第三節(jié)等比數(shù)列 1 等比數(shù)列及其相關(guān)概念 前一項(xiàng) 同一個(gè) 常數(shù) 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)是a1 公比是q 則其通項(xiàng)公式為 3 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 1 當(dāng)公比q 1時(shí) Sn 2 當(dāng)公比q 1時(shí) Sn an a1qn 1 a1 0 q 0 na1 判斷下面結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 滿足an 1 qan n N q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 2 G為a b的等比中項(xiàng) G2 ab 3 如果 an 為等比數(shù)列 bn a2n 1 a2n 則數(shù)列 bn 也是等比數(shù)列 4 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 lnan 是等差數(shù)列 解析 1 錯(cuò)誤 q 0時(shí) an 不是等比數(shù)列 2 錯(cuò)誤 G為a b的等比中項(xiàng) G2 ab 反之不真 如a 0 b 0 G 0 3 錯(cuò)誤 如數(shù)列1 1 1 1 4 錯(cuò)誤 數(shù)列 an 中可能有小于零的項(xiàng) 答案 1 2 3 4 1 在等比數(shù)列 an 中 a1 8 a4 64 則公比q為 A 2 B 3 C 4 D 8 解析 選A 由可得q 2 2 在等比數(shù)列 an 中 a1 1 公比 q 1 若am a1a2a3a4a5 則m A 9 B 10 C 11 D 12 解析 選C am qm 1 a1a2a3a4a5 q10 所以qm 1 q10 所以m 11 3 已知 an 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列 Sn是 an 的前n項(xiàng)和 且9S3 S6 則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 A 或5 B 或5 C D 解析 選C 9S3 S6 q 1 即1 q3 9 解得q 2 由等比數(shù)列的性質(zhì)知是以為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 則其前5項(xiàng)和為故選C 4 已知 an 是等比數(shù)列 則a1a2 a2a3 anan 1 A 16 1 4 n B 16 1 2 n C D 解析 選C 由解得數(shù)列 anan 1 仍是等比數(shù)列 其首項(xiàng)是a1a2 8 公比為所以 故選C 5 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若則 A 2 B C D 3 解析 選B 設(shè)數(shù)列 an 的公比為q 則 1 q3 3 q3 2 于是 考向1等比數(shù)列的基本運(yùn)算 典例1 1 2012 新課標(biāo)全國卷 已知 an 為等比數(shù)列 a4 a7 2 a5a6 8 則a1 a10 A 7 B 5 C 5 D 7 2 2012 遼寧高考 已知等比數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 且a52 a10 2 an an 2 5an 1 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)a4 a7 2 a5a6 8 列方程組求出首項(xiàng)和公比的三次方 根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算即可 或者根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解 2 根據(jù)a52 a10 2 an an 2 5an 1列方程求出首項(xiàng)和公比 再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出結(jié)果 規(guī)范解答 1 選D 方法一 設(shè)數(shù)列 an 的公比為q 由題意 得或解得或當(dāng)時(shí) a1 a10 a1 1 q9 1 2 3 7 當(dāng)時(shí) a1 a10 a1 1 q9 8 綜上 a1 a10 7 故選D 方法二 因?yàn)?an 為等比數(shù)列 所以a5a6 a4a7 8 又a4 a7 2 所以a4 4 a7 2或a4 2 a7 4 根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì) a1 a4 a7 a10也成等比數(shù)列 若a4 4 a7 2 得a1 8 a10 1 a1 a10 7 若a4 2 a7 4 得a10 8 a1 1 仍有a1 a10 7 綜上選D 2 a1 q an qn 2 an an 2 5an 1 2an 1 q2 5anq 2 1 q2 5q 解得q 2或 舍去 an 2n 答案 2n 拓展提升 1 等比數(shù)列基本運(yùn)算方法 1 使用兩個(gè)公式 即通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式 2 使用通項(xiàng)公式的變形 an amqn m m n N 2 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí) 應(yīng)首先判斷公比q能否為1 若能 應(yīng)分q 1與q 1兩種情況求解 變式訓(xùn)練 1 2013 朝陽模擬 已知數(shù)列 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 若a2 2 2a3 a4 16 則an等于 A 2n 2 B 23 n C 2n 1 D 2n 解析 選C 設(shè)該等比數(shù)列的公比為q 則a3 2q a4 2q2 由此得4q 2q2 16 即q2 2q 8 0 解得q 2或者q 4 舍去 所以an a2qn 2 2n 1 2 在公比為整數(shù)的等比數(shù)列 an 中 若a1 a4 18 a2 a3 12 則該數(shù)列的前8項(xiàng)和等于 A 510 B 540 C 570 D 630 解析 選A 設(shè)公比為q 即即2q2 5q 2 0 由于q為整數(shù) 故得q 2 代入a1 a4 18 解得a1 2 故 考向2等比數(shù)列的判定與證明 典例2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且Sn n 5an 85 證明數(shù)列 an 1 為等比數(shù)列 并求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 思路點(diǎn)撥 通過已知關(guān)系式建立an an 1之間的關(guān)系式 然后利用定義法證明 再求出數(shù)列 an 1 的通項(xiàng)公式 可得 an 的通項(xiàng)公式 規(guī)范解答 由Sn n 5an 85 n N 可得 a1 S1 1 5a1 85 即a1 14 同時(shí)Sn 1 n 1 5an 1 85 從而由 可得 an 1 1 5 an 1 an 即從而 an 1 為等比數(shù)列 首項(xiàng)為a1 1 15 公比為通項(xiàng)公式為從而 互動探究 把本例中 Sn n 5an 85 改為 Sn 2an 2n 試證明 an 1 2an 是等比數(shù)列 證明 因?yàn)閍1 S1 2a1 S1 2 所以a1 2 由a1 a2 2a2 4得a2 6 由于Sn 2an 2n 故Sn 1 2an 1 2n 1 后式減去前式得an 1 2an 1 2an 2n 即an 1 2an 2n 所以an 2 2an 1 2an 1 2n 1 2 2an 2n 2 an 1 2an 因?yàn)閍2 2a1 2 所以數(shù)列 an 1 2an 是首項(xiàng)為2 公比為2的等比數(shù)列 拓展提升 等比數(shù)列的判斷方法 提醒 只滿足an 1 qan q 0 的數(shù)列未必是等比數(shù)列 要使其成為等比數(shù)列還需要a1 0 變式備選 已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)n 1 2 3 證明數(shù)列是等比數(shù)列 并求 an 的通項(xiàng)公式 解析 又 數(shù)列是以為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 此時(shí)即 考向3等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 典例3 1 設(shè) an 是任意等比數(shù)列 它的前n項(xiàng)和 前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X Y Z 則下列等式中恒成立的是 A X Z 2Y B Y Y X Z Z X C Y2 XZ D Y Y X X Z X 2 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 其前n項(xiàng)積為Tn 并滿足條件給出下列結(jié)論 00及數(shù)列的其他性質(zhì) 逐個(gè)分析判斷四個(gè)結(jié)論的對錯(cuò) 規(guī)范解答 1 選D 方法一 由于等比數(shù)列 an 中Sn X S2n Y S3n Z 根據(jù)等比數(shù)列的概念 當(dāng)公比不等于 1時(shí) 對應(yīng)的Sn S2n Sn S3n S2n也成等比數(shù)列 即X Y X Z Y成等比數(shù)列 則有 Y X 2 X Z Y 即Y2 XY XZ X2 即Y Y X X Z X 當(dāng)q 1時(shí) 若Sn 0 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列 下解同q 1時(shí) 若Sn 0 則S2n Sn 0 S3n S2n 0 即X Y Z 0 D中等式成立 方法二 取特殊數(shù)列的方法 如取等比數(shù)列1 2 4 則X 1 Y 3 Z 7 顯然X Z 2Y不成立 代入Y Y X Z Z X 得6 42 不成立 代入Y2 XZ得9 7 也不成立 故選D 2 根據(jù)等比數(shù)列的概念 如果等比數(shù)列的公比是負(fù)值 則其連續(xù)兩項(xiàng)的乘積是負(fù)值 根據(jù)a99a100 1 0 可知該等比數(shù)列的公比是正值 再根據(jù)可知 a99 a100一個(gè)大于1 一個(gè)小于1 而a1 1 所以數(shù)列不會是遞增的 只能遞減 所以01 a1001 故 不正確 T199 a1a2 a100 a198a199 a100 199 1 故 正確 答案 拓展提升 等比數(shù)列的主要性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列 an 具有下列基本性質(zhì) 1 單調(diào)性 2 項(xiàng)的性質(zhì) am kam k am2 m k m k N aman akal m n k l aman ak2 m n 2k m n k l為正整數(shù) 公比q 1 3 和的性質(zhì) 若其前n項(xiàng)和為Sn 則在q 1時(shí) Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 成等比數(shù)列 4 其他性質(zhì) 如果 an 為等比數(shù)列 根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列 a2k 1 a2k a3k 2 a3k 1 a3k 等都是等比數(shù)列 其中k N 變式訓(xùn)練 1 2013 合肥模擬 等差數(shù)列 an 的公差為3 若a2 a4 a8成等比數(shù)列 則a4 A 8 B 10 C 12 D 16 解析 選C 設(shè)數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a 則a2 a4 a8成等比數(shù)列 有即 a 9 2 a 3 a 21 a 3 a4 3 12 故選C 2 設(shè) an 是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列 則 a11 又a1 0 所以數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 反之 若數(shù)列 an 是遞增數(shù)列且a1 0 則公比q 1 所以a1 a1q 即a1 a2 所以a1 a2是數(shù)列 an 是遞增數(shù)列的充分必要條件 創(chuàng)新體驗(yàn) 數(shù)列與函數(shù)交匯創(chuàng)新題 典例 2013 中山模擬 已知 函數(shù)f x 在 1 1 上有定義 且對任意的x y 1 1 有 1 試判斷函數(shù)f x 的奇偶性 2 對于數(shù)列 xn 有試證明數(shù)列 f xn 成等比數(shù)列 3 求證 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 在中 令y x得f x f x f 0 再令x y 0得f 0 f 0 f 0 f 0 0 f x f x 即函數(shù)f x 為奇函數(shù) 2 由得 等號當(dāng)且僅當(dāng) xn 1 1時(shí)成立 當(dāng)xn 1 1時(shí) 根據(jù)得xn 1 進(jìn)而xn 1 xn 2 x1 1 與已知矛盾 故xn 1 1 同理xn 1 1 故 函數(shù)f x 為奇函數(shù) f xn 1 f xn f xn 1 2f xn 1 f xn 或 f xn 1 f xn 1 2f xn 1 xn 0否則與矛盾 f xn f 0 0 f xn 是以 1為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 3 根據(jù) 2 可得又 n N 思考點(diǎn)評 1 方法感悟 特殊值法的使用 在第一問中給定已知函數(shù)定義域內(nèi)的特殊值f 0 是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一 再在得出函數(shù)f x 是奇函數(shù)的情況下 在第二問中使用這個(gè)性質(zhì)和已知的函數(shù)方程是本題的第二個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié) 第三問使用第二問的結(jié)果 只要簡單比較即得 這種環(huán)環(huán)相扣的解題過程在綜合解答題中非常普遍 通過本題要體會這種解題過程 本題中還要注意證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)一定不要忽視證明其首項(xiàng)不等于零 2 技巧提升 只給出函數(shù)滿足的某些性質(zhì)而沒有給出解析式的函數(shù)問題 我們通常稱為抽象函數(shù)問題 解決抽象函數(shù)問題的基本技巧之一就是特殊值法 通過取特殊值找到關(guān)鍵的函數(shù)值 實(shí)現(xiàn)問題的突破 1 2012 安徽高考 公比為的等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)都是正數(shù) 且a3a11 16 則log2a16 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 選B 由a3a11 a72 16 解得a7 4 a16 a7q9 32 所以log2a16 log232 5 2 2013 南昌模擬 數(shù)列 an 是公差不為0的等差數(shù)列 且a1 a3 a7為等比數(shù)列 bn 的連續(xù)三項(xiàng) 則數(shù)列 bn 的公比為 A B 4 C 2 D 解析 選C 設(shè) an 的公差為d 則 a1 2d 2 a1 a1 6d 即a1 2d 所以 3 2013 寶雞模擬 在各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的數(shù)列 an 中 已知2an 3an 1 且則是數(shù)列 an 的 A 第3項(xiàng) B 第4項(xiàng) C 第5項(xiàng) D 第6項(xiàng) 解析 選C 2an 3an 1 故 an 是等比數(shù)列 且其公比為又得即所以 令得由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知3 n 2 即n 5 為正整數(shù) 則是數(shù)列 an 的第5項(xiàng) 故選C 4 2012 北京高考 已知 an 為等比數(shù)列 下面結(jié)論中正確的是 A a1 a3 2a2 B a12 a32 2a22 C 若a1 a3 則a1 a2 D 若a3 a1 則a4 a2 解析 選B 選項(xiàng)A的結(jié)論不正確 a1 a3不一定都是正數(shù) 所以不能使用基本不等式 選項(xiàng)B的結(jié)論正確 因?yàn)閍12 0 a32 0 所以由基本不等式可得a12 a32 2a1a3 2a22 選項(xiàng)C中的結(jié)論不正確 由a1 a3可得q 1 當(dāng)q 1時(shí) a1 a2 當(dāng)q 1時(shí) a2 a1 選項(xiàng)D中的結(jié)論不正確 因?yàn)閍4 a3q a2 a1q 所以當(dāng)q 0時(shí) a4 a2 當(dāng)q 0時(shí) a4 a2 5 2012 浙江高考 設(shè)公比為q q 0 的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若S2 3a2 2 S4 3a4 2 則q 解析 由S2 3a2 2 S4 3a4 2相減可得a3 a4 3a4 3a2 同除以a2可得2q2 q 3 0 解得或q 1 因?yàn)閝 0 所以答案 1 已知定義在R上的函數(shù)f x g x 滿足 a 0 且a 1 且f x g x