第三章模糊控制系統(tǒng) 3 1模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 模糊概述 模糊集合 模糊關(guān)系 模糊推理 小結(jié) 一些概念在特定的場(chǎng)合有明確的外延 例如國(guó)家 貨幣 法定年齡 地球等 但是還有相當(dāng)一部分概念不具有明確的外延或邊界的 稱之為不分明的概念或模糊概念 如下圖所示 3 1 1模糊概述 天氣冷熱 雨的大小 風(fēng)的強(qiáng)弱 人的胖瘦 年齡大小 個(gè)子高低 1 模糊數(shù)學(xué) 用來(lái)描述 研究 處理事物所具有的模糊特征的數(shù)學(xué) 模糊指的是它的研究對(duì)象 數(shù)學(xué)指的是它的研究方法 2 模糊性與隨機(jī)性 均為一種不確定性 3 模糊性與復(fù)雜性 復(fù)雜性與精確性的 不相容原理 隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增加 對(duì)其特性做出精確而有意義的描述的能力會(huì)隨之降低 直到達(dá)到一個(gè)閾值 一旦超過它 精確與有意義將會(huì)相互排斥 3 1 2模糊集合 1 普通集合 例如 A X X 6 精確集合 非此即彼 集合 一般是具有某種屬性的 確定的 非此即彼 彼此間可以區(qū)別的事物的全體 組成集合的事物稱為集合的元素或元 其中集合術(shù)語(yǔ) 論域 全域 空集 全集 包含 相等 子集 并集 交集 補(bǔ)集等 精確集合的特征函數(shù) 設(shè)A是論域X上的集合 記為集合A的特征函數(shù) 精確集合 1 13 經(jīng)典集合的表示方法 1 列舉法 適用于具有有限元素的集合 2 定義法 適用于具有很多元素而不能一一列舉的集合 Eg 所有奇數(shù)的集合A x x為奇數(shù) 3 特征函數(shù)表示法 利用經(jīng)典集合非此即彼的明晰性表示 Eg 在小于10的自然數(shù)中由偶數(shù)組成的集合 1 模糊集合的概念模糊集合 設(shè)U是論域 U上的一個(gè)模糊集合A是指 對(duì)于論域U中的任一元素u U 都指定了 0 1 閉區(qū)間中的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng) 稱為u對(duì)A的隸屬度 DegreeofMembership 2 模糊集合 注意 模糊集合A是一個(gè)抽象的東西 是模糊的 但函數(shù)則是具體的 對(duì)于論域U的一個(gè)元素u和U上的一個(gè)模糊集合A 我們不再是簡(jiǎn)單的問u是絕對(duì)屬于還是不屬于A 而是在多大程度上屬于A 隸屬度正是u屬于A的程度的數(shù)量指標(biāo) 此時(shí) 在完全屬于與完全不屬于之間呈現(xiàn)過渡 連續(xù)變化 狀態(tài) 即集合A的外延的不分明的變化層次 表現(xiàn)出模糊性 若 則認(rèn)為u完全屬于A 若 則認(rèn)為u不完全屬于A 若 則認(rèn)為u在A u 的程度上屬于A 例1 以年齡為論域 取X 0 200 Zadeh給出 年輕 的模糊集Y 其隸屬函數(shù)是Y的圖像用隸屬函數(shù)表示 如圖所示 年齡對(duì) 年輕 呈現(xiàn)連續(xù)的變化 Y的外延不分明 模糊的 這樣更符合人的意識(shí) 2 模糊集合的表示方式 離散論域 U u1 u2 un 則U上的模糊集合A可以表示為 1 向量表示法 注意 隸屬度為零的項(xiàng)不能省略 2 Zadeh表示法 3 序偶表示法 連續(xù)論域 若論域U是實(shí)數(shù)域 論域中有無(wú)窮多個(gè)連續(xù)的點(diǎn) 則稱為連續(xù)論域 注意 此處的 不是數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào) 僅表示了對(duì)論域中每個(gè)元素u都定義了相應(yīng)的隸屬度函數(shù) 3 模糊集合的隸屬函數(shù) 普通集合用特征函數(shù)來(lái)刻畫 模糊集合用隸屬函數(shù)作定量描述 特征函數(shù)的值域?yàn)榧?0 1 隸屬函數(shù)是特征函數(shù)的擴(kuò)展和一般化 兩種函數(shù)的關(guān)系 目前隸屬函數(shù)好多沒有成熟而有效的方法 一般根據(jù)經(jīng)營(yíng)或模糊統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)確定 因而 隸屬函數(shù)的確定還不是唯一的 通過對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練 直接自動(dòng)生成的隸屬函數(shù)是解決此問題有效方法 實(shí)際控制問題中 經(jīng)常選用的隸屬函數(shù)有三角形 半三角形 梯形 鐘形 正態(tài)形 Z形 S形和單點(diǎn)形 函數(shù) 等多種 I 隸屬函數(shù)的性質(zhì) a 定義為有序?qū)?b 隸屬函數(shù)在0和1之間 c 其值的確定具有主觀性和個(gè)人的偏好 II 隸屬函數(shù)參數(shù)化 三角形隸屬函數(shù) 梯形隸屬函數(shù) 高斯形隸屬函數(shù) 一般鐘形隸屬函數(shù) c c a c a 斜率 b 2a 隸屬函數(shù)的參數(shù)化 以鐘形函數(shù)為例 a b c 的幾何意義如圖所示 改變a b c 即可改變隸屬函數(shù)的形狀 4 模糊集合的隸屬函數(shù)相關(guān)概念 1 支集 支集 核 截集 分界點(diǎn) 核 截集 分界點(diǎn) 模糊單點(diǎn) 年齡 隸屬函數(shù) 1 0 0 5 45 90 5 模糊集合的運(yùn)算 包含或子集 并 析取 交 合取 補(bǔ) 負(fù) 設(shè)A B是同一論域U上的兩個(gè)模糊集合 基本運(yùn)算定律 設(shè)A B C是論域U上的三個(gè)模糊集合 它們的交 并 補(bǔ)運(yùn)算有以下定律 1 恒等律 2 交換律 3 結(jié)合律 4 分配律 5 吸收律 6 同一律 7 復(fù)原律 8 對(duì)偶律 注意 互補(bǔ)律對(duì)模糊集合不成立 分解定理 設(shè)A為論域U上的一個(gè)模糊集合 是A的截集 則有 其中表示與的 乘積 是一個(gè)模糊集合 其隸屬度定義為 分解定理說明了一個(gè)模糊集合可以用無(wú)窮多個(gè)普通集合數(shù)乘的并來(lái)構(gòu)成 這樣可將模糊集合的問題化為普通集合的問題來(lái)分析解決 擴(kuò)張?jiān)?設(shè)f是普通集合X到Y(jié)的映射 A是X上的模糊集合 則A在f作用下的像f A 是Y上的模糊集合 其隸屬度函數(shù)規(guī)定為 若B是Y上的模糊集合 則B在f作用下的原像是X上的模糊集合 其隸屬度函數(shù)規(guī)定為 3 1 3模糊關(guān)系 模糊關(guān)系是與經(jīng)典關(guān)系相對(duì)而言的 A比B大 模糊關(guān)系 A比B大C 經(jīng)典關(guān)系 經(jīng)典關(guān)系 定義 設(shè)X與Y是兩個(gè)非空集合 集合X Y的直積的一個(gè)子集R稱為X到Y(jié)的一個(gè)二元關(guān)系 簡(jiǎn)稱關(guān)系 表示方法 關(guān)系可用矩陣R來(lái)表示 其中的元素基于特征函數(shù)的定義 即 例 X Y 1 2 3 4 5 6 中的的關(guān)系可用以下矩陣表示 模糊關(guān)系是指笛卡爾積上的模糊集合 表示多個(gè)集合的元素間所具有的某種關(guān)系的程度 1 模糊關(guān)系的基本概念 給定集合X和Y 由全體 x y x X y Y 組成的集合 叫做X與Y的笛卡爾積 或直積 記做X Y X Y x y x X y Y 定義 所謂X Y兩集合的笛卡爾積X Y x y x X y Y 中的一個(gè)模糊關(guān)系R是指以X Y為論域的一個(gè)模糊子集 序偶 x y 的隸屬度為 其在 0 1 取值 大小反映了 x y 具有關(guān)系R的程度 說明 1 模糊關(guān)系本質(zhì)上是一種模糊集合之間的一種映射 2 由于模糊關(guān)系是用模糊集合來(lái)定義的 所以其特性也完全由隸屬函數(shù)來(lái)刻劃 3 是以x y為自變量的一個(gè)空間曲面 4 當(dāng)X Y皆為有限的離散集合時(shí) X Y的模糊關(guān)系R可用矩陣表示 稱為模糊矩陣 5 若用圖來(lái)表示模糊關(guān)系時(shí) 稱為模糊圖 6 模糊矩陣的截陣定義為 2 模糊關(guān)系的運(yùn)算 1 基本運(yùn)算 設(shè)R1和R2是直積空間上的兩個(gè)模糊關(guān)系 包含 相等 并 交 補(bǔ) 模糊關(guān)系合成是指 由第一個(gè)集合和第二個(gè)集合之間的模糊關(guān)系得到第一個(gè)集合和第三個(gè)集合之間的模糊關(guān)系的一種運(yùn)算 常用的max min合成法 2 模糊關(guān)系合成 定義 設(shè)R是X Y中的模糊關(guān)系 S是Y Z中的模糊關(guān)系 所謂R和S的合成是指下列定義在X Z上的模糊關(guān)系Q 記做Q R S或這里 代表取小 min 代表取大 max 模糊關(guān)系的合成運(yùn)算具有以下性質(zhì) 設(shè)和 和 分別為上的模糊關(guān)系 則有 3 模糊關(guān)系的冪運(yùn)算 設(shè)R是上的模糊關(guān)系 則它的模糊關(guān)系矩陣為方陣 R的冪定義為 模糊關(guān)系冪運(yùn)算的性質(zhì) 4 模糊關(guān)系的逆運(yùn)算 設(shè)R是X到Y(jié)的模糊關(guān)系 則其逆模糊關(guān)系R 1是Y到X的一個(gè)模糊關(guān)系 其隸屬度函數(shù)為 模糊關(guān)系逆運(yùn)算的性質(zhì) 3 1 4模糊推理 廣義前向推理 大前提 知識(shí) 如果x為A 則y為B 小前提 事實(shí) 如果x為A 結(jié)論 y為B 廣義反向推理 大前提 知識(shí) 如果x為A 則y為B 小前提 事實(shí) 如果y為B 結(jié)論 x為A 1 模糊語(yǔ)言與語(yǔ)言變量 1 模糊語(yǔ)言帶有模糊性的自然語(yǔ)言稱之為模糊語(yǔ)言 例如早晚春夏秋冬等 如優(yōu)劣 美丑 大小等沒有明確的界限的模糊詞 2 語(yǔ)言變量和語(yǔ)言值語(yǔ)言變量是指以自然或人工語(yǔ)言的詞 詞組或句子作為值的變量 例如在模糊控制中的 偏差 偏差變化率 等 是一種定量的形式的描述自然語(yǔ)言的一種模糊變量 語(yǔ)言變量的值為語(yǔ)言值 一般為自然或人工語(yǔ)言的詞 詞組或句子 例如 極大 很大 大 較大 偏大 等作為語(yǔ)言變量 偏差 變化率 的值 一個(gè)語(yǔ)言變量可以由一個(gè)五元體 X T X U G M 來(lái)表征 例 語(yǔ)言變量的概念容易用下圖來(lái)表示 速度 為一語(yǔ)言變量 可以賦予很慢 慢 較慢 中等 較快 快 很快等語(yǔ)言值 這里用不同的語(yǔ)言值表示模糊變量速度快慢程度的差別 但無(wú)法對(duì)它們的量作出精確的定義 因?yàn)檎Z(yǔ)言值是模糊的 所以可以用模糊數(shù)來(lái)表示 引入語(yǔ)言變量以后 可以對(duì)一些十分復(fù)雜或定義很不完善而又無(wú)法用精確術(shù)語(yǔ)進(jìn)行描述的現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)表征 圖2語(yǔ)言變量元素之間的關(guān)系示意圖 1 普通模糊命題模糊命題是指含有模糊概念 具有某種真實(shí)程度的陳述句 模糊命題的標(biāo)識(shí)通常用大寫字母P Q R 表示 例如P 該熔煉爐是個(gè)高溫體 Q 100比1大很多 2 模糊命題 上例中前者是模糊性質(zhì)命題 后者是模糊關(guān)系命題 表征模糊命題真實(shí)程度的量叫做模糊命題的真值 取值范圍 0 1 普通模糊命題的一般形式為P h是A 或hisA 其中h是個(gè)體變?cè)?屬于論域H 即h H A是某個(gè)模糊概念的模糊集合 模糊命題的真值 由該變?cè)獙?duì)模糊集合的隸屬程度表示 定義為 模糊命題之間有析取 合取和取非運(yùn)算 模糊命題真值之間的運(yùn)算 也就是其相應(yīng)隸屬函數(shù)之間的運(yùn)算 2 語(yǔ)氣算子定義 模糊集合通常表示 冷 熱 高 低 等模糊概念 它們是一些形容詞 常用 極 很 相當(dāng) 等副詞修飾其程度 這些副詞稱為語(yǔ)氣算子 例 若 年老 的隸屬度定義為 則有 語(yǔ)氣算子是對(duì)原隸屬度乘a次方 3 模糊蘊(yùn)含 討論條件模糊命題 如果x為A 則y為B 令命題P x為A命題Q y為B則條件模糊命題可簡(jiǎn)記為 如果P為真 則Q為真 表示普通模糊命題P Q之間存在因果關(guān)系 因?yàn)?所以 定義 A B表示模糊集合A B之間有模糊蘊(yùn)含關(guān)系 由于A B是不同論域上的模糊集合 A B可用模糊關(guān)系描述 其隸屬函數(shù)為 說明 1 若A B均為有限的離散集合時(shí) 模糊蘊(yùn)含關(guān)系可用模糊關(guān)系矩陣RA B表示 則有 說明 2 在模糊邏輯控制中 模糊蘊(yùn)含關(guān)系的運(yùn)算方法有很多種 并不唯一 常用的有 1 模糊蘊(yùn)含的最小運(yùn)算RC 2 模糊蘊(yùn)含的積運(yùn)算RP 3 模糊蘊(yùn)含的最大 最小運(yùn)算Rm 4 模糊蘊(yùn)含的算術(shù)運(yùn)算Ra 說明 3 一些常見模糊規(guī)則給出其關(guān)系矩陣 a 如果x為A 則y為B 否則y為C A X B C Y b 如果x為A且y為B 否則z為C A X B Y C Z c 如果x為A且y為B 否則z為C 否則z為D A X B Y C D Z d 如果x為A且y為B且z為C 否則w為D A X B Y C Z D W 關(guān)系合成推理法 簡(jiǎn)稱CRI CompositionRuleofInference 法 是實(shí)際控制中應(yīng)用較廣的一種模糊推理算法 其原理可表述 用一個(gè)模糊集合表達(dá)大前提中全部模糊條件語(yǔ)句前件變量和后件變量間的關(guān)系 用一個(gè)模糊集合表述小前提 進(jìn)而用基于模糊關(guān)系的模糊變換運(yùn)算給出推理結(jié)果 4 模糊邏輯推理 將 If Then 形式的模糊規(guī)則用模糊關(guān)系矩陣表示并求出后 利用模糊推理的合成運(yùn)算法則 即可求出推理結(jié)果 廣義前向推理 廣義反向推理 模糊控制中模糊規(guī)則用以下幾種條件語(yǔ)言形式表示 1 簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句問題描述 模糊規(guī)則 如果x是A 則y是B 問題 如果x是A 則B 是什么 解決方法 先求出RA B 然后用廣義前向推理法則 說明 a 模糊推理的結(jié)果是由模糊合成與模糊蘊(yùn)含的計(jì)算決定的 b 對(duì)于模糊蘊(yùn)含以及模糊合成的運(yùn)算方法并不是唯一的 正確確定它們的計(jì)算公式對(duì)于最終模糊推理的結(jié)果的合理性是非常重要的 但目前尚無(wú)規(guī)律可循 因而對(duì)模糊系統(tǒng)需要仿真 模糊蘊(yùn)含應(yīng)滿足的直覺判據(jù) 2 使用 and 連接的模糊條件語(yǔ)句問題描述 模糊規(guī)則 如果x是A且y是B 則z是C 問題 如果x是A 且y是B C 是什么 解決方法 先求 再由 得出C 3 使用 also 連接的模糊條件語(yǔ)句問題描述 模糊規(guī)則 如果x是A1且y是B1 則z是C1 also如果x是A2且y是B2 則z是C2 also also如果x是An且y是Bn 則z是Cn 問題 如果x是A 且y是B C 是什么 解決方法 若第i條規(guī)則的模糊蘊(yùn)含關(guān)系矩陣Ri定義為則所有n條規(guī)則的總模糊蘊(yùn)含關(guān)系矩陣 則 前提條件 1 n條規(guī)則之間無(wú)先后次序之分 2 當(dāng)模糊蘊(yùn)含關(guān)系運(yùn)算采用RC或RP also 采用求并運(yùn)算時(shí) 可得最好的控制結(jié)果 模糊邏輯推理的性質(zhì) 1 若合成運(yùn)算采用最大 最小法或是最大 積法 連接詞 also 采用求并法 則有 2 若模糊蘊(yùn)含關(guān)系采用RC或是RP時(shí) 則有 3 對(duì)于的推理結(jié)果可以用下述簡(jiǎn)潔形式來(lái)表示 當(dāng)模糊蘊(yùn)含采用RC 當(dāng)模糊蘊(yùn)含采用RP 式中 模糊控制中幾種常見的模糊推理類型 1 模糊蘊(yùn)含運(yùn)算采用Mamdani的最小運(yùn)算規(guī)則 2 模糊蘊(yùn)含運(yùn)算采用Larsen的積運(yùn)算規(guī)則 3 語(yǔ)言變量的隸屬度函數(shù)為單調(diào)的Tsukamoto方法 4 規(guī)則的結(jié)論是輸入語(yǔ)言變量的函數(shù) 例設(shè)論域X Y 1 2 3 4 5 X Y上的模糊子集 大 小 較小 分別定義為 大 0 4 3 0 7 4 1 5 小 1 1 0 7