湖南省益陽市 2013 年中考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 8小題，每小題 4分，共 32 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1（ 4 分）（ 2013益陽）據(jù)益陽市統(tǒng)計局在網(wǎng)上發(fā)布的數(shù)據(jù)， 2012 年益陽市地區(qū)生產(chǎn)總值（ GDP）突破千億元大關(guān)，達到了 1020億元，將 102 000 000 000 用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（ ） A 1.021011 B 10.21010 C 1.021010 D 1.21011 考點 ： 科學(xué)記數(shù)法 表示較大的數(shù) 分析： 科學(xué)記數(shù)法 的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 為整數(shù)確定 n 的值時，要看把原數(shù)變成 a 時，小數(shù)點移動了多少位， n 的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當(dāng)原數(shù)絕對值 1 時， n 是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值 1 時， n 是負數(shù) 解答： 解：將 102 000 000 000 用科學(xué)記數(shù)法表示為： 1.021011 故選： A 點評： 此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值 2（ 4 分）（ 2013益陽）下列運算 正確的是（ ） A 2a3a=6 B （ ab2） 2=ab4 C （ a+b）（ a b） =a2 b2 D （ a+b） 2=a2+b2 考點 ： 平方差公式；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式；整式的除法 分析： 根據(jù)單項式的除法法則，以及冪的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判斷 解答：x k b 1 .co m 解： A、 2a3a=2a2，故選項錯誤； B、（ ab2） 2=a2b4，故選項錯誤； C、正確； D、（ a+b） 2=a2+2ab+b2，故選項錯誤 故選 C 點評： 本題考查了平方 差公式和完全平方公式的運用，理解公式結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵，需要熟 練掌握并靈活運用 3（ 4 分）（ 2013益陽）分式方程 的解是（ ） A x=3 B x= 3 C x= D x= 考點 ： 解分式方程 專題 ： 計算題 分析： 分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解 解答： 解：去分母得： 5x=3x 6， 解得： x= 3， 經(jīng)檢驗 x= 3 是分式方程的解 故選 B 點評： 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “轉(zhuǎn)化思想 ”， 把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解解分式方程一定注意要驗根 4（ 4 分）（ 2013益陽）實施新課 改以來，某班學(xué)生經(jīng)常采用 “小組合作學(xué)習(xí) ”的方式進行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)委員小兵每周對各小組合作學(xué)習(xí)的情況進行了綜合評分下表是其中一周的統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 組 別 1 2 3 4 5 6 7 分 值 90 95 90 88 90 92 85 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ） A 88， 90 B 90， 90 C 88， 95 D 90， 95 考點 ： 眾數(shù)；中位數(shù) 分析： 根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，結(jié)合 表格和選項選出正確答案即可 解答： 解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為： 85， 88， 90， 90， 90， 92， 95， 故中位數(shù)為： 90， 眾數(shù)為： 90 故選 B 點評： 本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義 5（ 4 分）（ 2013益陽）一個物體由多個完全相同的小正方體組成，它的三視圖如圖所示，那么組成這個物體的小正方體的個數(shù)為（ ） A 2 個 B 3 個 C 5 個 D 10 個 考點 ： 由三視圖判斷幾何體 分析： 從主視 圖與左視圖可以得出此圖形只有一排，從俯視圖可以驗證這一點，從而確定個數(shù) 解答：w!w!w.!x !k !b !1.com 解：從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排，只能得出一共有 5 個小正方體， 從俯視圖可以驗證這一點，從而確定小正方體總個數(shù)為 5 個 故選； C 點評： 此題主要考查了由三視圖判定幾何體的形狀，此問題是中考中熱點問題，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握 6（ 4 分）（ 2013益陽）如圖，在平行四邊形 ABCD 中，下列結(jié)論中錯誤的是（ ） A 1= 2 B BAD= BCD C AB=CD D AC BD 考點 ： 平行四邊形的性質(zhì) 分析： 根據(jù)平行 四邊形的性質(zhì)，平行四邊形對邊平行以及對邊相等和對角相等分別判斷得出即可 解答： 解： 在平行四邊形 ABCD 中， AB CD， 1= 2，故此選項正確，不合題意； 四邊形 ABCD 是平行四邊形， BAD= BCD， AB=CD，故 B， C 選項正確，不合題意； 無法得出 AC BD，故此選項錯誤，符合題意 故選 D 點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵 7（ 4 分）（ 2013益陽） 拋物線 y=2（ x 3） 2+1 的頂點坐標是（ ） A （ 3， 1） B （ 3， 1） C （ 3， 1） D （ 3， 1） 考點 ： 二 次函數(shù)的 性質(zhì) 分析： 根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可 解答： 解：拋物線 y=2（ x 3） 2+1 的頂點坐標是（ 3， 1） 故選 A 點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點式解析式是解題的關(guān)鍵 8（ 4 分）（ 2013益陽）已知一次函數(shù) y=x 2，當(dāng)函數(shù)值 y 0 時，自變量 x 的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A B C D 考點 ： 在數(shù)軸上表示不等式的解集；一次函數(shù)的性質(zhì) 分析： 由已知條件知 x 2 0，通過解不等式可以求得 x 2然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可 解答： 解： 一次函數(shù) y=x 2， 函數(shù)值 y 0 時， x 2 0， 解得， x 2， 表示在數(shù)軸上為： 故選 B 點評： 本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（，向右畫；， 向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式 組的解集有幾個就要幾個在表示解集時 “”， “”要用實心圓點表示； “ ”， “ ”要用空心圓點表示 二、填空題（本大題共 5小題，每小題 4分，共 20 分把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上） 9（ 4 分）（ 2013益陽）因式分解： xy2 4x= x（ y+2）（ y 2） 考點 ： 提公因式法與公式法的綜合運用 分析： 先提取公因式 x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解 解答： 解： xy2 4x， =x（ y2 4）， =x（ y+2）（ y 2） 點評： 本題主要考查提公因式法分解因式 和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，難點在于要進行二次因式分解 10（ 4 分）（ 2013益陽）化簡： = 1 考點 ： 分式的加減法 專題 ： 計算題 分析： 由于兩分式的分母相同，分子不同，故根據(jù)同分母的分式相加減的法則進行計算即可 解答： 解：原式 = =1 故答案為： 1 點評： 本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減 11（ 4 分）（ 2013益陽）有三張大小、形狀及背面完全相同的卡片，卡片正面分別畫有正三角形、正方形 、圓，從這三張卡片中任意抽取一 張，卡片正面的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是 考點 ： 概率公式；軸對稱圖形；中心對稱圖形 分析： 由正三角形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是正方形、圓，利用概率公式即可求得答案 解答： 解： 正三角形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是正方形、圓， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率是： 故答案為： 點評： 此題考查了概率公式的應(yīng)用注意概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比 12（ 4 分）（ 2013益陽）如 圖，若 AB是 O 的直徑， AB=10cm， CAB=30，則 BC= 5 cm 考點 ： 圓周角定理；含 30 度角的直角三角形 分析： 根據(jù)圓周角定理可得出 ABC 是直角三角形，再由含 30角的直角三角形的性質(zhì)即可得出 BC 的長度 解答： 解： AB 是 O 的直徑， ACB=90， 又 AB=10cm， CAB=30， BC=AB=5cm 故答案為： 5 點評： 本題考查了圓周角定理及含 30角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理判斷出 ACB=90 13（ 4 分 ）（ 2013益陽）下表中的數(shù)字是按一定規(guī)律填寫的，表中 a 的值應(yīng)是 21 1 2 3 5 8 13 a 2 3 5 8 13 21 34 考點 ： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類 分析： 根據(jù)第一行第 3 個數(shù)是前兩個數(shù)值之和，進而得出答案 解答： 解：根據(jù)題意可得出： a=13+5=21 故答案為： 21 點評： 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字的變與不變是解題關(guān)鍵 三、解答題（本大題共 2 小題，每小題 6分，共 12分） 14（ 6 分）（ 2013益陽）已知： a= ， b=| 2|， 求代數(shù)式： a2+b 4c 的值 考點 ： 代數(shù)式求值 專題 ： 計算題 分析： 將 a， b 及 c 的值代入計算即可求出值 解答： 解：當(dāng) a= ， b=| 2|=2， c=時， a2+b 4c=3+2 2=3 點評： 此題考查了代數(shù)式求值，涉及的知識有：二次根式的化簡，絕對值，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵 15（ 6 分）（ 2013益陽）如圖，在 ABC 中， AB=AC， BD=CD， CE AB于 E求證： ABD CBE 考點 ： 相似三角形的判定 專題 ： 證明題 分析： 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得 AD BC，然后求出 ADB= CEB=90，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明 解答： 證明：在 ABC 中， AB=AC， BD=CD， AD BC， CE AB， ADB= CEB=90， 又 B= B， ABD CBE 點評： 本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡單，確定出兩組對應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵 四、解答題（本大題共 3 小題，每小題 8分，共 24分） 16（ 8 分）（ 2013益陽） 我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為 18 的條件下生長最快的新品種圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度 y（ ）隨時間 x（小時）變化的函數(shù)圖象，其中 BC 段是雙曲線的一部分請根據(jù)圖中信息解答下列問題： （ 1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度 18 的時間有多少小時？ （ 2）求 k 的值； （ 3）當(dāng) x=16 時，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？ 考點 ： 反比例函數(shù)的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用 分析： （ 1）根據(jù)圖象直接得出大棚溫度 18 的時間為 12 2=10（小時）； （ 2）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可； （ 3）將 x=16 代入函數(shù)解析式求出 y 的值即可 解答： 解：（ 1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度 18 的時間為 10 小時 （ 2） 點 B（ 12， 18）在雙曲線 y=上， 18= ， x k b 1 . c o m 解得： k=216 （ 3）當(dāng) x=16 時， y= =13.5， 所以當(dāng) x=16 時，大棚內(nèi)的溫度約為 13.5 點評： 此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵 17（ 8 分）（ 2013益陽）某校八年級數(shù)學(xué)課外興趣小組的同 學(xué)積極參加義工活動，小慶對全體小組成員參加活動次數(shù)的情況進行統(tǒng)計分析，繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（圖） 次數(shù) 10 8 6 5 人數(shù) 3 a 2 1 （ 1）表中 a= 4 ； （ 2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整； （ 3）從小組成員中任選一人向?qū)W校匯報義工活動情況，參加了 10 次活動的成員被選中的概率有多少？ 考點 ： 條形統(tǒng)計圖；統(tǒng)計表；概率公式 分析： （ 1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知 a=4； （ 2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知 6 次的人數(shù)是 2，然后補全統(tǒng)計圖即可； （ 3）根據(jù)概率公式解得即可 解答： 解：（ 1） 由條形統(tǒng)計圖可知次數(shù)為 8 的有 4 人， 所以， a=4； （ 2）由表可知， 6 次的有 2 人， 補全統(tǒng)計圖如圖； （ 3） 小組成員共 10 人，參加了 10 次活動的成員有 3 人， P= ， 答：從小組成員中任選一人向?qū)W校匯報義工活動情況，參加了 10 次活動的成員被選中的概率是 點評： 本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù) 18（ 8 分）（ 2013益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道 AB， 現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋 PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0 米， PAB=38.5， PBA=26.5請幫助小張求出小橋 PD 的長并確定小橋在小道上的位置（以 A， B為參照點，結(jié)果精確到 0.1 米） （參考數(shù)據(jù)： sin38.5=0.62， cos38.5=0.78， tan38.5=0.80， sin26.5=0.45， cos26.5=0.89，tan26.5=0.50） 考點 ： 解直角三角形的應(yīng)用 專題 ： 應(yīng)用題 分析： 設(shè) PD=x 米，在 Rt PAD 中表示出 AD，在 Rt PDB中表示出 BD，再由 AB=80.0 米，可得出方程，解出即可得出 PD 的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置 解答： 解：設(shè) PD=x 米， PD AB， ADP= BDP=90， 在 Rt PAD 中， tan PAD= ， AD= =x， 在 Rt PBD 中， tan PBD= ， DB= =2x， 又 AB=80.0 米， x+2x=80.0， 解得： x24.6，即 PD24.6 米， DB=2x=49.2 答：小橋 PD 的長度約為 24.6 米，位于 AB 之間距 B點約 49.2 米 點評： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關(guān)線段的長度，難度一般 五、解答題（本大題共 2 小題，共 22 分） 19（ 10 分）（ 2013益陽） “二廣 ”高速在益陽境內(nèi)的建設(shè)正在緊張地進行，現(xiàn)有大量的沙石需要運輸 “益安 ”車隊有載重量為 8 噸、 10 噸的卡車共 12 輛，全部車輛運輸一次能運輸 110噸沙石 （ 1）求 “益安 ”車隊載重量為 8 噸、 10 噸的卡車各有多少輛？ （ 2）隨著工程的進展， “益安 ”車隊需要一次運輸沙石 165 噸以上，為了完成任務(wù)，準備新增購這兩種卡車共 6 輛，車隊有多少種購買方案，請你一一寫出 考點 ： 一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用 分析： （ 1）根據(jù) “益安 車隊有載重量為 8 噸、 10 噸的卡車共 12 輛，全部車輛運輸一次能運輸 110 噸沙石 ”分別得出等式組成方程組，求出即可； （ 2）利用 “益安 車隊需要一次運輸沙石 165 噸以上 ”得出不等式求出購買方案即可 解答： 解：（ 1）設(shè) “益安 ”車隊載重量為 8 噸、 10 噸的卡車分別有 x 輛、 y 輛， 根據(jù)題意得： ， 解之得： “益安 ”車隊載重量為 8 噸的卡車有 5 輛， 10 噸的卡車有 7 輛； （ 2）設(shè) 載重量為 8 噸的卡車增加了 z 輛， 依題意得： 8（ 5+z） +10（ 7+6 z） 165， 解之得： z z0 且為整數(shù)， 來源 :學(xué) #科 #網(wǎng) z=0， 1， 2； 6 z=6， 5， 4 車隊共有 3 種購車方案： 載重量為 8 噸的卡車不購買， 10 噸的卡車購買 6 輛； 載重量為 8 噸的卡車購買 1 輛， 10 噸的卡車購買 5 輛； 載重量為 8 噸的卡車購買 2 輛， 10 噸的卡車購買 4 輛 點評： 此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及不等式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出正確的不等式關(guān)系是解題關(guān)鍵 20（ 12 分）（ 2013益陽 ）如圖 1，在 ABC 中， A=36， AB=AC， ABC 的平分線 BE交 AC 于 E （ 1）求證： AE=BC； （ 2）如圖（ 2），過點 E 作 EF BC 交 AB 于 F，將 AEF 繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)角 （ 0 144）得到 AEF，連結(jié) CE， BF，求證： CE=BF； （ 3）在（ 2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在 CE AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角 ；若不存在，請說明理由 考點 ： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰梯形的判定 分析： （ 1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角之間的關(guān)系進而 得出答案； （ 2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： EAC= FAB， AE=AF，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可； （ 3）分別根據(jù) 當(dāng)點 E 的像 E與點 M 重合時，則四邊形 ABCM 為等腰梯形， 當(dāng)點 E 的像 E與點 N 重合時，求出 即可 解答： （ 1）證明： AB=BC， A=36， ABC= C=72， 又 BE 平分 ABC， ABE= CBE=36， BEC=180 C CBE=72， ABE= A， BEC= C， AE=BE， BE=BC， AE=BC （ 2）證明： AC=AB且 EF BC， AE=AF； 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： EAC= FAB， AE=AF， 在 CAE和 BAF中 ， CAE BAF， CE=BF （ 3）存在 CE AB， x k b 1 . c o m 理由：由（ 1）可知 AE=BC，所以，在 AE F 繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中， E 點經(jīng)過的路徑（圓?。┡c過點 C 且與 AB 平行的直線 l 交于 M、 N 兩點， 如圖： 當(dāng)點 E 的像 E與點 M 重合時，則四邊形 ABCM 為等腰梯形， BAM= ABC=72，又 BAC=36， = CAM=36 當(dāng)點 E 的像 E與點 N 重合時， 由 AB l 得， AMN= BAM=72， AM=AN， ANM= AMN=72， MAN=180 272=36， = CAN= CAM+ MAN=72 所以，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 36或 72時， CE AB 點評： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵 六、解答題（本題滿分 10 分） 21（ 10 分）（ 2013益陽）閱讀材料：如圖 1，在平面直角坐標系中， A、 B兩點的坐標分別為 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， AB 中點 P 的坐標為（ xp， yp）由 xp x1=x2 xp，得 xp= ，同理 ，所以 AB 的中點坐標為 由勾股定理得AB2=