畢 業(yè) 論 文題 目：曲面的兩個基本形式及其應(yīng)用學(xué)院(直屬系)： 年級、專業(yè)： 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 指導(dǎo)教師： 完成時間： 教務(wù)處制摘要本文針對曲面的相關(guān)性質(zhì)，敘述了微分幾何中空間曲面的第一基本形式和第二基本形式的概念、性質(zhì)和在曲面論中的應(yīng)用的相關(guān)知識。通過舉幾個具體的曲面說明第一基本形式和第二基本形式的計算，以及利用曲面的第一基本形式和第二基本形式來研究曲面的性質(zhì)。分析了曲面的三個基本形式的系數(shù)矩陣之間的關(guān)系及其證明，并應(yīng)用第一基本形式和第二基本形式來研究兩曲面的等距對應(yīng)，然后將曲面的第一基本形式和第二基本形式在曲面論基本定理中的作用和曲率和撓率在曲線論基本定理中的作用比較來研究。深入了解曲面的兩個基本形式及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：曲面的第一基本形式、第二基本形式，系數(shù)矩陣，等距對應(yīng)，曲線論基本定理，曲面論基本定理abstractbased on the related properties of surface, this paper describes concept and properties and application of surface theory in the relevant knowledge of the first basic form and the second basic form of the space surface in the differential geometry. explaining the calculation of the first basic form and the second basic form by concrete surface and using the first basic form and the second basic form of surface,we can study the properties of surface. with analyzing the relationship between the coefficient matrix and its proof of the three basic forms of surface and application of the first basic form and second basic form, we can study the isometric corresponding of two curved surface. then we will study by comparing function of the first basic form and the second basic form in basic theorems of surface theory with function of curvature and flexible rate in basic theorems of curve theory.finally, we will have a further understanding for the two basic forms of surface and its application.keywords：the first basic form surface,、the second basic form , coefficient matrix, isometric corresponding, curve theory basic theorems, surface theory basic theorems前言曲面第一基本形式和曲面第二基本形式在微分幾何中占有非常重要的地位，對于曲面的第一基本形式而言，在曲面上與度量性質(zhì)有關(guān)的量都能借助于去曲面的第一基本形式進(jìn)行計算，第一基本形式是曲面參數(shù)的二次微分形式，而曲面的參數(shù)容許做一定的變換，第一基本形式在等距變換下不變，第一基本形式確定的曲面的性質(zhì)或量在等距變換下不變的。如弧長、面積、曲線的交角。就是說第一基本形式刻畫了曲面本身的內(nèi)在性質(zhì)，這些性質(zhì)與曲面在空間的位置，與曲面的彎曲沒有關(guān)系。；對于曲面的第二基本形式而言，近似的等于曲面與切平面的有向距離的兩倍，因而它刻畫了曲面離開切平面的程度。即刻畫了曲面在空間中的彎曲性。利用第一基本形式和第二基本形式可以做一些相關(guān)計算，研究兩曲面的等距對應(yīng)，并和曲率，撓率進(jìn)行類比等。一曲面的第一基本形式1.定義給出曲面:上的曲線:,或。對于曲線有或，若以表示曲面上曲線的弧長，則有。令，則 ，這個二次形式?jīng)Q定曲面上曲線的弧長，曲線上兩點(diǎn)之間的弧長是 是關(guān)于的二次形式，稱為的第一基本形式，用表示，即=，它的系數(shù)叫做曲面的第一類基本量。說明 因為 ， 因此第一基本形式是正定的。求第一基本形式舉例例1 求曲面的第一基本形式。 解 表示的曲面即，其中，所以第一基本形式是。例2 求球面 的第一基本形式。解 同理可知 例3 求正螺面的第一基本形式。 解 同理可知 。2.曲面上兩方向的夾角曲面上一點(diǎn)的切方向稱為曲面上的方向，它能表示為，其中是過點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量。任給一組，由上式就確定曲面的一個方向，以后常用或或表示曲面上的一個方向。兩方向的夾角：給出兩個方向與我們把向量與間的夾角稱為方向與 間的角。與總代表過的兩條曲線的方向，所以這兩方向的夾角也叫做兩曲線的夾角。設(shè)與的夾角為，則， ， 故例 已知曲面的第一基本形式為，參數(shù)曲線的二等分角軌線的方向向量是,求曲線曲線分別與參數(shù)曲線的二等分角軌線的夾角余弦。解：設(shè)正則參數(shù)曲面的參數(shù)方程是，已知它的第一基本形式是在基底下，曲線的方向向量是，曲線的方向向量是參數(shù)曲線的二等分角軌線的方向向量是則有曲線參數(shù)曲線的二等分角軌線的夾角余弦是曲線與參數(shù)曲線的二等分角軌線的夾角余弦是二曲面的第二基本形式上面討論的是曲面的第一基本形式。第一基本形式在等距變換下不變，第一基本形式確定的曲面的性質(zhì)或量在等距變換下不變的。如弧長、面積、曲線的交角。就是說第一基本形式刻畫了曲面本身的內(nèi)在性質(zhì)，這些性質(zhì)與曲面在空間的位置，與曲面的彎曲沒有關(guān)系。為了研究空間曲面的彎曲性，下面介紹曲面的第二基本形式。spq(c)設(shè)類曲面的方程是，即有二階連續(xù)偏導(dǎo)矢?，F(xiàn)在固定曲面上一點(diǎn),設(shè)曲面在點(diǎn)的切平面是。下面先介紹：曲面上的點(diǎn)到其鄰近點(diǎn)的切平面的有向距離。設(shè)在過點(diǎn)的曲線：,或上，為的自然參數(shù)。與的自然參數(shù)分別為 。則,其中。設(shè)為曲面在點(diǎn)的單位法向量，由作平面的垂線，垂足為.如果=, 則稱為為從平面到曲面的有向距離（ 與同向時,， 與反向時，）。因為，所以有 。當(dāng)時，的主要部分是。1.定義由于，又因為，故引進(jìn)記號： 則 稱為曲面的第二基本形式 ，它的系數(shù) 叫做曲面的第二類基本量。 說明（1）由定義曲面的第二基本形式近似的等于曲面與切平面的有向距離的兩倍，因而它刻畫了曲面離開切平面的程度。即刻畫了曲面在空間中的彎曲性。 （2）第二基本形式不一定是正定的。即可正可負(fù)，曲面向正側(cè)彎曲時為正，曲面向反側(cè)彎曲時為負(fù)。所以第二基本形式的符號刻畫了曲面的彎曲（相對于）的方向。（3） 因為，所以也有。（4）第二基本量的計算可按下式：， （5）第二基本形式、第二類基本量的另一表示形式， 證明 因為,微分得：，所以。因為, 對分別微分得：， ，所以。因為，對分別微分得：，所以，所以。求第二基本形式舉例例1 計算球面的第二基本形式。解 由第一基本形式知又 。 。例2 計算的第二基本形式.解 曲面的向量方程 記， 則所以第一基本形式。 ，所以三.利用第一基本形式和第二基本形式來研究兩曲面的等距對應(yīng)設(shè)曲面的方程為 = ，那未上的曲線在空間 中的方程就是 = 。（）對于曲線有或者，若以表示曲面上曲線的弧長則，令 則有 這個二次形式可以決定曲面上曲線的弧長，設(shè)曲線上兩點(diǎn)，則弧長為：是關(guān)于微分，的一個二次形式，稱為曲面的第一基本形式，用表示：，它的系數(shù)，稱為曲面的第一基本量。設(shè)有兩個曲面, 它們的方程分別為：，把的點(diǎn)與 上的點(diǎn)之間建立一個對應(yīng)關(guān)系，設(shè)此對應(yīng)關(guān)系可用下式來表示： ，且則說明上式確定一個從 的映射。若此映射使兩曲面上對應(yīng)曲線的弧長相等, 即對于任何成立：則稱這映射為等距映射, 稱這兩個曲面是等距對應(yīng)的。定理 兩個曲面可建立等距對應(yīng)的充要條件是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)后, 它們有相同的第一基本形式。在給出兩個曲面的方程后, 證明兩個曲面成等距對應(yīng)時, 先給一個等距對應(yīng)式, 這樣只需根據(jù)兩曲面的方程, 求出其第一基本形式, 然后通過等距變換式, 驗證此兩個曲面有相同的第一基本形式。例題：證明螺線曲面與旋轉(zhuǎn)曲面成等距對應(yīng)：證明 經(jīng)過計算可知, 螺線曲面的第一基本形式： 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式： 將關(guān)系式帶入的第一基本形式，使.故由定理知與成等距對應(yīng)，顯然就是其等距對應(yīng)式。如果不給出等距對應(yīng)式, 要證明上例中的兩曲面成等距對應(yīng), 則要通過求兩個曲面的第一基本量并通過與的對應(yīng)關(guān)系式：得一偏微分方程組求出這個偏微分方程的一個特解，故這就是所要求的等距對應(yīng)式。四. 曲面的三個基本形式的系數(shù)矩陣之間的關(guān)系及其證明曲面的第一基本形式和第二基本形式定義由上已經(jīng)知道，現(xiàn)在來看曲面的第三基本形式。1.曲面的第三基本形式如果用表示單位球面上的第一基本形式，那么它通過映射拉回到曲面上得到的二次微分形式稱為曲面的第三基本形式，記為則有 其中 ， ， 2.定理及其證明為了便于書寫，我們先作一下記號：設(shè)中正則曲面的方程為，因為： ， ， ， ， 則曲面的第一、第二、第三類基本量分別為： ， ， ， 曲面的第一、第二、第三基本形式分別為： ， ，且它們的系數(shù)矩陣分別為，顯然均為對稱矩陣。由于，則。定理1 中曲面的3個基本形式的系數(shù)矩陣滿足關(guān)系式 （1）證明 由lagrange恒等式，二重矢積展開式，混合積輪換律及，得： 定理2 中曲面的3個基本形式，和曲率,平均曲率之間滿足關(guān)系式 -+ (2) 證明 考慮矩陣，由于 因為矩陣的特征多項式，其中為單位矩陣，且 ，（的跡） 分別為曲面的曲率和平均曲率。 據(jù)定理，為其特征多項式的根，即,所以，亦即，所以，即 -+ .五.曲線論中的曲率，撓率與曲面論中第一基本形式，第二基本形式類比1.曲率和撓率的概念 前面已經(jīng)列出了第一基本形式和第二基本形式的概念下面列出曲率和撓率的概念。（1）曲率定義 設(shè)p(s)是類曲線上一點(diǎn)，s為自然參數(shù)，為其附近一點(diǎn)，為在兩點(diǎn)處的單位切向量，設(shè)間的夾角為，我們稱為曲線在p點(diǎn)的曲率，記為k(s)，即k(s)= 。這表明曲線在一點(diǎn)處的曲率等于此點(diǎn)與鄰近點(diǎn)的切線向量之間的夾角關(guān)于弧長的變化率,也就是曲線在該點(diǎn)附近切線方向改變的程度, 它反映了曲線的彎曲程度. 如果曲線在某點(diǎn)處的曲率愈大, 表示曲線在該點(diǎn)附近切線方向改變的愈快, 因此曲線在該點(diǎn)的彎曲程度愈大。（2）撓率空間曲線在一點(diǎn)的扭曲與曲線在這點(diǎn)的密切平面密切相關(guān)，如果曲線不扭曲，即為平面曲線，則其所有點(diǎn)的密切平面是同一個，即曲線所在平面，其副法向量是常矢：如果曲線不是平面曲線，曲線扭曲得越厲害，則曲線離開它的密切平面越快，從一個點(diǎn)到另一個點(diǎn)副法向量的方向改變得越快。因此類似于彎曲性的刻畫，我們可用副法向量導(dǎo)矢的模來刻畫曲線的扭曲程度。但曲線的扭轉(zhuǎn)比彎曲情況來得復(fù)雜，彎曲沒有方向，而扭曲分左旋、右旋，為刻畫扭曲形式，我們給前面加上。為此先證明與的關(guān)系：證：因為， 。于是我們得撓率的定義如下：曲線(c)在p點(diǎn)的撓率記為，定義為 ： 由撓率的定義知,因此撓率的絕對值表示曲線的副法向量關(guān)于弧長的變化率，換句話說，撓率的絕對值刻畫了曲線的密切平面的變化程度。所以曲線的撓率就絕對值而言其幾何意義是反映了曲線離開密切平面的快慢，即曲線的扭曲程度。2類比定理我們知道正則參數(shù)曲線的弧長參數(shù)，曲率和撓率都是與曲線的保持定向的容許參數(shù)變換無關(guān)的。曲率和撓率是通過曲線的參數(shù)方程關(guān)于弧長參數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)（點(diǎn)乘和叉乘）得到的，它們同樣不依賴曲線上參數(shù)的選擇。與之相對比正則參數(shù)曲面的第一基本形式與曲面參數(shù)無關(guān)，第二基本形式在保持定向的允許參數(shù)變換下也是不變的。此外，曲線在不計空間位置的情況下是由它的曲率和撓率唯一確定的。與之相對比的是，曲面在不計空間位置的情況下是由它的第一基本形式和第二基本形式唯一確定的。如下為三對類比的定理：定理1（唯一性定理） 設(shè)和是中兩條以弧長為參數(shù)的正則參數(shù)曲線，如果它們的曲率處處不為零，并且它們的曲率和撓率分別相等，則有中的一個剛體運(yùn)動，它把曲線變成曲線。定理1*（唯一性定理） 設(shè)，是定義在同一個參數(shù)區(qū)域上的兩個正則參數(shù)曲面。若在每一點(diǎn)，曲面和都有相同的第一基本形式和第二基本形式，則曲面和在空間的一個剛體運(yùn)動下是彼此重合的。定理2 設(shè)和是中兩條正則參數(shù)曲線，它們的曲率處處不為零。如果存在三次以上的連續(xù)可微函數(shù)，,使得這兩條曲線的弧長函數(shù)，曲率函數(shù)和撓率函數(shù)之間有關(guān)系式定理3（存在性定理） 設(shè)，是在區(qū)間上任意給定的連續(xù)可微函數(shù)，并且大于0，則在空間存在正則參數(shù)曲線，以為弧長參數(shù)，以給定的函數(shù)為它的曲率和撓率，且這樣的曲線在空間中是完全確定的，其差異至多為曲線的位置不同。定理3*（存在性定理） 如果由，給出的兩個二次形式滿足方程則在任意一點(diǎn)必有它的一個領(lǐng)域,以及在空間中定義該領(lǐng)域上的一個正則參數(shù)曲面，,使得它的第一基本形式和第二基本形式分別是和，并且在中任意兩塊滿足以上條件的曲面必定能夠在的一個剛體運(yùn)動下彼此重合。綜上，通過曲線論基本定理和曲面論基本定理我們可以發(fā)現(xiàn)，曲線的曲率、撓率在曲線論中的作用與曲面的第一基本形式、第二基本形式在曲面中的作用有相似的性質(zhì)，通過對比有助于我們更好的理解和掌握它們的相關(guān)性質(zhì)。總結(jié)與體會2011年4月，我開始了我的畢業(yè)論文工作，時至今日，論文基本完成。從最初的茫然，到慢慢的進(jìn)入狀態(tài)，再到對思路逐漸的清晰，整個寫作過程難以用語言來表達(dá)。歷經(jīng)了個幾月的奮戰(zhàn)，緊張而又充實的畢業(yè)設(shè)計終于落下了帷幕。回想這段日子的經(jīng)歷和感受，我感慨萬千，在這次畢業(yè)設(shè)計的過程中，我擁有了無數(shù)難忘的回憶和收獲。 我的論文題目是曲面的兩個基本形式及其應(yīng)用，我當(dāng)時便立刻著手資料的收集工作中，當(dāng)時面對浩瀚的書海真是有些茫然，不知如何下手。我將這一困難告訴了導(dǎo)師，在導(dǎo)師細(xì)心的指導(dǎo)下，終于使我對自己現(xiàn)在的工作方向和方法有了掌握。 在搜集資料的過程中，我認(rèn)真準(zhǔn)備了一個筆記本。我在學(xué)校圖書館搜集資料，還在網(wǎng)上查找各類相關(guān)資料，將這些寶貴的資料全部記在筆記本上，盡量使我的資料完整、精確、數(shù)量多，這有利于論文的撰寫。然后我將收集到的資料仔細(xì)整理分類，及時拿給導(dǎo)師進(jìn)行溝通。 4月初，資料已經(jīng)查找完畢了，我開始著手論文的寫作。在寫作過程中遇到困難我就及時和導(dǎo)師聯(lián)系，并和同學(xué)互相交流。在大家的幫助下，困難一個一個解決掉，論文也慢慢成型。 4月底，論文的文字?jǐn)⑹鲆呀?jīng)完成。 當(dāng)我終于完成了所有打字、排版、校對的任務(wù)后整個人都很累，但同時看著電腦熒屏上的畢業(yè)設(shè)計稿件我的心里是甜的，我覺得這一切都值了。這次畢業(yè)論文的制作過程是我的一次再學(xué)習(xí)，再提高的過程。我不會忘記這難忘的幾個月的時間。畢業(yè)論文的制作給了我難忘的回憶。在我徜徉書海查找資料的日子里，面對無數(shù)書本的羅列，最難忘的是每次找到資料時的激動和興奮；為了論文我曾趕稿到深夜，但看著親手打出的一字一句，心里滿滿的只有喜悅毫無疲憊。這段旅程看似荊棘密布，實則蘊(yùn)藏著無盡的寶藏。我從資料的收集中，讓我對我所學(xué)