本科實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱： 信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn) 課程名稱：數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)時(shí)間：任課教師：范哲意實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：4-442實(shí)驗(yàn)教師：何冰松, 范哲意實(shí)驗(yàn)類型： 原理驗(yàn)證 綜合設(shè)計(jì) 自主創(chuàng)新學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)/班級(jí)：組 號(hào)：學(xué) 院：信息與電子學(xué)院同組搭檔：專 業(yè)：信息工程成 績(jī)：實(shí)驗(yàn)一 信號(hào)的時(shí)域描述與運(yùn)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握信號(hào)的MATLAB表示及其可視化方法。掌握信號(hào)基本時(shí)域運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。利用MATLAB分析常用信號(hào)，加深對(duì)信號(hào)時(shí)域特性的理解。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法1. 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的MATLAB表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)指的是在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)有定義的信號(hào)，即除了若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外，在任何時(shí)刻信號(hào)都有定義。在MATLAB中連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用兩種方法來(lái)表示，即向量表示法和符號(hào)對(duì)象表示法。從嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，MATLAB并不能處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，在MATLAB中連續(xù)時(shí)間信號(hào)是用等時(shí)間間隔采樣后的采樣值來(lái)近似表示的，當(dāng)采樣間隔足夠小時(shí)，這些采樣值就可以很好地近似表示出連續(xù)時(shí)間信號(hào)，這種表示方法稱為向量表示法。表示一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)需要使用兩個(gè)向量，其中一個(gè)向量用于表示信號(hào)的時(shí)間范圍，另一個(gè)向量表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)在該時(shí)間范圍內(nèi)的采樣值。例如一個(gè)正弦信號(hào)可以表示如下： t=0:0.01:10; x=sin(t);利用plot(t,x)命令可以繪制上述信號(hào)的時(shí)域波形，如圖1所示。如果連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用表達(dá)式來(lái)描述，則還可以采用符號(hào)表達(dá)式來(lái)表示信號(hào)。例如對(duì)于上述正弦信號(hào)，可以用符號(hào)對(duì)象表示如下： x=sin(t); ezplot(X);利用ezplot(x)命令可以繪制上述信號(hào)的時(shí)域波形常用的信號(hào)產(chǎn)生函數(shù) 函數(shù)名 功能 函數(shù)名 功能heaviside單位階躍函數(shù)rectpuls門函數(shù)sin正弦函數(shù)tripuls三角脈沖函數(shù)cos余弦函數(shù)square周期方波sincsinc函數(shù)sawtooth周期鋸齒波或三角波exp指數(shù)函數(shù)2.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算 對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算包括兩信號(hào)相加、相乘、微分、積分，以及位移、反轉(zhuǎn)、尺度變換（尺度伸縮）等。1）相加和相乘信號(hào)相加和相乘指兩信號(hào)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的值相加和相乘，對(duì)于兩個(gè)采用向量表示的可以直接使用算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算符“+”和“*”來(lái)計(jì)算，此時(shí)要求表示兩信號(hào)的向量時(shí)間范圍和采樣間隔相同。采用符號(hào)對(duì)象表示的兩個(gè)信號(hào)，可以直接根據(jù)符號(hào)對(duì)象的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算。2）微分和積分對(duì)于向量表示法表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算信號(hào)的微分和積分。這里微分使用差分來(lái)近似求取的，由時(shí)間向量和采樣值向量表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其微分可以通過(guò)下式求得其中表示采樣間隔。MATLAB中用diff函數(shù)來(lái)計(jì)算差分。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的定積分可以由MATLAB的qud函數(shù)實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為quad (function_name,a,b)其中，function_name為被積函數(shù)名，a、b為積分區(qū)間。對(duì)于符號(hào)對(duì)象表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，MATLAB提供了diff函數(shù)和quad函數(shù)分別用于求微分和積分。3.離散時(shí)間信號(hào)的MATLAB表示離散時(shí)間信號(hào)僅在一些離散時(shí)刻有定義。在MATLAB中離散時(shí)間信號(hào)需要使用兩個(gè)向量來(lái)表示，其中一個(gè)向量用于表示離散的時(shí)間點(diǎn)，另一個(gè)向量表示在這些時(shí)間點(diǎn)上的值。例如對(duì)于如下時(shí)間信號(hào) 采用MATLAB可以表示如下： n=-3:4; x=-3 2 -1 2 1 -1 2 3; stem(n,x,filled); xlabel(n); title(x(n);Stem函數(shù)用于繪制離散時(shí)間信號(hào)波形，為了與我們表示離散時(shí)間信號(hào)的習(xí)慣相同，在繪圖時(shí)一般需要添加filled選項(xiàng)，以繪制實(shí)心的桿狀圖形。上述命令繪制的信號(hào)時(shí)域波形如圖3所示。4.離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算 離散時(shí)間信號(hào)的相加相乘是將兩個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)上的值相加或相乘，可以直接使用算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算符“+”和“*”來(lái)計(jì)算。離散時(shí)間信號(hào)的位移，則可看作是將表示時(shí)間的向量平移，而表示對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)上的值的向量不變。離散時(shí)間信號(hào)的反轉(zhuǎn)，則可以看作是將表示時(shí)間的向量和表示對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)上的值的向量以零點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，一縱軸為對(duì)稱軸反折，向量的反折可以利用MATLAB的fliplr函數(shù)實(shí)現(xiàn)。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）、利用MATLAB繪制下列連續(xù)時(shí)間信號(hào)的波形：1、 t=0:0.001:10; x=(1-exp(-0.5*t).*(heaviside(t); plot(t,x)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.912、 t=0:0.001:10; x=cos(pi*t).*(heaviside(t)-heaviside(t-2); plot(t,x)012345678910-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.83、 t=0:0.001:10; x=abs(t)/2.*cos(pi*t).*(heaviside(t+2)-heaviside(t-2); plot(t,x)012345678910-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814、 t=0:0.001:10; x=exp(-t).*sin(2*pi*t).*(heaviside(t)-heaviside(t-3); plot(t,x)012345678910-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8（2）、利用MATLAB繪制下列離散時(shí)間信號(hào)的波形：1、 x=heaviside(n-3);stem(n,x,filled) 01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.92、 x=(-1/2).n.*heaviside(n); stem(n,x,filled)3、 x=n.*(heaviside(n)-heaviside(t-5); stem(n,x,filled)01234567891000.511.522.533.544、 x=sin(n*pi/2).*heaviside(n); stem(n,x,filled)012345678910-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8（3）、利用MATLAB生成并繪制連續(xù)周期矩形波信號(hào)，要求周期為2，峰值為3，顯示三個(gè)周期波形。 t=0:0.001:6; x=square(t*pi).*3; plot(t,x)0123456-3-2-10123(4)、已知信號(hào),用MATLAB繪出下列信號(hào)的波形1、 t=0:0.001:10; x1=(-t+4).*(heaviside(t)-heaviside(t-4); x2=sin(2*pi*t);x3=x1+x2;plot(t,x3)012345678910-10123452、 t=0:0.001:10; x1=(-t+4).*(heaviside(t)-heaviside(t-4); x2=sin(2*pi*t); x4=x1.*x2;plot(t,x4)0123456789-4-3-2-101233、syms t;x1=(4-t)*(heaviside(t)-heaviside(t-4);x1=(4+t)*(heaviside(-t)-heaviside(t+4);x5=x1+x2;ezplot(t,x5);5）、已知離散時(shí)間信號(hào)x(n)波形（），用MATLAB繪出x(n)、x(-n)、x(n+2)和x(n-2)的波形。n=-3:4;x=0,1,2,3,3,3,3,0;n1=-fliplr(n);x1=fliplr(x);n2=n+2;n3=n-2;subplot(221);stem(n,x,filled);subplot(222);stem(n1,x1,filled);subplot(223);stem(n2,x,filled);subplot(224);stem(n3,x,filled); （6）、有MATLAB編程繪制下列信號(hào)的時(shí)域波形，觀察信號(hào)是否為周期信號(hào)？若是周期信號(hào)，周期是多少？若不是周期信號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明原因。1、syms t;x=1+cos(pi/4*t-pi/3)+2*cos(pi/2*t-pi/4)+cos(2*pi*t);ezplot(x,-20,20);-10-8-6-4-20246810-3-2-1012345是周期信號(hào) T=8s2、 x=sin(t)+2*sin(pi*t); plot(t,x)-20-15-10-505101520-3-2-10123不是周期信號(hào)3、n=1:20;x=2+3*sin(2*n/3*pi-pi/8);stem(n,x,filled);是周期信號(hào) T=3s4、n=1:20;x=cos(n*pi/6)+sin(n*pi/3)+cos(n*pi/2);stem(n,x,filled); 是周期信號(hào) T=12s實(shí)驗(yàn)二 LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析的方法。2、掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解方法。3、掌握求解離散時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)、單位抽樣響應(yīng)的方法。4、加深對(duì)卷積積分和卷積和的理解。掌握利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行卷積積分和卷積和計(jì)算的方法。 二、實(shí)驗(yàn)原理與方法1、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)（1)、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的MATLAB表示 LTI連續(xù)系統(tǒng)通?？梢杂上到y(tǒng)微分方程描述，設(shè)LTI因果系統(tǒng)的微分方程一般式為： 則在MATLAB里，可以建立系統(tǒng)模型如下： b=bM,bM-.b0;a=aN,aN-1.a0; sys=tf(b,a); 其中，tf是用于創(chuàng)建系統(tǒng)模型的函數(shù)，向量a與b的元素是以微分方程求導(dǎo)的降冪次序來(lái)排列的，如果有缺項(xiàng)，應(yīng)用0補(bǔ)齊。(2)、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號(hào)引起的響應(yīng)。MATLAB提供了一個(gè)用于求解零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)lism，其調(diào)用格式如下：lsim(sys,x,t)繪出輸入信號(hào)及響應(yīng)的波形，x和t表示輸入信號(hào)數(shù)值向量和時(shí)間向量。y= lsim(sys,x,t)這種調(diào)用格式不繪出波形，而是返回響應(yīng)的數(shù)值向量。（3）、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)。MATLAB提供了函數(shù)impluse來(lái)求指定時(shí)間范圍內(nèi)，由模型sys描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。其調(diào)用格式如下：impulse(sys)在默認(rèn)的時(shí)間范圍內(nèi)繪出系統(tǒng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。impulse(sys，T)繪出系統(tǒng)在0-T范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。impulse(sys，ts：tp：te)繪出系統(tǒng)在ts-tp范圍內(nèi)，以tp為時(shí)間間隔取樣的沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。y,t= impulse()該調(diào)用格式不繪出單位沖激響應(yīng)波形，而是返回單位沖激響應(yīng)的數(shù)值向量及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量。函數(shù)step用于求解單位階躍響應(yīng)，函數(shù)step同樣也有如下幾種調(diào)用格式：step(sys)step（sys，T）step（sys，ts：tp：te）y，t=step（）2、離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)（1）、離散時(shí)間系統(tǒng)的MATLAB表示。 LTI離散系統(tǒng)通常可以由系統(tǒng)差分方程描述，設(shè)描述系統(tǒng)的差分方程為： 則在MATLAB里，可以用如下兩個(gè)向量來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)： b=b0,b1,bMa=a0,a1,aN(2）、離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)。MATLAB提供求LTI離散系統(tǒng)響應(yīng)的專用函數(shù)fliter，該函數(shù)用于求取差分方程描述的離散時(shí)間系統(tǒng)在指定時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)輸入序列所產(chǎn)生的響應(yīng)，其調(diào)用格式如下：y=filter（b,a,x）其中，x為輸入序列，y為輸出序列，x，y所對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間必須相同。（3）、離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。MATLAB提供了函數(shù)impz來(lái)求指定時(shí)間范圍內(nèi)，由向量b和a描述的離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。其調(diào)用格式如下：impz(b,a)在默認(rèn)的時(shí)間范圍內(nèi)繪出系統(tǒng)抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形。impz(b,a，T)繪出系統(tǒng)在0-N范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。impz(b,a，ns:ne)繪出系統(tǒng)在ns-ne范圍的沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。y,n= impz()該調(diào)用格式不繪出單位沖激響應(yīng)波形，而是返回單位沖激響應(yīng)的數(shù)值向量及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量。3、卷積和與卷積積分 （1）、離散時(shí)間序列的卷積和卷積和是離散系統(tǒng)時(shí)域分析的基本方法之一，離散時(shí)間序列和的卷積和定義如下：MATLAB提供了函數(shù)conv來(lái)求兩個(gè)離散序列的卷積和。其調(diào)用格式如下：x=conv(x1,x2)（2）、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積積分卷積積分是連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的有效方法和工具之一，連續(xù)時(shí)間信號(hào)和的卷積積分定義如下: 用戶可根據(jù)書上內(nèi)容自定義一個(gè)用于計(jì)算卷積積分的通用函數(shù)sconv。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、已知描述模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器的微分方程如下，試采用MATLAB繪出各系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)波形。 a=1 sqrt(2) 1; b=1; sys=tf(b,a); impulse(sys)012345678910-0.100.10.20.30.40.50.6Impulse ResponseTime (seconds)Amplitude a=1 sqrt(2) 1; b=1 0 0; sys=tf(b,a); impulse(sys)0123456789-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2Time (seconds)Amplitude a=1 1 1; b=1 0; sys=tf(b,a); impulse(sys)024681012-0.4-0.200.20.40.60.81Time (seconds)Amplitude a=1 1 1; b=1 0 1; sys=tf(b,a); impulse(sys)024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4Time (seconds)Amplitude2、已知某系統(tǒng)可以由微分方程描述y(n)+y(n-1)+y(n-2)=x(n)請(qǐng)利用MATLAB繪出該系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的時(shí)域波形；根據(jù)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；如果系統(tǒng)的輸入為，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng); a=1 1 6; b=1; sys=tf(b,a); impulse(sys) step(sys)02468101214-0.2-0.100.10.20.30.40.5Time (seconds)Amplitude0246810121400.050.10.150.20.250.30.35Step ResponseTime (seconds)Amplitude是穩(wěn)定系統(tǒng) t=0:0.01:10; x=exp(-t);lsim(sys,x,t)012345678910-0.200.20.40.60.811.2Linear Simulation ResultsTime (seconds)Amplitude3、已知描述離散系統(tǒng)的差分方程如下，試采用MATLAB繪出各系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，并根據(jù)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n) a=1 3 2; b=1; impz(b,a)不是穩(wěn)定系統(tǒng)5、采用MATLAB計(jì)算如下兩個(gè)序列的卷積，并繪出圖形 x1=1 2 1 1; x2=1 1 1 1 1; x=conv(x1,x2)x =134554216、已知某LTI離散系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)h(n)=sin(0.5n)，n=0，系統(tǒng)的輸入為x(n)=sin(0.2n)，n=0，計(jì)算當(dāng)n=0,1,2，40時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(n)，繪出x(n)，h(n)和y(n)時(shí)域波形。n=0:40;h=sin(0.5*n);x=sin(0.2*n);y=conv(h,x);subplot(311);stem(n,h,filled);subplot(312);stem(n,x,filled);subplot(313);stem(y,filled);程序運(yùn)行結(jié)果如下：7、已知兩個(gè)連續(xù)信號(hào)，是采用MATLAB求這兩個(gè)信號(hào)的卷積Sconv.mfunction x,t=sconv(x1,x2,t1,t2,dt)x=conv(x1,x2);x=x*dt;t0=t1(1)+t2(1);l=length(x1)+length(x2)-2;t=t0:dt:(t0+l*dt);enddt=0.001;t1=(-2):dt:2;t2=(-1):dt:1;x1=2.*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2);x2=heaviside(t2+1)-heaviside(t2-1);subplot(221);plot(t1,x1);xlabel(t(s);title(x_1(t);subplot(222);plot(t2,x2);xlabel(t(s);title(x_2(t); x,t=sconv(x1,x2,t1,t2,dt);subplot(212);plot(t,x);xlabel(t(s);title(x(t)=x_1(t)*x_2(t) 實(shí)驗(yàn)三 信號(hào)頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康纳钊肜斫庑盘?hào)頻譜的概念，掌握信號(hào)的頻域分析方法。觀察典型周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜，掌握其頻譜特性。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法1、連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析如果周期信號(hào)滿足狄里赫利條件，就可以展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)形式，即 （1） （2）式中，表示基波周期，為基波頻率，表示任一個(gè)基波周期內(nèi)的積分。式（1）和式（2）定義為周期信號(hào)復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，系數(shù)稱為的傅里葉系數(shù)。周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)還可以由三角函數(shù)的線性組合來(lái)表示，即 （3）其中： （4）式（3）中同頻率的正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)可以合并，從而得到三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即 （5）其中： （6）可見(jiàn)，任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)都可以表示成一組諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的疊加。一般來(lái)說(shuō)周期信號(hào)表示為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)需要無(wú)限多項(xiàng)才能完全逼近原信號(hào)，但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)替代，所選項(xiàng)數(shù)越多就越逼近原信號(hào)。2、連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜分析對(duì)于非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，吸納后的傅里葉變換和傅里葉逆變換定義為 （7） （8）式（7）和式（8）把信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性聯(lián)系起來(lái)，確立了非周期信號(hào)和頻譜之間的關(guān)系。采用MATLAB可以方便地求取非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，這里我們介紹常用的集中方法。（1）、符號(hào)運(yùn)算法MATLAB的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換和反變換的函數(shù)，fourier函數(shù)和ifourier函數(shù)，基本調(diào)用格式為X=fourier(x)X=ifourier(X)默認(rèn)的時(shí)域變量為t，頻域變量為w。（2）、數(shù)值積分法除了采用符號(hào)運(yùn)算的方法外，我們還可以利用MATLAB的quad函數(shù)，采用數(shù)值積分的方法來(lái)進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的頻譜分析，quad函數(shù)是一個(gè)用來(lái)計(jì)算數(shù)值積分的函數(shù)。利用quad函數(shù)可以計(jì)算非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。Quad函數(shù)的一般調(diào)用格式為：y=quad(fun,a,b)y=quad(fun,a,b,TOL,TRACE,p1,p2,)其中fun指定被積函數(shù)，可以采用inline命令來(lái)創(chuàng)建，也可以通過(guò)傳遞函數(shù)句柄的形式來(lái)指定，a、b表示定積分的下限和上限，TOL表示允許的相對(duì)或絕對(duì)積分誤差，TRACE表示以被積函數(shù)的點(diǎn)繪圖形式來(lái)跟蹤該函數(shù)的返回值，如果TOL和TRACE為空矩陣，則使用缺省值，“p1,p2，”表示被積函數(shù)出時(shí)間t之外所需的其他額外輸入?yún)?shù)。（3）、數(shù)值近似法我們還可以利用MATLAB的數(shù)值計(jì)算的方法近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。傅里葉變換可以由式（9）近似計(jì)算 （9）當(dāng)為時(shí)限信號(hào)，且足夠小，式（9）可以演變?yōu)?（10）而式（10）中求和部分又可以表示成一個(gè)行向量和一個(gè)列向量的乘積 （11）式（11）可以很方便地利用MATLAB實(shí)現(xiàn)。3、離散周期時(shí)間信號(hào)的頻域分析基波周期為N的周期序列可以用N個(gè)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示，即 （12）這里k=表示求和僅需包括一個(gè)周期內(nèi)的N項(xiàng)，周期序列在一個(gè)周期內(nèi)的求和與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。將周期序列表示成式（12）的形式，成為離散傅里葉級(jí)數(shù)，而系數(shù)則稱為離散傅里葉系數(shù)。離散傅里葉系數(shù)可以由式（13）確定。 （13）傅里葉系數(shù)也稱為的頻譜系數(shù)，而且可以證明是以N為周期的離散頻率序列。這說(shuō)明了周期的離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域?yàn)橹芷诘碾x散頻率。這里，我們用周期N與傅里葉系數(shù)的乘積來(lái)表示周期離散時(shí)間信號(hào)的頻譜，即 （14）可以利用MATLAB提供的函數(shù)fft用來(lái)計(jì)算，調(diào)用格式為該函數(shù)返回一個(gè)周期內(nèi)的值，其中x表示一個(gè)周期內(nèi)的樣本值。4、離散非周期時(shí)間信號(hào)的頻域分析非周期序列可以表示成一組復(fù)指數(shù)序列的連續(xù)和 （15）其中 （16）式（16）稱為的離散時(shí)間傅里葉變換，式（15）和式（16）確立了非周期離散時(shí)間信號(hào)及其離散時(shí)間傅里葉變換之間的關(guān)系。是連續(xù)頻率的函數(shù)，稱為頻譜函數(shù)，且是周期的連續(xù)頻率函數(shù)，其周期為?？梢?jiàn)，非周期離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域中是一個(gè)連續(xù)的周期的頻率函數(shù)。對(duì)于有限長(zhǎng)的時(shí)間序列，式（16）可以表示為 (17)式（17）可以方便地利用MATLAB實(shí)現(xiàn)。1、已知x(t)是周期矩形脈沖信號(hào)。計(jì)算該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)；利用MATLAB繪出由前N次諧波合成的信號(hào)波形，觀察隨著N的變化合成信號(hào)波形的變化規(guī)律； t=-2:0.01:2; N=input(N=);N=5 x=zeros(size(t); for n=1:2:Nx=x+(4/(pi*n)*sin(2*pi*n*(t+0.25); end x=(x+1)/2; plot(t,x)N=5-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2N=15-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2N=50-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2利用MATLAB繪出周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜，觀察參數(shù)T和變化時(shí)對(duì)頻譜波形的影響。 c0=0; n2=1:N; c2=-4*j*sin(n2*pi/2)/pi2./n2.2; cn=c1 c0 c2; n=-N:N; stem(n,abs(cn),filled)Q1-1、什么是吉伯斯現(xiàn)象？產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象的原因是什么？將具有不連續(xù)點(diǎn)的周期函數(shù)（如矩形脈沖）進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)后，選取有限項(xiàng)進(jìn)行合成。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。這種現(xiàn)象稱為吉伯斯現(xiàn)象。原因是在不連續(xù)點(diǎn)附近所有的正弦信號(hào)均具有相同的變化趨勢(shì)，該趨勢(shì)在有限項(xiàng)內(nèi)無(wú)法被消除。Q1-2、以周期矩形脈沖信號(hào)為例，說(shuō)明周期信號(hào)的頻譜有什么特點(diǎn)。 周期信號(hào)的頻譜是具有周期性的一系列的脈沖信號(hào)。Q1-3、周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度與信號(hào)的時(shí)域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？時(shí)域?qū)挾仍酱螅行ьl帶寬度越小。Q1-4、隨著矩形脈沖信號(hào)參數(shù)的變化，其頻譜結(jié)構(gòu)如何變化？頻譜包絡(luò)形狀不變，過(guò)零點(diǎn)不變，普賢間隔隨著T變大而縮小。2、已知x(t)是如圖所示的矩形脈沖信號(hào)。求該信號(hào)的傅里葉變換；利用MATLAB繪出矩形脈沖信號(hào)的頻譜，觀察矩形脈沖信號(hào)寬度變化時(shí)對(duì)頻譜波形的影響；讓矩形脈沖信號(hào)的面積始終等于1，改變矩形脈沖寬度，觀察矩形脈沖信號(hào)時(shí)域波形和頻譜隨矩形脈沖寬度的變化趨勢(shì)。syms t w y=int(2*exp(-j*w*t),t,-2,2); ezplot(y)(2 s in(2 w )/w-6-4-20246-1-0.500.511.522.533.54w y=int(exp(-j*w*t),t,-4,4); ezplot(y)-6-4-20246-1.5-1-0.500.511.522.5w(2 sin(4 w)/wQ2-1、比較矩形脈沖信號(hào)和周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜，兩者之間有何異同？ 矩形脈沖信號(hào)頻譜為連續(xù)函數(shù)，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜為一系列的脈沖。Q2-2、根據(jù)矩形脈沖寬度變化時(shí)頻譜的變化規(guī)律，說(shuō)明信號(hào)的有效頻帶寬度與其時(shí)域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？信號(hào)有效頻帶寬度越大，時(shí)域?qū)挾仍叫　?、已知xn是如圖所示的周期方波序列。利用MATLAB繪制周期方波序列的頻譜波形，改變參數(shù)N和N1的大小，觀察頻譜波形的變化趨勢(shì)。N1=input(N1=);N=input(N=);n1=0:N1;x1=ones(size(n1);n2=N1+1:N-N1-1;x2=zeros(size(n2);n3=N-N1:N;x3=ones(size(n3);n=0:N;x=x1 x2 x3;X=fft(x);subplot(211);stem(n,x,filled);xlabel(n);title(x(n);subplot(212);stem(n,X,filled);xlabel(k);title(X(k);程序運(yùn)行結(jié)果如下：N1=2;N=9;Q3-1、以周期方波序列為例，說(shuō)明周期序列與連續(xù)周期信號(hào)的頻譜有何異同。 周期序列的頻譜向外越來(lái)越大，連續(xù)周期信號(hào)頻譜則是中間向兩邊越來(lái)越小。Q3-2、隨著周期方波序列占空比的變化，其頻譜如何隨之變化？隨著占空比越來(lái)越大，頻譜密度也越來(lái)越大。實(shí)驗(yàn)四 LTI系統(tǒng)的頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募由顚?duì)LTI系統(tǒng)頻域響應(yīng)基本概念的掌握和理解學(xué)習(xí)和掌握LTI系統(tǒng)頻域特性的分析方法二、實(shí)驗(yàn)原理和方法1、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域響應(yīng)系統(tǒng)的頻域響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的傅里葉變換，即若LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，輸入為x(t)，根據(jù)時(shí)域分析可知對(duì)本式求傅里葉變換得所以，頻率響應(yīng)還可以由零狀態(tài)相應(yīng)和輸入的傅里葉變換之比得到反映的是系統(tǒng)的固有屬性，與外部激勵(lì)無(wú)關(guān)，又可以表示為其中稱為系統(tǒng)的幅度響應(yīng)，被稱為系統(tǒng)的相位響應(yīng)。對(duì)于由下述微分方程描述的LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)其頻率響應(yīng)H（jw）可以表示為（8-34）所示的jw的有理多項(xiàng)式。MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了專門的函數(shù)freqs，用來(lái)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，該函數(shù)有下列幾種調(diào)用格式：h，w=freqs(b,a)計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)200個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值，這200個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。h=freqs(b,a,w) b、a分別為表示H(jw)的有理多項(xiàng)式中分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，w為頻率取樣點(diǎn)，返回值h就是頻率響應(yīng)在頻率取樣點(diǎn)上的數(shù)值向量。h,w=freqs(b,a,n)計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)n個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值，這n個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。Freqs(b,a) 這種調(diào)用格式不返回頻率響應(yīng)的取樣值，而是以對(duì)數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)飛相頻響應(yīng)。2、 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為單位抽樣響應(yīng)h(n)的離散時(shí)間傅里葉變換。對(duì)于任意的輸入信號(hào)x(n)，輸入與輸出信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換有如下關(guān)系因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)還可以表示為當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為x(n)時(shí)，系統(tǒng)的輸出由式（8-38）可知，虛指數(shù)信號(hào)通過(guò)LTI離散時(shí)間系統(tǒng)后信號(hào)的頻率不變，信號(hào)的幅度由系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度值確定，所以)表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的衰減量。一般情況下離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是復(fù)值函數(shù)，可用幅度和相位表示。若LTI離散系統(tǒng)可以由如下差分方程描述。則由式（8-37）描述的離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以表示為的有理多項(xiàng)式。MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了專門的函數(shù)freqz，用來(lái)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，該函數(shù)有下列幾種調(diào)用格式：H,w=freqs(b,a,n)計(jì)算0-pi范圍內(nèi)n個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值H=freqs(b,a,w) b、a分別為表示H(jw)的有理多項(xiàng)式中分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，w為頻率取樣點(diǎn)，返回值h就是頻率響應(yīng)在頻率取樣點(diǎn)上的數(shù)值向量。H,w=freqs(b,a,n)計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)n個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)的取樣值，這n個(gè)頻率點(diǎn)記錄在w中。Freqs(b,a) 這種調(diào)用格式不返回頻率響應(yīng)的取樣值，而是以對(duì)數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng).三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、已知一個(gè)RLC電路構(gòu)造的二階高通濾波器。（1）、計(jì)算該電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及高通截止頻率；（2）、利用MATLAB繪制幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)曲線，比較系統(tǒng)的頻率特性與理論計(jì)算的結(jié)果是否一致。b=1 0 0;a=1 10 50; H,w=freqs(b,a);subplot(211);plot(w,abs(H);set(gca,xtick,0,10);set(gca,ytick,0 0.4 0.707 1);xlabel(omega(rad/s);ylabel(Magnitude);title(|H(jomega)|);grid on;subplot(212);plot(w,angle(H);set(gca,xtick,0,10);xlabel(omega(rad/s);ylabel(Phase);title(phi(jomega);grid on;2、已知一個(gè)RC電路（1）、對(duì)不同的RC值，用MATLAB繪出系統(tǒng)的幅度響應(yīng)曲線，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析RC電路具有什么樣的頻率特性？系統(tǒng)的頻率特性隨著RC值的改變，有何變化規(guī)律？C=input(C=);R=input(R=)A=C*R;b=1;a=A 1;H,w=freqs(b,a);plot(w,abs(H);plot(w,angle(H);C=0.05F R=10歐姆C=1F R=5歐姆（2）、系統(tǒng)的輸入信號(hào)x（t）=cos（100t）+cos（3000t），t=0-0.2s，該信號(hào)包含了一個(gè)低頻分量和一個(gè)高頻分量。試確定適當(dāng)?shù)腞C值，濾掉信號(hào)中的高頻分量。并繪出濾波前后的時(shí)域信號(hào)波形及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。b=1;a=0.001 1;sys=tf(b,a);t=0:0.001:0.2;x=cos(100*t)+cos(3000*t);lsim(sys,x,t);3、已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖（1）、寫出M=8時(shí)系統(tǒng)的差分方程及系統(tǒng)函數(shù)；（2）、利用MATLAB計(jì)算系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；a=1;b=1 1 1 1 1 1 1 1 1;impz(b,a,0:20);（3）、試?yán)肕ATLAB繪出其系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖、幅頻和相頻特性曲線，并分析該系統(tǒng)具有怎樣的頻率特性。b=1 1 1 1 1 1 1 1 1;a=1;zplane(b,a)b=1 1 1 1 1 1 1 1 1;a=1;H,w=freqz(b,a);plot(w/pi,abs(H);plot(w/pi,angle(H)/pi);set(gca,xtick,0,10);4、已知一離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，輸入信號(hào)為x（n）=cos（0.3n）+0.5cos(0.8n)，計(jì)算系統(tǒng)對(duì)于x（n）的響應(yīng)y（n）。n=-20:20;x=cos(0.3*pi*n)+0.5*cos(0.8*pi*n);subplot(211);stem(n,x,filled);y=2*cos(0.3*pi*n);subplot(212);stem(n,y,filled);信號(hào)分析：為低通網(wǎng)絡(luò)。實(shí)驗(yàn)五 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆绽绽棺儞Q及其反變換的定義，并掌握MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。學(xué)習(xí)和掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的定義及復(fù)頻域分析方法。掌握系統(tǒng)零極點(diǎn)的定義，加深理解系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)特性的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法1、拉普拉斯變換 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換定義為 （1） 拉普拉斯反變換定義為 （2）在MATLAB中，可以采用符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱的laplace函數(shù)和ilaplace函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反拉氏變換。L=laplace(F)符號(hào)表達(dá)式F的拉氏變換，F(xiàn)中時(shí)間變量為t，返回變量為s的結(jié)果表達(dá)式。L=laplace(F,t)用t替換結(jié)果中的變量s。F=ilaplace(L)以s為變量的符號(hào)表達(dá)式L的拉氏反變換，返回時(shí)間變量為t的結(jié)果表達(dá)式。F=ilaplace(L,x)用x替換結(jié)果中的變量t。除了上述ilaplace 函數(shù)，還可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆變換，具體原理如下：當(dāng) X (s)為有理分式時(shí)，它可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比： （3）式（3）可以用部分分式法展成一下形式 （4） 通過(guò)查常用拉普拉斯變換對(duì)，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆變換。利用 MATLAB 的residue 函數(shù)可以將 X (s)展成式（1-2）所示的部分分式展開(kāi)式，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r,p,k = residue(b,a) 其中b、a 為分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，r、p、k 分別為上述展開(kāi)式中的部分分式系數(shù)、極點(diǎn)和直項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)。2、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換 （5） 此外，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)還可以由系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換之比得到 （6）單位沖激響應(yīng)反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)，而從復(fù)頻域反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。由式（6）描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為s的有理函數(shù) （7）3、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的零點(diǎn)是指式（7）的分子多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，極點(diǎn)指使分母多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，零點(diǎn)使系統(tǒng)的值為零，極點(diǎn)使系統(tǒng)函數(shù)的值無(wú)窮大。通常將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)繪在s平面上，零點(diǎn)用表示，極點(diǎn)用表示，這樣得到的圖形稱為零極點(diǎn)的分布圖。由零極點(diǎn)的定義可知，零點(diǎn)和極點(diǎn)分別指式（7）的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的根。利用MATLAB求多項(xiàng)式的根可以通過(guò)函數(shù)roots來(lái)實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r=roots(c) c為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值r為多項(xiàng)式的根向量。分別對(duì)式（7）的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式求根即可得到零極點(diǎn)。此外，在MATLAB中還提供了更簡(jiǎn)便的方法來(lái)求取零極點(diǎn)和繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，即利用pzmap函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：pzmap(sys)繪出由系統(tǒng)模型sys描述的系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。p,z=pzmap(sys) 這種調(diào)用方法返回極點(diǎn)和零點(diǎn)，而不繪出零極點(diǎn)分布圖。其中sys為系統(tǒng)傳函模型，由t命令sys=tf(b,a)實(shí)現(xiàn)，b、a為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。MATLAB還為用戶提供了兩個(gè)專用函數(shù)tf2zp和zp2tf來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換，其調(diào)用格式為：z,p,k=tf2zp(b,a)b,a=zp2tf(z,p,k)其中b、a為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值z(mì)為零點(diǎn)列向量，p為極點(diǎn)列向量，k為系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)形式的增益。研究系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分步不僅可以了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的形式，還可以了解系統(tǒng)的頻率特性以及判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）零極點(diǎn)分布于沖激響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)的極點(diǎn)位置決定著系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的波形，沖激響應(yīng)的幅值是由系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)共同決定的，系統(tǒng)的零點(diǎn)位置只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，不影響波形。（2）零極點(diǎn)分步與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布不僅決定了系統(tǒng)函數(shù)H(s)，也決定了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H()，根據(jù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布情況，可以由幾何矢量法分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。（3）零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有性質(zhì)，與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān)，由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)