2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試陜西卷 文科 全解全析 一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分） 1設(shè) ar ， br 是向量，命題“若 abrr，則 | | | |abrr”的逆命題是 （ ） （ A）若 abrr，則 | | | |abrr （ B）若 abrr，則 | | | |abrr （ C）若 | | | |abrr，則 abrr （ D）若 | | | |abrr，則 abrr 【分析】首先確定原命題 的條件和結(jié)論，然后交換條件和結(jié)論的位置即可得到逆命題。 【解】選 D 原命題的條件是 abrr，作為逆命題的結(jié)論；原命題的結(jié)論是 | | | |abrr，作為逆命題的條件，即得逆命題“若 | | | |abrr，則 abrr”，故選 D 2設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 2x ，則拋物線的方程是 （ ） （ A） 2 8yx （ B） 2 4yx （ C） 2 8yx （ D） 2 4yx 【 分析 】由準(zhǔn)線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵 【解 】選 C 由準(zhǔn)線方程 2x 得 22p ,且拋物線的開口向右（或焦點(diǎn)在 x 軸的正半軸），所以 2 28y px x 3.設(shè) 0 ab，則下列不等式中正確的是 （ ） （ A） 2aba b a b （ B）2aba a b b （ c）2aba a b b (D) 2aba b a b 【 分析 】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法，放縮法，基本不等式或特殊值法等進(jìn)行比較 【解 】選 B （方法一）已知 ab 和2abab ，比較 a 與 ab ，因?yàn)?2( ) ( ) 0a a b a a b ，所以 a ab ，同理由 22( ) ( ) 0b a b b b a 得ab b ；作差法： 022a b b ab ，所以 2abb ，綜上可得 2aba a b b ；故選 B（方法二）取 2a ， 8b ，則 4ab ， 52ab ， 所以2aba a b b 4. 函數(shù) 13yx 的圖像是 （ ） 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 【 分析 】已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點(diǎn)驗(yàn)證的方法判斷 【解】選 B 取 18x， 18，則 12y， 12，選項(xiàng) B， D 符合；取 1x ，則 1y ，選項(xiàng) B 符合題意 二、 某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體 積是（ ） 6. 2837.838.8-2 9.23【分析】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進(jìn)行計(jì)算 【解】選 A 由幾何體的三視圖 可知幾何體為一個組合體， 即一個正方體中間去掉一個圓錐體，所以它的體積是 32182 2 2 833V . 6.方程 cosxx 在 , 內(nèi) （ ） (A)沒有根 (B)有且僅有一個根 (C) 有且僅有兩個根 （ D）有無窮多個根 【 分析 】數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造函數(shù)并畫出函數(shù)的圖象，觀察直觀判斷 【解】選 C 構(gòu)造兩個函數(shù) |yx 和 cosyx ，在同一個坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖像，如圖所示，觀察知圖像有兩個公共點(diǎn)，所以已知方程有且僅有兩個根 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 7.如右框圖，當(dāng)126, 9,xx8.5p時，3x等于 （ ） (A) 7 (B) 8 (C)10 （ D） 11 【分析】按照程序框圖的邏輯順序進(jìn)行計(jì)算 【解】選 B 126, 9,xx3| 9 | 3x； 又 8.5p ，127.52xx ，顯然3| 9 | 3x不成立，即為“否”， 有3| 9 | 3x ，即36 12x剟，此時有 39 8.52x ，解得3 8x ，符合題意，故選 B 8.設(shè)集合 22 | | c o s s i n | , M y y x x x R ， | | 1xNxi，i 為虛數(shù)單位， x R ，則 MNI 為（ ） (A)(0,1) (B)(0,1 (C)0,1) (D)0,1 【 分析 】 確定出集合的元素是關(guān)鍵。本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模，不等式等知識點(diǎn)。 【解】選 C 22| c o s s i n | | c o s 2 | 0 , 1 y x x x ，所以 0,1M ； 因?yàn)?| | 1xi ，即 | | 1xi，所以 | | 1x ，又因?yàn)?x R，所以 11x ，即 ( 1,1)N ；所以 0,1)MNI ，故選 C. 9 設(shè)1 1 2 2( , ), ( , ),x y x y ， ( , )nnxy是變量 x 和 y 的 n 個樣本點(diǎn)，直線 l 是由這些 樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是（ ） (A) 直線 l 過點(diǎn) ( , )xy （ B） x 和 y 的相關(guān)系數(shù)為直線 l 的斜率 （ C） x 和 y 的 相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 （ D）當(dāng) n 為偶數(shù)時，分布在 l 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)一定相同 【分析】根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點(diǎn)的中心，相關(guān)系數(shù)線，性回歸方程的意義等進(jìn)行判斷 【解】選 A 選項(xiàng) 具體分析 結(jié)論 A 回歸直線 l 一定過樣本點(diǎn)中心 ( , )xy ；由回歸直線方程的計(jì)算公式$a y bx$ 可知直線 l 必過點(diǎn) ( , )xy 正確 B 相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間的相關(guān)程度，直線的斜率表示直線的傾斜 程度；它們的計(jì)算公式也不相同 不正確 C 相關(guān)系數(shù)的值有正有負(fù)，還可以是 0；當(dāng)相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間時，兩個變量為正相關(guān)，在1 到 0 之間時，兩個變量負(fù)相關(guān) 不正確 D l 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)分布與 n 的奇偶性無關(guān)，也不一定是平均分布 不正確 10 植樹節(jié)某班 20 名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距 10 米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從 1 到 20 依次編號，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的 兩個最佳 坑位的編號為（ ） （ A） 和 （ B） 和 (C) 和 (D) 和 【分析】根據(jù)選項(xiàng)分別計(jì)算四種情形的路程和；或根據(jù)路程和的變化規(guī)律直接得出結(jié)論 【解】選 D （方法一） 選項(xiàng) 具體分析 結(jié)論 A 和 ： 1 0 ( 1 2 1 9 ) 2 3 8 0 0 L 比較各個路程和可知 D 符合題意 B ： 1 0 ( 1 2 8 ) 2 ( 1 2 1 1 ) 2 2 0 4 0 LL ： 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL=2000 C ： 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL=2000 D 和 ：路程和都是 2000 （方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所 得路程總和的變化相同，最后移到第 10 個和第 11個樹坑旁時，所得的路程總和達(dá)到另一個最值，所以計(jì)算兩個路程和進(jìn)行比較即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是 1 0 (1 2 1 9 ) 2 L 1 9 ( 1 1 9 )1 0 2 3 8 0 02 ；樹苗放在第 10 個 （ 或 第 11 個 ） 樹 坑 旁 邊 時 ， 路 程 總 和 是2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL9 ( 1 9 ) 1 0 ( 1 1 0 )1 0 2 1 0 222 9 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 ，所以路程總和最小為 2000 米 . (二） 填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上 （ 本大題共 5 小題，每小題 5 分，共25 分） 11 設(shè) lg , 0()1 0 , 0xxxfxx ， 則 ( ( 2)ff_. 【 分析 】由 2x 算起，先判斷 x 的范圍，是大于 0，還是不大于 0,；再判斷 ( 2)f 作為自變量的值時的范圍，最后即可計(jì)算出結(jié)果 【解】 20x ， 2 1( 2 ) 1 0 0100f ，所以 22(1 0 ) l g 1 0 2f ，即( ( 2 ) 2ff 【答案】 2 12 如圖，點(diǎn) ( , )xy 在四邊形 ABCD 內(nèi)部和邊界上運(yùn)動，那么 2xy 的最小值為 _. 【 分析 】本題為線性規(guī)劃問題，采 用數(shù)形結(jié)合法解答，解答本題的關(guān)鍵是確定目標(biāo)函數(shù)過哪一個點(diǎn)時取得最小值 【解】目標(biāo)函數(shù) 2z x y，當(dāng) 0x 時， zy ，所以當(dāng) y 取得最大值時，z 的值最??；移動直線 20xy，當(dāng)直線移動到過點(diǎn) A 時， y 最大，即 z的值最小，此時 2 1 1 1z 【答案】 1 13 觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為 _. 【分析】歸納總結(jié)時，看等號左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，根據(jù)以上規(guī)律寫出第五個等式，注意行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵 【解】把已知等式與行數(shù)對應(yīng) 起來，則每一個等式的左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù) n ，加數(shù)的個數(shù)是 21n ；等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù) 等號左邊的項(xiàng)數(shù) 1=1 1 1 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 則第 5 行等號的左邊有 9 項(xiàng)，右邊是 9 的平方，所以 25 6 5 ( 2 5 1 ) 1 9 L ， 即 5 6 1 3 8 1 L 【答案】 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 8 1 （或 5 6 1 3 8 1 L ） 14設(shè) nN，一元二次方程 2 40x x n 有 整數(shù) 根的充要條件是 n 【分析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算 【解】 4 1 6 42 nx 24n ，因?yàn)?x 是整數(shù)，即 24n為整數(shù)，所以 4 n為整數(shù)，且 4n ，又因?yàn)?nN，取 1, 2, 3, 4n 驗(yàn)證可知 3,4n 符合題意；反之 3,4n時，可推出一元二次方程 2 40x x n 有 整數(shù) 根 【答案】 3 或 4 15 （考生注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分） A（不等式選做題）若不等式 | 1 | | 2 |x x a 對任意 x R 恒成立，則 a 的取值范圍是 【分析】先確定 | 1 | | 2 |xx 的取值范圍，則只要 a 不大于 | 1 | | 2 |xx 的最小值即可 【解】當(dāng) 1x 時， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 當(dāng) 12x 時， | 1 | | 2 | 1 2 3x x x x ； 當(dāng) 2x 時， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 綜上可得 | 1 | | 2 | 3xx ，所以只要 3a ， 即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( ,3 【答案】 ( ,3 B（幾何證明選做題）如圖， B= D， AE BC ， 90ACDo ，且 AB=6， AC=4，AD=12，則 AE= 【分析】尋找兩個三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解 【解】因?yàn)?AE BC ， 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 所以 AEB= 90ACDo ，又因?yàn)?B= D，所以 AEB ACD，所以 AC ADAE AB,所以64 212A B A CAE AD 【答案】 2 C（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A， B 分別在曲線1C： 3 cossinxy（ 為參數(shù)）和曲線2C： 1 上，則 |AB 的最小值為 【分析】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程 【解】曲線1C的方程是 22( 3 ) 1xy ，曲線2C的方程是 221xy，兩圓外離，所以|AB 的最小值為 223 0 1 1 1 【答案】 1 （ 3） 解答題：接答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本大題共 6 小題，共 75 分） P.（本小題滿分 12 分） 如圖，在 ABC 中， ABC=45， BAC=90， AD是 BC 上的 高，沿 AD 把 ABD 折起，使 BDC=90。 （ 1）證明：平面平面； （ 2 ）設(shè) BD=1，求三棱錐 D 的表 面積。 【分析】（ 1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（ 2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算 【解】 （ 1）折起前是邊上的高， 當(dāng) 折起后， AD， AD， 又 DB ， 平面， 又 AD 平面 BDC. 平面 ABD平面 BDC （ 2）由（ 1）知， DA DB ,DB DC ,DC DA , 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 Q DB=DA=DC=1， AB=BC=CA= 2 , 111 1 ,22D A M D B C D C AS S S V V V 132 2 s i n 6 022ABCS V 三棱錐 D 的表面積 是 1 3 3 33.2 2 2S 17.（本小題滿分 12 分） 設(shè)橢圓 C : 22 10xy abab 過點(diǎn)（ 0， 4），離心率為 35 （ 1）求 C 的方程； （ 2）求過點(diǎn)（ 3， 0）且斜率為 45的直線被 C 所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo) 【分析】（ 1）由橢圓過已知點(diǎn)和 橢圓離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；（ 2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解 【解】 （ 1）將 點(diǎn) （ 0， 4）代入 C 的方程得2161b , b=4, 又 35ce a得 222925aba ， 即216 91 25a， 5a C 的方程為 22125 16xy（ 2）過點(diǎn) 3,0 且斜率為 45的直線方程為 4 35yx， 設(shè)直線與的交點(diǎn)為 11,xy， 22,xy，將直線方程 4 35yx代入的方程，得 22 3 12 5 2 5xx ，即 2 3 8 0xx ，解得13 412x ，23 412x ， AB 的中點(diǎn)坐標(biāo) 12322xxx ， 12122662 5 5yyy x x ， 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 即 所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo) 為 36,25 注： 用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果，同樣給分 18.（本小題滿分 12 分） 敘述并證明余弦定理。 【分析】本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)和鞏固 【解】敘述： 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸?ABC 中， a， b， c 為 A， B， C 的對邊，有 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 2 2 2 2 c o sc a b a b C . 證明：（ 證法一 ） 如圖， 2c BCuuur A C A B A C A B uuur uuur uuur uuur 222A C A C A B A B uuur uuur uuur uuur222 c o sA C A C A B A A B u u ur u u ur u u ur u u ur 222 c o sb b c A c 即 2 2 2 2 c o sa b c b c A 同 理可證 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 2 2 2 2 c o sc a b a b C （ 證法二 ） 已知 ABC 中 ， ,ABC 所對邊分別為 , , ,abc，以 A 為原點(diǎn)， AB 所在直線為x 軸建立直角坐標(biāo)系，則 ( c o s , s i n ) , ( , 0 )C b A b A B c， 2 2 2 2 2 2 2 2 2| | ( c o s ) ( s i n ) c o s 2 c o s s i na B C b A c b A b A b c A c b A 22 2 c o sb c b c A ， 即 2 2 2 2 c o sa b c b c A 同理可證 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 2 2 2 2 c o sc a b a b C 19.（本小題滿分 12 分） 如圖，從點(diǎn)1(0,0)P做 x 軸的垂線交曲線 xye 于點(diǎn)1(0,1),Q曲線在1Q點(diǎn)處的切線與 x 軸交于點(diǎn)2P，再從2P做 x 軸的垂線交 曲線于點(diǎn)2Q，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：1 1 2 2, ； , . . . . . . ； , ,nnP Q P Q P Q記kP點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( , 0 ) ( 1 , 2 , . . . , )kx k n. （）試求1x與1kx的關(guān)系 (2 )kn （ ）求1 1 2 2 3 3 . nnP Q P Q P Q P Q 【分析】（ 1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）嘗試求出通項(xiàng) |nnPQ的表達(dá)式，然后再求和 【解】 （ ）設(shè)11( , 0)kkPx，由 xye 得 111( , )kxkkQ x e 點(diǎn)處切線方程為 11 1()kkxx ky e e x x 由 0y 得1 1 ( 2 )kkx x k n 。 （ ）110 , 1kkx x x ，得 ( 1)kxk ， ( 1 )kx kkkP Q e e 1 1 2 2 3 3 .n n nS P Q P Q P Q P Q 11 2 ( 1 )111 . . . 11nnn e e ee e e ee 20.（本小題滿分 13 分） 如圖， A 地到火車站共有兩條路徑1L和2L，現(xiàn)隨機(jī)抽取 100 位從 A 地到 達(dá) 火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時間（分鐘） 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 選擇1L的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇2L的人數(shù) 0 4 16 16 4 （ 1）試估計(jì) 40 分鐘內(nèi) 不能 趕到火車站的概率 ； 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 （ 2 ）分別求通過路徑1L和2L所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率 ； （ 3）現(xiàn)甲、乙兩人分別有 40 分鐘和 50 分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的 路徑 【分析】（ 1）讀懂?dāng)?shù)表，確定不能 趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；（ 2）根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；（ 3）計(jì)算選擇不同的路徑，在允許的時間內(nèi)趕往火車站的概率，通過比較概率的大小確定選擇的最佳路徑 【解】 （ 1）由已知共調(diào)查了 100 人，其中 40 分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有 12+12+16+4=44人， 用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為 0.44. （ 2 ）選擇1L的有 60 人，選擇2L的有 40 人， 故由調(diào)查結(jié)果得頻率為： 所用時間（分鐘） 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 選擇1L的人數(shù) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 選擇2L的人數(shù) 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （ 3） 用1A，2A分別表示甲選擇1L和2L時，在 40 分鐘內(nèi)趕到火車站； 用1B，2B分別表示乙選擇1L和2L時，在 50 分鐘內(nèi)趕到火車站 由（ 2）知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6， P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)， 甲應(yīng)選擇 路徑 1L ； P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， P（ B2） =0.1+0.4+0.4=0.9， P（ B2） P（ B1）， 乙應(yīng)選擇 路徑 L2. 21.（本小題滿分 14 分） 設(shè) ( ) lnf x x ， ( ) ( ) ( )g x f x f x （ 1）求 ()gx的單調(diào)區(qū)間和最小值； （ 2）討論 ()gx與 1()gx的大小關(guān)系； 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 （ 3）求 a 的取值范圍，使得 ( ) ( )g a g x 1a對任意 x 0 成立 【分析】（ 1）先求出原函數(shù) ()fx，再求得 ()gx ，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（ 2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（ 3） 對任意 x 0 成立 的恒成立 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) ()gx 的最小值問題 【解】 （ 1）由題設(shè)知 1( ) l n , ( ) l nf x x g x xx ， 21( ) ,xgx x 令 ()gx 0 得 x =1， 當(dāng) x （ 0， 1）時， ()gx 0， ()gx 是減函數(shù)， 故（ 0， 1）是 ()gx 的單調(diào)減區(qū)間。 當(dāng) x （ 1， +）時， ()gx 0， ()gx 是增函數(shù)， 故（ 1， +）是 ()gx 的單調(diào)遞增區(qū)間， 因此， x =1 是 ()gx的唯一 極 值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)， 所以 ()gx的最小值為 (1) 1.g (2) 1( ) lng x xx 設(shè) 11( ) ( ) ( ) l nh x g x g x xxx ，則 22( 1 )() xhx x ， 當(dāng) 1x 時， (1) 0h ， 即 1( ) ( )g x gx， 當(dāng) ( 0 , 1) (1, )x 時 ， ( ) 0hx ， 因此， ()hx在 (0, ) 內(nèi)單調(diào)遞減， 當(dāng) 01x時， ( ) (1) 0h x h 即 1( ) ( ).g x gx（ 3）由（ 1）知 ()gx的最小值為 1，所以， 1( ) ( )g a g x a，對任意 0x ，成立 1( ) 1 ,ga a 即 1,Ina 從而得 0 ae。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試陜西卷 理科 全解全析 一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分） 1設(shè) ar ， br 是向量，命題“若 abrr，則 | | | |abrr”的逆命題是 （ ） （ A）若 abrr，則 | | | |abrr （ B）若 abrr，則 | | | |abrr （ C）若 | | | |abrr，則 abrr （ D）若 | | | |abrr，則 abrr 【分析】首先確定原命題的條件和結(jié)論，然后交換條件和結(jié)論的位置即可得到逆命題。 【解】選 D 原命題的條件是 abrr，作為逆命題的結(jié)論；原命題的結(jié)論是 | | | |abrr，作為逆命題的條件，即得逆命題“若 | | | |abrr，則 abrr”，故選 D 2設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 2x ，則拋物線的方程是 （ ） （ A） 2 8yx （ B） 2 8yx （ C） 2 4yx （ D） 2 4yx 【分析】由準(zhǔn)線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵 【解】選 B 由準(zhǔn)線方程 2x 得 22p ,且拋物線的開口向右（或焦點(diǎn)在 x 軸的正半軸），所以 2 28y px x 3設(shè)函數(shù) ()fx（ x R）滿足 ( ) ( )f x f x ， ( 2 ) ( )f x f x ，則函數(shù) ()y f x 的圖像是 （ ） 【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù) ()y f x 的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì) 【解】選 B 由 ( ) ( )f x f x 得 ()y f x 是偶函數(shù)，所以函數(shù) ()y f x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱，可知 B， D 符合；由 ( 2 ) ( )f x f x 得 ()y f x 是周期為 2 的周期函數(shù)，選項(xiàng) D 的圖像的最小正周期是 4，不符合，選項(xiàng) B 的圖像的最小正周期是 2，符合，故選 B 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 4 6(4 2 )xx （ x R）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 （ ） （ A） 20 （ B） 15 （ C） 15 （ D） 20 【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，再進(jìn)行整理化簡，由 x 的指數(shù)為 0，確定常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)，最后計(jì)算出常數(shù)項(xiàng) . 【解】選 C 6 2 ( 6 ) 1 2 31 6 6 6( 4 ) ( 2 ) 2 2 2r x r x r r x r x r r x x rrT C C C ， 令 12 3 0x xr，則 4r ，所以 45615TC，故選 C 5某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 （ ） （ A） 283（ B） 83（ C） 82 （ D） 23【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進(jìn)行計(jì)算 【精講精析】選 A 由幾何體的三視圖可知幾何體為一個組合體， 即一個正方體中間去掉一個圓錐體，所以它的體積是 32182 2 2 833V . 6函數(shù) ( ) c o sf x x x在 0, ) 內(nèi) （ ） （ A）沒有零點(diǎn) （ B）有且僅有一個零點(diǎn) （ C）有且僅有兩個零點(diǎn) （ D）有無窮多個零點(diǎn) 【分析】利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行直觀判斷，或根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（值域、單調(diào)性等）進(jìn)行判斷。 【解】選 B （方法一）數(shù)形結(jié)合法，令 ( ) c o sf x x x 0 ，則 cosxx ，設(shè)函數(shù)yx 和 cosyx ，它們在 0, ) 的圖像如圖所示，顯然兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)有且只有一個，所以函數(shù) ( ) c o sf x x x在 0, ) 內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)； 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 （方法二）在 , )2x 上， 1x ， cos 1x ，所以 ( ) c o sf x x x 0 ； 在 (0, 2x ， 1( ) s i n 02f x xx ，所以函數(shù) ( ) c o sf x x x是增函數(shù)，又因?yàn)?0) 1f ， ( ) 022f ，所以 ( ) c o sf x x x在 0, 2x 上有且只有一個零點(diǎn) 7設(shè)集合 22 | | c o s s i n | , M y y x x x R ， 1 | | 2N x xi ， i 為虛數(shù)單位，x R ，則 MNI 為（ ） （ A）（ 0， 1） （ B） (0 ， 1 （ C） 0 ， 1) （ D） 0 ， 1 【分析】確定出集合的元素是關(guān)鍵。本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模，不等式等知識點(diǎn)。 【解】選 C 22| c o s s i n | | c o s 2 | 0 , 1 y x x x ，所 以 0,1M ； 因?yàn)?1| | 2xi，所以 | | 2xi ，即 | ( ) | 2xi ，又因?yàn)?x R，所以 11x ，即 ( 1,1)N ；所以 0,1)MNI ，故選 C. 8右圖中，1x，2x，3x為某次考試三個評閱人對同一道題的獨(dú)立評分， p 為該題的最終得分，當(dāng)1 6x，2 9x ，8.5p 時， 3x 等于（ ） （ A） 11 （ B） 10 （ C） 8 （ D） 7 【分析】先讀懂右圖的邏輯順序，然后進(jìn)行計(jì)算判斷，其中判斷條件3 1 3 2| | | |x x x x 是否成立是解答本題的關(guān)鍵 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 【解】選 C 1 6x，2 9x ,12| | 3 2xx不成立 ,即為“否”，所以再輸入3x；由絕對值的意義（一個點(diǎn)到另一個點(diǎn)的距離） 和不等式3 1 3 2| | | |x x x x 知，點(diǎn)3x到點(diǎn)1x的距離小于點(diǎn)3x到2x的距離，所以當(dāng)3 7.5x 時，3 1 3 2| | | |x x x x 成立，即為“是”，此時23xx，所以132xxp ，即36 8.52x ，解得3 11x 7.5，不合題意；當(dāng)3 7.5x時，3 1 3 2| | | |x x x x 不成立，即為“否”，此時13xx，所以322xxp ，即3 9 8.52x ，解得3 8x 7.5，符合題意，故選 C 9設(shè)1 1 2 2( , ), ( , )x y x y， ，33( , )xy是變量 x 和 y 的 n 個樣本點(diǎn)，直線 l 是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結(jié)論中正確的是 （ ） （ A） x 和 y 的相關(guān)系數(shù)為直線 l 的斜率 （ B） x 和 y 的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間 （ C）當(dāng) n 為偶數(shù)時，分布在 l 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)一定相同 （ D）直線 l 過點(diǎn) ( , )xy 【分析】根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點(diǎn)的中心，相關(guān)系數(shù)線，性回歸方程的意義等進(jìn)行判斷 【解】選 D 選項(xiàng) 具體分析 結(jié)論 A 相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間的相關(guān)程度，直線的斜率表示直 線的傾斜程度；它們的計(jì)算公式也不相同 不正 確 B 相關(guān)系數(shù)的值有正有負(fù)，還可以是 0； 當(dāng)相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間時，兩個變量為正相關(guān)，在1 到 0 之間時，兩個變量負(fù)相關(guān) 不正確 C l 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)分布與 n 的奇偶性無關(guān)，也不一定是平均分布 不正 確 D 回歸直線 l 一定過樣本點(diǎn)中心 ( , )xy ；由回歸直線方程的計(jì)算公式$a y bx$ 可知直線 l 必過點(diǎn) ( , )xy 正確 10甲乙兩人一起去游“ 2011 西安世園會”，他們約定，各自獨(dú)立地從 1 到 6 號景點(diǎn)中任選4 個進(jìn)行游覽，每個景點(diǎn)參觀 1 小時，則最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是 （ ） （ A） 136（ B） 19（ C） 536（ D） 16【分析】本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點(diǎn)路線的排列問題 【解】選 D 甲乙兩人各自獨(dú)立任選 4 個景點(diǎn)的情形共有 4466AA（種）；最后一小時他們同2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 在一個景點(diǎn)的情形有 33556AA（種），所以 33554466616AAPAA 二、填空題：把答案填在答題卡 相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共 5 小題，每小題 5 分，共25 分 ） 11設(shè)20l g 0() 30axxfx x t d t x ，若 ( (1) 1ff ，則 a 【 分析 】分段函數(shù)問題通常需要分布進(jìn)行計(jì)算或判斷，從 1x 算起是解答本題的突破口 . 【解】因?yàn)?10x ，所以 (1) lg 1 0f ， 又因?yàn)?230( ) 3af x x t d t x a ， 所以 3(0)fa ，所以 3 1a ， 1a 【答案】 1 12設(shè) nN，一元二次方程 2 40x x n 有 整數(shù) 根的充要條件是 n 【分析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然 后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算 【解】 4 1 6 42 nx 24n ，因?yàn)?x 是整數(shù)，即 24n為整數(shù)，所以 4 n為整數(shù)，且 4n ，又因?yàn)?nN，取 1, 2, 3, 4n ，驗(yàn)證可知 3,4n 符合題意；反之 3,4n時，可推出一元二次方程 2 40x x n 有 整數(shù) 根 【答案】 3 或 4 13觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第 n 個等式為 . 【分析】歸納總結(jié)時，看等號左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，然后歸納出一般結(jié)論行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵 【解】把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則每一個等式的左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù) n ，加數(shù)的個數(shù)是 21n ；等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù) 等號左邊的項(xiàng)數(shù) 1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以 2( 1 ) ( 2 1 ) 1 ( 2 1 )n n n n n L ， 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 即 2( 1 ) ( 3 2 ) ( 2 1 )n n n n L 【答案】 2( 1 ) ( 3 2 ) ( 2 1 )n n n n L 14植樹節(jié)某班 20 名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距 10 米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米） 【分析】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 ,然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 【解】（方法一）設(shè)樹苗放在第 i 個樹坑旁邊（如圖）， 1 2 i 19 20 那么各個樹坑到第 i 個樹坑距離的和是 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 1 0 ( ) 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 2 0 ) 1 0s i i i i i i i LL ( 1 ) ( 2 0 ) ( 1 2 0 )1 0 ( 2 0 ) 22i i i ii i i i 21 0 ( 2 1 2 1 0 )ii ，所以當(dāng) 10i 或 11時， s 的值最小，最小值是 1000，所以往返路程的最小值是 2000 米 . （方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放 在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第 10 個和第 11個樹坑旁時，所得的路程總和達(dá)到另一個最值，所以計(jì)算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是 1 9 ( 1 1 9 )1 0 ( 1 2 1 9 ) 2 1 0 2 3 8 0 02 L；樹苗放在第10 個（或第 11 個）樹坑旁邊時，路程總和是 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL 9 ( 1 9 ) 1 0 ( 1 1 0 )1 0 2 1 0 2 9 0 0 1 1 0 0 2 0 0 022 ，所以路程總和最小為2000 米 . 【答案】 2000 15 （ 考生注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分） A（不等式選做題）若關(guān)于 x 的不等式 | | | 1 | | 2 |a x x 存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 【分析】先確定 | 1 | | 2 |xx 的取值范圍，再使得 a 能取到此范圍內(nèi)的值即可 【解】當(dāng) 1x 時， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 當(dāng) 12x 時， | 1 | | 2 | 1 2 3x x x x ； 當(dāng) 2x 時， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -陜西卷文理兩份 綜上可得 | 1 | | 2 | 3xx ，所以只要 | | 3a ，解得 3a 或 3a ， 即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( , 3 3 , ) U 【答案】 ( , 3 3 , ) U B（幾何證明選做題）如圖， B= D， AE BC ， 90ACDo ，且 AB=6， AC=4，AD=12，則 BE= 【分析】尋找兩個三角形相 似的條件，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解 【解】因?yàn)?AE BC ， 所以 AEB= 90ACDo ，又因?yàn)?B= D，所以 AEB ACD，所以 AC ADAE AB, 所以 64 212A B A CAE AD ，在 Rt AEB 中， 2 2 2 26 2 4 2B E A B A E 【答案】 42 C（坐標(biāo)系與參數(shù)方 程選做題）直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A， B 分別在曲線1C： 3 cos4 sinxy（ 為參數(shù)）和曲線2C：