第一章 電路基本原 理 第一節(jié) 電流和電壓 u t 和i t 這兩個變量是電路中最基本的兩個變量 它們刻劃了電路的各種關系 電荷和電流電荷和電流 電荷的概念是用來解釋所有電氣現(xiàn)象的基本概念 也即 電路中最基本的量是電荷 電荷是構成物質(zhì) 的原子微粒的電氣屬性 它是以庫侖為單位來度量的 我們從基礎物理得知一切物質(zhì)是由被稱為原子的 基本構造部分組成的 并且每個原子是由電子 質(zhì)子 和中子組成的 我們還知道電子的電量是負的并且在 數(shù)值上等于1 602100 10 12C 而質(zhì)子所帶的正電量 在數(shù)值上與電子相等 質(zhì)子和電子數(shù)量相同使得原子 呈現(xiàn)電中性 讓我們來考慮一下電荷的流動 電荷或電的特性 是其運動的特性 也就是 它可以從一個地方被移送到 另一個地方 在此它可以被轉換成另外一種形式的能量 當我們把一根導線連接到某一電池上時 一種電動 勢源 電荷被外力驅使移動 正電荷朝一個方向移動 而負電荷朝相反的方向移動 這種電荷的移動產(chǎn)生了電 流 我們可以很方便地把電流看作是正電荷的移動 也 即 與負電荷的流動方向相反 如圖1 1所示 這一 慣例是由美國科學家和發(fā)明家本杰明 富蘭克林引入的 雖然我們現(xiàn)在知道金屬導體中的電流是由負電荷引起 的 但我們將遵循通用的慣例 即把電流看作是正電荷 的單純的流動 于是電流就是電荷的時率 它是以安培 為單位來度量的 從數(shù)學上來說 電流i 電荷q以及時 間t之間的關系是 從時間t0到時間t所移送的電荷可由方程 1 1 兩 邊積分求得 我們算得 我們通過方程 1 1 定義電流的方式表明電流 不必是一個恒值函數(shù) 電荷可以不同的方式隨時間 而變化 這些不同的方式可用各種數(shù)學函數(shù)表達出 來 電壓 能量和功率電壓 能量和功率 在導體中朝一個特定的方向移動電荷需要一些功 或者能量的傳遞 這個功是由外部的電動勢來完成的 圖1 1所示的電池就是一個典型的例子 這種電動 勢也被稱為電壓或電位差 電路中a b兩點間的電壓 等于從a到b移動單位電荷所需的能量 或所需做的功 數(shù)學表達式為 式中w是單位為焦耳的能量而q是單位為庫侖的電荷 電壓Uab是以伏特為單位來度量的 它是為了紀念意大 利物理學家Alessandro Antonio Volta而命名的 這位意 大利物理學家發(fā)明了首個伏達電池 于是電壓 或電壓 差 等于將單位電荷在元件中移動所需的能量 它是以 伏特為單位來度量的 圖1 2顯示了某個元件 用一個矩形框來表示 兩端a b之間的電壓 正號 和負號 被用 來指明參考方向或電壓的極性 Uab可以通過以下兩種 方法來解釋 1 在Uab伏特的電位中a點電位高于b點 2 a點電位相對于b點而言是Uab 通常在邏輯上遵 循 雖然電流和電壓是電路的兩個基本變量 但僅有 它們兩個是不夠的 從實際應用來說 我們需要知道功 率和能量 為了把功率和能量同電壓 電流聯(lián)系起來 我們重溫物理學中關于功率是消耗或吸收的能量的時率 它是以瓦特為單位來度量的 我們把這個關系式寫成 式中p是以瓦特為單位的功率 w是以焦耳為 單位的能量 t是以秒為單位的時間 從方程 1 1 1 3 和 1 5 可以推出 由于u和i通常是時間的函數(shù) 方程 1 6 中的 功率p是個時間變量于是被稱為瞬時功率 某一元件 吸收或提供的功率等于元件兩端電壓和通過它的電流 的乘積 如果這個功率的符號是正的 那么功率向元 件釋放或被元件吸收 另一方面 如果功率的符號是 負的 那么功率是由元件提供的 但我們?nèi)绾蔚弥?時功率為正或為負 在我們確定功率符號時 電流的方向和電壓的極性起 著主要的作用 這就是我們在分析圖1 3 a 所顯示 的電流i和電壓u的關系時特別謹慎的重要原因 為了使 功率的符號為正 電壓的極性和電流的方向必須與圖1 3 a 所示的一致 這種情況被稱為無源符號慣例 對于無源符號慣 例來說 電流流進電壓的正極 在這種情況下 p ui 或ui 0 表明元件是在吸收功率 而如果p ui或 ui0 那么a端的電位高于b端 當然 如果u 0 反之亦然 獨立源獨立源 在圖1 4 a 中 電壓u可以是隨時間而變 化 或者可以是恒定的 在這種情況下我們可能 把它標為U 對于恒定電壓源我們通常使用另一種 符號 例如在兩端只有U伏電壓的電池組 如圖1 4 b 所示 在恒定源的情況下我們可以交替 地使用于圖1 4 a 或圖1 4 b 我們可能已經(jīng)注意到這一點 即圖1 4 b 中的極性標號 是多余的因為我們可以 根據(jù)長天線的位置符 確定電池極性 一個獨立電流源是二端元件在兩端之 間特定的電流流過 該電流完全獨立于元 件兩端的電壓 一個獨立電流源的符合如 圖1 5所示 圖中i是特定電流 該電流的 方向由箭頭標明 獨立源通常指的是向外電路釋放功率而非吸 收功率 因此如果u是電源兩端的電壓而電流i直 接從其正端流出 那么該電源正在向對電路釋放 功率 由式p ui算出 否則它就在吸收功率 例 如圖1 6 a 中電池正在向外電路釋放功率 24w 在圖1 6 b 中 電池就在充電情況 吸收功率24w 受控源受控源 一個理想的受控源是一個有源元件 它的電 源量是由另外一個電壓和電流所控制 受控源通常用菱形符號表明 如圖1 7所示 由于控制受控源的控制量來自于電路中其他元件 的電壓或電流 同時由于受控源可以是電壓源或 電流源 由此可以推出四種可能的受控源類型 即 電壓控制電壓源 VCVS 電流控制電壓源 CCVS 電壓控制電流源 VCCS 電流控制電流源 CCCS 受控源在模擬諸如晶體管 運算放大器 以及集成電路這些元件時是很有用的 應該注意的是 一個理想電壓源 獨立 或受控 可向電路提供以保證其端電壓為規(guī) 定值所需的任意電流 而電流源可向電路提 供以保證其電流為規(guī)定值所必須的電壓 還 應當注意的是電源不僅向電路提供功率 他 們也可從電路吸收功率 對于一個電壓源來 說 我們知道的是由其提供或所獲得的電壓 而非電流 同理 我們知道電流源所提供的 電流而非電流源兩端的電壓 Exercises 12 在下面進行的工作中我們要研究的簡單電路元件 可以根據(jù)流過元件的電流與元件兩端的電壓的關系進行 分類 例如 如果元件兩端的電壓正比于流過元件的電 流 即u ki 我們就把元件稱為電阻器 其他的類型的 簡單電路元件的端電壓正比于電流對時間的導數(shù)或正比 于電流關于時間的積分 還有一些元件的電壓完全獨立 于電流或電流完全獨立于電壓 這些是獨立源 此外 我們還要定義一些特殊類型的電源 這些電源的電壓或 電流取決于電路中其他的電流或電壓 這樣的電源將被 稱為非獨立源或受控源 用來模擬材料阻流性能的電路元件是電阻 電阻是最簡單的無源元件 德國物理學家喬治西蒙歐姆 1787 1854 1826年根據(jù)實驗提出電阻的電流 電壓關系 為此而享譽世界 這一關系被 稱為歐姆定律 歐姆定律表明電阻器兩端的電壓正比于流過 電阻器的電流 這個比例常值就是該電阻器以歐 姆為單位的電阻值 電阻器的電路符號如圖1 8 所示 第三節(jié)第三節(jié) 歐姆定律歐姆定律 對于所示的電流和電壓 歐姆定律就是 u tR i t 把方程 1 9 重新整理為 的形式 我 們將看到 u t R i t 1ohm 1V A 用來表示歐姆定律的方程 1 9 是一個直 線方程 由于這個原因 電阻就被稱為線性電阻 u t 相對于i t 而變化的圖形 如圖1 9所示 它是一條通過原點斜率為R的直線 顯然 當u t 與i t 的比值對于所有的i t 都為一恒定值時 其唯一可能的圖形就是一條直線 對于不同端部電流而具有不同電阻的電 阻器被稱為非線性電阻器 對于這種電阻器 電阻就等于器件中所流動的電流的函數(shù) 非 線性電阻器的一個簡單的例子是白熾燈 這 種器件的一個典型的伏 安特性曲線如圖 1 10所示 圖中我們看到其圖形不再是一 條直線 由于它不是一個恒值 對于包含有 非線性的電路的分析顯得更加困難 事實上 所有實際電阻器都是非線性的 因 為所有電阻器的電氣性能會受到例如溫度等的 環(huán)境因素所影響 不過很多材料在規(guī)定的工作 范圍內(nèi)非常接近理想線性電阻 專注于這種類型的元件并且僅僅把它們稱為 電阻器 由于R值可以從0變化到無窮大 所以對我 們來說研究兩種極限可能的R值很重要的 具有 R 0的元件稱為短路 如圖1 11 a 所示 對于短路來說 uR i 上式顯示電壓為0而電流可以是任何值 實際 上 短路通常是指一段假設為理想導體的連接導 線 于是 短路就是電阻近似為0的電路元件 類似地 具有R 的元件被稱為開路 如圖1 11 b 所示 對于開路來說 lim R u i R 上式表明電流為0 雖然電壓可以是任意值 于是 開路就是電阻近似為無窮大的電路元件 在電路分析中另一個有用的重要電量 被稱 為電導 定義為 1i G Ru 電導是對某一元件傳導電流的容易程度的一種 度量 電導的單位是西門子 Exercise 13 必須強調(diào)的是線性電阻器是一個理想的電路 元件 它是物理元件的數(shù)學模型 我們可以很容 易地買到或制造電阻器 但很快我們發(fā)現(xiàn)這種物 理元件只有當電流 電壓或者功率處于特定范圍 時其電壓 電流之比才是恒定的 并且這個比 值也取決于溫度以及其它環(huán)境因素 我們通常應 當把線性電阻器僅僅稱為電阻器 只有當需要強 調(diào)元件性質(zhì)的時候才使用更長的形式稱呼它 而對于任何非線性電阻器我們應當始終這么 稱呼它 非線性電阻器不應當必然地被視為不需 要的元件 網(wǎng)絡變量之間可能存在有很多相互關系 一 些關系是由于變量的性質(zhì)所決定 一些不同類型 的關系是由于某些特定類型的網(wǎng)絡元件對變量的 約束而產(chǎn)生的 另一類關系是介于相同形式的一 些變量之間的關系 這些變量是由于網(wǎng)絡結構即 網(wǎng)絡的不同元件相互連接的方式而產(chǎn)生的 這樣 一種關系就被說成是基于網(wǎng)絡拓撲結構的關系 基爾荷夫電流和電壓定律是基于網(wǎng)絡連接特性的 定律 這些定律不涉及元件本身特性 第四節(jié)第四節(jié) 基爾荷夫定律基爾荷夫定律 基爾荷夫基爾荷夫電流電流定律定律 基爾荷夫電流定律基于電荷守恒定律 電 荷守恒定律要求一個系統(tǒng)中電荷的代數(shù)總和不 變 基爾荷夫電流定律 KCL 表明流進一個 節(jié)點 或一個閉合邊界 的電流的代數(shù)和為0 從數(shù)學上來說 KCL表明 1 0 1 13 N n n i 式中N為連接到節(jié)點的支路數(shù)而in是流入 或 流出 節(jié)點的第n條支路電流 根據(jù)這個定律 流入一個節(jié)點的電流可以認 為是 電流 而流出節(jié)點的電流可以看成是 電流 考慮圖1 12的節(jié)點 應用KCL得到 12345 0 1 14 iiiii 由于電流i1 i3 i4流入節(jié)點 而電流i2和i5流出 節(jié)點 重新整理方程 1 14 我們可以得到 13425 1 15 iiiii KCL定律的另一種形式是 流入節(jié)點的電流 之和等于流出節(jié)點的電流之和 讓我們注意KCL定律也可以應用于閉合邊 界 這可以被視為定律的廣義應用情形 這是 由于節(jié)點可以被看成是由某個閉合面收縮成一 點而形成的 在二維情況下 一個閉合的界面 等同于一個閉合的線路 圖1 13所示的電路就 是一個典型的例子 流入閉合面的總電流等于 流出閉合面的總電流 基爾荷夫電壓定律 KVL 基爾荷夫電壓定律基于能量守恒原理 基爾荷夫電壓定律 KVL 表明環(huán)繞閉合線 路 或回路 的電壓的代數(shù)和為0 從數(shù)學上來 說 KVL表達為 1 0 1 16 M m m u 式中M是回路電壓總數(shù)而且um是第m個電壓 為了解釋KVL 讓我們研究圖1 14所示的電 路 每個電壓的符號就是當我們環(huán)繞回路時首先 遇到的端部的極性 我們可以從任何一個電壓開 始并且可以順時針或逆時針方向環(huán)繞回路 假設 我們從電壓源開始并如圖所示順時針環(huán)繞回路 那么電壓將是 u1 u2 u3 u4以及 u5 按照這個順序 舉例說 當我們到達支路3時 我 們首先遇到正極 于是 得到 u3 對于支路4 我們首先遇到負極 于是 得到 u4 因此 應 用KVL 得出 12345 0 1 17 uuuuu 重新整理以上各項 得到 23514 1 18 uuuuu 上式可以解釋為 電壓降之和等于電壓升之 和 這是KVL定律的另一種形式 注意如果我們 逆時針環(huán)繞回路結果將是u1 u5 u4 u3以 及 u2 結果與前面相同 除了符號相反外 因 此 方程 1 16 和方程 1 18 是一樣的 Exercise 14 如果一個電路有兩個或多個獨立源 求出具 體變量值 電流或電壓 的一種方法是使用節(jié)點分 析法或網(wǎng)孔分析法 另一種方法是求出每個獨立源 對變量的作用然后把它們進行疊加 而這種方法被 稱為疊加法 疊加法原理表明線性電路某個元件兩 端的電壓 或流過元件的電流 等于每個獨立源單 獨作用時該元件兩端的電壓 或流過元件的電流 的代數(shù)和 在已經(jīng)了解了電路理論的基本理論 歐姆定律 和基爾荷夫定律 之后 我們準備應用這些定律 導出電路分析的兩個很有用的方法 節(jié)點分析法 以及網(wǎng)孔分析法 前者基于基爾荷夫電流定律 KCL 的有序應用 后者基于基爾荷夫電壓定律 KVL 的有序應用 根據(jù)這一節(jié)所導出的這兩 種方法 我們就能夠通過列出一套有關方程然后 求解所需的電壓和電流來分析幾乎任何電路 求 解聯(lián)立方程的一種方法涉及克萊姆法則 這個法 則使我們可以把電路變量當作行列式系數(shù)來計算 第五節(jié)第五節(jié) 基本分析方法基本分析方法 節(jié)點分析法節(jié)點分析法 對于很多網(wǎng)絡來說 選擇節(jié)點電壓 作為電路 變量 是一個很方便的做法 由于電壓被定義為存 在于兩個節(jié)點之間的電壓 所以我們可以方便地選 擇網(wǎng)絡中的一個節(jié)點作為參考節(jié)點或基準節(jié)點 然 后和其它節(jié)點的電壓或電位差相聯(lián)系 每個非參考 節(jié)點的電壓相對于參考節(jié)點來說被定義為該節(jié)點電 壓 通常的做法是選擇極性時使節(jié)點的電壓相對于 參考節(jié)點為正 對于一個包含有N個節(jié)點的電路而 言 將會有N 1個節(jié)點電壓 當然 如果存在電 壓源的話 他們中的一些可能是已知的 我們通常選擇那個連接有最多條支路的節(jié)點 作為參考節(jié)點 許多實際的電路是建立在金屬底 版或底盤上 并且通常有很多個元件連接到底盤 上 然后這個底盤通常接地 這個底盤于是就可 以被稱為地 并在邏輯上被選作參考節(jié)點 由于 這個原因 參考節(jié)點通常指地 于是 參考節(jié)點 的電位就是地電位或零電位 其它節(jié)點可以被認 為是處于零電位之上的某個電位 應用KCL我們將得到與節(jié)點電壓有關的方程 式 顯然 連接有很多元件的節(jié)點被選為參考節(jié) 點時 將結果方程進行簡化是可以做到的 然而 我們應該知道 這并不是選擇參考節(jié)點時的唯一 標準 但它通常是最常用的標準 在圖1 15所示的網(wǎng)絡中 存在有3個節(jié)點 數(shù)目如圖所示 由于有4條支路連接到節(jié)點3 所以 我們把它選作參考節(jié)點 用所示的連地符號來標明 節(jié)點1和節(jié)點3之間的電壓表明為u1 而u2定義 為節(jié)點2和參考節(jié)點之間的電壓 有這兩個電壓就 夠了 其它任意兩個節(jié)點之間的電壓可以根據(jù)這兩 個電壓求出 例如 節(jié)點1相對于節(jié)點2的電壓是 u1 u2 現(xiàn)在我們必須把基爾荷夫電流定律應用于節(jié) 點1和節(jié)點2 我們可以通過使離開節(jié)點穿過n個電 導的電流等于流入節(jié)點的總電流來做到這一點 于是 有 112 0 50 2 3uuu 12 0 70 23 1 19 uu 即 在節(jié)點2 我們得到 221 0 2 2uuu 12 0 21 22 1 20 uu 即 解方程 1 19 和 1 20 求得未知 的節(jié)點電壓u1和u2 于是電路中的任何電流 和功率可以被求得 節(jié)點分析法的步驟為 1 選擇一個節(jié)點作為參考節(jié)點 將剩下的n 1個 節(jié)點的電壓定為u1 u2 un 1 2 將KCL定律應用于n 1個非參考節(jié)點 應用歐 姆定律 根據(jù)節(jié)點電壓來表示支路電路電流 3 求解所得到的聯(lián)立方程得到未知的節(jié)點電壓 然后求解其它需要的變量 網(wǎng)孔分析法網(wǎng)孔分析法 網(wǎng)孔分析法為電路分析提供了另一種通用的方 法 這種方法使用網(wǎng)孔電流作為電路變量 使用網(wǎng) 孔電流代替元件電流作為電路變量很方便 因為它 可以減少要求求解的聯(lián)立方程的個數(shù) 讓我們重溫 關于回路是一個經(jīng)過的節(jié)點都相異的閉合線路 而 網(wǎng)孔是一個其中不包含任何回路的概念 節(jié)點分析法應用KCL來求得某個給定電路的未 知電壓 而網(wǎng)孔分析法應用KVL來求得未知電流 由于網(wǎng)孔分析法僅適用于平面電路 所以網(wǎng)孔分析 法不如節(jié)點分析法那樣通用 平面電路是一個平面 平面電路是一種可以畫在平板上而其中沒有相互交 叉的支路的電路 否則它就是非平面電路 一個電路可能會有 交叉的支路但仍然算是平面電路如果這個電路可以 被重新畫過使得其中沒有交叉支路的話 一個網(wǎng)孔 是一個其中不包含任何回路的回路 例如 在圖1 16中 電路中有兩個網(wǎng)孔 在 一個給定電路中流過網(wǎng)孔的電流被稱為網(wǎng)孔電流 如果我們把題目中左手的網(wǎng)孔標為網(wǎng)孔1 那么我 們就可以建立起這個網(wǎng)孔順時針方向流動的網(wǎng)孔電 流i1 網(wǎng)孔電流用一個幾乎閉合的彎曲箭頭符號標 明并畫在對應的網(wǎng)孔內(nèi) 如圖1 16所示 在剩下 的網(wǎng)孔中建立網(wǎng)孔電流i2 方向也是順時針 雖然 網(wǎng)孔電流的方向是任意的 但我們應始終選擇網(wǎng)孔 電流為順時針方向 因為這樣做將由于對稱法使方 程中出現(xiàn)的錯誤減少到最少程度 使用網(wǎng)孔電流的另一個突出優(yōu)點是因為它滿足基 爾荷夫電流定律 如果某個網(wǎng)孔電流流入一個給定 的節(jié)點 顯然它也會流出那個節(jié)點 把KVL應用于每個網(wǎng)孔 我們得到 112 212 4263 0 3 4100 iii iii 12 12 9342 1 21 3710 ii ii 我們注意到方程 1 21 中i1的系數(shù)就是網(wǎng)孔 1的電阻總和 而電流i2的系數(shù)是網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的共 有電阻的負值 現(xiàn)在我們看到方程 1 22 也是 同樣情況 注意到支路電流不同于網(wǎng)孔電流 除非網(wǎng)孔是 獨立網(wǎng)孔 網(wǎng)孔分析法的步驟是 1 把幾個網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流定為i1 i2 in 2 將KVL應用于幾個網(wǎng)孔的每個網(wǎng)孔 應用歐姆 定律根據(jù)網(wǎng)孔電流來表達各個電壓 3 求解所列的幾個聯(lián)立方程求得網(wǎng)孔電流 然后 求出其它所需的變量 Exercise 15 相電壓與相電流之比等于電路的阻抗 符號 為字母Z 阻抗是一個具有量綱為歐姆的復數(shù)量 阻抗不是一個相量 因此不能通過把它乘以 并取其實部把它轉換成時域形式 但是 我們把 電感器看作是通過其電感量L表現(xiàn)為時域形式而 通過其阻抗 表現(xiàn)為頻域形式 電容在時域里 為電容量C而在頻域里為 阻抗是某種程度 上的頻域變量而非時域變量 j t e 1 j c j L 第六節(jié)第六節(jié) 正弦交流電路分析正弦交流電路分析 和三相電路和三相電路 電路元件之間的相量關系 通過建立三個無源元件的相電壓和相電流之間 的關系 我們可以進行正弦穩(wěn)態(tài)分析的簡化工作 電阻器為我們提供了最簡單的例子 在時域范圍內(nèi) 如圖1 17 a 所示 如果流過電阻器R的電流 是 電阻器兩端的電壓由 歐姆定律得出 此電壓的相量形式為 圖1 17 b 顯示在相量方面電阻器中電壓 電流之間的關系仍然反映歐姆定律 正如時域中 一樣 在方程 1 24 中我們應當注意電壓和電 流之間的是關系相量之間的關系 正如圖1 18中 的相量圖所示 對于電感器L 假設流過它的電流是 電感器兩端的電壓是 電壓可以寫成 把它轉換成相量形式 但由于 于是 上式顯示電壓的幅度Im為而相位為 90 電 壓和電流的相位相差90度 特別地 電流滯后電壓 90度 圖1 19顯示了電感器的電壓 電流之間 的關系 圖1 20顯示了其相量圖 對于電容器C 假設其兩端的電壓是 流過電容器的電流為 按照我們在電感器中所采用的相同的步驟 我們求得 上式顯示電壓和電流的相位相差90度 特別 地 電流超前電壓90度 圖1 21顯示了電容器 的電壓 電流之間的關系 圖1 22顯示了其相 量圖 正弦電路分析正弦電路分析 我們還知道歐姆定律和基爾荷夫也適用于交 流電路 電路分析的簡化方法 例如節(jié)點分析法 網(wǎng)孔分析法 戴維南定理等 也應用于分析交流電 流 由于這些方法已經(jīng)在直流電路中介紹過了 我 們在這里主要介紹交流電路分析的步驟 分析交流電路通常需要三個步驟 1 把電路轉換成時域或頻域形式 2 利用電路方法 節(jié)點分析法 網(wǎng)孔分析法 疊 加原理等 解決問題 3 把得到的相量轉換成時域形式 平衡三相電壓平衡三相電壓 典型的三相系統(tǒng)由三個電源構成 這三個電壓源 通過三根或四根導線 或輸出線 與負載相連 三相 系統(tǒng)等效于三個單相電路 電壓源可以連接成Y形如 圖1 23 a 所示或連接成 形如圖1 23 b 所 示 現(xiàn)在讓我們研究圖1 23 a 所示的Y形連接 的電壓 電壓Uan Ubn和Ucn分別介于a線與中線n之 間 b線與中線n之間以及c線與中線n之間 這些電 壓被稱為相電壓 如果電壓源具有相同的幅值和頻 率 并且相互之間相位差120度 這些電壓就被說成 是平衡的 這表明 由于三相電壓彼此之間相