng)分布，并對(duì)其 作初步的理論分析。 2 第二章固體管壁中充盈粘性流的計(jì)算 2 1 模型的假設(shè) 假設(shè)固體管道為等截面的無(wú)限長(zhǎng)圓柱直管，直徑為d ( 半徑為r ) ，管道內(nèi)充滿 了粘性系數(shù)較大的流體( 如石油) ，不妨設(shè)粘性系數(shù)為u ，密度為p ，并且取流體流 動(dòng)的方向( 即軸線的方向) 為x 軸，速度為u ，與x 軸垂直方向?yàn)閥 軸，速度為v ( 如 圖2 - 1 ) 。同時(shí)假設(shè)圓管內(nèi)粘性流體為牛頓流體且流動(dòng)為層流，則任意兩層流體之間 將相互作用，產(chǎn)生粘滯現(xiàn)象。設(shè)速度分布為u ( y ) ( 如圖2 - 2 ) ，則流體層y 處的剪切 力為 f ：盧罷( 其中堊是速度梯度) ( 2 1 ) d yd v 同時(shí)設(shè)l ，：絲為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) p 圖2 - 1 管流坐標(biāo) 圖2 - 2速度分布 以下我們所要研究的是二維的定常粘性流的計(jì)算問(wèn)題，本文所討論的流體全為 3 牛頓流體，并給出了其中的部分計(jì)算，在整個(gè)問(wèn)題的處理過(guò)程中，用到如下的假設(shè) 條件，這些都是模型所不能忽視的： 滿足牛頓粘性定律； 粘性系數(shù)“是常數(shù)； 流體是不可壓縮的，并且略去質(zhì)量力； 流體只考慮層流，不考慮渦流、湍流； 以上的假設(shè)條件為我們建立n a v i e r s t o k e s 方程提供了依據(jù)，即如下所建立的方 程。 2 2 建立二維粘性流的n s 方程 1 ) 建立連續(xù)方程：取流體的微元，由于前面假設(shè)粘性流是不可壓縮的，則d i v u = 0 ， 在二維的平面定常流中即為： 塑+ o v ：0f 2 2 1 缸a y 2 ) 建立運(yùn)動(dòng)方程：取一個(gè)固定不動(dòng)的控制元六面體( 如圖2 - 3 ) ，設(shè)其氏度分別 為d x ，d y , d z ，r 。，r 。，f 。分別為上表面上的各個(gè)分量應(yīng)力，并取t 時(shí)刻控制體體元內(nèi)的 流體為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)b 點(diǎn)的速度為u ( u ，v ，w ) ，則在t 時(shí)刻時(shí)控制元內(nèi)動(dòng)量為 p u d x d y d z ，則在t + a t 時(shí)刻內(nèi)，動(dòng)量為 p u d x d y d z + 曇( p u d x d y d z ) a t 圖2 - 3 微六面體元 下面分別對(duì)六個(gè)面進(jìn)行計(jì)算 一4 首先在截面a b c d 上，t 時(shí)間內(nèi)流入動(dòng)量p u u d y d z a t ，流出截面e f g h 上 t 的動(dòng)量為： p u u d y d z a t + 雖( p u u d y d z a t ) d x 于是在t 時(shí)間內(nèi)凈流的動(dòng)量為： ( p u u d y d z a t ) d x 類似在其它的面一樣，于是單位時(shí)間內(nèi)控制體的動(dòng)量變化為： 曼( p u t j ) + 曇( p v u ) + 曇( p w u ) l d x d y d z d x晰o z 微元系統(tǒng)內(nèi)的動(dòng)量變化率為 l o p = 一u + ( u v ) ( 。u ) + p u d i v u 】d x d y d z = 噎( 刖) + 加d i v u d x d y d z _ u ( 警刪v u 帥警d x d y d z 應(yīng)用連續(xù)方程，公式小括號(hào)內(nèi)的值為0 ， 所以，微元系統(tǒng)動(dòng)量變化率為p 掣d x d y d z 。 其次是計(jì)算作用在控制體上的表面力，表面力只考慮前后兩個(gè)面，我們知道前一 個(gè)表面力為： p 。= ( r 。i + f 。，j + r 。k ) ! j u 眉一r 衣圓刀恥為： p x + 晏( p 扣( t x x l + t x y m 。k ) + 未，i 托，j + r , a k ) 其它四個(gè)面一樣，則所有六個(gè)表面應(yīng)力的這些力在三條坐標(biāo)軸上的投影為 ( 莘+ 孥+ 鏨) d x d y d ： 一 以 o y o z ( 墮+ 監(jiān)+ 墮、d x d y d z o rd v o n ( 孕+ 鏨+ 磐) d x d y d d ： 漲 o y o z 所以系統(tǒng)的表面力為 善( p 。) + ( p ，) + ( p z ) 】d x d y d z 0 x洲。北 所以由動(dòng)量守恒定律可得： p 掣：要+ 要+ 要 ( z _ 3 ) p 百2 i + 畜+ 薔 ( 2 。3 ) 設(shè)s 是應(yīng)變率張量，則當(dāng)流體是均勻不可壓粘性流體時(shí)上式可變?yōu)椋?p 等一掣a d p + d i v ( 2 妒；s r a d ( a d i v u ) 將d i v u = o ，p = 常數(shù)代入上式得： p 了d u = g r a d p + a w 2 u u l 將上式轉(zhuǎn)換為二維粘性流的運(yùn)動(dòng)方程的分量形式f 質(zhì)量力略去， d i v u = o ) ，并進(jìn)行簡(jiǎn)化得： a jo ula p0 2 ua2 u u 瓦一o y p o xw 薩+ 一 曲 o v 18 pa2 va 2 v u o x 一a y 一石- 面v _ w 百+ _ j 口鉀d ) 【。們。 ( 2 4 ) w = o ，p = 常數(shù)， ( 25 ) ( 2 6 ) 3 j 建衛(wèi)能堇萬(wàn)欄 設(shè)系統(tǒng)單位時(shí)間所作的功用警表示，單位時(shí)間加給系統(tǒng)熱量用q 表示，則系 統(tǒng)能量e 的變化率為些一d w ，十q ，設(shè)e 為單位質(zhì)量的內(nèi)能，單位質(zhì)量的動(dòng)能用：v 2 ， d td t2 單位質(zhì)量重力勢(shì)能用g z ，所以系統(tǒng)： e = p ；腳_ = 且e + i v 2 + g 猁r ( 其中e 。= e + 丟v 2 + g z 稱為單位質(zhì)量的儲(chǔ)存 能) 微元能量的時(shí)間變化率分為兩部分，一部分是控制體內(nèi)儲(chǔ)存能的變化在其單位 時(shí)間的時(shí)間變化率為： 云( 眠) 刪y 出 另一部分是單位時(shí)間經(jīng)過(guò)控制體的所有面凈流出的儲(chǔ)存能為： i 8 ( 肚。) + 蘭( 胛。) + 蘭( p w e ；) d x d y d z ( 2 7 ) d xd vd z 所以，微元系締總的儲(chǔ)存能的時(shí)間蠻化率為 6 導(dǎo)= 魯( 限) + 魯( p u e 。) + 專( p v e 。) + 魯( 尸w e s ) d x d v d z = 睦( 店。) + 繆s d i v u d x d y 應(yīng)= p i d e s d x d y d z ( 2 8 ) 表面力所作的功是依各個(gè)應(yīng)力所作的功來(lái)計(jì)算得到的： x 方向的表面應(yīng)力所作的功為： 。+ 孥d x ) ( u + 嬰d x ) 一ku d y d z d xd x “( x ，+ 冬d y ) ( u + 熹d y ) 一r 。 d z d x 。 d vd v 。 + ( k + 孥d z ) ( u 十a(chǎn) _ 。2 _ ud z ) 一f 。1 d za z = 妾( ku ) + 熹( u ) + 未( k u ) 】d x d y d z 其它方向的表面應(yīng)力一樣，所以： 詈咖f b u + 魯( 叫) 十0 苦- ( p y u ) + 魯( 叫) 】d x d y d z ( 2 9 ) 最后計(jì)算加給一個(gè)小控制體上的熱量、傳導(dǎo)熱通過(guò)流體表面?zhèn)魅肓黧w，據(jù)傅里 葉定律知，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)前一個(gè)截面的熱量為：一k 竺d y d z ，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò) 后一個(gè)截面?zhèn)魅胛⒃臒崃繛椋簁 嬰d y d z + 曇( k _ 3 td y d z ) d x ，所以，共傳入熱 量為： 三( k _ 0 t ) d x d y d z 。其它的四個(gè)截面共傳入的熱量一樣。 因而，通過(guò)微元體的全表面單位時(shí)間內(nèi)傳入的熱量為： 要( ki 3 t ) + 要( k 要) + 導(dǎo)( k 蘭) d x d y d z d xd x d yd y d z d z 魯= d i v ( k g r a d t ) + 妒( 妒是耗散函數(shù)) ( 2 1 0 ) 在不可壓縮流體中有熱力學(xué)關(guān)系式e = c t ( c 是比熱) 得：d e d t = c 盟d t 代入 上式化簡(jiǎn)( 不考慮質(zhì)量力) 得： p c d - t ：d i v ( k g r a d t ) + 妒( 2 1 1 ) 對(duì)于二維問(wèn)題，我們可以聯(lián)立( 2 2 ) 、( 2 5 ) 、( 26 ) 式得到二維的n s 方程組 由于假設(shè)為層流，v = o ，則由連續(xù)性方程式( 2 2 ) 得 坐：一塑：o 瓠 西 2 , 3 求解的方法 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 我們假設(shè)作用在面元上的力只考慮粘性應(yīng)力r = 蘭，但作用在流體上的凈力 四 是其上下兩個(gè)面上微小粘性應(yīng)力差合并產(chǎn)生的( 如圖2 - 4 ) 圖2 - 4粘滯作用 故( 罷) 。+ 。以及( 孚) 。是垂直于y 方向的單位向上的力，它們沿x 軸方向作用 四。田。 在a b 平面和c d 平面之間區(qū)域上。 所以，作用在上面流體微元上的凈力是 8 一 塑釅 ， o 1 1 i l 護(hù)一缸 卯一( 苦- ，l，l 似毋刊缸出 ：蘭( 罷) 毋敘& ( 當(dāng)毋很小) 們o y 刊窘) 掇匆峭為常數(shù)) 所虬單位體積粘滯力為魯( 其中流體元是以盤匆為邊長(zhǎng)( 其第三方向的邊 w 長(zhǎng)為8 z ) 。 l = | = i 式f ，1 ，) 4 口： d2 ud p 礦2 忑 方程左邊是關(guān)于y 的導(dǎo)數(shù)，而右邊是關(guān)于x 的導(dǎo)數(shù)， 于一個(gè)常數(shù)即： 孚：譬：p r( 其中p r 為常數(shù)) o xd x ( 21 4 ) 要使二者相等它們只能等 ( 2 1 5 ) 如果我們考慮剪切力則：壓力p 隨x 變化，但在每一x 處的橫截面上都是常數(shù)， 由于壓強(qiáng)p 是各向同性的，故所給定某截面的壓力梯度會(huì)有沿x 方向的力p ( x ) ， 而且壓強(qiáng)還是線性的關(guān)系并且由粘性流體的粘性作用，我們知道壓強(qiáng)沿流動(dòng)方向( 即 軸線方向) 而呈線性減小的趨勢(shì)。 為此我們?nèi)」艿赖囊徊糠珠L(zhǎng)度為l ，并且設(shè)初始?jí)簭?qiáng)( 即入1 ：3 處) 為r s 末端的 壓強(qiáng)( 即出口處) 為o l ( 如圖2 5 ) ，由壓強(qiáng)與x 是線性的關(guān)系知： 堡：塑：呈 旦：p r( 216 ) 一一r i 【1 l 即由上分析知： p 圖2 5 管道壓強(qiáng) 9 釅d 2 u = 忑d p 2 p r 將上式取成柱坐標(biāo)得： ( 2 1 7 ) ! 旦r ，塑、：生 rd r 、d r “ 對(duì)r 積分一次得： 塵：三，+ 魚 ( 218 ) d r2 “r 、 7 由軸對(duì)稱，r = 0 時(shí)，_ d u ：0 ，故c ：o ( 由于u 是有限數(shù)，所以c ，：0 ，不然當(dāng) o r r 斗0 時(shí)u 斗。0 矛盾) 。 所以，d d r u = 2 p “, r 積分得： u = 喙d r - 毛( “2 ) ( r 矧 ( 2 1 9 ) 且r = 0 時(shí)取最大即： 。= 老= 糟弓 ( 2 z 。) 故管中單位時(shí)問(wèn)通過(guò)流量為： q = f p r ，2 z r u d r = z p 。p r 。4 一= 苧墮鼉丟；2 曼 ( z z ，) 圖2 - 6 管流的速度分布 由上圖( 2 6 ) 可以看出：流體的速度分布圖為拋物型且最大值在管道的軸線上 。l o 般羊u ，由上向r r 算 j 女日： u _ 擊詈( i _ r2 ) = 亳( 培- r 2 ) p ，：_ 4 , h a 廣m a x 則平均流速為： 西= 暑= 知玎rz 壁面剪切力為： 鏟c 孰，= 圭r 0 0 = 等西 令管壁的阻力系數(shù)c f2 專2 面1 6 i 刪 其中r e ：魚墮：里p ：堂，d ：2 r 0 為直徑) 由上面分析知： f 釅d 2 u2 瓦6 8 p2 五d p l 。一爭(zhēng) 由( 2 2 5 ) 式解得： p ( x ) ：p s 一塑竽x 陀2 2 ) f 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 由上式可以看出，在固體管道中壓強(qiáng)沿著管道的軸線方向線性遞減的趨勢(shì)。 2 4 溫度場(chǎng)分析 對(duì)于壁面的傳熱，通常定義表面對(duì)流傳熱系數(shù)h 為： 鉀 k h ：! ! ： 墊 l lt 。一l 其中q 。是通過(guò)壁面單位表面的熱流量( 以壁面流向流體方向?yàn)檎? ，t 。為固體管壁 的溫度，t r 是流體中某一特征溫度。式中的q 。= 一k 嬰是在單位面積的壁面 兩側(cè)取一個(gè)無(wú)限薄的小控制體積考慮其能量守恒，由于壁面流體速度為0 ，不考慮對(duì) 流傳熱，從而由固體管壁傳入的熱量q 。等于由流體側(cè)通過(guò)熱傳導(dǎo)帶走的熱量 一k a t 。 a n 不可壓縮粘性流體的能量方程為： p c 。喏+ ( 昏叨】= v ( k v r ) + p ( 其中p 是耗散函數(shù)) 上式轉(zhuǎn)換成二維定常的不可壓縮管流的能量方程為： 州u 罷+ v 囂，= 言c t 罷，+ 專c “詈，+ 妒 c ：z ， 將速度和溫度的分布條件u = u ( y ) ，w o ，t = t ( y ) ( 壁面各處等溫) 代入上式后， 左端為o 右端第一項(xiàng)消失，最后項(xiàng)妒2 ( 罷) 2 ，如果溫度變化不大可以假設(shè)熱 傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)于是得： k 窘+ 2 = ” 將邊界條件y = rt = t 。，u = o 代入上式并轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)得： 叫2 一孚了i ( 。i ) 一面) 一i 積分兩次得誦解： 一囂h c 。h 心 r 5 0 時(shí)，t 為有限值，則c 1 = o ，并且r = r o 時(shí)，t = t w ，得： 一。+ 等p 爭(zhēng) b ：s ， 其中華( 1 一等) 是由于粘性耗散引起的流體的溫度 廳 最大溫度t m 。在管道軸線r = o 處取得，為： 1 2 一。= t w + 譬( 是平均速度，西= 1 2 u ) ( 2 2 9 ) 壁面單位面積的熱流量為： 曠_ k ( 鼽= 等 仁， q 。 0 表明熱流指向固管內(nèi)部，為維持壁面常溫t 。必須對(duì)固體管壁進(jìn)行冷卻， 使流體的耗熱傳出。 2 5 能量的損耗 設(shè)粘性流體的沿程的損耗為h 且在沿一條速度流線的方向上取兩點(diǎn)速度為v i 、 v 2 則粘性不可壓縮流體的伯努利方程為： 孚+ 告+ s z t = 虧v2 + 軎+ 乳禮。 由于所研究的管道是水平方向的，所以z i = z 2 ，上式可變?yōu)椋?立+ 旦：蔓+ 旦+ h ( 2 3 1 ) 2 9 p g 2 9 p g 1 其中v i 、v 2 、p l 、p 2 是管道中沿同一條直線上的任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)的速度和 壓強(qiáng)，h 是沿程損失。 由于管壁的流速與x 無(wú)關(guān)，故v l = v ，從而： h ：生旦 p g 管流表面的剪切應(yīng)力f ：粵，又由水平方向受力平衡得： o r f2 r l 一( p l p ：) 口r 2 = 0 ( 1 為該截面1 到2 的長(zhǎng)度) h ：! 出：旦塵 腭p 。rg ，：旦：! 壁1 2 1 1 3 由牛頓定律得：i d u = 等 兩邊積分得： u = f 。等皿= 守忙鍺c 扣2 ， b ，z ， 所以當(dāng)r = 。時(shí)，速度最大為：u 。= p 五g 五h l r 0 2 令面= 扛，= 等 得：h ：墮掣 p 。譬i 設(shè)d 為管的直徑，則d _ 2 r 。，雷諾系數(shù)心：旦亙里 卟弼1 6 - i 1 驀= 6 4 i 1 薔 由上式可以看出沿程損耗h l 與平均速度的平方成正比。 2 6 層流邊界層分析 ( 2 3 3 ) 為了院明邊界層的含義，我們?cè)O(shè)沿x 方向有水平均勻流v 。，同時(shí)在平而上放置 一個(gè)薄平板，設(shè)y 方向與平板前緣垂直，來(lái)流的粘度很小，離平板任意距離y 處的 速度均為v 。，進(jìn)入前緣以后，由于流體與平板之問(wèn)的粘附作用，與平板表面直接接 觸的流體層的速度均受到了阻滯，這樣上層流體總受到下層流體的阻滯，而且隨著x 增加，受阻滯流體在y 方向的范圍也將逐漸地?cái)U(kuò)大，以致形成了速度變化區(qū)域，通 常稱為速度邊界層( 圖2 7 ) ，邊界層以外的速度仍為，定義v 。= 0 9 9v 。為名義厚 度( 很薄) ，在邊界層內(nèi)存在速度梯度。名義厚度具有一定的任意性，要準(zhǔn)確確定它 們比較困難，為了使用方便，我們常常定義以下兩種邊界層厚度( 它們分別與質(zhì)量 和動(dòng)量守恒原理有關(guān)) 。 1 4 圖2 7 x 對(duì)某個(gè)給定x ，邊界層內(nèi)任一個(gè)距離y 處的速度為u ，每單位時(shí)問(wèn)通過(guò)微元 d y 的質(zhì)量為pu d y ，如果與無(wú)粘性流動(dòng)的質(zhì)量pd y 相比，邊界層流動(dòng)在該處少流過(guò) ( 或虧損) 質(zhì)量，即每單位時(shí)間有如此多的質(zhì)量被排擠入主流中，對(duì)于整個(gè)邊界層 厚度總的質(zhì)量虧損為：f ”戶( v 。一u ) d y 首先假定溫度不太高以致它對(duì)流體密度p 、粘度系數(shù)u 、比熱c 與熱傳導(dǎo)率k 的影響均忽略不計(jì)，即近似地把它們看作常數(shù)。 1 、位移厚度 若定義一個(gè)厚度使這些被排擠( 或虧損) 的質(zhì)量正好與無(wú)粘性流體在壁面附近厚 度為九的質(zhì)量流量相等，則：p v 。甌= r 。p ( v 。一u ) a y j 。= 舯一) d y ( 2 , 3 4 ) 2 動(dòng)量厚度 在x 無(wú)粘性與有粘性流體通過(guò)微元d y 的動(dòng)量流量分別為, o v 。u d y 與p u2 d y ，孩 處的動(dòng)量流量虧損為倒( v 。一u ) d y ，對(duì)于整個(gè)邊界層總的虧損：f 伊( v 。一u ) d y ，定 義該厚度為氐，使這些被排擠( 或虧損) 的動(dòng)量流量正好與無(wú)粘性流體在壁面附近 厚度為氏的動(dòng)量流量相等，即： 。2 j 。= 7 用( v 。一u ) d y 對(duì)不可壓縮流體有： ，1 5 小r 專”y q 3 5 2 7 小結(jié) 本章主要介紹了固體管壁中粘性流體的流動(dòng)，通過(guò)建立模型給出合理的假設(shè)條 件來(lái)求解粘性流的速度分布情況、溫度分布情況和壓強(qiáng)沿管流的減小情況，具體得 出如下的初步結(jié)論： ( 1 ) 速度分布情況：速度分布呈拋物線形狀，在軸線中心取最大值： u 。= 石1 。刮d pr 0 2 = 亳 一般情況，假設(shè)來(lái)流速度為已知，即為u 。，或由上式根據(jù)2 個(gè)截面處的壓強(qiáng)差 來(lái)確定u 而在固體管壁頂( 底) 端取0 ，圖形形狀的關(guān)于軸線上下呈對(duì)稱性。 ( 2 ) 溫度分布情況：溫度的大小與半徑的四次方有關(guān)，并且在軸心取得最大值： t m 。：t 。+ 譬( 是平均速度，百= 去u ) k 中間涉及到熱量的傳遞情況。 ( 3 ) 由于研究的流體具有很大的粘性，所以我們不能忽視粘層之間的粘滯作用 通過(guò)n s 方程計(jì)算得到： p ( x ) = p s 一半x ( 喲初始臟強(qiáng)) ( 4 ) 能量損耗方面：在彈性管道中，由于流體粘性的作用我們知道流體層之間的 剪切力在流動(dòng)的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生能量的損耗： n 。= 南魯罷= 芒言鬈c r 。是雷諾系數(shù)， 1 6 第三章彈性管壁中充盈粘性流的計(jì)算 彈性管道中不可壓縮粘性流的研究在國(guó)內(nèi)尚處于起步的階段，這一方面在國(guó)外 已經(jīng)發(fā)展了近三、四十年，它有著很廣泛的應(yīng)用前景。國(guó)外生物醫(yī)學(xué)等常采用彈性 管壁粘性流科學(xué)原理的方法，對(duì)血管流病變及心臟動(dòng)脈硬化等的形成過(guò)程進(jìn)行計(jì)算 模擬，取得令人矚目的發(fā)展，這一課題的研究對(duì)我們來(lái)說(shuō)也是有意義的，它不僅可 以為研究血管流、心臟動(dòng)脈等提供幫助，而且還能應(yīng)用到其它的領(lǐng)域，為我們的現(xiàn) 代化建設(shè)服務(wù)。 3 1 模型的建立 假設(shè)彈性管壁管道為變截面的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形管道，半徑為h ( x ) ，并且它隨著內(nèi) 外壓強(qiáng)的變化而發(fā)生變化，管道內(nèi)充滿了粘性系數(shù)較大的流體( 如甘油、潤(rùn)滑油、 血液等) ，不妨設(shè)動(dòng)力粘性系數(shù)為u ，密度為p ，管壁的彈力為f 彈= k 占，( k 為彈 性系數(shù)，舐為管壁的向外擴(kuò)張量) ，f 。為粘層問(wèn)的剪切力。取流體流動(dòng)的方向?yàn)閤 軸，x 軸方向的速度為u ，與x 軸垂直方向?yàn)閥 軸，y 軸方向的速度為v ，同時(shí)假設(shè) 圓管內(nèi)粘性流的流動(dòng)為層流，不考慮渦流、湍流。 下面我們來(lái)描述彈性管壁管流的模型，即：開始輸入的粘性流水平流速均勻， 垂直速度v = o 初始的壓強(qiáng)為p s 。粘性管流由開始的均勻來(lái)流逐漸發(fā)展成水平速度呈 拋物形速度分布的管流，軸線上水平速度最大；由于流體的粘性的作用，流速和壓 強(qiáng)都逐漸降低；由于壓強(qiáng)各向同性，所以彈性管道的管壁擴(kuò)張量也逐漸減小。最后 在無(wú)窮遠(yuǎn)處彈性管壁管流變成恒定的類似于固體管壁的管流。 根據(jù)上面的模型假?zèng)]，彈性管壁管流的速度分布表達(dá)式u ( x ，y ) 應(yīng)該滿足如下的 初邊界條件，即：當(dāng)x = o 時(shí)，u ( x ，y ) = 常數(shù)；水平速度u ( x ，y ) 是關(guān)于y 的方向分布呈 拋物型且是對(duì)稱的，當(dāng)y = o 時(shí)，管道中心的速度u 達(dá)到最大值。 由上面的邊界條件的分析，在固體管壁不可壓縮粘性流速度分布的基礎(chǔ)上，我 們構(gòu)造出如下的彈性管壁不可壓縮粘性流速度分布表達(dá)式： 一1 7 u = p 5 4 - “p o ， h ( x ) 2 _ y 2 ( 1 - e - “) ( 九是關(guān)于p s 、p o 、k 、r o 、肚的常數(shù)) 當(dāng)y = o 時(shí)，管道軸線的速度1 3 _ 達(dá)到最大值，為 u = p 8 4 - “p o h ( x ) 2 3 2 方程的建立 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 彈性管道的管壁由于受到管內(nèi)壓力的作用而發(fā)生向外的擴(kuò)張，設(shè)擴(kuò)張量為 甌，外界的大氣壓為p o 。設(shè)管道入口處的壓強(qiáng)為p s ，在管道上任取一點(diǎn)x ，并設(shè)“ 點(diǎn)的內(nèi)部壓強(qiáng)為p ，相應(yīng)的管道半徑為h ( x ) 。 p jlj h ( x ) 圖3 1管壁受力平衡圖 f = k 8 y 由彈性管壁在垂直方向的擠壓力平衡得： ( p p j ) d x = 一k = f ( 3 3 ) 我們假設(shè)所選取的彈性管壁管道的壓強(qiáng)由于流體的粘性作用而逐漸的減小，并 且在無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)為p o ，根據(jù)上面的條件我們構(gòu)造出如下的壓強(qiáng)分布： p = p o + ( p 。一p o ) e 4 。( 九是同上的常數(shù))( 34 ) 下面來(lái)推導(dǎo)h ( x ) ，令d h = 8 y ， 由( 3 3 ) 和( 3 4 ) 可得： 罷一廿p o ) 一半e 一“ b s ， 兩邊分別對(duì)x 進(jìn)行積分得： 一1 8 h ( x ) = p , k - 五p 0 e - a x + c 2 代入邊界條件，當(dāng)x 一+ c o ，h = r 。，從而c ：= h 代入上式得： h ( x ) = 導(dǎo)e - a x + r o ( 3 6 ) 進(jìn)一步得o h ，( x ) ：一譬量。n 將( 3 1 ) 分別對(duì)x 、y 求導(dǎo)，并令口：旦二蔓得： 4 t 竺：d 2 h ( x ) h ( x ) 一2 y 2 - e - “ 嬰= 一2 口y ( 1 一e 。) 0 3 粵：也(1百n)oy 2 、7 拿：口 2 ( 1 1 一( x ) ) z + 2 h 一( x ) h ( x ) + 2 2 y 2 e - a - x 】 刁x 由連續(xù)性方程當(dāng)：一宴可得： d v似 當(dāng)= 一口 2 h ( x ) h ( x ) 一匆2 e - 2 x 】 由( 3 1 2 ) 解得： v ：口y 已y ：e ax 一2 h ( x ) h ，( x ) + c 3 根據(jù)邊界條件y = + h ( x ) ，v = 0 4 l z ( 3 1 3 ) 得： c 。：甜_ h ( x ) 已h ( x ) z e “x 一2 h ( x ) h 一( x ) 】 c 3 2 = 口h ( x ) 【蕓h ( x ) 2 e 。x 一2 h ( x ) h ( x ) 所以彈件管漕的7 k 平和乖盲方向的涼摩分別為： 1 9 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ru ：生旦 h ( x ) z y z ( 1 一e 。x ) i ， v 。= a - ( y “( x ) ) 導(dǎo)y 2 e 。1 2 h ( x ) h ( x ) 當(dāng)o y h ( x )( 3 1 4 ) ij ， lv ：= d ( y + h ( x ) ) 要y2 e 一2 。一2 h ( x ) h ( x ) 】當(dāng)h ( x ) y o( 3 1 5 ) 在0 5y h ( x ) 區(qū)域，v l 0 ，方向向下；在- 1 1 ( x ) 0 ，方向 向上；當(dāng)y = 0 時(shí)：v 0 = v l f 0 1 + v 2 ( 0 ) = 0 ，即在y = 0 時(shí)，v 實(shí)際上是v l 和v 2 的疊加。 將上面的計(jì)算結(jié)果代入n s 方程，通過(guò)待定系數(shù)法可以求解常數(shù)九的值。由于 計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，本文在此不給出其求解過(guò)程，求解過(guò)程有待以后經(jīng)過(guò)詳細(xì)推演 后再給出其求解并代入如上的n s 方程進(jìn)行檢驗(yàn)。 由上面結(jié)果知道： 占，= h ( x ) 一r 0 = 等t e 一 ( 3 1 6 ) 由上式我們可以計(jì)算彈性管道上任意點(diǎn)的擴(kuò)張量。 3 3 模型的應(yīng)用前景 彈性管道中輸入的是脈沖流時(shí)，這種模型具有很強(qiáng)的實(shí)際意義，它可以看作是 血管流的雛形。我們可以通過(guò)研究管流來(lái)模擬血管流，加深對(duì)血管流的了解和理論 研究可以為醫(yī)學(xué)上治療血管、血壓等疾病提供幫助。影響血壓的因素有輸出量、動(dòng) 脈外周阻力和動(dòng)脈壁的彈性等。下面簡(jiǎn)單介紹動(dòng)脈壁的彈性與血壓關(guān)系：當(dāng)心室收 縮將血液射入主動(dòng)脈時(shí)，血液的流動(dòng)就會(huì)受到動(dòng)脈外周的阻力( 例如，小動(dòng)脈和微 動(dòng)脈的管腔小，血液與血管內(nèi)壁摩擦以及血液自身的摩擦而產(chǎn)生的阻力十分明顯) ， 使得血液不能全部流過(guò)，致使部分血液暫時(shí)滯留在動(dòng)脈中。這樣，由于血液壓迫動(dòng) 脈壁而使得動(dòng)脈血壓升高，同時(shí)迫使動(dòng)脈壁的彈性纖維拉長(zhǎng)，管腔擴(kuò)張，緩沖了心 縮期的血壓，使之不至于過(guò)高，當(dāng)心室舒張停止射血時(shí)，主動(dòng)脈血壓雖然下降，但 仍能維持一定的高度，這是由于動(dòng)脈壁的彈性回縮作用，才。使得心舒期的血壓維持 在一定的高度而不至于過(guò)低。由此可見(jiàn)，動(dòng)脈管壁具有彈性的生理意義在于：l 塒動(dòng) 脈血壓有緩沖作用，使收縮壓不至過(guò)高，舒張壓不至過(guò)低；2 心臟節(jié)律性地舒縮，斷 續(xù)地把血射入動(dòng)脈，而動(dòng)脈壁的彈性作用能使血液在血管內(nèi)連續(xù)不斷地流動(dòng)。 進(jìn)一步的工作將對(duì)彈性管壁上邊界層進(jìn)行研究，在管壁處速度u = 0 ，v = 0 ，在邊 2 0 界層外端仍保持0 ，而u 根據(jù)式( 3 1 ) 確定，同固壁中的問(wèn)題一樣，還應(yīng)考慮溫度 場(chǎng)變化，此時(shí)熱效應(yīng)及其傳遞問(wèn)題更具有實(shí)際意義。 3 4 小結(jié) 本章主要介紹了彈性管道中不可壓縮粘性流體的流動(dòng)，通過(guò)建立合理的數(shù)學(xué)模 型，根據(jù)初邊值條件，構(gòu)造出水平方向的速度分布以及壓強(qiáng)沿水平方向的分布。具 體得出了如下的結(jié)論： 速度方面：我們解出了彈性管道水平和垂直方向的速度，請(qǐng)參見(jiàn)式f 3 1 1 、 ( 3 1 4 ) 和式( 3 1 5 ) 壓強(qiáng)方面： 在彈性管道中，由于粘性的作用，壓強(qiáng)隨著水平方向而逐漸 的減小，根據(jù)入口處和無(wú)窮遠(yuǎn)處的條件即可構(gòu)造出( 3 4 ) 式。 擴(kuò)張量方面：在彈性管道中，根據(jù)豎直方向的擠壓力的平衡可以計(jì)算出 管道中任意一點(diǎn)的擴(kuò)張量，如式( 31 6 ) 一2 1 第四章總結(jié)和展望 4 1 全文總結(jié) 本文對(duì)管道中不可壓縮粘性流進(jìn)行了理論上的研究，首先以簡(jiǎn)單的固體管道為 模型，來(lái)推出不可壓縮粘性流的速度、溫度、邊界層速度、壓強(qiáng)等變量的分布情況： 為彈性管道不可壓縮粘性流的研究提供理論準(zhǔn)備： 壓強(qiáng)與x 成一定的關(guān)系： 在固體管道中成線性減小的關(guān)系，見(jiàn)式( 22 6 ) 。 在彈性管道中成指數(shù)減小的關(guān)系，見(jiàn)式( 3 4 ) 。 溫度與半徑的四次方成正比，見(jiàn)式( 2 2 8 ) 。 粘性損耗與速度平方成正比，見(jiàn)式( 2 3 3 ) 。 建立了彈性管壁中壓強(qiáng)p 、半徑h (