3 1多項(xiàng)式的因式分解 第3章因式分解 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 理解因式分解的意義和概念 2 掌握因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系 重點(diǎn) 問題16等于2乘哪個(gè)整數(shù) 6 2 3 問題2x2 1等于x 1乘哪個(gè)多項(xiàng)式 導(dǎo)入新課 回顧與思考 1 運(yùn)用整式乘法法則或公式填空 1 m a b c 2 x 1 x 1 3 a b 2 ma mb mc x2 1 a2 2ab b2 講授新課 合作探究 2 根據(jù)等式的性質(zhì)填空 1 ma mb mc 2 x2 1 3 a2 2ab b2 2 ma b c x 1x 1 a b 對(duì)于整數(shù)6與2 有整數(shù)3使得6 2 3 我們把2叫作6的一個(gè)因數(shù) 同理 3也是6的一個(gè)因數(shù) 對(duì)于多項(xiàng)式 有多項(xiàng)式x 1使得 我們把x 1叫作x2 1的一個(gè)因式 同理 x 1也是x2 1的一個(gè)因式 定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式 像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解 也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式 概念學(xué)習(xí) 一般地 對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)f與g 如果有多項(xiàng)式h使得f gh 那么我們把g叫作f的一個(gè)因式 此時(shí) h也是f的一個(gè)因式 x2 1 x 1 x 1 因式分解 整式乘法 x2 1 x 1 x 1 等式的特征 左邊是多項(xiàng)式 右邊是幾個(gè)整式的乘積 想一想 整式乘法與因式分解有什么關(guān)系 是互為相反的變形 即 例1下列從左到右的變形中是因式分解的有 x2 y2 1 x y x y 1 x3 x x x2 1 x y 2 x2 2xy y2 x2 9y2 x 3y x 3y A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè) B 方法總結(jié) 因式分解與整式乘法是相反方向的變形 即互逆運(yùn)算 二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式 因式分解的右邊是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的形式 整式乘法的右邊是多項(xiàng)式的形式 在下列等式中 從左到右的變形是因式分解的有 不是的 請(qǐng)說明為什么 辨一辨 am bm c m a b c 24x2y 3x 8xy x2 1 x 1 x 1 2x 1 2 4x2 4x 1 x2 x x2 1 2x 4y 6z 2 x 2y 3z 最后不是積的運(yùn)算 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式 是整式乘法 每個(gè)因式必須是整式 萬里長(zhǎng)城是由磚砌成的 不少房子也是用磚砌成的 因此 磚是基本建筑塊之一 在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常要尋找那些 基本建筑塊 例如 在正整數(shù)集中 像2 3 5 7 11 13 17 這些大于1的數(shù) 它的因數(shù)只有1和它自身 稱這樣的正整數(shù)為質(zhì)數(shù)或素?cái)?shù) 素?cái)?shù)就是正整數(shù)集中的 基本建筑塊 每一個(gè)正整數(shù)都能表示成若干素?cái)?shù)的乘積的形式 有了 式和 式 就容易求出12和30的最大公因數(shù)為 進(jìn)而很容易把分?jǐn)?shù)約分 分子與分母同除以6 得 例如 同樣地 在系數(shù)為有理數(shù) 或系數(shù)為實(shí)數(shù) 的多項(xiàng)式組成的集合中 也有一些多項(xiàng)式起著 基本建筑塊 的作用 每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)這種多項(xiàng)式的乘積的形式 從而為許多問題的解決架起了橋梁 例1檢驗(yàn)下列因式分解是否正確 1 x2y xy2 xy x y 2 2x2 1 2x 1 2x 1 3 x2 3x 2 x 1 x 2 用什么方法檢驗(yàn)因式分解是否正確呢 分析 看等式右邊幾個(gè)整式相乘的積與左邊的多項(xiàng)式是否相等 解 1 因?yàn)閤y x y x2y xy2 所以因式分解x2y xy2 xy x y 正確 2 因?yàn)?2x 1 2x 1 4x2 1 所以因式分解2x2 1 2x 1 2x 1 錯(cuò)誤 3 因?yàn)?x 1 x 2 x2 3x 2 所以因式分解x2 3x 2 x 1 x 2 正確 判斷下列各式從左到右的變形中 是否為因式分解 辯一辯 A x a b ax bxB x2 1 y2 x 1 x 1 y2C y2 1 y 1 y 1 D ax by c x a b cE 2a3b a2 2abF x 3 x 3 x2 9 提示 判定一個(gè)變形是因式分解的條件 1 左邊是多項(xiàng)式 2 右邊是積的形式 3 右邊的因式全是整式 例2若多項(xiàng)式x2 ax b分解因式的結(jié)果為a x 2 x 3 求a b的值 解 因?yàn)閤2 ax b a x 2 x 3 ax2 ax 6a 所以a 1 b 6a 6 典例精析 方法歸納 對(duì)于此類問題 掌握因式分解與整式乘法為互逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵 應(yīng)先把分解因式后的結(jié)果