“十 校” 2015 屆 高 三第一次 聯(lián)考 理科數(shù)學 本試卷共 6 頁， 21 小題， 滿分 150 分 考試用時 120 分鐘 注意事項： 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上 2選擇題每小題選出答案后，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將答案填寫在答題卡上對應題目的序號下面，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選填其他答案，答案不能答在試卷上 3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案 ；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效 4作答選做題時，請先用 2B 鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效 5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回 第卷 （選擇題 共 4 0 分） 一 選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1設(shè)集合 23, logPa， ,Q a b ，若 0PQ ，則 PQ （ ） A 3,0 B 3,0,2 C 3,0,1 D 3,0,1,2 2 如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)1z，2z對應的向量分別 是 OA ， OB ，則復數(shù) 12zz 對應的點位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 已知等差數(shù)列 na中，2 5a ，4 11a ，則前 10 項和 10S（ ） A 55 B 155 C 350 D 400 4學校為了解學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了 n 個同學進行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學的支出都在 10,50) （單 位：元），其中支出在 30,50 （單位：元）的同學 有 67 人，其頻率分布直方圖如右圖所示，則 n 的值為（ ） A 100 B 120 C 130 D 390 5 平面四邊形 ABCD 中 0AB CD， ( ) 0A B A D A C ，則四邊形 ABCD 是 （ ） A 矩形 B 梯形 C 正方形 D 菱形 6 一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是腰長為 1 的等腰 直角三角形，則這個幾何體的體積是 A21 B 1 C23 D 2 7 下列命題：函數(shù) 22( ) s i n c o sf x x x的最小正周期是 ； 函數(shù) 1( ) (1 )1xf x xx是偶函數(shù)； 若11 1 ( 1 )a d x ax ，則 ae ； 橢圓)0(32 22 mmyx的離心率不確定。 其中所有的真命題是（ ） A. B. C. D. 8 設(shè)三位數(shù) abcn ，若以 cba , 為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù) n 有 ( ) A 45 個 B 81 個 C 165 個 D 216 個 第卷（非選擇題 共 110 分） 二、填空題： 本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分 （一）必做題（ 9 13 題） (一 )必做題 (9 13 題 ) 9 已 知 0,23)2s in (，則 tan =_ 10若 5 2 3 4 50 1 2 3 4 5( 1 2 ) ,x a a x a x a x a x a x 則 a3= 。 11. 右圖是一個算法的程序框圖，最后輸出的 W _. 12 在區(qū)間 5,5 內(nèi)隨機地取出一個數(shù) a ， 使得 221 | 2 0 x x a x a 的 概率 為 13 兩千多年前， 古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù) ，按照點或小石子 能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖 4中的實心點個數(shù) 1， 5， 12， 22， 被稱為五角形數(shù)，其中第 1個五角形數(shù)記作1 1a，第 2個五角形數(shù)記作2 5a ，第 3個五角形數(shù)記作3 12a ，第 4個五角形數(shù)記作4 22a ， 若按此規(guī)律繼續(xù)下去，若 145na ，則 n （二）選做題：第 14、 1 5 題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分 14.(坐標系與參數(shù)方程選講 選做題 )已知在平面直角坐標系 xoy 中圓 C 的參數(shù)方程為 ： 3 3 c o s1 3 s i nxy ，（ 為參數(shù)），以 OX 為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為 ： 5 12 1 22 圖 4 ,0)6c o s ( 則圓 C 截直線所得弦長為 . 15.(幾何證明選講 選做題 )如圖， ABC 是 的內(nèi)接三角形， PA 是 的切線， PB 交 AC 于點 E,交 于點 D， PA=PE, 60 ABC ， PD=1， PB=9，則 EC= 三、解答 題 （ 本大 題 共 6 小 題 ，滿分 75 分 ， 解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 ） 16 （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 31( ) s i n c o s 22f x x x, xR （ 1）求函數(shù) ()fx的最大值和最小值； （ 2）設(shè)函數(shù) ()fx在 1,1 上的圖象與 x 軸的交點從左到右分別為 M、 N，圖象的最高點為P , 求 PM 與 PN 的夾角的余弦 17 （本小題滿分 12 分） PM2.5是指大氣中直徑小于或等于 2.5微米的顆粒物，也稱為可 入肺顆粒物。我國 PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即 PM2.5日均值在 35微克 /立方米以下空氣質(zhì)量 為一級；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在 75 微克 /立方米以上空氣質(zhì)量為超標 某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū) 2011年全年每天的 PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取 15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉） （ I）從這 15 天的 PM2.5 日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，求 恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率 ； （ II）從這 15 天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記 表示抽到 PM2.5 監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求 的分布列 ； （ III）以這 15 天的 PM2.5 日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況， 則一 年（按 360 天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到 一級或二級 T SRNMPyxO 19（本小題滿分 14 分） 設(shè)nS為數(shù)列 na的前 n 項和，對任意的 nN， 都有 ( 1)nnS m m a (m 為 正 常數(shù) ) （ 1）求證：數(shù)列 na是 等比數(shù)列； （ 2） 數(shù)列 nb滿足11112 , , ( 2 , )1 nnnbb a b n n Nb ，求數(shù)列 nb的通項公式 ； （ 3）在滿足（ 2）的條件下，求數(shù)列 )1cos(2 1 nb nn 的前 n 項和 nT 20（本大題滿分 14 分）如圖，已知橢圓 C ： 22 1 ( 0 )xy abab 的離心率為 32，以橢圓 C 的左頂點 T 為圓心作圓 T ： 2 2 2( 2 ) ( 0 )x y r r ，設(shè)圓 T 與橢圓 C 交于點 M 與點 N （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）求 TM TN 的最小值，并求此時圓 T 的方程； （ 3）設(shè)點 P 是 橢圓 C 上異于 M , N 的任意一點， 且直線 ,MP NP 分別與 x 軸交于點 ,RS， O 為坐標原點， 求證： OR OS 為定值 21（本大題滿分 14 分） 已知函數(shù) 2 2( ) l n ( 2 1 ) 2 ( ) .3xf x a x x a x a R （ 1）若 x=2 為 ()fx的極值點，求實數(shù) a 的值； （ 2）若 ()y f x 在 3, 上為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 3）當 12a時，方程 3(1 )(1 )3 xbfx x 有實根，求實數(shù) b 的最大值。 理科數(shù)學 答案 一、選擇題 C B B A D A D C 1. 【答案】 C 【解析】由 0PQ ,得2log 0a ， 1a ， 從而 =0b ， 3, 0 ,1PQ ， 2 【答案】 B 【解析】 復數(shù)1 2zi ，2zi，1 222 ( 2 ) 12z i i i iz i i ， 3 【答案】 B 【解析】由 21 1 1 0 ( 1 0 1 )1 0 1 2415 2 1 0 1 5 53 1 1 3a a d a S a da a d d 。 4 【答案 】 A 【解析】 支出在 30,50 的同學的頻率為 67.010)023.001.0(1 ， 10067.067 n 。 5 【答案】 D 【解析】 0A B C D A B C D D C A B C D 是 平 行 四 行 邊 形， ( ) 0A B A D A C D B A C D B A C ， A B C D 平 行 四 行 邊 形 是 菱 形。 6 【答案】 A 【解析】 四棱錐 如圖， 1 1 2 1( 1 2 ) 23 2 2 2V 7 【答案】 D 【解析】 22 2( ) ( c o s s i n ) c o s 2 , 2f x x x x T 1 0 1 11 x xx , ()fx定義域不關(guān)于原點對稱， ()fx不是偶函數(shù)。 若11 l n l n l n 1 l n 11a ad x x a a a ex ，則 ae ； ,132)0(322222 mymxmmyx3 331,3,2 22222222 eaaacembma b（確定） 8 【答案】 C 【解析】 cba , 要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為 0。即 9,3,2,1, cba （ 1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為 1n ，由于三位數(shù)中三個數(shù)碼都相同，所以，。 9191 Cn（ 2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為 2n ，由于三位數(shù)中只有 2 個不同數(shù)碼。設(shè)為 a、 b， 注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（ a， b）共有 292C組。但當大數(shù)為底時，設(shè) ab，必須滿足 bab 2 。此時，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4， 3 2， 1 4， 3 2， 1 3， 2 1 3， 2 1 1， 2 1， 2 1 1 共 20 種情況。 同時，每個數(shù)碼組（ a， b）中的二個數(shù)碼填上三個數(shù)位，有 23C種情況。 故 1 5 6)202( 29232 CCn， 。 綜上， 16521 nnn 。 二 、 填空 題 ： 933； 10 80 ； 11 22 ； 13 10 ； 14 24 ； 15 4 。 9【答案】33 【解析】 0,2 3c o s)2s in (所以 030 ， tan =33 10 【答案】 80 【解析】 333513 80)2( xxCT ， 803 a 11 【答案】 22 【解析】第 1 次運算得： S=1， T=3 ；第 2 次運算得： S=8 ， T= 5 ；第 3次運算得： S=25 8 =1710, 這時 輸出的 W 17+5=22 12 【答案】 310 【解析】由 221 | 2 0x x a x a ，得 2 20aa 12a ， 所以所求概率為 310 13 【答案】 10 【解析】由于2 1 3 2 4 34 , 7 , 1 0 ,a a a a a a ， 類比得1 4 3 ( 1 ) 1 3 2nna a n n 所以1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 1 4 7 ( 3 2 )n n na a a a a a a a n 1 3 2 3 122nnnn ，由 31 1452n nan，得 10n 或 293n （舍） 14 【答案】 24 【解析】 圓 C 的參數(shù)方程為 3 3 c o s1 3 s i nxy 的 圓心為 )1,3( ,半徑為 3, 直線普通方程為 31( c o s c o s s i n s i n ) 06 6 2 2xy ,即 30xy , 圓心 C )1,3( 到直線 30xy 的距離為 2| 3 1 | 131d, 所以 圓 C 截直線所得弦長 2 2 2 2| | 2 2 3 1 4 2A B r d 15 【答案】 4 【解析】 弦切角 060 AB CP AE ，又 PA=PE, 所以 PAE 為等邊三角形，由切割線定理有 92 PBPDPA ，所以 AE=EP=PA=3， ED=EP PD=2， EB=PB PE=9 3=6，由相交弦定理有： 12 EDEBEAEC 4312 EC 三、解答題： 16解： （ 1） 31 ( ) s i n c o s s i n ( )2 2 6f x x x x ， 3 分 xR ， 1 s i n ( )16x ， 函數(shù) ()fx的最大值和最小值分別為 1， 1 5 分 （ 2） 解法 1：令 ( ) s i n ( )06f x x 得 ,6x k k Z 6 分 1,1x ， 16x或 56x， 15( , 0 ) , ( , 0 ) .66MN 8 分 由 s in ( )16x ，且 1,1x 得 13x， 1( ,1),3P 9 分 11( , 1 ) , ( , 1 ) ,22P M P N 10 分 c o s ,| | | |P M P NP M P NP M P N35 12 分 解法 2：過點 P 作 PA x 軸于 A ,則 | | 1,PA 6 分 由三角函數(shù)的性質(zhì)知 1| | 12M N T, 2215| | | | 1 ( )22P M P N , 8 分 由余弦定理得 2 2 2| | | | | |c o s ,2 | | | |P M P N M NP M P NP M P N=5 21345 524 12分 解法 3：過點 P 作 PA x 軸于 A ,則 | | 1,PA 6 分 由三角函數(shù)的性質(zhì)知 1| | 12MN T, 2215| | | | 1 ( )22P M P N 8 分 在 RtPAM 中， | | 1 2 5c o s | | 552PAM P APM 10 分 PA 平分 MPN ， 2c o s c o s 2 2 c o s 1M P N M P A M P A 22 5 32 ( ) 155 12 分 17.解： （ ）記 “ 從 15 天的 PM2.5 日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級 ” 為事件 A ， 125 1 031545()91CCPAC. 4 分 （ ）依據(jù)條件， 服從超幾何分布：其中 1 5 , 5 , 3N M n ， 的可能值為 0,1,2,3 5 分 其分布列為： 35 1 03150 , 1 , 2 , 3kkCCP k kC . 8分 （ ）依題意可知， 一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級 的概率為 10 215 3P ， 9分 0 1 2 3 P 2491 4591 2091 291 一年中空氣質(zhì)量達到 一級或二級 的天數(shù)為 ，則 2(360, )3B 10 分 23 6 0 2 4 03E ， 11 分 一年中平均有 240 天的空氣質(zhì)量達到一級或二級 12 分 18.證明：記 PD 中點為 F 。連結(jié) EF 、 FA ，則 AB ,21CD FE ,21CD所以 AB FE1 分 所以 FABE 為平行四邊形。 AFBE / 2 分 又 PADAF 面 , PADEF 面 PADBE 面/ 4 分 （ 2 ）連結(jié) BD 在 直 角 梯 形 ABCD 中。 090A D C D A B ，2 2 2( ) 2B C A D D C A B ， 2 2 2 2B D A D A B ，所以 2 2 24B D B C C D ，BDBC 5 分 P C DPDCDPDCDA B C DP C DA B C DP C D面面面面面ABCDPD 面 BCPD ， 6 分 又 BDBC ， DPDBD PDBBC 面 ， 7 分 而 PBCBC 面 面 PBD 面 PBC 8 分 19 （本 小 題滿分 14 分 ） （ 1） 證明 ： 當 1n 時，1 1 1( 1 )a S m m a ，解得1 1a 1 分 當 2n 時，11n n n n na S S m a m a 即1(1 ) nnm a m a 2 分 又 m 為常數(shù)，且 0m， 1( 2 )1nna m nam 數(shù)列 na是首項為 1，公比為1mm的等比數(shù)列 3 分 （ 2） 解：1122ba 4 分 111nnnbb b ， 1111nnbb，即111 1 ( 2 )nnnbb 5 分 1nb是首項為 12，公差為 1 的等差數(shù)列 6 分 1 1 2 1( 1 ) 122n nnb ，即 2 ()21nb n Nn 7 分 （ 3）解：由（ 2）知 221nb n ，則nnnn nnb 2)12()1()1c o s (2 11 所以 nnn nT 2)12()1(27252321 1432 8 分 當 n 為偶數(shù)時， 2)12(27232)32(292521 42153 nnn nnT 令 153 2)32(292521 nnS 則 1753 2)32(2)72(2925214 nn nnS - 得 1153 2)32(242424213 nn nS = 1123 2)32(41)41(2421 nn n =3 2)32(3232613 nn n=3 2)136(261 nn 9 2)136(261 nnS 10分 令 nnS 2)12(2723 42/ 264/ 2)12(2)52(27234 nn nnS - 得 2642/ 2)12(242424233 nn nS = 2124 2)12(41)41(2412 nn n =3 2)12(32643624 nn n=3 2)76(282 nn 9 2)76(282/ nnS 11 分 9 22)16(9 2)76(289 2)136(26121/ nnnnnnnSST 12 分 當 n 為奇數(shù)時， n-1 為偶數(shù) , nnnnnn nnnTT 2)12(9 221)1(62)12()1( 11 =9 22)16(9 22)212(9 2)918(22)76(1 nnnn nnnn 為奇數(shù)）為偶數(shù)）nnnnTnnn(922)16(922)16(11 14 分 法 二 ： nnn nT 2)12()1(27252321 1432 1115432 2)12()1(2)32()1(272523212 nnnnn nnT 9分 - 得： 1115432 2)12()1(22)1(22222222213 nnnnn nT 10 分 = 1113 2)12()1()2(1)2(122 nnn n 12 分 =3 2)12()1(32)1(861121 nnnn n 3 2)1(2)16(3 )1(2)362(21111 nnnn nn 13 分9 22)16()1(11 nnnnT 14 分 20.本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想 解：（ 1）依題意，得 2a ， 32ce a， 1,3 22 cabc ； 故橢圓 C 的方程為 2 2 14x y 3 分 （ 2）方法一：點 M 與點 N 關(guān)于 x 軸對稱，設(shè) ),( 11 yxM ， ),( 11 yxN ， 不妨設(shè) 01 y 由于點 M 在橢圓 C 上，所以412121xy （ *） 4 分 由已知 ( 2,0)T ，則 ),2(11 yxTM ， ),2(11 yxTN ， 21211111 )2(),2(),2( yxyxyxTNTM 3445)41()2( 1212121 xxxx 51)58(45 21 x 6 分 由于 221 x，故當581 x時， TM TN 取得最 小值為 15 由（ *）式，531 y，故 83( , )55M ，又點 M 在圓 T 上，代入圓的方程得到 2 1325r 故圓 T 的方程為： 22 13( 2 )25xy 8 分 方法二：點 M 與點 N 關(guān)于 x 軸對稱，故設(shè) ( 2 c o s , s i n ) , ( 2 c o s , s i n )MN ， 不妨設(shè) sin 0 ，由已知 ( 2,0)T ，則 )s in,2c os2()s in,2c os2( TNTM 3co s8co s5s i n)2co s2( 222 51)54( c o s5 2 6 分 故當 4cos5 時， TM TN 取得最小值為 15，此時 83( , )55M ， 又點 M 在圓 T 上，代入圓的方程得到 2 1325r 故圓 T 的方程為： 22 13( 2 )25xy 8 分 (3) 方法一：設(shè) ),(00 yxP，則直線 MP 的方程為： )(010 100 xxxxyyyy ， 令 0y ，得101001 yy yxyxx R ， 同理：101001 yy yxyxx S ， 10 分 故212021202021yyyxyxxxSR （ *） 11 分 又點 M 與點 P 在橢圓上，故 )1(4 2020 yx ， )1(4 2121 yx ， 12 分 代入（ *）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021 yyyyyyyyyyxxSR 所以 4SRSR xxxxOSOR為定值 14 分 方法二：設(shè) ( 2 c o s , s i n ) , ( 2 c o s , s i n )MN ，不妨設(shè) sin 0 ， )sin,cos2( P ，其中 sinsin 則直線 MP 的方程為： )c o s2(c o s2c o s2 s ins ins in xy， 令 0y ，得 s ins in )s inc o sc o s( s in2 Rx， 同理： s ins in )s inc o sc o s( s in2 Sx， 12 分 故 4s i ns i n )s i n( s i n4