2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 2011年高考題全國(guó)卷 文 科全解全析 科目： 數(shù)學(xué) 試卷名稱(chēng) 2011 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷 科 ) 知識(shí)點(diǎn)檢索號(hào) 新課標(biāo) 題目及解析 1 （ 1）設(shè)集合 1, 2, 3, 4U , 1, 2, 3 ,M 2, 3, 4 ,N 則U =（ M N ）（ A） 12， （ B） 23， （ C） 2， 4 （ D） 1， 4 【思路點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是掌握集合交并補(bǔ)的計(jì)算方法，易求 2 , 3 , 進(jìn)而求出其補(bǔ)集為 1， 4 . 【精講精析】選 D. 2 , 3 , ( ) 1 , 4 M N Q I 4 （ 2）函數(shù) 2 ( 0 )y x x 的反 函數(shù)為 （ A） 2 ()4xy x R（ B） 2 ( 0)4（ C） 24() （ D） 24 ( 0 )y x x 【思路點(diǎn)撥】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范圍，它是反函數(shù)的定義域。 【精講精析】選 ( 0 )y x x 中， 0y 且反解 x 得 24所以 2 ( 0 )y x x 的反函數(shù)為 2 ( 0 )4. 20 （ 3）設(shè)向量 , | | | 1則 2 A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 7 【思路點(diǎn)撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過(guò)選項(xiàng)能推出 ab，而由 ab 推不出選項(xiàng)的選項(xiàng) . 【精講精析】選 使 P ,a b a b 推不出 P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選 A。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 29 （ 4）若變量 x， y 滿(mǎn)足約束條件 63 ，則 =2 3z x y 的最小值為 （ A） 17 （ B） 14 （ C） 5 （ D） 3 【思路點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是作出如右圖所示的可行域。然后要把握住線性目標(biāo)函數(shù)=2 3z x y 的 z 的取值也其在 y 軸的截距是正相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而確定過(guò)直線 x=1 與 2 的交點(diǎn)時(shí)取得最小值。 【精講精析】作出不等式組表示的可行域，從圖中不難觀察當(dāng)直線 =2 3z x y 過(guò)直線 x=1 與2 的交點(diǎn)（ 1， 1）時(shí)取得最小值 ,所以最小值 為 5. 24 （ 5）下面四個(gè)條件中，使 成立的充分而不必要的條件是 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 22 （ D） 33 【思路點(diǎn)撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過(guò)選項(xiàng)能推出 ab，而由 ab 推不出選項(xiàng)的選項(xiàng) . 【精講精析】選 使 P ,a b a b 推不出 P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選 A。 11 （ 6）設(shè) n 項(xiàng)和，若1 1a，公差 2d ，2 24，則 k （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【思路點(diǎn)撥】思路一：直接利用前 n 項(xiàng)和公式建立關(guān)于 k 的方程解之即可。思路二： 利用2 2 1k k k a a 直接利用通項(xiàng)公式即可求解，運(yùn)算稍簡(jiǎn)。 【精講精析】選 D. 2 2 1 12 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 2 4 5 .k k k a a a k d k k 19 （ 7）設(shè)函數(shù) ( ) c o s ( 0 )f x x ，將 ()y f x 的圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則 的最小值等于 （ A） 13（ B） 3 （ C） 6 （ D） 9 【思路點(diǎn)撥】此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要， 將 ()y f x 的圖像向右平移3個(gè)單2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，說(shuō)明了3是此函數(shù)周期的整數(shù)倍。 【精講精析】選 C. 由題 2 ()3 k k Z ,解得 6k ，令 1k ，即得 . 40 (8) 已知直二面角 l ， 點(diǎn) A ， AC l ,C 為垂足，點(diǎn) B ， BD l ,D 為垂足 B=2， D=1，則 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 【思路點(diǎn)撥】解決本題關(guān)鍵是找出此二面角的平面角，然后把要求的線段放在三角形中求解即可。 【精講精析】選 C. 在平面內(nèi)過(guò) C 作 /D ，連接 四邊形 平行四邊形 ，因?yàn)?BD l ，所以 CM l ，又 AC lQ , 就是二面角 l 的平面角。 90 o. 所以 2 2 2 2 2 2 ,A B A M M B A C B D C D 代入后不難求出 2。 45 (9)4 位同學(xué)每人從甲、乙、丙 3 門(mén)課程中選修 1 門(mén)，則恰有 2 人選修課程甲的不同選法共有 (A) 12 種 (B) 24 種 (C) 30 種 (D)36 種 【思路點(diǎn)撥】解本題分兩步進(jìn)行：第一步先選出 2 人選修課程甲，第二步再把剩余兩人分別選乙、丙 . 【精講精析】選 人選修課程甲有 24 6C 種方法，第二步安排剩余兩人從乙、丙中各選 1 門(mén)課程有 22 2A 種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，有 6 2 12 種選法。 6 (10)設(shè) () 的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x 1 時(shí)， () (1 )，則 5()2f = (A) ) 1 4(C)14(D)12 【思路點(diǎn)撥】解本題的關(guān)鍵是把通過(guò)周期性和奇偶性把自變量 52轉(zhuǎn)化到區(qū)間 0,1上進(jìn)行求值。 【精講精析】選 A. 先利用周期性，再利用奇偶性得 : 5 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2f f f . 42 (11)設(shè)兩圓 1C 、 2C 都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)（ 4， 1），則兩圓心的距離 12 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 (A)4 (B)42 (C)8 (D)82 【思路點(diǎn)撥】本題根據(jù)條件確定出圓心在直線 y=x 上并且在第一象限是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。 【精講精析】選 y=x 上并且在第一象限 ,設(shè)圓心坐標(biāo)為 (a,a)(a0),則22( 4 ) ( 1 )a a a ,求出 a=1,a=1(1,1),9),所以由兩點(diǎn)間的距離公式可求出12 82. 42 (12)已知平面截一球面 得圓 M，過(guò)圓心 M 且與成 060 二面角的平面截該球面得圓 ，圓 M 的面積為 4 ，則圓 N 的面積為 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【思路點(diǎn)撥】做出如圖所示的圖示，問(wèn)題即可解決。 【精講精析】選 B. 作示意圖如，由圓 M 的面積為 4 ，易得222 , 2 3M A O M O A M A ， 中， 30o 。 故 2c o s 3 0 3 , 3 9 O M S o. 45 (13)(1- x )20的二項(xiàng)展開(kāi)式中， x 的系數(shù)與 數(shù)之差為 : . 【思路點(diǎn)撥】解本題一個(gè)掌握展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，另一個(gè)要注意 r n . 【精講精析】 0. 由 201 2 0 () x 得 x 的系數(shù)為 220C, 820C,而 18 220 20 17 (14)已知 a ( ， 32)， 2，則 . 【思路點(diǎn)撥】本題考查到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，再由正切值求余弦值時(shí)，要注意角的范圍，進(jìn)而確定值的符號(hào)。 【精講精析】 55由 a ( ， 32)， 2 得 15c o . 39 （ 15）已知正方體 E 為 異面直線 成角的余弦值為 . 【思路點(diǎn)撥】找出異面直線 C 所成的角是解本題的關(guān)鍵。只要在平面 作2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 及 【精講精析】 23取 連接 就是異面直線 C 所成的角。在 中， 222 3 5 2c o 3 3 。 33 (15)已知 : 2927y=1 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A C，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (2， 0)， |= . 【思路點(diǎn)撥】本題用內(nèi)角平分線定理及雙曲線的定義即可求解。 【精講精析】 6. 由角平分線定理得：22 1211| | | | 1 , | | | | 2 6| | | | 2A F M F A F A F M F ,故 2| | 6. 12 (17)(本小題滿(mǎn) 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 設(shè)等比數(shù)列 n 項(xiàng)和為知2 6,a 136 30,求【思路點(diǎn)撥】解決本題的突破口是利用方程的思 想建立關(guān)于 q 的方程，求出 q，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式求解即可。 【精講精析】 設(shè) q,由題設(shè)得 11166 3 0a q解得 1 32或 1 23， 當(dāng)1 3, 2時(shí)， 13 2 , 3 ( 2 1 ) 當(dāng)1 2, 3時(shí)， 12 3 , 3 1 . 21 （ 18） (本小題滿(mǎn) 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a、 b、 s i n c s i n 2 s i n s i C a C b B . ( )求 B； （）若 07 5 , 2, . 【思路點(diǎn)撥】第（ I）問(wèn)由正弦定理把正弦轉(zhuǎn)化為邊，然后再利用余弦定理即可解決。 （ （ I）問(wèn)的基礎(chǔ)上知道兩角一邊可 以直接利用正弦定理求解。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 【精講精析】 (I)由正弦定理得 2 2 22a c a c b 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sb a c a c B 。 故 2，因此 45B o 。 （ s i n s i n ( 3 0 4 5 )A oo s i n 3 0 c o s 4 5 c o s 3 0 s i n 4 5o o o o 264 故 s i n 2 6 13s i n 2 s i n s i n 6 026s i n s i n 4 5 46 (19)(本小題滿(mǎn) 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為 買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為 (I)求該地 1 位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 1 種的概率； （）求該地 3 位車(chē)主中恰有 1 位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率 . 【思路點(diǎn)撥】 此題第（ I）問(wèn)所求概率可以看作“ 該地的 1 位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn) ”和“ 該地的 1 位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn) ”兩個(gè)事件的和 。 由于這兩個(gè)事件互斥，故利用互斥事件概率計(jì)算公式求解。 (（ ，關(guān)鍵是求出“ 該地的 1 位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi) ”的概率，然后再借助 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生 k 次的概率計(jì)算公式求解即可 . 【精講精析】 記 A 表示事件：該地的 1 位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)： B 表示事件：該地的 1 位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)。 C 表示事件：該地的 1 位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 1 種； D 表示事件：該地的 1 位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)； E 表示事件：該地的 3 位車(chē)主中恰有 1 位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不 購(gòu)買(mǎi)。 （ I） P(A)=(B)=A+B 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=(=C ,P(D)=1)=P(E)= 223 0 . 2 0 . 8 0 . 3 8 4C . 39 (20） (本小題滿(mǎn) 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 如圖，四棱錐 S 中， D ，側(cè)面 等邊三角形 . 2 , 1A B B C C D S D . (I) 證明： 平 面 (求 平面 成角的大小。 【思路點(diǎn)撥】 第（ I）問(wèn)的證明的突破口是利用等邊三角形 個(gè)條件，找出 中點(diǎn) E，連結(jié) 做出了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵輔助線。 (題直接找線面角不易找出，要找到與 行的其它線進(jìn)行轉(zhuǎn)移求解。 【精講精析】 證明：（ I）取 點(diǎn) E，連結(jié) 四邊形 矩形， B=2。 連結(jié) ,3S E A B S E 又 ，故 2 2 2E D S E S D 所以 為直角。 由 ,A B D E A B S E D E S E E I，得 D E 平 面 ,所以 D . 兩 條相交直線 垂直。 所以 平 面 （ D E 平 面 知， A B C D S D E平 面 平 面 作 E ，垂足為 F，則 B C D 平 面 , 32S D S E作 C ，垂足為 G，則 C=1。 連結(jié) C 又 C ， G GI ,故 ,B C S F G S B C S F G平 面 平 面 平 面， 高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 作 G ， H 為垂足，則 F H 平 面 . 37S F F 即 F 到平面 距離為 217。 由于 以 平 面 E 到平面 距離 17。 設(shè) 平面 成的角為 ，則 21s i , 21a rc s . 解法二： 以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 x 軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 D（ 1， 0， 0），則 A（ 2， 2， 0）， B（ 0，2， 0）。 又設(shè) S（ x,y,z），則 x0,y0,z0. (I)( 2 , 2 , ) , ( , 2 , ) , ( 1 , , )A S x y z B S x y z D S x y z u u ur u u ur u u 2 2 2 2 2 2| | | | ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A S B S x y z x y z u u ur u u 故 x=1. 由 | | 1DS 221， 又由 | | 2BS， 2 2 2( 2 ) 4x y z 即 22 4 1 0y z y ，故 13,22。 于是 1 3 3 3 3 3 1 3( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , , )2 2 2 2 2 2 2 2S A S B S D S u u ur u u ur u u 0 , 0D S A S D S B S ,D S A S D S B S，又 S SI 所以 平 面 . 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （ 平面 法向量 ( , , )a m n pr ， 則 , , 0 , 0 ,a B S a C B a B S a C B r u u ur r u u ur r u u ur r u u 33( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 0 )22B S C B u u u 33 02220m n 取 2p 得 ( 3 , 0 , 2 )a r ，又 ( 2 , 0 , 0 )21c o s ,7| | | |A B a u u ur ru u ur ru u ur r. 故 平面 成的角為 2153 （ 21） (本小題滿(mǎn) 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 已知函數(shù) 32( ) 3 ( 3 6 ) + 1 2 4f x x a x a x a a R ( )證明： 曲線 ( ) 0y f x x在 處 的 切 線 過(guò) 點(diǎn) （ 2 ， 2 ） ； （）若00()f x x x x在 處 取 得 最 小 值 ， （ 1 ， 3 ） ，求 a 的取值范圍。 【思路點(diǎn)撥】 第 (I)問(wèn)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，然后易寫(xiě)出直接方程。 (（ 是含參問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住方程 ( ) 0 的判別式進(jìn)行分類(lèi)討論 . 【精講精析】 解：（ I） 2( ) 3 6 3 6f x x a x a . 由 ( 0 ) 1 2 4 , ( 0 ) 3 6f a f a 得曲線 ()y f x 在 x=0 處的切線方程為 ( 3 6 ) 1 2 4y a x a 由此知曲線 ()y f x 在 x=0 處的切線過(guò)點(diǎn)（ 2， 2）。 （ ( ) 0 得 2 2 1 2 0x a x a （ i） 當(dāng) 2 1 2 1a 時(shí)， () ( 21a 或 21a 時(shí)，由 ( ) 0 得 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 22122 1 , 2 1x a a a x a a a 故02由題設(shè)知 21 2 1 3a a a ， 當(dāng) 21a 時(shí)，不等式 21 2 1 3a a a 無(wú)解； 當(dāng) 21a 時(shí)，解不等 式 21 2 1 3a a a 得 5 212 a 綜合 (i)( a 的取值范圍是 5( , 2 1)2 。 35 （ 21）已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F 為橢圓 22:12在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò) F 且斜率為 l 與 C 交與 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 滿(mǎn)足 O B O P ( )證明：點(diǎn) P 在 C 上； （）設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 Q，證明： A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓上 . 【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路，注意把 O B O P 坐標(biāo)表示后求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用 A、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)。從而求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn) 上。 (問(wèn)題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明 ,互補(bǔ) 求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。 思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心 N，然后證明 N 到四個(gè)點(diǎn) A、 B、 P、 Q 的距離相等即可 . 【精講精析】 (I)設(shè)1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 2 1l y x ，與 22 12聯(lián)立得 24 2 2 1 0 126 2 6 2,44 1 2 1 221,24x x x x 由 O B O P 1 2 1 2( ( ) , ( ) )P x x y y 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 122() 2 , 1 2 1 2 1 2( ) ( 2 1 2 1 ) 2 ( ) 2 1y y x x x x 222 ( 1 )( ) 122 所以點(diǎn) P 在 C 上。 （ 一：12121212( 1 ) ( 1 )22( ) ( )t a n( 1 ) ( 1 )1122( ) ( )22P A P P 2 1 2 11 2 1 23 ( ) 4 ( )33 2 93 ( )22x x x xx x x x 同理 212121211122()22t a 22Q B Q Q 1 2 2 11 2 1 2( ) 4 ( )3213 ( )22x x x xx x x x 所以 ,互補(bǔ)， 因此 A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓上。 法二：由 2( , 1)2P 和題設(shè)知， 2( ,1)2Q,垂直平分線12 設(shè) 中點(diǎn)為 M，則 21( , )42M， 垂直平分線2124 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 由 得1l、21( , )88N 222 2 1 3 1 1| | ( ) ( 1 )2 8 8 8 , 2 21 32| | 1 ( 2 ) | | 2A B x x 32|4 , 222 2 1 1 3 3| | ( ) ( )4 8 2 8 8 , 22 3 1 1| | | | | | 8N A A M M N 故 | | | |A .| | | | , | | | |N P N Q N A N B 所以 A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓圓 N 上 . 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 2011年高考題全國(guó)卷 理科全解全析 科目： 數(shù) 學(xué) 試卷名稱(chēng) 2011 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷 科 ) 知識(shí)點(diǎn)檢索號(hào) 新課標(biāo) 題目及解析 （ 1）復(fù)數(shù) 1 ， z 為 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 1zz z （ A） 2i （ B） i （ C） i （ D） 2i 【思路點(diǎn)撥】 先求出的 z 共軛復(fù)數(shù) ,然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可。 【精講精析】選 B. 1 , 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1z i z z z i i i i . （ 2）函數(shù) 2 ( 0 )y x x 的反函數(shù)為 （ A） 2 ()4xy x R（ B） 2 ( 0)4（ C） 24() （ D） 24 ( 0 )y x x 【思路點(diǎn)撥】 先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范圍，它是反函數(shù)的定義域。 【精講精析】選 ( 0 )y x x 中， 0y 且反解 x 得 24所以 2 ( 0 )y x x 的反函數(shù)為 2 ( 0 )4. （ 3）下面四個(gè)條件中，使 成立的充分而不必要的條件是 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 22 （ D） 33 【思路點(diǎn)撥】 本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過(guò)選項(xiàng)能推出 ab，而由 ab 推不出選項(xiàng)的選項(xiàng) . 【精講精析】選 使 P ,a b a b 推不出 P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選 A。 （ 4）設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 1 1a ，公差 2d ， 2 24，則 k 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【思路點(diǎn)撥】 思路一：直接利用前 n 項(xiàng)和公式建立關(guān)于 k 的方程解之即可。思路二： 利用2 2 1k k k a a 直接利用通項(xiàng)公式即可求解，運(yùn)算稍簡(jiǎn)。 【精講精析】選 D. 2 2 1 12 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 2 4 5 .k k k a a a k d k k （ 5）設(shè)函數(shù) ( ) c o s ( 0 )f x x ，將 ()y f x 的圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則 的最小值等于 （ A） 13（ B） 3 （ C） 6 （ D） 9 【思路點(diǎn)撥】 此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要， 將 ()y f x 的圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，說(shuō)明了3是此函數(shù)周期的整數(shù)倍。 【精講精析】選 C. 由題 2 ()3 k k Z ,解得 6k ，令 1k ，即得 . (6)已知直二面角 l ，點(diǎn) ,A AC l,C 為垂足， ,B B D l D為垂足若 ，D=1，則 D 到平面 距離等于 (A) 23(B) 33(C) 63(D) 1 【思路點(diǎn)撥】 本題關(guān)鍵是找出或做出點(diǎn) D 到平面 距離 據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難證明 平面 ，進(jìn)而 平 面 平面 以過(guò) D 作 C 于 E，則 是要求的距離。 【精講精析】選 C. 如圖，作 C 于 E，由 l 為直二面角， AC l得 平面 ，進(jìn)而 E ，又,B C D E B C A C CI，于是 平面 距離。 在 中，利用等面積法得 1 2 633B D D . 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 (7)某同學(xué) 有同樣的畫(huà)冊(cè) 2 本，同樣的集郵冊(cè) 3 本，從中取出 4 本贈(zèng)送給 4 位朋友每位朋友 1本，則不同的贈(zèng)送方法共有 (A)4 種 (B)10 種 (C)18 種 (D)20 種 【思路點(diǎn)撥】 本題要注意畫(huà) 冊(cè)相同，集郵冊(cè)相同，這是重復(fù)元素，不能簡(jiǎn)單按照排列知識(shí)來(lái)鑄。所以要分類(lèi)進(jìn)行求解。 【精講精析】選 出的 1 本畫(huà)冊(cè)， 3 本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有 14 4C 種；取出的 2 本畫(huà)冊(cè)， 2 本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有 24 6C 種?？偟馁?zèng)送方法有 10 種。 (8)曲線 y= 2+1 在點(diǎn) (0， 2)處的切線與直線 y=0 和 y=x 圍成的三角形的面積為 (A)13(B)12(C)23(D)1 【思路點(diǎn)撥】 利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)（ 0， 2）切線方程然后分別求出與直線 y=0 與 y=x 的交點(diǎn)問(wèn)題即可解決。 【精講精析】選 A. 202 , | 2x ry e y 切線方程是： 22 ,在直角坐標(biāo)系中作出示意圖，即得 1 2 112 3 3S 。 (9)設(shè) () 的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x 1 時(shí)， () 2 (1 )，則 5()2f = (A) ) 1 4(C)14(D)12 【思路點(diǎn)撥】 解本題的關(guān)鍵是把通過(guò)周期性和奇偶性把 自變量 52轉(zhuǎn)化到區(qū)間 0,1上進(jìn)行求值。 【精講精析】選 A. 先利用周期性，再利用奇偶性得 : 5 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2f f f . (10)已知拋物線 C： 2 4的焦點(diǎn)為 F，直線 24與 C 交于 A， B 兩點(diǎn) 則 = (A)45(B)35(C) 35(D) 45【思路點(diǎn)撥】 方程聯(lián)立求出 A、 B 兩點(diǎn)后轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題。 【精講精析】選 D. 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 聯(lián)立 2 424，消 y 得 2 5 4 0 ，解得 1, 4. 不妨設(shè) A 在 x 軸上方，于是 A， B 的坐標(biāo)分別為 (4,4),(1, 可求 3 5 , 5 , 2A B A F B F ，利用余弦定理 2 2 2 4c o B F A F B F . (11)已知平面截一球面 得圓 M，過(guò)圓心 M 且與成 060 二面角的平面截該球面得圓 ，圓 M 的面積為 4 ，則圓 N 的面積為 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【思路點(diǎn)撥】 做出如圖所示的圖示，問(wèn)題即可解決。 【精講精析】選 B. 作 示 意 圖 如 ， 由 圓 M 的 面 積 為 4 ，易得222 , 2 3M A O M O A M A ， 中， 30o 。 故 2c o s 3 0 3 , 3 9 O M S o. (12)設(shè)向量 ,r r 滿(mǎn)足 1| | | | 1 , , , 6 02a b a b a c b c or r r r r r r r，則 |最大值等于 (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1 【思路點(diǎn)撥】 本題按照題目要求構(gòu)造出如右圖所示的幾何圖 形，然后分析觀察不難得到 當(dāng)線段 直徑時(shí)， |大 . 【精講精析】選 造 , , , 1 2 0 , 6 0 ,A B a A D b A C c B A D B C D u ur r u u ur r u u ur r， 所以 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓，分析可知當(dāng)線段 直徑時(shí)， |大，最大值為 2. (13)(1- x )20的二項(xiàng)展開(kāi)式中， x 的系數(shù)與 系數(shù)之差為 : . 【思路點(diǎn)撥】 解本題一個(gè)掌握展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，另一個(gè)要注意 r n . 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 【精講精析】 0. 由 201 2 0 () x 得 x 的系數(shù)為 220C, 系數(shù)為 1820C,而 18 220 20 (14)已知 a (2， )， 55，則 【思路點(diǎn)撥】 本題涉及到同角三角函數(shù)關(guān)系式 ,先由正 弦值求出余弦值一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切函數(shù)的倍角公式即可求解。 【精講精析】 43.由 a (2， )， 55得 2 5 s i n 1c o s , t a n5 c o s 2 , 22 t a n 4t a n 2 1 t a n 3 . (15)已知 別為雙曲線 C: 2927y=1 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A C，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (2， 0)， 平分線則 |A = . 【思路點(diǎn)撥】 本題用內(nèi)角平分線定理及雙曲線的定義即可求解。 【精講精析】 6. 由角平分線定理得：22 1211| | | | 1 , | | | | 2 6| | | | 2A F M F A F A F M F ,故 2| | 6. (16)己知點(diǎn) E、 F 分別在正方體 棱 ，且 面面 成的二面角的正切值等于 . 【思路點(diǎn)撥】 本題應(yīng)先找出兩平面的交線，進(jìn)而找出或做出二面角的平面角是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵 ,延長(zhǎng) 與 交，交點(diǎn)為 P，則 面 面 交線 . 【精講精析】 F 交 延長(zhǎng)線于 P，則 面 面 交線，因?yàn)?0o ，所以 為面 面 成的二面角的平面角。 223t a (17)(本小題滿(mǎn)分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a、 b、 C=90， a+c= 2 b，求 C. 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 【思路點(diǎn)撥】 解決 本題 的突破口是 利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，然后再結(jié)合 A C=90 ,得到 【精講精析】選 0o ，得 A 為鈍角且 ， 利用正弦定理， 2a c b 可變形為 s i n s i n 2 s i B， 即有 s i n s i n c o s s i n 2 s i n ( 4 5 ) 2 s i C C C B o， 又 A、 B、 C 是 的內(nèi)角，故 45o 或 ( 4 5 ) 1 8 0 去 ) 所以 ( 9 0 ) ( 4 5 ) 1 8 0A B C C C C o o o。 所以 15C o . (18)(本小題滿(mǎn)分 12 分 )(注意： 在試題卷上作答無(wú)效 ) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種 保險(xiǎn) 的概率為 0 5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為 各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立 (I)求該地 1 位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 l 種的概率； ( )X 表示該地的 車(chē)主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)。求 X 的期望。 【思路點(diǎn) 撥】解本題應(yīng)首先主出 該車(chē)主購(gòu) 買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為 p,利用乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為 可求出 p=利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式和期望公式計(jì)算即可 . 【精講精析】 設(shè)該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為 p,由題意知： (1 0 0 ，解得 。 （ I） 設(shè)所求概率為 1 1 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) 0 . 8P . 故該地 1 位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 1 種的概率為 （ 對(duì)每位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率為 (1 0 . 5 ) (1 0 . 6 ) 0 . 2 。 ( 1 0 0 , 0 . 2 ) . 1 0 0 0 . 2 2 0X B E X : 所以 X 的期望是 20 人。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （ 19 ） 如 圖 ， 四 棱 錐 S 中，/D , D ，側(cè)面 等邊三角形，2 , 1A B B C C D S D . （）證明： A B 平 面 ; （ )求 平面 成角的大小 . 【思路點(diǎn)撥】 本題第（ I）問(wèn)可以直接證明，也可建系證明。 （ 立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算把求角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算問(wèn)題 ,思路清晰思維量小。 【精講精析】 計(jì)算 ， 5 , 2A D ，于是 2 2 2S A S D A D，利用勾股定理，可知A ，同理，可證 B 又 B SI ， 因此， 平 面 . （ D 做 D z A B C D 平 面 ，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A(2,),B(2,1,0),C(0,1,0), 13( , 0, )22一個(gè)法向量是 ( 0 , 3 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 )n A Br u u | 2 3 2 1| c o s , |7| | | | 27A B n u u ur ru u ur ru u ur r. 所以 平面 成角為 21（ 20）設(shè)數(shù)列 a且111 （）求 （）設(shè) 111 , , 1 n k b 記 S 證 明 ： 【思路點(diǎn)撥】 解本題突破口關(guān)鍵是由式子111 得到 11等差數(shù)列，進(jìn)2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 而可求出數(shù) 列 （ 求出 【精講精析】 (I) 11 公差為 1 的等差數(shù)列， 111 ( 1 ) 1 所以 1 ()n na n (1 11 1111n n n 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 11 2 2 3 1 1n n n L. （ 21）已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F 為橢圓 22:12在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò) F 且斜率為 l 與 C 交與 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 滿(mǎn)足 O B O P ( )證明：點(diǎn) P 在 C 上； （）設(shè)點(diǎn) P 關(guān) 于點(diǎn) O 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 Q，證明： A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓上 . 【思路點(diǎn)撥】 方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路，注意把 O B O P 坐標(biāo)表示后求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用 A、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)。從而求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn) P 在 C 上。 (問(wèn)題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明 ,互補(bǔ) 求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。 思路二：根據(jù)圓 的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心 N，然后證明 N 到四個(gè)點(diǎn) A、 B、 P、 Q 的距離相等即可 . 【精講精析】 (I)設(shè)1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 直線 : 2 1l y x ，與 22