第九章時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法 第一節(jié)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)第二節(jié)隨機(jī)時(shí)間序列模型的識別和估計(jì)第三節(jié)協(xié)整分析與誤差修正模型 9 1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) 一 問題的引出 非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二 時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三 平穩(wěn)性的圖示判斷四 平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五 單整 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 一 問題的引出 非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 常見的數(shù)據(jù)類型 到目前為止 經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有 時(shí)間序列數(shù)據(jù) time seriesdata 截面數(shù)據(jù) cross sectionaldata 平行 面板數(shù)據(jù) paneldata time seriescross sectiondata 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見 也是最常用到的數(shù)據(jù) 經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè) 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) 大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ) 一致性 要求 被破懷 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一 解釋變量X是非隨機(jī)變量放寬該假設(shè) X是隨機(jī)變量 則需進(jìn)一步要求 1 X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān) Cov X 0 依概率收斂 2 第 2 條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的 一致性 特性 第 1 條是OLS估計(jì)的需要 如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù) 如表現(xiàn)出向上的趨勢 則 2 不成立 回歸估計(jì)量不滿足 一致性 基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩 因此 注意 在雙變量模型中 表現(xiàn)在 兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量 卻有很高的相關(guān)性 有較高的R2 例如 如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢 非平穩(wěn)的 即使它們沒有任何有意義的關(guān)系 但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù) 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中 情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的 而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi) 收入 價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降 這樣 仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析 一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) 往往導(dǎo)致出現(xiàn) 虛假回歸 問題 時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下 以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論 時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容 并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中 二 時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 時(shí)間序列分析中首先遇到的問題是關(guān)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題 假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程 stochasticprocess 生成的 即假定時(shí)間序列 Xt t 1 2 的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到 如果滿足下列條件 1 均值E Xt 是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù) 2 方差Var Xt 2是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù) 3 協(xié)方差Cov Xt Xt k k是只與時(shí)期間隔k有關(guān) 與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù) 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的 stationary 而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程 stationarystochasticprocess 例9 1 1 一個(gè)最簡單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列 Xt t t N 0 2 例9 1 2 另一個(gè)簡單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走 randomwalk 該序列由如下隨機(jī)過程生成 Xt Xt 1 t這里 t是一個(gè)白噪聲 該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲 whitenoise 由于Xt具有相同的均值與方差 且協(xié)方差為零 由定義 一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差 可假設(shè)Xt的初值為X0 則易知X1 X0 1X2 X1 2 X0 1 2 Xt X0 1 2 t由于X0為常數(shù) t是一個(gè)白噪聲 因此Var Xt t 2即Xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù) 它是一非平穩(wěn)序列 容易知道該序列有相同的均值 E Xt E Xt 1 然而 對X取一階差分 firstdifference Xt Xt Xt 1 t由于 t是一個(gè)白噪聲 則序列 Xt 是平穩(wěn)的 后面將會(huì)看到 如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 事實(shí)上 隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR 1 過程的特例Xt Xt 1 t不難驗(yàn)證 1 1時(shí) 該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的 表現(xiàn)為持續(xù)上升 1 或持續(xù)下降 1 因此是非平穩(wěn)的 第二節(jié)中將證明 只有當(dāng) 1 1時(shí) 該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的 2 1時(shí) 是一個(gè)隨機(jī)游走過程 也是非平穩(wěn)的 1階自回歸過程AR 1 又是如下k階自回歸AR K 過程的特例 Xt 1Xt 1 2Xt 2 kXt k該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹 三 平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷 給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列 首先可通過該序列的時(shí)間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的 一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過程 而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值 如持續(xù)上升或持續(xù)下降 進(jìn)一步的判斷 檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形 定義隨機(jī)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù) autocorrelationfunction ACF 如下 k k 0自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù) Why 實(shí)際上 對一個(gè)隨機(jī)過程只有一個(gè)實(shí)現(xiàn) 樣本 因此 只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù) Sampleautocorrelationfunction 一個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為 易知 隨著k的增加 樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零 但從下降速度來看 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 注意 確定樣本自相關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的 因?yàn)樗蓹z驗(yàn)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) k的真值是否為0的假設(shè) Bartlett曾證明 如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成 則對所有的k 0 樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值 1 n為方差的正態(tài)分布 其中n為樣本數(shù) 也可檢驗(yàn)對所有k 0 自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè) 這可通過如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的 2分布 m為滯后長度 因此 如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為 的臨界值 則有1 的把握拒絕所有 k k 0 同時(shí)為0的假設(shè) 例9 1 3 表9 1 1序列Random1是通過一隨機(jī)過程 隨機(jī)函數(shù) 生成的有19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列 容易驗(yàn)證 該樣本序列的均值為0 方差為0 0789 從圖形看 它在其樣本均值0附近上下波動(dòng) 且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0 隨后在0附近波動(dòng)且逐漸收斂于0 由于該序列由一隨機(jī)過程生成 可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性 因此該序列為一白噪聲 根據(jù)Bartlett的理論 k N 0 1 19 因此任一rk k 0 的95 的置信區(qū)間都將是 可以看出 k 0時(shí) rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi) 因此可以接受 k k 0 為0的假設(shè) 同樣地 從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看 滯后17期的計(jì)算值為26 38 未超過5 顯著性水平的臨界值27 58 因此 可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) k k 0 都為0的假設(shè) 因此 該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)過程 序列Random2是由一隨機(jī)游走過程Xt Xt 1 t生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本 其中 第0項(xiàng)取值為0 t是由Random1表示的白噪聲 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示 r1 0 48 落在了區(qū)間 0 4497 0 4497 之外 因此在5 的顯著性水平上拒絕 1的真值為0的假設(shè) 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的 圖形表示出 該序列具有相同的均值 但從樣本自相關(guān)圖看 雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0 但隨著時(shí)間的推移 則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢 圖形 表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過程 可初步判斷是非平穩(wěn)的 樣本自相關(guān)系數(shù) 緩慢下降 再次表明它的非平穩(wěn)性 拒絕 該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè) 結(jié)論 1978 2000年間中國GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列 從滯后18期的QLB統(tǒng)計(jì)量看 QLB 18 57 18 28 86 20 05 例9 1 5檢驗(yàn) 2 10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性 原圖樣本自相關(guān)圖 從圖形上看 人均居民消費(fèi) CPC 與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDPPC 是非平穩(wěn)的 從滯后14期的QLB統(tǒng)計(jì)量看 CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57 18 超過了顯著性水平為5 時(shí)的臨界值23 68 再次表明它們的非平穩(wěn)性 就此來說 運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的 不過 第三節(jié)中將看到 如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是協(xié)整的 則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的 而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整的 四 平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) 對時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外 運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的 單位根檢驗(yàn) unitroottest 是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法 1 DF檢驗(yàn)我們已知道 隨機(jī)游走序列Xt Xt 1 t是非平穩(wěn)的 其中 t是白噪聲 而該序列可看成是隨機(jī)模型Xt Xt 1 t中參數(shù) 1時(shí)的情形 也就是說 我們對式Xt Xt 1 t 做回歸 如果確實(shí)發(fā)現(xiàn) 1 就說隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根 式可變形式成差分形式 Xt 1 Xt 1 t Xt 1 t 檢驗(yàn) 式是否存在單位根 1 也可通過 式判斷是否有 0 一般地 檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性 可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型Xt Xt 1 t 中的參數(shù) 是否小于1 或者 檢驗(yàn)其等價(jià)變形式 Xt Xt 1 t 中的參數(shù) 是否小于0 在第二節(jié)中將證明 式中的參數(shù) 1或 1時(shí) 時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 對應(yīng)于 式 則是 0或 0 因此 針對式 Xt Xt 1 t我們關(guān)心的檢驗(yàn)為 零假設(shè)H0 0 備擇假設(shè)H1 0 上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成 然而 在零假設(shè) 序列非平穩(wěn) 下 即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的 向下偏倚 通常的t檢驗(yàn)無法使用 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布 這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為 統(tǒng)計(jì)量 即DF分布 見表9 1 3 由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性 它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布 因此 可通過OLS法估計(jì) Xt Xt 1 t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值 與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較 如果 t 臨界值 則拒絕零假設(shè)H0 0 認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根 是平穩(wěn)的 注意 在不同的教科書上有不同的描述 但是結(jié)果是相同的 例如 如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對值大于臨界值的絕對值 則拒絕 0 的假設(shè) 原序列不存在單位根 為平穩(wěn)序列 進(jìn)一步的問題 在上述使用 Xt Xt 1 t對時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中 實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR 1 生成的 但在實(shí)際檢驗(yàn)中 時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成的 或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲 這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān) autocorrelation 導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效 另外 如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢 如上升或下降 則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題 為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性 Dicky和Fuller對DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充 形成了ADF AugmentDickey Fuller 檢驗(yàn) 2 ADF檢驗(yàn) ADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的 模型3中的t是時(shí)間變量 代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢 如果有的話 檢驗(yàn)的假設(shè)都是 針對H1 0 檢驗(yàn)H0 0 即存在一單位根 模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng) 實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型3開始 然后模型2 模型1 何時(shí)檢驗(yàn)拒絕零假設(shè) 即原序列不存在單位根 為平穩(wěn)序列 何時(shí)檢驗(yàn)停止 否則 就要繼續(xù)檢驗(yàn) 直到檢驗(yàn)完模型1為止 檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同 只是對模型1 2 3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí) 有各自相應(yīng)的臨界值 表9 1 4給出了三個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表 同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式 然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0 0 1 只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè) 就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的 2 當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí) 則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng) 以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲 主要保證不存在自相關(guān) 一個(gè)簡單的檢驗(yàn)過程 例9 1 6檢驗(yàn)1978 2000年間中國支出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性 1 經(jīng)過償試 模型3取了2階滯后 通過拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn) Lagrangemultipliertest 對隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn) LM 1 0 92 LM 2 4 16 小于5 顯著性水平下自由度分別為1與2的 2分布的臨界值 可見不存在自相關(guān)性 因此該模型的設(shè)定是正確的 從 的系數(shù)看 t 臨界值 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值 因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè) 需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 2 經(jīng)試驗(yàn) 模型2中滯后項(xiàng)取2階 LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性 因此該模型的設(shè)定是正確的 從GDPt 1的參數(shù)值看 其t統(tǒng)計(jì)量為正值 大于臨界值 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值 不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè) 需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 3 經(jīng)試驗(yàn) 模型1中滯后項(xiàng)取2階 LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性 因此模型的設(shè)定是正確的 從GDPt 1的參數(shù)值看 其t統(tǒng)計(jì)量為正值 大于臨界值 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 可斷定中國支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 例9 1 7檢驗(yàn) 2 10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性 1 對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說 經(jīng)過償試 三個(gè)模型的適當(dāng)形式分別為 三個(gè)模型中參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于各自的臨界值 因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 結(jié)論 人均國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDPPC 是非平穩(wěn)的 2 對于人均居民消費(fèi)CPC時(shí)間序列來說 三個(gè)模型的適當(dāng)形式為 三個(gè)模型中參數(shù)CPCt 1的t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大 不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè) 因此 可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平穩(wěn)的 五 單整 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 隨機(jī)游走序列Xt Xt 1 t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為 Xt t由于 t是一個(gè)白噪聲 因此差分后的序列 Xt 是平穩(wěn)的 單整 一般地 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列 則稱原序列是d階單整 integratedofd 序列 記為I d 顯然 I 0 代表一平穩(wěn)時(shí)間序列 現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中 1 只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的 如利率等 2 大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的 以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額 收入等常表現(xiàn)為1階單整 大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的 但也有一些時(shí)間序列 無論經(jīng)過多少次差分 都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的 這種序列被稱為非單整的 non integrated 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的 就稱原序列是一階單整 integratedof1 序列 記為I 1 例9 1 8中國支出法GDP的單整性 經(jīng)過試算 發(fā)現(xiàn)中國支出法GDP是1階單整的 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?例9 1 9中國人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性 經(jīng)過試算 發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是2階單整的 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?同樣地 CPC也是2階單整的 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 前文已指出 一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢 而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系 這時(shí)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸 盡管有較高的R2 但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的 這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸 spuriousregression 如 用中國的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時(shí)間序列作回歸 會(huì)得到較高的R2 但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系 而只不過它們有共同的趨勢罷了 這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的 為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生 通常的做法是引入作為趨勢變量的時(shí)間 這樣包含有時(shí)間趨勢變量的回歸 可以消除這種趨勢性的影響 然而這種做法 只有當(dāng)趨勢性變量是確定性的 deterministic 而非隨機(jī)性的 stochastic 才會(huì)是有