第三章 2拋物線 2 2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解拋物線的范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線等簡(jiǎn)單性質(zhì) 2 會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題 題型探究 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一拋物線的范圍 思考 觀察右列圖形 思考以下問(wèn)題 1 觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與橢圓的圖形 分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別 拋物線與橢圓相比較 有明顯的不同 橢圓是封閉曲線 有四個(gè)頂點(diǎn) 有兩個(gè)焦點(diǎn) 有中心 拋物線只有一條曲線 一個(gè)頂點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn) 無(wú)中心 答案 思考 2 根據(jù)圖形及拋物線方程y2 2px p 0 如何確定橫坐標(biāo)x的范圍 由拋物線y2 2px p 0 有所以x 0 所以拋物線x的范圍為x 0 拋物線在y軸的右側(cè) 當(dāng)x的值增大時(shí) y 也增大 這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸 答案 梳理 拋物線y2 2px p 0 中 x y 拋物線y2 2px p 0 中 x y 拋物線x2 2py p 0 中 x y 拋物線x2 2py p 0 中 x y 0 0 0 0 知識(shí)點(diǎn)二四種形式的拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系 當(dāng)k 0時(shí) 若 0 則直線與拋物線有個(gè)不同的公共點(diǎn) 若 0 直線與拋物線有個(gè)公共點(diǎn) 若 0 直線與拋物線公共點(diǎn) 當(dāng)k 0時(shí) 直線與拋物線的軸 此時(shí)直線與拋物線有個(gè)公共點(diǎn) 兩 一 沒(méi)有 平行或重合 1 題型探究 類型一依據(jù)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例1拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸重合于橢圓9x2 4y2 36短軸所在的直線 拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3 求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程 解答 拋物線的對(duì)稱軸為x軸 設(shè)拋物線的方程為y2 2px或y2 2px p 0 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 12x或y2 12x 其準(zhǔn)線方程分別為x 3或x 3 p 6 引申探究將本例改為 若拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上 直線l過(guò)F且垂直于x軸 l與拋物線交于A B兩點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) 若 OAB的面積等于4 求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 解答 由題意 設(shè)拋物線方程為y2 2mx m 0 所以 AB 2 m 因?yàn)?OAB的面積為4 用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 對(duì)稱軸為x軸 且與圓x2 y2 4相交于A B兩點(diǎn) AB 求拋物線方程 解答 由已知 拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上 也可能在負(fù)半軸上 故可設(shè)拋物線方程為y2 ax a 0 設(shè)拋物線與圓x2 y2 4的交點(diǎn)A x1 y1 B x2 y2 拋物線y2 ax a 0 與圓x2 y2 4都關(guān)于x軸對(duì)稱 點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱 得x2 3 4 x 1 所求拋物線方程是y2 3x或y2 3x 類型二拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦問(wèn)題 由拋物線y2 8x的焦點(diǎn)為 2 0 得直線的方程為y x 2 代入y2 8x得 x 2 2 8x即x2 12x 4 0 所以x1 x2 12 弦長(zhǎng)為x1 x2 p 12 4 16 例2 1 過(guò)拋物線y2 8x的焦點(diǎn) 傾斜角為45 的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為 16 答案 解析 2 直線l過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn) 與拋物線交于A B兩點(diǎn) 若 AB 8 則直線l的方程為 x y 1 0或x y 1 0 答案 解析 拋物線y2 4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 1 0 若l與x軸垂直 則 AB 4 不符合題意 可設(shè)所求直線l的方程為y k x 1 所求直線l的方程為x y 1 0或x y 1 0 3 過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A x1 y1 B x2 y2 若 AB 7 則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為 答案 解析 1 拋物線上任一點(diǎn)P x0 y0 與焦點(diǎn)F的連線得到的線段叫作拋物線的焦半徑 對(duì)于四種形式的拋物線來(lái)說(shuō)其焦半徑的長(zhǎng)分別為 反思與感悟 2 已知AB是過(guò)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)的弦 F為拋物線的焦點(diǎn) A x1 y1 B x2 y2 則 以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 3 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn) 且與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí) 直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑 顯然通徑長(zhǎng)等于2p 跟蹤訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2 6x的焦點(diǎn)F 且與拋物線相交于A B兩點(diǎn) 1 若直線l的傾斜角為60 求 AB 的值 解答 因?yàn)橹本€l的傾斜角為60 若設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則x1 x2 5 x1 x2 p 所以 AB 5 3 8 2 若 AB 9 求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離 解答 命題角度1與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題 類型三拋物線綜合問(wèn)題 解答 拋物線y2 4x的準(zhǔn)線方程為x 1 如圖 過(guò)點(diǎn)P作PN垂直x 1于點(diǎn)N 由拋物線的定義可知 PF PN 即 PAN最小 即 PAF最大 此時(shí) PA為拋物線的切線 設(shè)PA的方程為y k x 1 得k2x2 2k2 4 x k2 0 所以 2k2 4 2 4k4 0 解得k 1 所以 PAF NPA 45 1 若曲線和直線相離 在曲線上求一點(diǎn)到直線的距離最小問(wèn)題 可找到與已知直線平行的直線 使其與曲線相切 則切點(diǎn)為所要求的點(diǎn) 2 以上問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為 兩點(diǎn)之間線段最短 或 點(diǎn)到直線的垂線段最短 來(lái)解決 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3已知直線l1 4x 3y 6 0和直線l2 x 1 拋物線y2 4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 由題意知 直線l2 x 1為拋物線y2 4x的準(zhǔn)線 由拋物線的定義知 點(diǎn)P到直線l2的距離等于點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F 1 0 的距離 故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線y2 4x上找一個(gè)點(diǎn)P 使得點(diǎn)P到點(diǎn)F 1 0 和到直線l1的距離之和最小 最小值為F 1 0 到直線l1 4x 3y 6 0的距離 即d 2 答案 解析 命題角度2定值或定點(diǎn)問(wèn)題例4拋物線y2 2px p 0 上有兩動(dòng)點(diǎn)A B及一個(gè)定點(diǎn)M F為拋物線的焦點(diǎn) 若 AF MF BF 成等差數(shù)列 1 求證 線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)Q 證明 設(shè)點(diǎn)A x1 y1 B x2 y2 M x0 y0 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為 x0 t 即t x x0 p yp 0 可知線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)Q x0 p 0 2 若 MF 4 OQ 6 O為坐標(biāo)原點(diǎn) 求拋物線的方程 解答 反思與感悟 在拋物線的綜合性問(wèn)題中 存在著許多定值問(wèn)題 我們不需要記憶關(guān)于這些定值的結(jié)論 但必須牢牢掌握研究這些定值問(wèn)題的基本方法 如設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程 根與系數(shù)的關(guān)系的利用 焦半徑的轉(zhuǎn)化等 證明 設(shè)l x ty b 代入拋物線y2 4x 消去x得y2 4ty 4b 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則y1 y2 4t y1y2 4b t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 解得b 2 故直線過(guò)定點(diǎn) 2 0 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 已知點(diǎn)A 2 3 在拋物線C y2 2px的準(zhǔn)線上 記C的焦點(diǎn)為F 則直線AF的斜率為 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知點(diǎn)P是拋物線y2 2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 則點(diǎn)P到點(diǎn) 0 2 的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 易知拋物線的準(zhǔn)線方程為x 1 則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 1 4 由拋物線的定義易得 AB 8 3 過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A B兩點(diǎn) 若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3 則 AB 8 答案 解析 4 已知過(guò)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)F作傾斜角為45 的直線交拋物線于A B兩點(diǎn) 若線段AB的長(zhǎng)為8 則p 2 3 4 5 1 2 答案 解析 2 3 4 5 1 設(shè)點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 易知過(guò)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)F y1 y2 2p y1y2 p2 即 2p 2 4 p2 32 又p 0 p 2 5 已知拋物線C y2 8x的焦點(diǎn)為F 準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K 點(diǎn)A在拋物線C上 且 AK AF 則 AFK的面積為 8 答案 解析 2 3 4 5 1 易知F 2 0 K 2 0 過(guò)點(diǎn)A作