1 高等數(shù)學（ 1）模擬練習 一、 單項選擇題 1已知函數(shù) )(xf 的定義域為 1,0 ，則 )( axf 的定義域是（ ） A ,0 a B 0, a C 1, aa D 1, aa 2、下列函數(shù)中關于坐標原點對稱的為 （ ） A、1cos x xyB、2xx aay C、2xxy D、2 22xxy 3、當 x （ ）時，107 422 xx xy是無窮小量。 A、 B、 2 C、 5 D、 -2 4. 設 )(xf 在 x=0 鄰域內(nèi)有定義，且 1)0(,0)0( ff ，則 xxfx)(lim0（ ） A. 0 B. 21C. 41D. 1 5 21dxx =（ ） A B2C D 1 6 設 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，則 xdxxf s in)(c os （ ） A、 F(cosx)+C B、 F(sinx)+C C、 -F(cosx)+C D、 F(-sinx)+C 二、 填空題 1、曲線 y=ln(1+x)在（ 0， 0）點處的切線斜率是 。 2設 函數(shù) 0,30,e5)( 2xaxxxf x 如果 )(xf 在 0x 處連續(xù)，則 a 2 3函數(shù) 542)( 2 xxxf 的單調(diào)增加區(qū)間是 4若 CxFxxf )(d)( ，則 xx xf d)(ln 5若已知 f(x)的一個原函數(shù)是 arctgx，則 )(xf 。 6、 0e)( 23 yy x 是 階微分方程 三、 計算題 1、x exxx 2)ln(lim02、 )1e 11(lim 0 xx x3、 設 ，求 yd 4、 設 y=y(x)是由方程 xyexy y ln22 確定的函數(shù)，求 y . 5、 dxxxctg 6、 0 dcos xxx7、求微分方程 0)1()1( 22 yxyxy 的通解 8求微分方程 065 yyy 滿足初始條 件 4)0( y ， 30)0( y 的特解 四、 應用題 1、欲做一個底為正方形，容積為 108 立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最?。?2、求由曲線 xy=1,及直線 y=x,y=2 所圍平面區(qū)域面積。 五、證明題 試證： 20203 )(21)( aa dxxxfdxxfx 模擬練習答案 （供參考） 一、 單項選擇題 1、 D 2、 B 3、 D 4、 D 5、 A 6、 C 3 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1、 1 2、 5 3、 ),1( 4、 CxF )(ln 5、 221 2xx6、 2 三、 計算題 1、 解 ： 由洛必達法則得 xxxx 2)eln(lim0=2ee1lim0 xxxx = 1221 2、 解： )1e 11(lim 0 xx x=xx xxxx e1elim0=1ee 1elim 0 xxxx x=xxxx x e2eelim0 =213、解： ， dxxxdxydy x )2ln2c os2c os 2( s i n2 4、解：原式兩端求導，得 xyxyyexxeyy yy ln22 2，整理得：xxexxyexyyyyln2232 5解：設 xt ，則 tdtdxtx 2,2 CxCtttddtttc t g t d tdxxxc t g s i nln2s i nln2s i ns i n2s i nc o s22 6、解： 2c o ss i ns i nc o s000 0 xx d xxxx d xx7、解：因為原方程是可分離變量方程，即 xxxyyy d1d1 22 兩 端積分，得 Cxy ln21)1ln (21)1ln (21 22 即 Cxy )1)(1( 22 （ C 為任意常數(shù)） 8 解：原方程的特征方程為 0652 ， 特征根為 61 ， 12 ， 故原方程的通解為 xx CCy ee 261 其中 21,CC 為任意常數(shù) 將條件 4)0( y ， 30)0( y 代入，得7261 C，7542 C所以原方程的特解為 xxy e754e726 6 4 四 . 1、解： 設底邊邊長為 x ，高為 h ，所用材料為 y 因為 2210 8,10 8 xhhx ， xhxy 42 xxxxx 43 210 84 222 2324 3 224 3 22 xxxxy ，令 0y 得 60)2 1 6(2 3 xx ， 因為 0,6；0,6 yxyx ，所以 108,6 yx 為最小值此時 3h 于是以 6米為底邊長， 3米為高做長方體容器用料最省 2、解：畫草圖 (2 分 ) 求交點，由 xy ， 1xy ，得 1x ， y 1 所求平面圖形的面積為 2ln23)ln21(d)1(A 21221 yyyyy五、 證明： 因為 20222203 )(21)( a