一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,韋達(dá),平昌縣得勝中學(xué)任璟,-,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1、x2,則,.,.,計(jì)算并填空,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,證明：設(shè)ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1、x2,則,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=,-,注：能用公式的前提條件為=b2-4ac0,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用X1+X2=時(shí)，注意“”不要漏寫。,如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=.,P,q,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又稱之為韋達(dá)定理.,說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：,(1)x2-2x-1=0,(3)2x2-6x=0,(4)3x2=4,(2)2x2-3x+=0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,說一說：,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值.,解法一：,設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.,由根與系數(shù)的關(guān)系，得,2x2=k+1,2x2=3k,解這方程組，得,x2=3,k=2,答：方程的另一個(gè)根是3,k的值是2.,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值。,解法二：,設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解這方程，得k=-2,由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x23k,即2x26,x23,答：方程的另一個(gè)根是3,k的值是2.,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,例2、方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);(4).,另外幾種常見的求值:,1、已知方程3x219x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值。,2、設(shè)x1,x2是方程2x24x3=0的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值.,解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2,則x2+1=,x2=,又x21=,m=3x2=16,解：,由根與系數(shù)的關(guān)系,得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,試一試：,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,4,1,14,12,則：,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.,4.已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是且，求k的值.,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x22=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8當(dāng)k=4時(shí)，=-80k=4(舍去）當(dāng)k=-2時(shí)，=40k=-2,解得：k=4或k=2,探究：,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,6.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)x12-x22=0時(shí)，求m的值.,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,6.（2013荊州）已知：關(guān)于x的方程kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2,且x1x2=2,求k的值.,2、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；3、靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題.,1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？,小結(jié)：,2019/12/13,19,可編輯,17.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,（第二課時(shí)）,下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？.X23X+1=0.3X22X=2.2X2+3X=0.3X2=1,基本知識(shí),在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用X1+X2=時(shí)，注意“”不要漏寫.,練習(xí)1,已知關(guān)于x的方程,當(dāng)m=時(shí),此方程的兩根互為相反數(shù).,當(dāng)m=時(shí),此方程的兩根互為倒數(shù).,1,1,分析:1.,2.,練習(xí)2,設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為則:的值為()A.1B.1C.D.,A,練習(xí)三,以為兩根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)為:,二、已知兩根求作新的方程,練習(xí):1.以2和為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為）為：,題5以方程X2+3X-5=0的兩個(gè)根的相反數(shù)為根的方程是（）A、y23y-5=0B、y23y-5=0C、y23y5=0D、y23y5=0,B,分析:設(shè)原方程兩根為則:,新方程的兩根之和為,新方程的兩根之積為,題6已知兩個(gè)數(shù)的和是1，積是-2，則兩個(gè)數(shù)是。,2和-1,解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:,解得:,x=2y=1,或,1y=2,解法(二):設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程的兩根則:,求得,兩數(shù)為2,三已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù),題7如果1是方程的一個(gè)根，則另一個(gè)根是_=_。,（還有其他解法嗎？),-3,四求方程中的待定系數(shù),求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,小結(jié)：1、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；2、靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題；3、探索解題思路，歸納解題思想方法。,8、已知關(guān)于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0)(1)此方程有實(shí)數(shù)根嗎？（2）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且（x1-3)(x2-3)=m，求m的值。,拓廣探究,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,題9方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍。,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,一正根，一負(fù)根,0X1X20,兩個(gè)正根,0X1X20X1+X20,兩個(gè)負(fù)根,0X1X20X1+X20,求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式,請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程x2x10，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設(shè)所求方程的根為y，則y2x，所以x把x代入已知方程，得()210化簡(jiǎn)，得y22y40故所求方程為y22y40這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一