自動(dòng)控制原理 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 四章 根軌跡法 連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 參量根軌跡的繪制 在繪制根軌跡時(shí)，如果可變參數(shù)不是根軌跡增益而是其他參數(shù) (例如，某一校正元件的時(shí)間常數(shù) )，則所得的根軌跡稱為 參量根軌跡 。 繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)的根軌跡的法則完全相同。在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入 等效單位反饋系統(tǒng) 和 等效傳遞函數(shù) 概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則，均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。為此，需要對(duì)閉環(huán)特征方程 1 ( ) ( ) 0G s H s大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 進(jìn)行等效變換，將其寫成如下形式 () 1()其中 外，系統(tǒng) 任意的變化參數(shù) ，而 和 為兩個(gè)與 然 0)()(1)()( )()()()(11 )(等效”的含義僅在閉環(huán)極點(diǎn)相同這一點(diǎn)上成立，而閉環(huán)零點(diǎn)一般是不同的。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 例 4一雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖如圖所示，試?yán)L制以 為參變量的根軌跡。 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 4()( 1 2 )04)21(2 04212 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 1 22()4 1 1 5 1 1 5 2 2s K 其中， 的極點(diǎn)為 ，零點(diǎn)為 0。，不難證明該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓弧，其方程為 。 )(2 1 1 1 5222 2 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 例 4一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以 為參變量的根軌跡。 解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 02 令 ，則上式變成 0a 02 01 2 201 )( 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 據(jù)此做出 對(duì)應(yīng)的根軌跡。這是 時(shí)，以 2、其次考慮 ，把閉環(huán)特征方程改寫成 )(01 a0 202 )(比較 ，可知 的開環(huán)極點(diǎn)就是 對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，因而 對(duì)應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)都在 的根軌跡曲線上。為了做出 對(duì)應(yīng)的根軌跡，通常先令 后根據(jù) 零、極點(diǎn)的分布做出參變量 時(shí) 的根軌跡。 )()( 0201 )(02 01 (02 01 02 02 0由自動(dòng)控制原理 如令 K=4，則 4)( 202 點(diǎn)為 0。不難證明，對(duì)應(yīng)特征方程的根軌跡也為一圓弧，其方程為 222 2 ( a ) a = 0 , 0 K ( b ) 根軌跡簇 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 非最小相位系統(tǒng)： 在平面右半平面具有開環(huán)極點(diǎn)(或零點(diǎn) )的反饋系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)： 若反饋系統(tǒng)的全部開環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)均位于平面左半平面 在控制工程中出現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)，通常有如下三種情況。 (1) 系統(tǒng)中存在局部的 正反饋 回路。 (2) 系統(tǒng)中含有 非最小相位元件 。 (3) 系統(tǒng)中含有 滯后 環(huán)節(jié)。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 正反饋回路的根軌跡 在某些控制系統(tǒng)中，其內(nèi)環(huán)可能是一個(gè)正反饋內(nèi)回路，如下圖所示。當(dāng)具有正反饋內(nèi)回路的控制系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，其傳遞函數(shù)中就有極點(diǎn)在 里僅討論正反饋內(nèi)回路部分根軌跡的繪制。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 圖中所示內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()(1)()()(相應(yīng)的特征方程為 0)()(1 1)()( 反饋回路根軌跡的幅值條件與負(fù)反饋回路完全相同，但其相角卻變?yōu)?a r g ( ) ( ) 2 0 , 1 , 2 ,G s H s k k ，基于上式所示的相角的特點(diǎn)，因而稱相應(yīng)的根軌跡為 零度根軌跡 。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 在 繪制零度根軌跡 時(shí)，需要對(duì) 規(guī)則 3 實(shí)軸上線段成為根軌跡的充要條件 (K0)是該線段右方實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之和為偶數(shù)。 規(guī)則 4 漸近線與實(shí)軸的夾角為 2 0 , 1 , 2 ,k ，規(guī)則 6 開環(huán)共軛極點(diǎn)的出射角與開環(huán)共軛零點(diǎn)的入射角為 112i j 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 系統(tǒng)中含有非最小相位元件 在繪制系統(tǒng)中含有非最小相位元件的根軌跡時(shí)，必須注意開環(huán)傳遞函數(shù) (分母或分子 )中是否含有 有，則根軌跡的相角條件就變?yōu)橛上率饺ケ碚?，因而所繪制的將是零度根軌跡。 a r g ( ) ( ) 2 0 , 1 , 2 ,G s H s k k ，設(shè)一非最小相位系統(tǒng)如下圖所示 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 00(1 ) ( 1 )a r g a r g( 1 ) ( 1 )( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,K s K ss s s ，即 0 ( 1 )a r g 2 0 , 1 , 2 ,( 1 )Ks ，不難證明，由上式做出的根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓周，其方程為 222 )2()1( 計(jì)算求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 應(yīng)地， 。這表明當(dāng) 時(shí)，該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 1由相角條件得 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 滯后系統(tǒng)的根軌跡 包含時(shí)間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，稱為滯后系統(tǒng)，它也屬于非最小相位系統(tǒng)。由于滯后環(huán)節(jié)的存在，使相位系統(tǒng)的根軌跡具有明顯的特點(diǎn)。 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 ( ) ( ) e( ) 1 ( ) ( ) s K G sR s K G s H s 相應(yīng)地，閉環(huán)特征方程式為 1 ( ) ( ) e 0 s H s 令 代入上式，據(jù)此，求得滯后系統(tǒng)根軌跡 1( ) ( ) eG s H a r g ( ) ( ) ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,G s H s k k ，幅值條件 相角條件 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院 自動(dòng)控制原理 如果延遲時(shí)間 很小， 則 可近似地表示為 1 e s5443322154433221)()()()(21)()()