1 微積分初步期末復(fù)習(xí)資料 一、單項(xiàng)選擇題 1. 函數(shù) 1 ln4yxx的定義域?yàn)椋?D ） A. 0x B. 4x C. 0x 且 1x D. 0x 且 4x 2. 函數(shù) lnf x x 在點(diǎn) xe 處的切線方程是（ C ） . A. 1 1yxeB. 1 1yxeC. 1yxeD. 1 1y x ee 3. 下列等式中正確的是（ D ） A. s i n c o sxd x d x B. 1ln xdx dx C. xxa dx d a D. 1 2d x d xx 4. 下列等式成立的是（ A ） A. d f x d x f xdx B. f x d x f x C. d f x d x f x D. df x f x 5. 下列微分方程中為可分離變量方程的是（ B ） A. dy xydxB. dy xy ydxC. s indy xy xdx D. dy x y xdx 6. 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ D ） A. sinxx B. lnx C. 2xx D. 2ln 1xx 7. 當(dāng) k （ C ）時(shí)，函數(shù) 1 , 0, 0xexfxkx 在 0x 處連續(xù) . A. 0 B. 1 C. 2 D. 1e 8. 函數(shù) 2 1yx在區(qū)間 2,2 是（ B ） A. 單調(diào)下降 B. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D. 單調(diào)上升 9. 在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn) 1,4 的曲線為（ A ） A. 2 3yx B. 2 4yx C. 2 2yx D. 2 1yx 10. 微分方程 yy ， 01y 的特解為（ C ） A. 20.5yx B. xye C. xye D. 1xye 11. 設(shè)函數(shù) siny x x ，則該函數(shù)是（ B ） A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既奇又偶函數(shù) 2 12. 當(dāng) k （ A ）時(shí)，函數(shù) 2 1 , 0, 0xxfxkx 在 0x 處連續(xù) . A. 1 B. 2 C. 1 D. 0 13. 滿足方程 0fx 的點(diǎn)一定是函數(shù) fx的（ C ） A. 極值點(diǎn) B. 最值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 間斷點(diǎn) 14. 設(shè) fx是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分 aa f x dx （ D ） A. 02a f x dxB. 0a f x dxC. 0a f x dx D. 0 15. 微分方程 1yy的通解是（ B ） A. 1Cxye B. 1xy Ce C. y x C D. 212y x C16. 設(shè) 211f x x ，則 fx （ C ） A. 1xx B. 2x C. 2xx D. 21xx 17. 若函數(shù) fx在點(diǎn)0x處可導(dǎo)，則（ B ）是錯(cuò)誤的 . A. 函數(shù) fx在點(diǎn)0x處有定義 B. 0limxxf x A ，但 0A f xC. 函數(shù) fx在點(diǎn)0x處連續(xù) D. 函數(shù) fx在點(diǎn)0x處可微 18. 函數(shù) 21yx 在區(qū)間 2,2 是 （ D ） A. 單調(diào)增加 B. 單調(diào)減少 C. 先單調(diào)增加后單調(diào)減少 D. 先單調(diào)減少后單調(diào)增加 19. xf x dx （ A ） A. xf x f x c B. xf x c C. 212 x f x c D. 1x f x c 20. 下列微分方程中為可分離變量方程的是（ B ） A. dy xydxB. dy xy ydxC. s indy xy xdx D. dy x y xdx 21. 函數(shù) 222xxfx 的圖形關(guān)于（ C ）對(duì)稱(chēng) A. yx B. x 軸 C. y 軸 D. 坐標(biāo)原點(diǎn) 22. s in 1xfxx當(dāng)（ D ）時(shí)， fx為無(wú)窮小量。 A. x B. x C. 0x D. 1x 23. 下列函數(shù)在指定區(qū)間 , 上單調(diào)增加的是（ B ） 3 A. sinx B. 2x C. 2x D. 52x 24. 若 10 22x k d x，則 k （ A ） A. 1 B. 1 C. 0 D. 1225. 微分方程中 yy 的通解是（ C ）。 A. cxye B. xy ce C. xy ce D. xy e c 26. 函數(shù) ln 1xfx x 的定義域是（ C ） A. 2, B . 1, C . 2 , 1 1, U D. 1, 0 0 , U 27. 當(dāng) k （ B ）時(shí)，函 數(shù) 2 1 , 0,0xxfxkx 在 0x 處連續(xù)。 A. 0 B . 1 C . 2 D. -1 28. 下列結(jié)論中（ D ）不正確。 A. 若 fx在 ,ab 內(nèi)恒有 0fx ，則 fx在 ,ab 內(nèi)單調(diào)下降 B. 若 fx在0xx處不連續(xù)，則一定在0xx處不可導(dǎo) C. 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上 D. 若 fx在0xx處連續(xù)，則一定在0xx處可導(dǎo) 29. 下列等式成立的是（ A ） A. d f x d x f xdx B. f x d x f x C. d f x d x f x D. df x f x 30. 下列微分方程中為可分離變量的是（ C ） A. dy xydxB. dy x y xdx C. dy xy ydxD. s indy xy xdx 二、填空題 1. 函數(shù) 22 4 5f x x x ，則 fx （ ） 2 1x 2. 若函數(shù) 2s i n , 01 , 0x k xfx xx ，在 0x 處連續(xù)，則 k （ ） 1 3. 曲線 1xf x e在 0,2 點(diǎn)的斜率是（ ） 1 4 4. 1 31 5 3 2x x d x （ ） 4 5. 微分方程 2 4 0x y y y 的階數(shù)是（ ） 3 6. 函數(shù) ln 2xfx x 的定義域是（ ） 2, 3 3, U 7 sinlim2x xx （ ） 0 8. 已知 3 3 xf x x，則 3f （ ） 27 1 ln3 9. 若 2xde （ ） 2xeC 10. 微分方程 3 4 74 s i ny x y y x 的階數(shù)為（ ） 4 11. 函數(shù) 214fx x 的定義域是（ ） 2,2 12. 若0sin 4lim 2xxkx ，則 k （ ） 2 13. 已知 lnf x x ，則 fx （ ） 21x 14. 若 sin xdx （ ） cosxC 15. 微分方程 4 xyxy y e 的階數(shù)是（ ） 3 16. 函數(shù) 21 4l n 2f x xx 的定義域是（ ） 2 , 1 1, 2 U 17. 函數(shù) 3s i n 1 , 0, 0xxfx xkx 在 0x 處連續(xù)，則 k （ ） 1 18. 函數(shù) yx 在點(diǎn) 1,1 處的切線方程是（ ） 1122yx19. sin x dx （ ） sinxC 20. 微分方程 3 54 s i ny x y y x 的階數(shù)是（ ） 3 21. 函數(shù) 21 2 5f x x x ，則 fx （ ） 2 6x 22. 1s i n , 01 , 0x k xfx xx 在 0x 處 連續(xù)，則 k （ ） 1 5 23. 曲線 1yx在點(diǎn) 1,2 處的切線方程是（ ） 1224. 若 lnf x d x x x C ，則 fx （ ） 1x25.微分方程 3 4 52s i ny y x y x 的階數(shù)為（ ） 4 26. 若 21 2 2f x x x ，則 fx 2 1x 27. 0sin 2limxxx 2 28. 曲線 12yx 在 1,1 處的切線方程是 1322yx 29. sin x dx sinxC 30. 微分方程 4 s i n xyx y y x e 的階數(shù)是 3 三、計(jì)算題 1.計(jì)算極限 22323lim 9xxxx 解： 22323lim 9xxxx 3313 1 3 1 2l i m l i m3 3 3 3 3 3xxxx xx x x 2. 設(shè) 1 1xyex，求 y 解： 1 1 1221 1 1 1121x x xy e e x ex x xx 3. 計(jì)算不定 積分 121 xe dxx 解： 1 1 1211x x xe d x e d e Cxx 4. 計(jì)算定積分 20 cosx xdx 解： 2 2 2200 0 0c o s s i n s i n | s i nx x d x x d x x x x d x 20c o s | 122x 5. 計(jì)算極限 22232lim 6xxxxx 6 解： 22232lim 6xxxxx 2212 1 2 1 1l i m l i m2 3 3 2 3 5xxxx xx x x 6. 設(shè) 12 xy x e ，求 y 解： 1 1 1 12 2 2 12x x x xy x e x e x e x ex 1 1 1 1 12 212 2 2 1x x x x xx e x e x e e x ex 7. 計(jì)算不定積分 1021x dx 解： 10 1 0 1 1112 1 2 1 2 1 2 12 2 2x d x x d x x C 8. 計(jì)算定積分 10 xxe dx解： 10 xxe dx 11 110000 | | 1 1x x x xx d e x e e d x e e e e 9. 計(jì)算極限 22232lim 4xxxx 解： 22232lim 4xxxx 2212 1 2 1 1l i m l i m2 2 2 2 2 4xxxx xx x x 10. 設(shè) 3s i n 5 c o sy x x，求 y 解： 32s i n 5 c o s 5 c o s 5 3 c o s c o sy x x x x x 25 c o s 5 3 c o s s i nx x x 11. 計(jì)算不定積分 21 x dxx 解： 2 231 22 1 1 13x d x x d x x Cx 或者 21 1 2 12 2 2x xxd x d x x d xx x x 32142 2 4 4 3x d x x x x Cx 7 12. 計(jì)算定積分0 sin2x xdx 解： 00 0 011s i n c o s c o s | c o s2 2 2x x d x x d x x x x d x 01 s i n |22x 13. 求極限 2239lim 23xxxx 解：原式 = 3333 33l i m l i m1 3 1 2xxxx xx x x 14. 已知函數(shù) 1ln s inyxx，求 dy 解：21 1 1c o sy x x x ，21c o s1 xd y y d x d xxx 15. 計(jì)算不定積分21cosxdxx解：21c o s1 1 1c o s s i nx d x d Cx x x x 16. 計(jì)算定積分1 lne x xdx 解： 22 2 2 21111 1 1 1 1 1 1l n l n |2 2 2 4 4 4 4ee e xx x d x x x d x e e ex 17. 計(jì)算極限 22468lim 54xxx 解： 22468lim 54xxx 4442 2 4 2 2l i m l i m4 1 1 4 1 3xxxx xx x x 18. 設(shè) 2 sin 3xyx ，求 dy 解： 2 s i n 3 2 l n 2 3 c o s 3xxy x x 2 l n 2 3 c o s 3xd y y d x x d x 19. 計(jì)算不定積分 cosx xdx 8 解： c o s s i n s i n s i n s i n c o sx x d x x d x x x x d x x x x c 20. 計(jì)算定積分11 5 lne x dxx 解： 1111 5 l n 1 11 5 l n 1 5 l n 1 5 l n |5 1 0ee ex d x x d x xx 221 1 71 5 l n 1 5 l n 11 0 1 0 2e 四、應(yīng)用題 1. 欲做一個(gè)底為正方形， 容積為 108 立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？ 解：設(shè)長(zhǎng)方體底邊的邊長(zhǎng)為 x ，則高2108h x 表面積 2 2 221 0 8 4 3 244y x x h x x xxx 所以24322yxx 令 0y 得 6x （唯一駐點(diǎn)） 由 實(shí)際問(wèn)題知，唯一的駐點(diǎn)即最小值點(diǎn)，所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為 6，高為 3 時(shí)用料最省。 2. 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 32 立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最?。?解：設(shè)長(zhǎng)方體底邊的邊長(zhǎng)為 x ，則高232h x 表面積 2 2 223 2 1 2 844y x x h x x xxx 所以21282yxx 令 0y 得 4x （唯一駐點(diǎn)） 由實(shí)際問(wèn)題知，唯一的駐點(diǎn)即最小值點(diǎn)，所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為 4，高為 2 時(shí)用料最省。 3. 用鋼板焊接一個(gè)容積為 4 3m 的底為正方形的無(wú)蓋水箱，已知鋼板每平方米 10 元，焊接費(fèi) 40 元，問(wèn)水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低費(fèi)用是多少？ 解：設(shè)水箱底邊的邊長(zhǎng)為 x ，則高24h x 表面積 2 2 224 1 644y x x h x x xxx 所以2162yxx 令 0y 得 2x （唯一駐點(diǎn)） 由實(shí)際問(wèn)題知，唯一的駐點(diǎn)即最小值點(diǎn)，所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為 2x ，高為 1h 時(shí)表 9 面積最小。此時(shí)的費(fèi)用為 2 1 0 4 0 1 6 0y 元。 4.欲用圍墻圍成面積為 216 平方米的一塊矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：設(shè)土地一邊長(zhǎng)為 x ，另一邊長(zhǎng)為 216x，則共用材料 2 1 6 4 3 23 2 3y x xxx 所以24323y x 令 0y 得 12x （舍）， 12x （唯一駐點(diǎn)